Как решать уравнения с модулем: основные правила
Модуль — одна из тех вещей, о которых вроде-бы все слышали, но в действительности никто нормально не понимает. Поэтому сегодня будет большой урок, посвящённый решению уравнений с модулями.
Сразу скажу: урок будет несложный. И вообще модули — вообще тема относительно несложная. «Да конечно, несложная! У меня от неё мозг разрывается!» — скажут многие ученики, но все эти разрывы мозга происходят из-за того, что у большинства людей в голове не знания, а какая-то хрень. И цель этого урока — превратить хрень в знания.:)
Немного теории
Итак, поехали. Начнём с самого важного: что такое модуль? Напомню, что модуль числа — это просто то же самое число, но взятое без знака «минус». Т.е., например, $\left| -5 \right|=5$. Или $\left| -129,5 \right|=129,5$.
Вот так всё просто? Да, просто. А чему тогда равен модуль положительного числа? Тут ещё проще: модуль положительного числа равен самому этому числу: $\left| 5 \right|=5$; $\left| 129,5 \right|=129,5$ и т.д.
Получается любопытная вещь: разные числа могут иметь один тот же модуль. Например: $\left| -5 \right|=\left| 5 \right|=5$; $\left| -129,5 \right|=\left| 129,5 \right|=129,5$. Нетрудно заметить, что это за числа, у которых модули одинаковые: эти числа противоположны. Таким образом, отметим для себя, что модули противоположных чисел равны:
\[\left| -a \right|=\left| a \right|\]
Ещё один важный факт: модуль никогда не бывает отрицательным. Какое бы число мы ни взяли — хоть положительное, хоть отрицательное — его модуль всегда оказывается положительным (или в крайнем случае нулём). Именно поэтому модуль часто называют абсолютной величиной числа.
Кроме того, если объединить определение модуля для положительного и отрицательного числа, то получим глобальное определение модуля для всех чисел. А именно: модуль числа равен самому этому числу, если число положительное (или ноль), либо равен противоположному числу, если число отрицательное. Можно записать это в виде формулы:
Ещё есть модуль нуля, но он всегда равен нулю. Кроме того, ноль — единственное число, которое не имеет противоположного.
Таким образом, если рассмотреть функцию $y=\left| x \right|$ и попробовать нарисовать её график, то получится вот такая «галка»:
График модуля и пример решения уравнения
Из этой картинки сразу видно, что $\left| -m \right|=\left| m \right|$, а график модуля никогда не опускается ниже оси абсцисс. Но это ещё не всё: красной линией отмечена прямая $y=a$, которая при положительных $a$ даёт нам сразу два корня: $<
Помимо чисто алгебраического определения, есть геометрическое. Допустим, есть две точки на числовой прямой: $<
Модуль — это расстояние между точками на числовой прямой
Из этого определения также следует, что модуль всегда неотрицателен. Но хватит определений и теории — перейдём к настоящим уравнениям.:)
Основная формула
Ну хорошо, с определением разобрались. Но легче-то от этого не стало. Как решать уравнения, содержащие этот самый модуль?
Спокойствие, только спокойствие. Начнём с самых простых вещей. Рассмотрим что-нибудь типа такого:
Итак, модуль$x$ равен 3. Чему может быть равен $x$? Ну, судя по определению, нас вполне устроит $x=3$. Действительно:
А есть ли другие числа? Кэп как бы намекает, что есть. Например, $x=-3$ — для него тоже $\left| -3 \right|=3$, т.е. требуемое равенство выполняется.
Так может, если поискать, подумать, мы найдём ещё числа? А вот обломитесь: больше чисел нет. Уравнение $\left| x \right|=3$ имеет лишь два корня: $x=3$ и $x=-3$.
Теперь немного усложним задачу. Пусть вместо переменной $x$ под знаком модуля тусуется функция $f\left( x \right)$, а справа вместо тройки поставим произвольное число $a$. Получим уравнение:
\[\left| f\left( x \right) \right|=a\]
Ну и как такое решать? Напомню: $f\left( x \right)$ — произвольная функция, $a$ — любое число. Т.е. вообще любое! Например:
\[\left| 2x+1 \right|=5\]
\[\left| 10x-5 \right|=-65\]
Обратим внимание на второе уравнение. Про него сразу можно сказать: корней у него нет. Почему? Всё правильно: потому что в нём требуется, чтобы модуль был равен отрицательному числу, чего никогда не бывает, поскольку мы уже знаем, что модуль — число всегда положительное или в крайнем случае ноль.
А вот с первым уравнением всё веселее. Тут два варианта: либо под знаком модуля стоит положительное выражение, и тогда$\left| 2x+1 \right|=2x+1$, либо это выражение всё-таки отрицательное, и тогда $\left| 2x+1 \right|=-\left( 2x+1 \right)=-2x-1$. В первом случае наше уравнение перепишется так:
\[\left| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]
И внезапно получается, что подмодульное выражение $2x+1$ действительно положительно — оно равно числу 5. Т.е. мы можем спокойно решать это уравнение — полученный корень будет кусочком ответа:
\[2x+1=5\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2\]
Особо недоверчивые могут попробовать подставить найденный корень в исходное уравнение и убедиться, что действительно под модулем будет положительное число.
Теперь разберём случай отрицательного подмодульного выражения:
\[\left\< \begin
Опа! Снова всё чётко: мы предположили, что $2x+1 \lt 0$, и в результате получили, что $2x+1=-5$ — действительно, это выражение меньше нуля. Решаем полученное уравнение, при этом уже точно зная, что найденный корень нас устроит:
\[2x+1=-5\Rightarrow 2x=-6\Rightarrow x=-3\]
Итого мы вновь получили два ответа: $x=2$ и $x=3$. Да, объём вычислений оказался малость побольше, чем в совсем уж простом уравнении $\left| x \right|=3$, но принципиально ничего не изменилось. Так может, существует какой-то универсальный алгоритм?
