Значащие цифры
Определение 1.6. Значащими цифрами в записи приближенного числа называются:
— все ненулевые цифры;
— нули, содержащиеся между ненулевыми цифрами;
— нули, являющиеся представителями сохраненных десятичных разрядов при округлении.
В следующих примерах значащие цифры подчеркнуты.
Пример 1.6. 2.305; 0.0357; 0.001123; 0.035299879 = 0.035300.
При округлении числа 0.035299879 до шести знаков после запятой получается число 0.035300, в котором последние два нуля являются значащими. Если отбросить эти нули, то полученное число 0.0353 не является равнозначным с числом 0.035300 приближенным значением числа 0.035299879, так как погрешности указанных приближенных чисел отличаются.
Определение 1.7. Первые n значащих цифр в записи приближенного числа называются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего n-й значащей цифре, считая слева направо.
Наряду с данным определением иногда используется другое.
Определение 1.8. Первые n значащих цифр в записи приближенного числа называются верными в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего n-й значащей цифре.
Пример 1.7. Определить верные цифры приближенного значения аp = 2.721 числа е, если известно, что е = = 2.718281828.
Очевидно, что | аp – е | = | 2.721 – 2.71828. | < 0.003 < 0.005. Следовательно, верными являются только три первые цифры (в узком и широком смысле), последнюю цифру можно отбросить, ар = 2.72.
Пример 1.8. Пусть х = 1.10253 ± 0.00009. Верными являются первые четыре значащие цифры, а цифры 5 и 3 не удовлетворяют определению. В широком смысле верными являются первые пять цифр.
Пример 1.9. При записи следующих физических констант указаны три верные значащие цифры:
а) гравитационная постоянная у = 6.67 • 10 -11 Н • м 2 /кг 2 ;
б) скорость света в вакууме С = 3.00 • 10 8 м/с;
в) постоянная Планка h = 6.63 • 10 -34 Дж • с.
Замечание. Термин «верные значащие цифры» нельзя понимать буквально. Например, современное опытное значение скорости света в вакууме составляет С = 2.997925 • 10 8 м/с. Очевидно, что ни одна значащая цифра в примере 1.9, б не совпадает с соответствующей точной цифрой, но абсолютная погрешность меньше половины разряда, соответствующего последней значащей цифре в записи 3.00 • 10 8 :
|3.00 • 10 8 – 2.997925 • 10 8 | < 0.003 • 10 8 < 0.01 • 10 8 /2 = 0.005 • 10 8 .
Правило округления чисел
Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все цифры, стоящие справа от n-й значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями. При этом:
1) если первая отброшенная цифра меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняют без изменения;
2) если первая отброшенная цифра больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляют единицу;
3) если первая отброшенная цифра равна 5 и среди остальных отброшенных цифр есть ненулевые, то к последней оставшейся цифре прибавляют единицу;
4) если первая из отброшенных цифр равна 5 и все отброшенные цифры являются нулями, то последняя оставшаяся цифра оставляется неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если — нечетная (правило четной цифры).
Это правило гарантирует, что сохраненные значащие цифры числа являются верными в узком смысле, т. е. погрешность округления не превосходит половины разряда, соответствующего последней оставленной значащей цифре. Правило четной цифры должно обеспечить компенсацию знаков ошибок.
Пример 1.10. Приведем примеры округления до четырех значащих цифр:
а) 3.1415926 = 3.142;
Δp = |3.142 – 3.1415926| < 0.00041 < 0.0005;
б) 1 256 410 = 1 256 000;
Δp = |1 256 000 — 1 256 410| < 500;
в) 2.997925 • 10 8 = 2.998 • 10 8 ;
Δp = |2.998 • 10 8 – 2.997925 • 10 8 | = 0.000075 • 10 8 < 0.0005 • 10 8 .
Следующая теорема выявляет связь относительной погрешности числа с числом верных десятичных знаков.
Теорема 1.1. Если положительное приближенное число имеет n верных значащих цифр, то его относительная погрешность δ не превосходит величины 10 1- n деленной на первую значащую цифру αn,:
Формула (1.11) позволяет вычислить предельную относительную погрешность
Пример 1.11. Найти относительную и абсолютную погрешности приближенных чисел: а) 3.142, б) 2.997925 • 10 8 .
а) Здесь n = 4, αn = 3. Используем формулу (1.12) для оценки относительной погрешности: δ =10 1- n / αn = 0.001/3 ≈ 0.00033.
Для определения абсолютной погрешности применим формулу (1.10):
б) Аналогично вычислим: n = 7, αn = 2, δа = 10 1- n / αn = 0.000001/2 = 0.0000005;
Δa = |ар| δа = 2.997925 10 8 • 0.0000005 ≈ 150.
Сколько значащих разрядов в числе 0 1234567890
- все ненулевые цифры;
- нули между ненулевыми цифрами;
- нули сохраненных десятичных разрядов при округлении.
