Как графически решить уравнение в excel

решение уравнений в excel

Цель работы: Изучение возможностей пакета Ms Excel 2007 при решении нелинейных уравнений и систем. Приобретение навыков решения нелинейных уравнений и систем средствами пакета.

Задание1. Найти корни полинома x 3 — 0,01x 2 — 0,7044x + 0,139104 = 0.

Для начала решим уравнение графически. Известно, что графическим решением уравнения f(x)=0 является точка пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, т.е. такое значение x, при котором функция обращается в ноль.

Проведем табулирование нашего полинома на интервале от -1 до 1 с шагом 0,2. Результаты вычислений приведены на ри., где в ячейку В2 была введена формула: = A2^3 — 0,01*A2^2 — 0,7044*A2 + 0,139104. На графике видно, что функция три раза пересекает ось Оx, а так как полином третьей степени имеется не более трех вещественных корней, то графическое решение поставленной задачи найдено. Иначе говоря, была проведена локализация корней, т.е. определены интервалы, на которых находятся корни данного полинома: [-1,-0.8], [0.2,0.4] и [0.6,0.8].

Теперь можно найти корни полинома методом последовательных приближений с помощью команды Данные→Работа с данными→Анализ «Что-Если» →Подбор параметра.

После ввода начальных приближений и значений функции можно обратиться к команде Данные→Работа с данными→Анализ «Что-Если» →Подбор параметра и заполнить диалоговое окно следующим образом.

В поле Установить в ячейке дается ссылка на ячейку, в которую введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения (уравнение должно быть записано так, чтобы его правая часть не содержала переменную). В поле Значение вводим правую часть уравнения, а в поле Изменяя значения ячейки дается ссылка на ячейку, отведенную под переменную. Заметим, что вводить ссылки на ячейки в поля диалогового окна Подбор параметров удобнее не с клавиатуры, а щелчком на соответствующей ячейке.

После нажатия кнопки ОК появится диалоговое окно Результат подбора параметра с сообщением об успешном завершении поиска решения, приближенное значение корня будет помещено в ячейку А14.

Два оставшихся корня находим аналогично. Результаты вычислений будут помещены в ячейки А15 и А16.

Задание 2. Решить уравнение e x — (2x — 1) 2 = 0.

Проведем локализацию корней нелинейного уравнения.

Для этого представим его в виде f(x) = g(x) , т.е. e x = (2x — 1) 2 или f(x) = e x , g(x) = (2x — 1) 2 , и решим графически.

Графическим решением уравнения f(x) = g(x) будет точка пересечения линий f(x) и g(x).

Построим графики f(x) и g(x). Для этого в диапазон А3:А18 введем значения аргумента. В ячейку В3 введем формулу для вычисления значений функции f(x): = EXP(A3), а в С3 для вычисления g(x): = (2*A3-1)^2.

Результаты вычислений и построение графиков f(x) и g(x):

На графике видно, что линии f(x) и g(x) пересекаются дважды, т.е. данное уравнение имеет два решения. Одно из них тривиальное и может быть вычислено точно:

Для второго можно определить интервал изоляции корня: 1,5 < x < 2.

Теперь можно найти корень уравнения на отрезке [1.5,2] методом последовательных приближений.

Введём начальное приближение в ячейку Н17 = 1,5, и само уравнение, со ссылкой на начальное приближение, в ячейку I17 = EXP(H17) — (2*H17-1)^2.

Далее воспользуемся командой Данные→Работа с данными→Анализ «Что-Если» →Подбор параметра.

и заполним диалоговое окно Подбор параметра.

Результат поиска решения будет выведен в ячейку Н17.

Задание 3. Решить систему уравнений:

Прежде чем воспользоваться описанными выше методами решения систем уравнений, найдем графическое решение этой системы. Отметим, что оба уравнения системы заданы неявно и для построения графиков, функций соответствующих этим уравнениям, необходимо разрешить заданные уравнения относительно переменной y.

Для первого уравнения системы имеем:

Выясним ОДЗ полученной функции:

Второе уравнение данной системы описывает окружность.

Фрагмент рабочего листа MS Excel с формулами, которые необходимо ввести в ячейки для построения линий, описанных уравнениями системы. Точки пересечения линий изображенных являются графическим решением системы нелинейных уравнений.

Не трудно заметить, что заданная система имеет два решения. Поэтому процедуру поиска решений системы необходимо выполнить дважды, предварительно определив интервал изоляции корней по осям Оx и Oy . В нашем случае первый корень лежит в интервалах (-0.5;0)_x и (0.5;1)_y, а второй — (0;0.5)_x и (-0.5;-1)_y. Далее поступим следующим образом. Введем начальные значения переменных x и y, формулы отображающие уравнения системы и функцию цели.

Теперь дважды воспользуемся командой Данные→Анализ→Поиск решений, заполняя появляющиеся диалоговые окна.

Сравнив полученное решение системы с графическим, убеждаемся, что система решена верно.