Да, такой алгоритм существует. И сейчас мы его разберём.
Избавление от знака модуля
Пусть нам дано уравнение $\left| f\left( x \right) \right|=a$, причём $a\ge 0$ (иначе, как мы уже знаем, корней нет). Тогда можно избавиться от знака модуля по следующему правилу:
\[\left| f\left( x \right) \right|=a\Rightarrow f\left( x \right)=\pm a\]
Таким образом, наше уравнение с модулем распадается на два, но уже без модуля. Вот и вся технология! Попробуем решить парочку уравнений. Начнём вот с такого
\[\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]
Отдельно рассмотрим, когда справа стоит десятка с плюсом, и отдельно — когда с минусом. Имеем:
\[\begin
Вот и всё! Получили два корня: $x=1,2$ и $x=-2,8$. Всё решение заняло буквально две строчки.
Ок, не вопрос, давайте рассмотрим что-нибудь чуть посерьёзнее:
\[\left| 7-5x \right|=13\]
Опять раскрываем модуль с плюсом и минусом:
\[\begin
Опять пара строчек — и ответ готов! Как я и говорил, в модулях нет ничего сложного. Нужно лишь запомнить несколько правил. Поэтому идём дальше и приступаем с действительно более сложным задачам.
Случай переменной правой части
А теперь рассмотрим вот такое уравнение:
\[\left| 3x-2 \right|=2x\]
Это уравнение принципиально отличается от всех предыдущих. Чем? А тем, что справа от знака равенства стоит выражение $2x$ — и мы не можем заранее знать, положительное оно или отрицательное.
Как быть в таком случае? Во-первых, надо раз и навсегда понять, что если правая часть уравнения окажется отрицательной, то уравнение не будет иметь корней — мы уже знаем, что модуль не может быть равен отрицательному числу.
А во-вторых, если права часть всё-таки положительна (или равна нулю), то можно действовать точно так же, как раньше: просто раскрыть модуль отдельно со знаком «плюс» и отдельно — со знаком «минус».
Таким образом, сформулируем правило для произвольных функций $f\left( x \right)$ и $g\left( x \right)$ :
\[\left| f\left( x \right) \right|=g\left( x \right)\Rightarrow \left\< \begin
Применительно к нашему уравнению получим:
\[\left| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\< \begin
Ну, с требованием $2x\ge 0$ мы как-нибудь справимся. В конце концов, можно тупо подставить корни, которые мы получим из первого уравнения, и проверить: выполняется неравенство или нет.
Поэтому решим-ка само уравнение:
\[\begin
Ну и какой их этих двух корней удовлетворяет требованию $2x\ge 0$? Да оба! Поэтому в ответ пойдут два числа: $x=2$ и $x=<2>/<5>\;$. Вот и всё решение.:)
Подозреваю, что кто-то из учеников уже начал скучать? Что ж, рассмотрим ещё более сложное уравнение:
Хоть оно и выглядит злобно, по факту это всё то же самое уравнение вида «модуль равен функции»:
\[\left| f\left( x \right) \right|=g\left( x \right)\]
И решается оно точно так же:
С неравенством мы потом разберёмся — оно какое-то уж слишком злобное (на самом деле простое, но мы его решать не будем). Пока лучше займёмся полученными уравнениями. Рассмотрим первый случай — это когда модуль раскрывается со знаком «плюс»:
Ну, тут и ежу понятно, что нужно всё собрать слева, привести подобные и посмотреть, что получится. А получится вот что:
Выносим общий множитель $<
Тут мы воспользовались важным свойством произведения, ради которого мы и раскладывали исходный многочлен на множители: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Теперь точно так же разберёмся со вторым уравнением, которое получается при раскрытии модуля со знаком «минус»:
Опять то же самое: произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один из множителей. Имеем:
Ну вот мы получили три корня: $x=0$, $x=1,5$ и $x=<2>/<3>\;$. Ну и что из этого набора пойдёт в окончательный ответ? Для этого вспомним, что у нас есть дополнительное ограничение в виде неравенства:
Как учесть это требование? Да просто подставим найденные корни и проверим: выполняется неравенство при этих $x$ или нет. Имеем:
Таким образом, корень $x=1,5$ нас не устраивает. И в ответ пойдут лишь два корня:
Как видите, даже в этом случае ничего сложного не было — уравнения с модулями всегда решаются по алгоритму. Нужно лишь хорошо разбираться в многочленах и неравенствах. Поэтому переходим к более сложным задачам — там уже будет не один, а два модуля.
Уравнения с двумя модулями
До сих пор мы изучали лишь самые простые уравнения — там был один модуль и что-то ещё. Это «что-то ещё» мы отправляли в другую часть неравенства, подальше от модуля, чтобы в итоге всё свелось к уравнению вида $\left| f\left( x \right) \right|=g\left( x \right)$ или даже более простому $\left| f\left( x \right) \right|=a$.
Но детский сад закончился — пора рассмотреть что-нибудь посерьёзнее. Начнём с уравнений вот такого типа:
\[\left| f\left( x \right) \right|=\left| g\left( x \right) \right|\]
Это уравнение вида «модуль равен модулю». Принципиально важным моментом является отсутствие других слагаемых и множителей: только один модуль слева, ещё один модуль справа — и ничего более.
