3.2.3 Построение касательных к двум окружностям
При вычерчивании контуров предметов сравнительно часто приходится строить общие касательные к двум дугам окружностей. Общая касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон касательной.
Построение общей внешней касательной к двум окружностям радиусами R и r (рисунок 47). Из центра окружности большего радиуса – точкиO1 описывают окружность радиусомR – r(рисунок 47, а). Находят середину отрезкаO2O1 – точкуO3и из нее проводят вспомогательную окружность радиусомO3O2 илиO3O1.Обе проведенные окружности пересекаются в точкахA иВ. ТочкиO1 иB соединяют прямой и в пересечении ее с окружностью радиусомR определяют точку касанияD (рисунок 47, б). Из точкиO2параллельно прямойO1D проводят линию до пересечения с окружностью радиусомrи получают вторую точку касанияC. ПрямаяCDявляется искомой касательной. Так же строится вторая общая внешняя касательная к этим окружностям (прямаяEF).
Построение общей внутренней касательной к двум окружностями радиусов R и r (рисунок 48). Из центра любой окружности, например: точкиO1, описывают окружность радиусомR +r (рисунок 48, а). Разделив отрезокO2O1 пополам, получают точкуO3. Из точкиO3как из центра описывают вторую вспомогательную окружность радиусомO3O2 = O3О1 и отмечают точки A и В пересечения вспомогательных окружностей. Соединив прямой точки A и O1 (рисунок 48, б), в пересечении ее с окружностью радиуса R получают точку касания D. Через центр окружности радиуса r проводят прямую, параллельную прямой O1D, и в пересечении ее с заданной окружностью определяют вторую точку касания С. Прямая CD – внутренняя касательная к заданным окружностям. Аналогично строится и вторая касательная EF.
3.3 Сопряжения с помощью дуги окружности
3.3.1 Сопряжение двух прямых дугой окружности
Все задачи на сопряжение дугой могут быть сведены к двум видам. Сопряжение осуществляется либо заданным радиусом сопрягающей дуги, либо через точку, заданную на одной из сопрягаемых линий. В том и другом случаях необходимо построить центр сопрягающей дуги.
Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданным радиусом Rc (рисунок 49, а). Так как сопрягающая дуга должна касаться заданных прямых, то центр ее должен быть удален от каждой прямой на величину равную радиусуRc. Сопряжение строят так. Проводят две прямые, параллельные заданным и удаленные от них на величину радиусаRcи в пересечении этих прямых отмечают точкуO – центр сопрягающей дуги. Из точкиОопускают перпендикуляр на каждую из заданных прямых. Основания перпендикуляров – точкиA иB – являются точками касания сопрягающей дуги. Такое построение сопряжения справедливо для двух пересекающихся прямых, составляющих любой угол. Для сопряжения сторон прямого угла можно воспользоваться также способом, указанным на рисунке 49, б.
Сопряжение двух пересекающихся прямых, на одной из которых задана точка касания А сопрягающей дуги (рисунок 50). Известно, что геометрическим местом центров дуг, сопрягающих две пересекающиеся прямые, является биссектриса угла, образованного этими прямыми. Поэтому, построив биссектрису угла, из точки касанияA восстанавливают перпендикуляр к прямой до пересечения его с биссектрисой и отмечают точку O – центр сопрягающей дуги. Опустив из точки О перпендикуляр на другую прямую, получают вторую точку касания В и радиусом Rc= OA = OB осуществляют сопряжение двух прямых, на одной из которых была задана точка касания.
Сопряжение двух параллельных прямых дугой, проходящей через заданную точку касания А (рисунок 51). Из точкиA восставляют перпендикуляр к заданным прямым и на пересечении его со второй прямой отмечают точкуB. ОтрезокAB делят пополам и получают точкуО– центр сопрягающей дуги радиусом
.
Внутренняя касательная к двум окружностям как построить
Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям
| Взаимное расположение двух окружностей |
| Общие касательные к двум окружностям |
| Формулы для длин общих касательных и общей хорды |
| Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды |
Взаимное расположение двух окружностей
| Фигура | Рисунок | Свойства |
| Две окружности на плоскости |  |
Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов
d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов
d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов
d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Каждая из окружностей лежит вне другой
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
| Фигура | Рисунок | Формула |
| Внешняя касательная к двум окружностям |  |
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле
что и требовалось доказать.
Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле
что и требовалось доказать.
Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле
Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,
Построение общей внутренней касательной к двум окружностям
Даны две окружности (а это значит, что даны и их центры O1 и O2). Требуется провести общую внутреннюю касательную к ним, то есть такую касательную, от которой данные окружности лежат по разные стороны.
Радиус большей окружности называем R, радиус меньшей окружности — r. Сначала вокруг меньшей окружности построим вспомогательную окружность с тем же центром и с радиусом, равным сумме радиусов двух данных окружностей (R + r). Затем построим из центра большей окружности вспомогательную касательную к вспомогательной окружности. Требуемая внутренняя касательная будет параллельна вспомогательной касательной. Отложим первый вспомогательный луч с началом в точке A. Замерим циркулем радиус большей окружности, и тем же раствором циркуля от начала первого луча отложим отрезок AB, равный R. Теперь циркулем замерим радиус меньшей окружности, и тем же раствором циркуля от точки B отложим отрезок BC, равный r. Получился отрезок AC, равный сумме радиусов двух данных окружностей (R + r). Замерим AC циркулем, и тем же раствором циркуля построим первую вспомогательную окружность с центром в O1. Теперь соединим отрезком центры O1 и O2. Произвольным раствором циркуля строим вторую вспомогательную дугу окружности с центром O1. И тем же раствором циркуля строим третью вспомогательную дугу окружности с центром O2 — так, чтобы третья дуга пересекала вторую в двух точках (называем их D и E). Соединяем D и E отрезком, который пересекает O1O2 в середине — эту точку называем F. Теперь замерим циркулем FO1 и этим раствором циркуля строим четвёртую вспомогательную окружность с центром в F на отрезке O1O2, как на диаметре. Эта четвёртая окружность пересекает первую вспомогательную окружность в двух точках (называем их G и H). Выбираем из этих двух точек ту, которая нам больше нравится (в данном построении это точка H), и соединяем прямой с точкой O2. Прямая HO2 — это касательная к первой вспомогательной окружности, проходящая через центр большой данной окружности. Прямая HO2 пересекла большую окружность в двух точках (называем их K и L). Эти точки равно отстоят от O2 и помогут нам построить перпендикуляр к HO2. Произвольным раствором циркуля проводим пятую вспомогательную дугу окружности с центром в K. Тем же раствором циркуля проводим шестую вспомогательную дугу окружности с центром в L — так, чтоб шестая дуга пересекала пятую в некоторой точке (называем точку M). Соединяем O2 и M прямой — эта прямая (перпендикуляр к HO2) пересекает большую данную окружность в некоторой точке (называем её N). Теперь через N проведём прямую, параллельную вспомогательной касательной HO2. Произвольным раствором циркуля строим седьмую вспомогательную окружность с центром в точке N — так, чтоб седьмая окружность пересекала HO2 в двух точках (точки называем P и Q). Тем же раствором циркуля строим восьмую вспомогательную окружность с центром в Q, и восьмая окружность пересекает вспомогательную касательную HO2 в двух точках (точки называем Z и S). Тем же раствором циркуля проводим девятую вспомогательную дугу окружности с центром в S — так, чтобы девятая дуга пересекала седьмую окружность в некоторой точке (точку называем T). Соединяем N и Т прямой — эта прямая NT и будет требуемой общей внутренней касательной к двум данным окружностям. И вот почему. NT проходит через конец радиуса O2N, лежащий на окружности. Также по построению NT параллельна HO2 и перпендикулярна радиусу O2N — следовательно, NT — касательная к большой данной окружности. Теперь проведём радиус O1H и точку его пересечения с прямой TN называем U. Радиус O1H перпендикулярен касательной O2H — значит, угол O2HU — прямой. Получилось, что в четырёхугольнике UHO2N есть три прямых угла — значит, и четвёртый угол HUN прямой, и UHO2N — прямоугольник, в котором сторона HU равна противоположной стороне O2N, то есть радиусу R. Теперь можем найти длину отрезка O1U (составляющего вместе с UH отрезок O1H). Длина равна разности длин O1H и HU, то есть (r + R) — R = r. Выходит, что U отстоит от O1 на r, то есть U лежит на меньшей данной окружности, а это значит, что TN, проходящая через U — проходит через конец радиуса O1U, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то есть TN — касательная к меньшей данной окружности. Построение закончено.