Практическая работа "Графический метод решения уравнений в Excel"

Построим таблицу значений функции. Заполним столбец x значениями от -10 до 10. Значения y будем вычислять по формуле: =10*SIN(A2)-2*A2*A2+5 (формула для ячейки B2).

Построив график, найдем точки пересечения графика с осью OX. Это и есть приближенное решение.

Приближенное решение уравнения: -0.5 и 2.5.

Просмотр содержимого документа
«Практическая работа «Графический метод решения уравнений в Excel»»

Графический метод решения уравнений.

Найти графическим методом корень уравнения 10sin(x)-2x 2 +5=0.

Построим таблицу значений функции. Заполним столбец x значениями от -10 до 10. Значения y будем вычислять по формуле: =10*SIN(A2)-2*A2*A2+5 (формула для ячейки B2).

Построив график, найдем точки пересечения графика с осью OX. Это и есть приближенное решение.

Приближенное решение уравнения: -0.5 и 2.5.

Исследование физических моделей

Рассмотрим процесс решения задачи на конкретном примере: Тело брошено с некоторой высоты с начальной скоростью, направленной под углом к горизонту. Определить угол, при котором дальность полета будет максимальной.

Содержательная постановка задачи. В процессе тренировок теннисистов используются автоматы по бросанию мячика в определенное место площадки. Необходимо задать автомату необходимую скорость и угол бросания мячика для попадания в мишень определенного размера, находящуюся на известном расстоянии.

1) Описательная модель. Сначала построим качественную описательную модель процесса движения тела с использованием физических объектов, понятий и законов, то есть в данном случае идеализированную модель движения объекта. Из условия задачи можно сформулировать следующие основные предположения:

тело мало по сравнению с Землей, поэтому его можно считать материальной точкой;

изменение высоты тела не велико, поэтому ускорение свободного падения считать постоянной величиной g = 9,8 м/с 2 и движение по оси OY можно считать равноускоренным;

скорость движения мала, поэтому сопротивлением воздуха можно пренебречь.

2) Формальная модель. Из курса физики известно, что описанное выше движение является равноускоренным. Координаты тела в любой момент времени можно найти по формулам:

Для формализации модели используем известные из курса физики формулы равномерного и равноускоренного движения. При заданных начальной скорости и и угле бросания а значения координат дальности полета х и высоты у от времени можно описать следующими формулами:

или

или

3) Компьютерная модель. Преобразуем формальную модель в компьютерную с использованием электронных таблиц. Выделим ячейки для ввода начальных данных: нач. скорость, нач. высота, угол. Построим таблицу для вычисления координат x и y.

Графическое решение уравнений и систем уравнений в Excel

Единственный в мире Музей Смайликов

Самая яркая достопримечательность Крыма
Скачать 274.09 Kb.

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра РАПС

по лабораторной работе №12

по дисциплине «Информатика»

Тема: Графическое решение уравнений и систем уравнений в Excel

Цель работы: ознакомиться с графическими методами решения уравнений и систем уравнений.

Задание 1. Решить графически уравнение y = cos 2 (pi*x) на интервале [0; 1].
1. Открыл Excel;

2. Составил таблицу значений переменных для уравнения. Значения переменной «x» взяты на интервале x ∈ [0; 1] с шагом Δ х = 0,1. Значения переменной «y» вычислил при помощи формулы (=COS(A3*С$3)^2).

4. В решение потребуется значение числа «π». Ввёл его значение как «3,1415».

5. Получил таблицу:

6. С помощью данной таблицы построил график функции:

Задание 2. Решить графически уравнение х 3 – 4х 2 – 3х + 6 = 0.

2. Аналогично первому задания построил таблицу, при помощи которой можно графически решить уравнения. Кубическое уравнение будет иметь 3 корня. Для поиска этих корней нужно выбрать подходящий интервал значений переменной «x». Значение переменной «x» взято на интервале x ∈ [-2; 4,8] с шагом Δ х=0,4, а значения для первого (y₁=x 3 ) и второго (y₂=4x 2 +3x-6) графика вычислил при помощи соответствующих формул (=A3^3 и 4*A3^2+3*A3-6 соответственно).

3. В итоге получил таблицу:

4. С помощью данной таблицы построил график функции:

5. Точки пересечения графиков будут являться корнями заданного уравнения (x₁=-1,2; x₂=1,2; x₃=4,4);

Задание 3. Решить графически систему уравнений в диапазоне х ∈ [0; 3] с шагом Δ х = 0,2.

1. Аналогично второму заданию нужно найти пересечения двух графиков функции, т.к. точки пересечения графиков – корни уравнения.

2. Построил таблицу для графического решения системы. Значения переменной взяты в диапазоне x ∈ [0; 3] с шагом Δ х = 0,2. Значения первого (y₁=sin(x)) и второго (y₂=cos(x)) графиков нашёл с помощью формул (: =SIN(A3) и =COS(A3));

3. Получил таблицу:

4. С помощью составленной таблицы построил график данной системы:

5.Точка пересечения графиков x=0,8; y=0,697 – решение уравнения.

Задание 4. Решить систему уравнений согласно индивидуальному заданию (вариант 5).