Кто-нибудь сейчас подумает, что такие уравнения решаются сложнее, чем то, что мы изучали до сих пор. А вот и нет: эти уравнения решаются даже проще. Вот формула:
\[\left| f\left( x \right) \right|=\left| g\left( x \right) \right|\Rightarrow f\left( x \right)=\pm g\left( x \right)\]
Всё! Мы просто приравниваем подмодульные выражения, ставя перед одним из них знак «плюс-минус». А затем решаем полученные два уравнения — и корни готовы! Никаких дополнительных ограничений, никаких неравенств и т.д. Всё очень просто.
Давайте попробуем решать вот такую задачу:
\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\]
Элементарно, Ватсон! Раскрываем модули:
\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left( 2x-7 \right)\]
Рассмотрим отдельно каждый случай:
\[\begin
В первом уравнении корней нет. Потому что когда это $3=-7$? При каких значениях $x$? «Какой ещё нафиг $x$? Ты обкурился? Там вообще нет $x$» — скажете вы. И будете правы. Мы получили равенство, не зависящее от переменной $x$, и при этом само равенство — неверное. Потому и нет корней.:)
Со вторым уравнением всё чуть интереснее, но тоже очень и очень просто:
\[2x+3=-2x+7\Rightarrow 4x=4\Rightarrow x=1\]
Как видим, всё решилось буквально в пару строчек — другого от линейного уравнения мы и не ожидали.:)
В итоге окончательный ответ: $x=1$.
Ну как? Сложно? Конечно, нет. Попробуем что-нибудь ещё:
Опять у нас уравнение вида $\left| f\left( x \right) \right|=\left| g\left( x \right) \right|$. Поэтому сразу переписываем его, раскрывая знак модуля:
Возможно, кто-то сейчас спросит: «Эй, что за бред? Почему «плюс-минус» стоит у правого выражения, а не у левого?» Спокойно, сейчас всё объясню. Действительно, по-хорошему мы должны были переписать наше уравнение следующим образом:
Затем нужно раскрыть скобки, перенести все слагаемые в одну сторону от знака равенства (поскольку уравнение, очевидно, в обоих случаях будет квадратным), ну и дальше отыскать корни. Но согласитесь: когда «плюс-минус» стоит перед тремя слагаемыми (особенно когда одно из этих слагаемых — квадратное выражение), это как-то более сложно выглядит, нежели ситуация, когда «плюс-минус» стоит лишь перед двумя слагаемыми.
Но ведь ничто не мешает нам переписать исходное уравнение следующим образом:
\[\left| x-1 \right|=\left| <
Что произошло? Да ничего особенного: просто поменяли левую и правую часть местами. Мелочь, которая в итоге немного упростит нам жизнь.:)
В общем, решаем это уравнение, рассматривая варианты с плюсом и с минусом:
Первое уравнение имеет корни $x=3$ и $x=1$. Второе вообще является точным квадратом:
Поэтому у него единственный корень: $x=1$. Но этот корень мы уже получали ранее. Таким образом, в итоговый ответ пойдут лишь два числа:
Миссия выполнена! Можно взять с полки и скушать пирожок. Там их 2, ваш средний.:)
Важное замечание. Наличие одинаковых корней при разных вариантах раскрытия модуля означает, что исходные многочлены раскладываются на множители, и среди этих множителей обязательно будет общий. Действительно:
\[\begin
& \left| x-1 \right|=\left| < ^<2>>-3x+2 \right|; \\& \left| x-1 \right|=\left| \left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \right|. \\\end \] Одно из свойств модуля: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (т.е. модуль произведения равен произведению модулей), поэтому исходное уравнение можно переписать так:
\[\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]
Как видим, у нас действительно возник общий множитель. Теперь, если собрать все модули с одной стороны, то можно вынести этот множитель за скобку:
\[\begin
& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|; \\& \left| x-1 \right|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \left| x-1 \right|\cdot \left( 1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end \] Ну а теперь вспоминаем, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
\[\left[ \begin
& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end \right.\] Таким образом, исходное уравнение с двумя модулями свелось к двум простейшим уравнениям, о которых мы говорили в самом начале урока. Такие уравнения решаются буквально в пару строчек.:)
Данное замечание, возможно, покажется излишне сложным и неприменимым на практике. Однако в реальности вам могут встретиться куда более сложные задачи, нежели те, что мы сегодня разбираем. В них модули могут комбинироваться с многочленами, арифметическими корнями, логарифмами и т.д. И в таких ситуациях возможность понизить общую степень уравнения путём вынесения чего-либо за скобку может оказаться очень и очень кстати.:)
Теперь хотелось бы разобрать ещё одно уравнение, которое на первый взгляд может показаться бредовым. На нём «залипают» многие ученики — даже те, которые считают, что хорошо разобрались в модулях.
Тем не менее, это уравнение решается даже проще, чем то, что мы рассматривали ранее. И если вы поймёте почему, то получите ещё один приём для быстрого решения уравнений с модулями.
Нет, это не опечатка: между модулями именно плюс. И нам нужно найти, при каких $x$ сумма двух модулей равна нулю.:)
В чём вообще проблема? А проблема в том, что каждый модуль — число положительное, либо в крайнем случае ноль. А что будет, если сложить два положительных числа? Очевидно, снова положительное число:
Последняя строчка может натолкнуть на мысль: единственный случай, когда сумма модулей равна нулю — это если каждый модуль будет равен нулю:
А когда модуль равен нулю? Только в одном случае — когда подмодульное выражение равно нулю:
\[x-<
\[<
Таким образом, у нас есть три точки, в которых обнуляется первый модуль: 0, 1 и −1; а также две точки, в которых обнуляется второй модуль: −2 и 1. Однако нам нужно, чтобы оба модуля обнулялись одновременно, поэтому среди найденных чисел нужно выбрать те, которые входят в оба набора. Очевидно, такое число лишь одно: $x=1$ — это и будет окончательным ответом.