СОПРЯЖЕНИЕ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ
Возможны два варианта построений сопряжений двух окружностей:
· Задан радиус сопряжения.
· Задана точка сопряжения на одной из окружностей.
Сопряжение может быть внешним, внутренним и смешанным.
1. Сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса R (Рисунок16)
При внешнем сопряжении (рисунок 16) центр сопряжения О определяется пересечением двух геометрических мест – вспомогательных окружностей радиусов R1 + R и R2 + R, проведенных соответственно из центров сопрягаемых дуг, то есть из точек О1 и О2. Точки сопряжения А и В определяются как точки пересечения заданных дуг с прямыми ОО1 и ОО2.
При внутреннем сопряжении (рисунок 17) центр сопряжения О определяется пересечением двух геометрических мест – вспомогательных окружностей радиусов R – R1 и R – R2, проведенных соответственно из О1 и О2 (рисунок 17).
При смешанном сопряжении (рисунок 18) центр сопряжения О определяется в пересечении вспомогательных окружностей радиусов R — R1 и R + R2, проведенных соответственно из О1 и О2. Точки сопряжения А и В лежат на пересечении линий центров ОО1 и ОО2 с дугами заданных окружностей.
2. Сопряжение двух окружностей, если задано точка сопряжения А на одной из окружностей (рисунок 19).
Соединяют точку А с центром О1 и откладывают на этой прямой отрезок АС, равный R2. К середине отрезка СО2 восставляют перпендикуляр до пересечения с продолжением линии О1А. Точка О пересечения и является центром сопряжения. Вторая точка сопряжения В лежит на пересечении линии центров ОО2 с дугой второй окружности.
Рисунок 19
ПОСТРОЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ
Построение касательных к окружности основано на том, что касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
1. Касательная к окружности из точки А, лежащей вне окружности (рисунок 20).
Отрезок ОА, соединяющий данную точку с центром окружности, делят пополам и из полученной О1, как из центра описывают вспомогательную окружность радиусом R = О1А. Вспомогательная окружность пересекает заданную в точке С. Прямая АС является касательной к окружности, так как угол АСО прямой, как вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр.
2. Касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон от касательных.
2.1 Внешняя касательная к окружностям радиусов R1 и R2 (рисунок 21).
Из центра О1 большей окружности проводят вспомогательную окружность радиусом R1 – R2. Отрезок О1О2 делят пополам и проводят вспомогательную окружность радиусом R = О3О1. Точки пересечения этих окружностей соединяют с центром О1 и продолжают до пересечения с окружностью радиуса R1 в точках В и D. Эти точки являются точками касания окружности большего диаметра. Из центра О2 проводят прямые О2А и О2С, соответственно параллельные О1В и ОD, до пересечения с контуром окружности в точках А и С. Прямые АВ и СD – искомые внешние касательные к двум окружностям.
2.2 Внутренняя касательная к двум окружностям радиусов R1 и R2 (рисунок 22).
Рисунок 22
Из центра окружности О1 проводят вспомогательную окружность радиусом R1 + R2. Делят отрезок О1О2 пополам, и из полученной точки О3 проводят вторую вспомогательную окружность радиусом R = О3О1. Точки пересечения этих окружностей соединяют с центром О1 и на пересечении с окружностью радиуса R1 получают точки касания А и С. Из точки О2 проводят прямую, параллельную прямой О1А, и получают точку касания В на малой окружности. Аналогично построена точка касания D. Прямые АВ и СD – искомые внутренние касательные к двум окружностям.
Сопряжения
Очертания многих предметов представляют собой сочетание ряда линий, в большинстве своём плавно переходящих одна в другую.
Плавный переход одной линии в другую называют касанием, а точку, в которой происходит касание, точкой касания или перехода (рис. 49).
Рис. 49
Через любую точку касания можно провести общую касательную, которая будет перпендикулярна к радиусам дуг, проведенным в точку касания.
Плавный переход одной линии в другую при помощи промежуточной линии называют сопряжением. На рис. 50 такой линией является дуга АВ радиуса Rc. Её называют дугой сопряжения, радиус R c — радиусом сопряжения, а центр сопрягающей дуги – центром сопряжения.