20. Аналогично третьему заданию составил таблицу по решению системы уравнений и построил график по данной таблице;

21. Система задана двумя графиками y=cos(x) и y=2x в диапазоне x ∈[0,2;3] с шагом Δ х=0,1. Значения графиков нашёл с помощью специальных формул ( =СOS(A3) и =2*A3 соответственно);

22. Получил таблицу:

23. По составленной таблице построил графики функций:

24. Решением системы конкретно в этом диапазоне являются координаты x=0,5 и y=1.

Графический способ решения уравнений в среде Microsoft Excel 2007. — презентация

Презентация на тему: » Графический способ решения уравнений в среде Microsoft Excel 2007.» — Транскрипт:

1 Графический способ решения уравнений в среде Microsoft Excel 2007

2 0 Х У Задание 1. Соотнесите перечисленные ниже функции с графиками на чертеже: у = 6 — х; у = 2 х + 3; у = (х + 3) 2 ; у = -(х — 4) 2 ;

3 Корнями уравнения f(x)=0 являются значения х 1, х 2, … точек пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс. Графический способ решения уравнений вида f(x)=0 0 Х У у=f(х) х 1 х 1 х 2 х 2 х 3 х 3 х 4 х 4 х 5 х 5 х 1, х 2, х 3, х 4, х 5 – корни уравнения f(x)=0

4 Задание 2. у=х 2 -2 х-3 Найдите корни уравнения х 2 -2 х-3 = 0, используя графический способ решения уравнений. х 1 = -1; х 2 = 3 3

5 Корнями уравнения f(x)=g(x) являются значения х 1, х 2, …. точек пересечения графиков функций y=f(x) и у=g(x). Графический способ решения уравнений вида f (x)=g (x) 0 Х У у=f(х) х 1 х 1 х 2 х 2 у=g(х) х 1, х 2 – корни уравнения f (x)=g (x)

6 Задание 3. у=6-х х= 4 Найдите корни уравнения, используя графический способ решения уравнений. 4

7 1. Представьте функцию у=-х 2 +5 х-4 в табличной форме – протабулируйте на промежутке [ 0; 5 ] с шагом 0,25: 2. Постройте диаграмму типа График. 3. Определите корни уравнения. Пример 1. Используя средства построения диаграмм в Excel, решите графическим способом уравнение -х 2 +5 х-4=0. х 1 =1; х 2 =4 Графический способ решения уравнений вида f(x)=0

8 1. Представьте функции в табличной форме – протабулируйте на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25; 2. Постройте диаграмму типа График. 3. Определите корни уравнения (абсциссы точек пересечения графиков). х=0 Графический способ решения уравнений вида f (x)=g (x) Пример 2. Решите графическим способом уравнение

9 Метод Подбор параметра. Графический способ решения уравнений является приближенным. Метод Подбор параметра позволяет находить приближенные значения корней уравнения с заданной точностью.

10 1. Постройте график функции у=-х 2 +5 х-3, отредактировав полученные в Примере 1 формулы ( выполните двойной щелчок по ячейке B2, внесите необходимые изменения; с помощью маркера выделения скопируйте формулу во все ячейки диапазона C2:V2). 2. Определите приближенных значений корней уравнения (абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ) 3. Найдите приближенные значения корней уравнения с точностью до 0,0001 методом Подбор параметра х 1 0,6972; Метод Подбор параметра. Пример 3. Определите корни уравнения -х 2 +5 х-3=0 с точностью до 0,0001 х 1 0,7; х 2 4,3 х 2 4,3029

11 Метод Подбор параметра. Задание. Используя метода Подбор параметров, найти корни уравнения с точностью до 0, Постройте график функции на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0, Определите приближенных значений корней уравнения (абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ). 3. Найдите приближенные значения корней уравнения с точностью до 0,001 методом Подбор параметра

12 1. График функции на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0, Приближенное значение корня уравнения (абсцисса точки пересечения графика с осью ОХ) 3. Приближенное значение корня уравнения с точностью до 0,001 х 1,438 Метод Подбор параметра. х 1,4 Задание. Используя метода Подбор параметров, найти корни уравнения с точностью до 0,001 Проверка задания.

13 Графический способ решения уравнений вида f(x)=0 1. Рассмотреть функцию у=f(x). 2. Представить функцию у=f(x) в табличной форме. 3. Построить диаграмму типа График. 4. Определить приближенные значения корней уравнения (абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ) 5. При необходимости найти приближенные значения корней уравнения с требуемой точностью методом Подбор параметра

14 Графический способ решения уравнений вида f(x)=g(x) 1. Рассмотреть функции у=f(x) и у=g(x). 2. Представить функции у=f(x) и у=g(x) в табличной форме. 3. В одной системе координат построить графики функций. 4. Определить приближенные значения корней уравнения (абсциссы точек пересечения графиков)

15 Домашнее задание: Используя средства построения диаграмм в Excel и метод Подбор параметра, определите корни уравнения х 2 -5 х+2=0 с точностью до 0,01.