Метод расщепления
Что ж, мы уже рассмотрели кучу задач и изучили множество приёмов. Думаете, на этом всё? А вот и нет! Сейчас мы рассмотрим заключительный приём — и одновременно самый важный. Речь пойдёт о расщеплении уравнений с модулем. О чём вообще пойдёт речь? Давайте вернёмся немного назад и рассмотрим какое-нибудь простое уравнение. Например, это:
\[\left| 3x-5 \right|=5-3x\]
В принципе, мы уже знаем, как решать такое уравнение, потому что это стандартная конструкция вида $\left| f\left( x \right) \right|=g\left( x \right)$. Но попробуем взглянуть на это уравнение немного под другим углом. Точнее, рассмотрим выражение, стоящее под знаком модуля. Напомню, что модуль любого числа может быть равен самому числу, а может быть противоположен этому числу:
Собственно, в этой неоднозначности и состоит вся проблема: поскольку число под модулем меняется (оно зависит от переменной), нам неясно — положительное оно или отрицательное.
Но что если изначально потребовать, чтобы это число было положительным? Например, потребуем, чтобы $3x-5 \gt 0$ — в этом случае мы гарантированно получим положительное число под знаком модуля, и от этого самого модуля можно полностью избавиться:
\[3x-5 \gt 0\Rightarrow \left| 3x-5 \right|=3x-5\]
Таким образом, наше уравнение превратится в линейное, которое легко решается:
\[3x-5=5-3x\Rightarrow 6x=10\Rightarrow x=\frac<5><3>\]
Правда, все эти размышления имеют смысл только при условии $3x-5 \gt 0$ — мы сами ввели это требование, дабы однозначно раскрыть модуль. Поэтому давайте подставим найденный $x=\frac<5><3>$ в это условие и проверим:
\[x=\frac<5><3>\Rightarrow 3x-5=3\cdot \frac<5><3>-5=5-5=0\]
Получается, что при указанном значении $x$ наше требование не выполняется, т.к. выражение оказалось равно нулю, а нам нужно, чтобы оно было строго больше нуля. Печалька.:(
Но ничего страшного! Ведь есть ещё вариант $3x-5 \lt 0$. Более того: есть ещё и случай $3x-5=0$ — это тоже нужно рассмотреть, иначе решение будет неполным. Итак, рассмотрим случай $3x-5 \lt 0$:
\[3x-5 \lt 0\Rightarrow \left| 3x-5 \right|=5-3x\]
Очевидно, что в модуль раскроется со знаком «минус». Но тогда возникает странная ситуация: и слева, и справа в исходном уравнении будет торчать одно и то же выражение:
Интересно, при каких таких $x$ выражение $5-3x$ будет равно выражению $5-3x$? От таких уравнений даже Капитан очевидность подавился бы слюной, но мы-то знаем: это уравнение является тождеством, т.е. оно верно при любых значениях переменной!
А это значит, что нас устроят любые $x$. Вместе с тем у нас есть ограничение:
\[3x-5 \lt 0\Rightarrow 3x \lt 5\Rightarrow x \lt \frac<5><3>\]
Другими словами, ответом будет не какое-то отдельное число, а целый интервал:
\[x\in \left( -\infty ;\frac<5> <3>\right)\]
Наконец, осталось рассмотреть ещё один случай: $3x-5=0$. Тут всё просто: под модулем будет ноль, а модуль нуля тоже равен нулю (это прямо следует из определения):
\[3x-5=0\Rightarrow \left| 3x-5 \right|=0\]
Но тогда исходное уравнение $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ перепишется следующим образом:
\[0=3x-5\Rightarrow 3x=5\Rightarrow x=\frac<5><3>\]
Этот корень мы уже получали выше, когда рассматривали случай $3x-5 \gt 0$. Более того, это корень является решением уравнения $3x-5=0$ — это ограничение, которое мы сами же и ввели, чтобы обнулить модуль.:)
Таким образом, помимо интервала нас устроит ещё и число, лежащее на самом конце этого интервала:
Объединение корней в уравнениях с модулем
Итого окончательный ответ: $x\in \left( -\infty ;\frac<5> <3>\right]$. Не очень-то привычно видеть такую хрень в ответе к довольно простому (по сути — линейному) уравнению с модулем, правда? Что ж, привыкайте: в том и состоит сложность модуля, что ответы в таких уравнениях могут оказаться совершенно непредсказуемыми.
Куда важнее другое: мы только что разобрали универсальный алгоритм решения уравнения с модуляем! И состоит этот алгоритм из следующих шагов:
- Приравнять каждый модуль, имеющийся в уравнении, к нулю. Получим несколько уравнений;
- Решить все эти уравнения и отметить корни на числовой прямой. В результате прямая разобьётся на несколько интервалов, на каждом из которых все модули однозначно раскрываются;
- Решить исходное уравнение для каждого интервала и объединить полученные ответы.
Вот и всё! Остаётся лишь один вопрос: куда девать сами корни, полученные на 1-м шаге? Допустим, у нас получилось два корня: $x=1$ и $x=5$. Они разобьют числовую прямую на 3 куска:
Разбиение числовой оси на интервалы с помощью точек
Ну и какие тут интервалы? Понятно, что их три:
- Самый левый: $x \lt 1$ — сама единица в интервал не входит;
- Центральный: $1\le x \lt 5$ — вот тут единица в интервал входит, однако не входит пятёрка;
- Самый правый: $x\ge 5$ — пятёрка входит только сюда!