Рис. 50
При сопряжении всегда имеются две точки перехода и через каждую из них можно провести по одной общей касательной.
Таким образом, построение сопряжений основано на свойствах касательной к дуге окружности и касания двух дуг окружностей.
Построение касательной к окружности в заданной на ней точке.
Через точку А и центр О (рис. 51) проводят прямую и в точке А восстанавливают к ней перпендикуляр (построение перпендикуляра к прямой в заданной на ней точке рассмотрено на рис. 32).
рис. 32
Построение касательной к окружности из точки А вне окружности.
Центр окружности О и точку А соединяют прямой (рис. 52). Отрезок OA принимают за диаметр вспомогательной окружности. Разделив отрезок OA пополам, получают точку О1 .
Из точки О1 описывают окружность радиусом O1 A, которая пересекает заданную окружность в точках касания В и С.
Построение касательных окружностей.
При внешнем касании окружностей центры О1 и О2 расположены на расстоянии R+r друг от друга. Точка касания лежит на прямой, соединяющей центры О1 и О2 , а общая касательная MN к этой прямой в точке А перпендикулярна (рис. 53а).
При внутреннем касании расстояние между центрами касающихся окружностей равно разности радиусов R-r. Точка касания А расположена на продолжении прямой, соединяющей центры О1 и О2 (рис. 53б).
Рис. 53
Построение общей внешней касательной к двум окружностям.
Из центра O 1 большей окружности описывают окружность радиусом R-r (рис. 54а).
Находят середину отрезка O1 O2 – точку О3 и из неё проводят окружность радиусом O1 O3 .
Обе проведенные окружности пересекаются в точках А и В. Точки O1 и В соединяют прямой и в пересечении её с окружностью радиуса R определяют точку касания D (рис. 54б). Из точки О 2 параллельно прямой O1 D проводят линию до пересечения с окружностью радиуса г и получают вторую точку касания С.
Рис. 54
Построение общей внутренней касательной к двум окружностям.
Из центра любой окружности описывают окружность радиусом R+r (рис. 55а). Разделив отрезок O1 O2 пополам, получают точку O 3 . Из точки O 3 описывают окружность радиусом O1O3 и отмечают точки А и В пересечения вспомогательных окружностей. Соединив точки O1 и А прямой (рис. 55б), получают точку касания D. Через точку O 2 , проводят прямую, параллельную O1A, и получают вторую точку касания С.
Рис. 55
Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданного радиуса.
Проводят две прямые, параллельные заданным и удалённые от них на величину радиуса Rc (рис. 56а). В пересечении отмечают точку О – центр сопряжения. Из точки О опускают перпендикуляры на заданные прямые и получают точки касания А и В дуги сопряжения. Такое построение справедливо для любого угла между заданными прямыми.
Для сопряжения сторон прямого угла можно воспользоваться способом, указанным на рис. 56б.
Рис. 56
Сопряжение дуги и прямой дугой окружности заданного радиуса.
Может быть два случая такого сопряжения: внешнее касание сопрягающей дуги с заданной (рис. 57а) и внутреннее (рис. 57б). При внешнем касании из центра О1 проводят дугу радиусом R+R c и прямую, параллельную заданной, на расстоянии R c от неё. На пересечении получают точку О центра сопряжения. На прямой ОО1 отмечают точку касания А. Точку В касания получают, опустив перпендикуляр из центра О на заданную прямую.
Рис. 57
При внутреннем касании построения аналогичны, только радиус вспомогательной дуги равен Rс-R.
Сопряжение двух дуг дугой окружности заданного радиуса.
Различают три вида такого сопряжения: внешнее, внутреннее и смешанное.
При внешнем сопряжении (рис. 58а) центр сопряжения О располагается на пересечении дуг радиусов R+R c и r+R c , проведенных из центров О1 и О 2 . Точки касания А и В определяются как точки пересечения заданных дуг с прямыми ОО1 и ОО 2 .
При внутреннем сопряжении (рис. 58б) проводят вспомогательные дуги радиусами R c -R и R c -r из центров О1 и О 2 . Через точки ОО1 и ОО 2 проводят прямые до пересечения с заданными дугами и находят точки касания А и В.
При смешанном сопряжении (рис. 58в) построения аналогичны и ясны из чертежа.