3.207; 0.0523; 0.002311; 0.035299879 ≈ 0.035300.
Классы и разряды
Видеоурок по этой теме можно посмотреть по ссылке: Разряды и классы. Десятичная система счисления.
Пройти тест по теме «Натуральные числа и действия над ними» можно по ссылке. Проверьте свои знания!
Мы выяснили, что в записи натурального числа значение, роль любой цифры зависит от места ее расположения в числе.
Разряд – это позиция, место расположения цифры в записи числа, начиная справа.
То есть, таблицу 2. в разделе чтение и запись натуральных чисел можно переписать следующим образом:
Таблица 1. Значение разрядов натуральных чисел.
Каждой ваше пожертвование увеличивает количество полезной и интересной информации на сайте Easy-Math.ru!
Кроме единиц 1-го разряда, которые носят имя простые , все остальные именуются составные .
Любая составная единица, которая находится на позиции большего разряда, чем другая, называется единицей высшего разряда . Другая, соответственно, носит название единица низшего разряда .
Например, единицы 6-го разряда – это высший разряд по отношению к единицам 3-го разряда, и низшим разрядом по сравнению с единицами 9-го разряда.
Самый младший разряд, как видно из таблицы, это разряд единиц . Цифра этого разряда всегда находится в конце любого натурального числа, то есть, это самая правая цифра.
Например, в числе 7777 четыре цифры 7, стоящих в разных разрядах, первом, втором, третьем и четвертом.
Цифра 7 , которая стоит здесь на первом месте справа , означает 7 единиц (простых), на втором месте справа – 7 десятков , на третьем месте справа – 7 сотен , на четвертом месте справа – 7 единиц тысяч (говорят просто: семь тысяч).
Если в натуральном числе нет ни одной единицы какого-либо разряда, тогда в этом разряде пишется цифра 0 (нуль).
В начале числа (слева) нули не ставятся.
Записывать число 503 как 0503, 00503, 000503 и т.д. – неправильно .
Число 503 содержит 5 сотен, 0 десятков, 3 единицы.
Подобная запись числа по наименованию разрядов, входящих в его состав, называется разрядный состав числа . Подробнее об этом читайте в разделе «Разрядные слагаемые».
Любые 10 единиц какого-нибудь разряда создают 1 единицу следующего за ним большего разряда. К примеру, 10 простых единиц создают 1 десяток, 10 сотен создают 1 тысячу.
И наоборот, любая единица высшего разряда включает в себя 10 единиц следующего за ней низшего разряда.
Из таблицы 1 можно заметить, что определенные части в наименовании значений, а именно: единицы, десятки, сотни, повторяются с различными дополнениями, такими как тысячи, миллионы, миллиарды. Например, единицы сотен и единицы миллиардов, сотни миллионов и сотни тысяч и пр.
Поэтому можно сгруппировать разряды единиц по три в каждом , начиная с самого маленького, то есть, справа.
Класс – это группа разрядов, содержащая в себе три разряда: единицы, десятки и сотни.
Классы, как и разряды, считают справа налево.
При записи многозначного числа можно оставлять небольшой пробел между разными классами, либо разделять их точками. Делается это для удобства чтения натуральных чисел.
Сколько содержится в числе единиц какого-нибудь разряда
Рассмотрим на примере. Допустим, необходимо определить, сколько всего десятков содержит в себе число 28924, то есть, сколько их содержится в десятках тысяч, в тысячах, в сотнях и в десятках данного числа вместе.
Простые десятки стоят на втором справа месте в числе. В нашем примере на этом месте находится цифра 2, это означает, что в данном числе два простых десятка. Следующая влево цифра – это 9, она показывает количество сотен. Но каждая простая сотня содержит в себе 10 десятков , поэтому в 9 сотнях их заключено 90. Слева от девятки, на четвертой позиции, стоит цифра 8, которая означает количество тысяч. Зная, что каждая тысяча содержит в себе 10 сотен, а, следовательно, 100 десятков , легко понять, что 8 тысяч заключают в себе 800 десятков. Следом за цифрой 8 влево идет цифра 2, она означает десятки тысяч. Но каждый десяток тысяч содержит в себе 10 тысяч, то есть, 100 сотен, и, следовательно, 1000 десятков , поэтому в 20 тысячах заключено 2000 десятков.
Итак, всего число в нашем примере содержит 2000 десятков, да еще 800 десятков, да еще 90 десятков, и еще 2 десятка, то есть, 2892 десятка.
Аналогичным образом можно узнать, что в числе из нашего примера содержится 289 сотен.
Для того, чтобы узнать, сколько всего единиц какого-нибудь разряда содержится в любом числе, необходимо мысленно убрать из него все единицы более низких разрядов, после чего прочитать то число, которое получилось.