Я думаю, вы уже поняли закономерность. Каждый интервал включает в себя левый конец и не включает правый.
На первый взгляд, такая запись может показаться неудобной, нелогичной и вообще какой-то бредовой. Но поверьте: после небольшой тренировки вы обнаружите, что именно такой подход наиболее надёжен и при этом не мешает однозначно раскрывать модули. Лучше уж использовать такую схему, чем каждый раз думать: отдавать левый/правый конец в текущий интервал или «перекидывать» его в следующий.
На этом урок заканчивается. Скачивайте задачи для самостоятельного решения, тренируйтесь, сравнивайте с ответами — и увидимся в следующем уроке, который будет посвящён неравенствам с модулями.:)
Решение уравнений с модулем
Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа, и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля, то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля, перестает быть препятствием для его решения.
Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.
Например, число +5, или просто 5 имеет знак «+» и абсолютное значение 5.
Число -5 имеет знак «-» и абсолютное значение 5.
Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.
Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.
Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.
Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.
Правило раскрытия модуля выглядит так:
|f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и
|f(x)|= — f(x), если f(x) < 0
Например |x-3|=x-3, если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.
Чтобы решить уравнение , содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля.
Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.
Одно уравнение существует на числовом промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.
А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.
Рассмотрим простой пример.
|x-3|=-x 2 +4x-3
1. Раскроем модуль.
|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0, т.е. если х<3
2. Мы получили два числовых промежутка: х≥3 и х<3.
Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:
А) При х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!
Раскроем скобки, приведем подобные члены:
и решим это уравнение.
Это уравнение имеет корни:
Внимание! поскольку уравнение x-3=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х2=3.
Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х<3!
Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:
Внимание! поскольку уравнение 3-х=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х1=2.
Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго — корень х=2.
Ответ: х=3, х=2
Для вас другие записи этой рубрики:
Отзывов ( 179 )
Здравствуйте,Инна.Как умножить модуль на квадратное уравнение?
Спасибо.
Нужно раскрыть модуль: рассмотреть случаи, когда подмодульное выражение больше нуля и когда меньше нуля.
Если модуль в модуле. ||x| — 1| * |x| / x^2 — 1 ==> x -(x + 1) * (-x) / (x^2 — 1) ==> x(x + 1) / (x — 1)(x + 1) = ==> x/ x — 1.
Не до конца понимаю, как правильно раскрыть модуль в модуле, и, соответственно, какой знак внутри модуля в который вложен другой модуль…
В этом примере проще ввести замену: 
, тогда получится выражение с одним модулем. В общем случае сначала раскрываем внутренний модуль, потом внешний. При раскрытии модуля необходимо указывать промежуток, на котором мы находимся. Например: 
. Cначала рассматриваем случай 
, Получаем систему: 
. И теперь система разбивается на совокупность двух систем: 
и 
. Так же рассматриваем второй случай, когда 
.
Внутренний модуль |x| может быть x >= 0, x = 0, |x — 1| = 0, 0 <= x < 1, |x — 1|* x = -x(x — 1)/(x — 1)(x + 1).
Второй случай x < 0 |-(x) — 1| * (-x) = тут мне не ясно, знак -x выносится за скобки или происходит арифметическое действие внутри модуля-скобок т.е. -x — 1 < 0 = -(x + 1)….
Я так решал, но ответ не верен, и, понять, как получается правильный ответ, я не могу. https://b.radikal.ru/b03/2011/21/d7a886752231.jpg
Здравствуйте, Инна! обязательно ли при раскрытии модуля чередовать знак равно? Например, в первом случае х больше или равно трех, а в другом — строго меньше трех.
Нет, не обязательно. Если конец промежутка входит в область допустимых значений, то его можно включать в оба промежутка.
Уравнения с модулем и параметрами
Напомним, что такое модуль числа. Так называют значение числа, взятое без учета его знака. То есть модуль чисел 9 и (– 9) одинаков и равен 9. Для обозначения модуля применяют специальные прямоугольные скобки:
|2,536| = |– 2,536| = 2,536
Грубо говоря, операция нахождения модуля сводится к отбрасыванию у числа знака «минус», если он у него есть. Вообще, если число х неотрицательно, то его модуль |х| = х. Если же число отрицательно, то его модуль имеет противоположное значение: |х| = х. Математически это можно записать так:
Именно такое определение обычно и применяется в математике.
Модуль играет важную роль в математике. Дело в том, с его помощью удобно записывать расстояние между двумя точками на координатной прямой. Пусть на ней отмечены точки a и b. Расстояние между ними равно |a – b|, причем неважно, какое из этих чисел больше, а какое меньше:
Также модуль возникает при извлечении квадратного корня из четной степени числа:
В частности, если n = 1, получим формулу:
Для того чтобы получить график функции у = |x|, сначала надо построить график функции без учета знака модуля:
Далее следует выполнить преобразование. Те точки графика, которые располагаются выше оси Ох, остаются на своем месте. В данном случае это та часть графика, которая находится в I четверти. Те же точки, которые располагаются ниже оси Ох, должны быть симметрично (относительно этой самой оси Ох) отображены. В результате они окажутся выше оси Ох:
В результате получилась «галочка».
Пример. Постройте график ф-ции у = |х 2 – 4х + 3|
Решение. Для построения графика функции, содержащей модуль, сначала надо построить график для «подмодульного» выражения. Поэтому построим график у = х 2 – 4х + 3. Это квадратичная ф-ция, ее график – это парабола:
Часть графика, в промежутке от 1 до 3, находится ниже оси Ох. Чтобы построить ф-цию у = |х 2 – 4х + 3|, надо перевернуть эту часть графика:
Решение уравнений с модулем
Изучим простейший случай уравнения, содержащего модуль, когда вся его слева записано выр-ние в модульных скобках, а справа находится число. То есть уравнение имеет вид
где b – какое-то число, а у(х) – произвольная ф-ция.