Рис. 58
Построение сопряжений
Часто при изображении на чертеже контура детали приходится выполнять плавный переход одной линии в другую (плавный переход между прямыми линиями или окружностями) для выполнения конструктивных и технологических требований. Плавный переход одной линии в другую называют сопряжением.
Для построения сопряжений необходимо определить:
- • центры сопряжений (центры, из которых проводят дуги);
- • точки касания/точки сопряжения (точки, в которых одна линия переходит в другую);
- • радиус сопряжения (если он нс задан).
Рассмотрим основные типы сопряжений.
Сопряжение (касание) прямой и окружности
Построение прямой, касательной к окружности. При построении сопряжения прямой и окружности используется известный признак касания этих линий: прямая, касательная к окружности, составляет прямой угол с радиусом, проведенным в точку касания (рис. 1.12).
Рис. 1.12. Касание прямой и окружности:
К — точка касания
Для проведения касательной к окружности через точку Л, лежащую вне окружности, необходимо:
- 1) соединить заданную точку А (рис. 1.13) с центром окружности О;
- 2) отрезок ОА разделить пополам (ОС = СА, см. рис. 1.7) и провести вспомогательную окружность радиусом СО (или СА);
Рис. 1.13. Построение касательной прямой к окружности
3) точку /С, (или К.» поскольку задача имеет два решения) соединить с точкой А.
Линия АК^ (или АК.,) является касательной к заданной окружности. Точки Ki и К2— точки касания.
Следует отметить, что рис. 1.13 иллюстрирует также один из способов точного графического построения двух перпендикулярных прямых (касательной и радиуса).
Построение прямой, касательной к двум окружностям. Обращаем внимание читателя на то, что задачу построения прямой, касательной к двум окружностям, можно рассматривать как обобщенный случай предыдущей задачи (построение касательной из точки к окружности). Сходство этих задач прослеживается из рис. 1.13 и 1.14.
Внешнее касание двух окружностей. При внешнем касании (см. рис. 1.14) обе окружности лежат но одну сторону от прямой.
На рис. 1.14 изображены малая окружность радиусом R с центром в точке А и большая окружность радиусом R< с центром в точ-
Рис. 1.14. Построение внешней касательной к двум окружностям ке О. Чтобы построить внешнюю касательную к этим окружностям, необходимо выполнить следующие действия:
- 1) через центр О большей окружности провести вспомогательную окружность радиусом (/?, — R);
- 2) построить касательные к вспомогательной окружности из точки А (центр малой окружности). Точки К< и К., — точки касания прямых и окружности (заметим, что задача имеет два решения);
- 3) точки К< и К2 соединить с центром О и продолжить эти линии до пересечения с окружностью радиусом Rv Точки пересечения Кли /С, являются точками касания (сопряжения);
- 4) через точку А провести радиусы, параллельные линиям ()КЛи ОКг Точки пересечения этих радиусов с малой окружностью — точки К-и Кл являются точками касания (сопряжения);
- 5) соединив точки Кл и /С(;, а также Кл и К5, получить искомые касательные.
Внутреннее касание двух окружностей (окружности лежат по разные стороны от прямой, рис. 1.15) выполняется по аналогии с внешнем касанием, с той лишь разницей, что через центр О большей окружности проводится вспомогательная окружность радиусом /?, + R. Па рис. 1.15 изображено два возможных решения задачи.
Рис. 1.1 5. Построение внутренней касательной к двум окружностям
Сопряжение пересекающихся прямых дугой окружности заданным радиусом. Построение (рис. 1.16) сводится к построению окружности радиусом R, касающейся одновременно обеих заданных линий.
Для нахождения центра этой окружности проводим две вспомогательные прямые, параллельные заданным, на расстоянии R от каждой из них. Точка пересечения этих прямых является центром О дуги сопряжения. Перпендикуляры, опущенные из центра О на заданные прямые, определяют точки сопряжения (касания) /С, и К2.
Рис. 1.16. Сопряжение пересекающихся прямых дугой окружности
Рис. 1.17. Построение сопряжения окружности и прямой дугой заданным радиусом R:
а — внутреннее касание; б — внешнее касание
Сопряжение окружности и прямой дугой заданным радиусом.
Примеры построения сопряжений окружности и прямой дугой заданным радиусом R приведены на рис. 1.17.