Если b< 0, то ур-ние корней не имеет, ведь модуль не может быть отрицательным.
Пример. Найдите корни ур-ния
|125x 10 + 97x 4 – 12,56х 3 + 52х 2 + 1001х – 1234| = – 15
Решение: Справа стоит отрицательное число. Однако модуль не может быть меньше нуля. Это значит, что у ур-ния отсутствуют корни.
Ответ: корни отсутствуют.
Если b = 0, то мы получим какое-то произвольное ур-ние у(х) = 0, у которого могут быть корни. Проще говоря, модульные скобки в таком случае можно просто убрать.
Пример. Решите ур-ние
Ясно, что подмодульное выр-ние равно нулю:
Наиболее интересен случай, когда b> 0, то есть в правой части стоит положительное число. Ясно, что тогда под модулем находится либо само это число b, либо противоположное ему число – b:
То есть мы получаем два различных ур-ния: у(х) = bи у(х) = – b.
Пример. Решите ур-ние
Решение. В правой части – положительное число, поэтому либо х = – 10, либо х = 10.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Исходное ур-ние разбивается на два других ур-ния:
10х + 5 = 7 или 10х + 5 = – 7
10х = 2 или 10х = – 12
х = 0,2 или х = – 1,2
Пример. Найдите корни ур-ния
Решение. Снова заменим исходное равенство на два других:
x 2 – 2х – 4 = 4 или x 2 – 2х – 4 = – 4
Имеем два квадратных ур-ния. Решим каждое из них:
D = b 2 – 4ас = (– 2) 2 – 4•1•(– 8) = 4 + 32 = 36
Нашли корни (– 2) и 4. Решаем второе ур-ние:
х = 0 или х – 2 = 0
Получили ещё два корня: 0 и 2.
Встречаются случаи, когда в уравнении, содержащем знак модуля, под ним находятся обе части равенства:
Здесь возможны два варианта. Либо подмодульные выр-ния равны друг другу (у(х) = g(x)), либо у них противоположные значения (у(х) = – g(x)). То есть снова надо решить два ур-ния.
Пример. Решите ур-ние
|x 2 + 2x– 1| = |х + 1|
Решение. Выр-ния справа и слева (без знака модуля) либо равны, либо противоположны. Можно составить два ур-ния:
x 2 + 2x– 1 = х + 1 или x 2 + 2x– 1 = – (х + 1)
х 2 + х – 2 = 0 или х 2 + 3х = 0
Решим 1-ое ур-ние:
D = b 2 – 4ас = 1 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9
Теперь переходим ко 2-омуур-нию:
х = 0 или х + 3 = 0
Всего удалось найти 4 корня: (– 1), (– 2), 2 и 0.
Возможен случай, когда в левой части равенства находится модуль выр-ния, а в правой – обычное выражение, без модуля. Такое ур-ние имеет вид |у(х)| = g(x). Здесь также возможны два варианта: у(х) = g(x) или у(х) = – g(x). Однако следует учитывать ещё один факт. Модуль не может быть отрицательным, а потому должно выполняться нер-во g(x)⩾ 0. Но это неравенство не надо решать. Достаточно просто подставить в него все полученные корни и проверить, справедливо ли нер-во.
Пример. Найдите решение уравнения, содержащего модуль:
|х 2 + 3,5х – 20| = 4,5х
Решение. Рассмотрим два отдельных равенства:
х 2 + 3,5х – 20 = 4,5х илих 2 + 3,5х – 20 = – 4,5х
х 2 – х – 20 = 0 или х 2 + 8х – 20 = 0
Решим каждое из полученных квадратных ур-ний.
D = b 2 – 4ас = 1 2 – 4•1•(– 20) = 1 + 80 = 81
D = b 2 – 4ас = 8 2 – 4•1•(– 20) = 64 + 80 = 144
Итак, получили 4 корня: (– 4), 5, (– 10) и 2. Однако правая часть исходного ур-ния, 4,5x, не может быть отрицательной, ведь модуль числа – это всегда неотрицательная величина:
Для х = – 4 и х = – 10 это условие не выполняется, поэтому эти корни должны быть исключены.
Мы рассмотрели три случая, когда ур-ние имеет вид:
- у(х) = b (b– это некоторая константа)
- |у(х)| = |g(x)|
- |у(х)| = g(x)
Однако порою ур-ние не удается свести ни к одному из этих видов. Тогда для решения уравнений и неравенств, содержащих модуль, следует рассматривать их на отдельных интервалах, где подмодульные выр-ния не изменяют свой знак.
Пример. Найдите корни ур-ния
Решение. Выр-ния х + 1 и х – 4 меняют знак при переходе через точки (– 1) и 4:
Если отметить обе точки на прямой, то они образуют на ней 3 интервала:
Исследуем ур-ние на каждом из полученных промежутков.
Так как при х <– 1 оба подмодульные выр-ния отрицательны, то можно записать, что
|x + 1| = – (х + 1) = – х – 1
|x– 4| = – (х – 4) = – х + 4
Тогда ур-ние примет вид
Это значение удовлетворяет условию х <– 1, поэтому корень верный.
Далее изучим случай, когда х∊[– 1; 4). Здесь отрицательно только выражение x– 4, поэтому модули заменяются так:
|x– 4| = – (х – 4) = – х + 4
Ур-ние примет вид:
Получили неверное тождество. Получается, что на промежутке [– 1; 4) корней нет.
При х ≥4 выр-ния х – 4 и х + 1 положительны, поэтому
Исходное ур-ние будет выглядеть так
Найденный корень удовлетворяет условию х ≥4, поэтому он также должен быть включен в ответ.
Уравнения с параметрами
Для решения каждого из них надо число справа поделить на 5 (множитель перед х). В итоге получаем значения х, равные 2, 3 и 4.
Теперь обозначим число в правой части буквой, например, как v. Тогда все эти ур-ния будут выглядеть одинаково:
Решением таких ур-ний будет дробь v/5.
Надо понимать разный смысл, который мы вкладываем при этом в буквы х и v. Через х мы обозначили переменную, то есть ту величину, значение которой необходимо найти. Под буквой v подразумевалась заранее известная величина, то есть константа, которая известна заранее в каждом конкретном ур-нии. Такую величину называют параметром, а ур-ние 5х = v называют уравнением с параметром.
Изучая уравнение с параметром, мы рассматриваем не одно конкретное ур-ние, а сразу целую группу, или семейство ур-ний. Например, все ур-ния первой степени можно описать в виде
где х – это переменная величина, а числа а, b– это параметры. Для описания квадратного ур-ния в общем виде необходимы уже три параметра (а, b и с):
Параметры встречаются не только при описании ур-ний, но и, например, при рассмотрении функций. Так, линейная функция задается формулой у = kx + b. Здесь числа k и b являются параметрами. Так как ур-ние у = kx + b задает на плоскости прямую линию, то величины k и b порою называют параметрами уравнения прямой.
Если при решении обычного ур-ния мы определяем значение его корней в виде конкретных чисел, то при решении ур-ний с параметром находят формулу, позволяющую при заданном значении параметра вычислить значение корня.
Пример. Решите ур-ние
и найдите его корни при значении параметра а, равном 3.
Решение. Вынесем множитель х за скобки:
х = 0 или х – 2а = 0
Получили, что при любом значении параметра а ур-ние имеет два корня. Один из них равен нулю при любом значении а, а второй вычисляется по формуле х = 2а:
при а = 3х = 2•3 = 6
Ответ: есть два корня – 0 и 2а. При а = 2 корни равны 0 и 6.
Пример. Решите ур-ние
р 2 х – 3рх = р 2 – 9
Решение. Слева вынесем за скобки множитель рх, а выр-ние справа преобразуем, используя формулу разности квадратов:
рх(р – 3) = (р – 3)(р + 3)
Возникает желание поделить обе части рав-ва на р(р – 3), чтобы выразить х. Однако сразу так делать нельзя, ведь если величина р(р – 3) равна нулю, то получится деление на ноль.
Поэтому сначала изучим случаи, когда один из множителей слева равен нулю. Если р = 0, то мы получим рав-во
0•х•(0 – 3) = (0 – 3) (3 – 0)
Это неверное тождество, а потому при р = 0 ур-ние корней не имеет.
Если р – 3 = 0, то есть р = 3, получится следующее
Это равенство верно при любом х. Значит, при р = 3 корнем ур-ния является любое число.
Если же р≠ 0 и р ≠ 3, то произведение р(р – 3) также не равно нулю, а потому обе части равенства можно поделить на р(р – 3). Тогда получим
В этом случае ур-ние имеет единственный корень.
Ответ: при р = 0 корней нет; при р = 3 корнем является любое число; при других рх = (р + 3)/р.
Часто в задаче требуется не выразить корень ур-ния через параметр, а лишь оценить количество корней ур-ния или диапазон их значений.
Пример. Сколько корней имеет ур-ние
при различных значениях параметра b.
Решение. Будем решать ур-ние графическим методом. Для этого сначала построим график у = |х 2 – 6х + 5|. В модульных скобках находится обычная квадратичная функция, чьи ветви смотрят вверх. Найдем нули функции:
D = b 2 – 4ас = (– 6) 2 – 4•1•5 = 36 + 20 = 16
Итак, нули ф-ции – это точки 1 и 5. Найдем координату х0 вершины параболы по формуле:
Подставив х0 в квадратичную ф-цию найдем координату у0 вершины параболы:
3 2 – 6•3 + 5 = 9 – 18 + 5 = – 4
Теперь построим квадратичную ф-цию:
Для построения графика, содержащего модуль функции, надо отобразить точки с отрицательными ординатами (они находятся ниже оси Ох) симметрично относительно оси Ох:
Мы построили график левой части ур-ния. График правой части представляет собой горизонтальную прямую у = b. Можно выделить 5 различных случаев взаимного расположения этих графиков:
При b< 0 прямая пролегает ниже графика. Общих точек у графиков нет, а потому ур-ние корней не имеет.
При b = 0 прямая у = 0 касается графика в 2 точках: (1; 0) и (5; 0). Получаем 2 корня.
Если 0 <b< 4, то прямая пересекает график в 4 точках.
При b = 4 прямая у = 4 касается перевернутой вершины параболы, а также пересекает ветви ещё в 2 точках. Итого 3 корня.
Наконец, при b>4 есть горизонтальная прямая пересекает график лишь в 2 точках, то есть получаем 2 корня.
Ответ: нет корней при b< 0; 2 корня при b = 0 и b> 4; 3 корня при b = 4; 4 корня при 0 <b< 4.
Пример. При каком а ур-ние
х 4 – (а + 2)х 2 + 3а – 3 = 0
имеет ровно 4 корня?
Решение. Это ур-ние является биквадратным, то есть для его решения нужно произвести замену у = х 2 :
у 2 – (а + 2)у + 3а – 3 = 0 (1)
Для того, чтобы исходное ур-ние имело 4 корня, необходимо, чтобы у квадратного уравнения с параметром(1) было два положительных корня: у1 и у2. Тогда, проводя обратную замену х 2 = у1 и х 2 = у2, мы получим два разных квадратных ур-ния, корни которых будут равны
Если же хоть один из двух корней, например, у1, окажется равным нулю, то величины
Совпадут (они обе будут равны нулю), и останется лишь 3 корня. Если же у1 будет отрицательным числом, то ур-ние
вовсе не будет иметь решений, и тогда останется не более 2 корней.
Итак, решим ур-ние (1):
у 2 – (а + 2)у + 3а – 3 = 0
D = b 2 – 4ас = (– (а + 2)) 2 – 4•1•(3а – 3) = (а + 2) 2 – 12 а + 12 =
= а 2 + 4а + 4 – 12а + 12 = а 2 – 8а + 16 = а 2 – 2•4•а + 4 2 = (а – 4) 2
Чтобы у ур-ния (1) было два различных корня, дискриминант должен быть положительным. Величина (а – 4) 2 положительна при всех значениях а, кроме а = 4, которое обращает дискриминант в ноль. Значит, а ≠ 4.
Извлечем корень из дискриминанта:
Корни ур-ния (1) можно вычислить по формулам:
И у1, и у2 должны быть положительными величинами, однако у1 меньше, чем у2 (ведь для его вычисления дискриминант брали со знаком «минус», а не «плюс»). Поэтому достаточно записать нер-во:
Получили неравенство, содержащее модуль. Для избавления от модульных скобок в нер-ве рассмотрим 2 случая. Если а – 4>0, то есть а > 4, выполняется равенство
Это нер-во выполняется при любом допустимом значении а, поэтому при а >4 исходное ур-ние имеет 4 корня.
Если а < 4, то справедливо соотношение
Тогда получится следующее:
Итак, при условии, что а< 4, должно выполняться нер-во а > 1. Это значит, что а∊(1; 4). С учетом первого случая, при котором было получено решение
можно записать окончательный ответ: а∊(1; 4)∪(4; + ∞).
Пример. При каких параметрах а у ур-ния
х 2 – 2(а + 1)х + а 2 + 2а – 3 = 0
существует два корня, которые принадлежат интервалу (– 5; 5)?
Решение. Данное ур-ние является квадратным. Найдем его дискриминант:
D = b 2 – 4ас = (– 2(а + 1)) 2 – 4•1•( а 2 + 2а – 3) = 4(а 2 + 2а + 1) – 4(а 2 + 2а – 3) =
= 4(а 2 + 2а + 1 – а 2 – 2а + 3) = 4•4 = 16
Получаем, что при любом а дискриминант положителен, а потому уур-ния 2 корня. Вычислить их можно по формулам
Для того, чтобы оба решения уравнения с параметром принадлежали интервалу (– 5; 5), нужно, чтобы меньший из них (это х1) был больше – 5, больший (это х2) – меньше – 5:
Модуль. Раскрытие модуля. Простешие уравнения с модулем
Модуль (или абсолютная величина) числа (обозначается как )— неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа
Мы будем называть данное правило правилом раскрытия модуля .
Например, так как , попадаем в первую строку (ситуацию).
так как попадаем во вторую ситуацию.
С геометрической точки зрения, – есть расстояние между числом и началом координат.
Решением уравнения, например, являются числа и , потому что расстояние от точки координатной прямой до нуля равно , и расстояние от точки до нуля также равно 6.
|| с геометрической точки зрения означает расстояние между точками и .
Полезные примеры
1) Раскрыть модуль:
Так как больше, чем , то , а значит согласно правилу раскрытия модуля.
2) Раскрыть модуль:
Так как больше нуля при всех значениях , то согласно правилу раскрытия модуля.
3) Раскрыть модуль:
Так как , то , а значит, согласно правилу раскрытия модуля.
Решение уравнений
1) Решить уравнение .
Модуль – всегда неотрицательная величина, поэтому уравнение решений не имеет.
2) Решить уравнение: .
Модуль раскрывается таким образом в случае, когда .
3) Решить уравнение:
Согласно геометрическому смыслу модуля левая и правая части равенства представляют из себя одно и то же.
4) Решить уравнение:
Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:
Поскольку мы находимся в ситуации , то подходит только корень .
Поскольку мы находимся в ситуации , то ни один корень из найденных в пункте (б) нам не подходит.
Коротко можно было бы решение оформить так:
5) Решить уравнение:
Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:
a) Первый случай:
б) Второй случай:
6) Решить уравнение:
Можно было бы действовать согласно правилу раскрытия модуля, но проще будет в данном случае рассуждать так:
Внутри модуля может «скрываться» как так и .
Из первого уравнения или , а второе уравнение корней не имеет.
7) Решить уравнение:
Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:
а) Первый случай:
Рассмотрим отдельно первую строку системы:
Рассмотрим уравнение из системы:
Разложим на множители левую часть уравнения способом группировки, предварительно разбив среднее слагаемое на два:
Откуда (трехчлен в скобках корней не имеет).
Данный корень удовлетворяет первой строке системы, он пойдет в ответ.
б) Второй случай:
Решение неравенства системы:
Корень удовлетворяет решению неравенства системы.
Также, смотрите «Модуль. Простейшие неравенства с модулем» здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
- Извлечение корня из большого числа
- Элементы треугольника. Медиана
- Графики тригонометрических функций. Тангенс, котангенс
- Углы в пространстве
- Ромб. Свойства и признаки ромба
- Обратная пропорциональность
Почему в уравнении 4 б сохраняется знак + перед 8x, ведь x отрицательный?