Еще один пример: число 54.128.312 содержит: 5.412.831 десятков, 541.283 сотен, 54.128 тысяч, 5.412 десятков тысяч, 541 сотен тысяч, 54 миллиона, 5 десятков миллионов.
Значимые числа — Significant figures
значащие цифры (также известные как значащие цифры или точность ) числа, записанного в позиционной записи, являются цифрами, которые вносят значимый вклад в его разрешающую способность измерения. Сюда входят все цифры, кроме:
- Все начальные нули. Например, «013» имеет две значащие цифры: 1 и 3 , когда они являются просто заполнителями для обозначения масштаба числа (точные правила объяснены в идентификации значащих цифр) цифры, введенные, например, в результате вычислений, выполненных с большей точностью, чем точность исходных данных, или измерений, сообщаемых с большей точностью, чем поддерживает оборудование.
Из значащих цифр в числе наиболее значащий — это позиция с наибольшим значением экспоненты (крайнее левое в обычном десятичном представлении), а наименее значащее — это позиция с наименьшим значением экспоненты (крайнее правое в обычном десятичном представлении). Например, в числе «123» цифра «1» является наиболее значимой, так как в ней учитываются сотни (10), а «3» — наименее значимая цифра, поскольку при подсчете единиц (10).
Арифметика значимости — это набор приблизительных правил для приблизительного поддержания значимости на протяжении всего вычисления. на. Более сложные научные правила известны как распространение неопределенности.
Числа часто округляются, чтобы не сообщать незначительные цифры. Например, было бы создано ложная точность, чтобы выразить измерение как 12,34525 кг (с семью значащими цифрами), если бы весы измеряли только с точностью до ближайшего грамма и давали показание 12,345 кг (которое имеет пять значащих цифр).). Числа также могут быть округлены просто для простоты, а не для обозначения заданной точности измерения, например, чтобы они быстрее произносились в выпусках новостей.
Основание 10 предполагается ниже.
Содержание
- 1 Определение значащих цифр
- 1.1 Объяснение правил использования значащих цифр
Определение значащих цифр
Объяснение правил значащих цифр
Цифры в красном значимые фигуры; черные цифры не являются. Правила определения значащих цифр при написании или интерпретации чисел следующие:
- Все ненулевые цифры считаются значащими. Например, у 91 есть две значащие цифры (9 и 1), а у 123,45 — пять значащих цифр (1, 2, 3, 4 и 5).
- Нули, встречающиеся между двумя значащими цифрами, являются значащими: 101.1203 имеет семь значащих цифр: 1, 0, 1, 1, 2, 0 и 3.
- Нули слева от значащих цифр (ведущие нули) не имеют значения. Например, 0,00052 имеет две значащие цифры: 5 и 2.
- Нули справа от ненулевых цифр (конечные нули) значимы, если они находятся справа от десятичной точки, поскольку они необходимы только для обозначения точности. Однако конечные нули в разряде единиц или выше могут иметь значение, а могут и не иметь значения, в зависимости от точности измерения. Таким образом, 1,20 и 0,0980 имеют три значащих цифры, тогда как 45 600 могут иметь 3, 4 или 5 значащих цифр. Обратите внимание, что 120,00 будет иметь пять значащих цифр — ноль слева от десятичной дроби имеет значение, потому что он находится между двумя значащими цифрами (2 и нули справа от десятичной точки).
Значимость конечных нулей в число, не содержащее десятичной точки, может быть неоднозначным. Например, не всегда может быть ясно, является ли число 1300 точным с точностью до ближайшей единицы (и просто случайно оказывается точным кратным сотне) или если оно отображается только с точностью до ближайших сотен из-за округления или неточности. Для решения этой проблемы существует множество соглашений. Однако они не используются повсеместно и будут эффективны только в том случае, если читатель знаком с соглашением:
-
, иногда также называемый верхней чертой, или, менее точно, vinculum, может быть помещен над последней значащей цифрой; любые завершающие нули, следующие за ним, не имеют значения. Например, 1300 состоит из трех значащих цифр (и, следовательно, указывает на то, что число является точным с точностью до ближайших десяти).
- Реже, используя близкое соглашение, последняя значащая цифра числа может быть подчеркнута ; например, «1300» состоит из двух значащих цифр.
- После числа можно поставить десятичную точку; например «1300». указывает, в частности, что конечные нули должны быть значимыми.
Поскольку приведенные выше условные обозначения не используются повсеместно, для указания значимости числа с конечными нулями доступны следующие более широко признанные параметры:
- Устранение двусмысленных или нечетких значимые нули путем изменения префикса единицы измерения в числе с единицей измерения . Например, точность измерения, указанная как 1300 г, является неоднозначной, а если указано как 1,30 кг, это не так. Точно так же 0,0123 л можно переписать как 12,3 мл
- Устранение неоднозначных или незначимых нулей с помощью научной записи: например, 1300 с тремя значащими цифрами становится 1,30 × 10. Аналогично 0,0123 можно переписать как 1,23 × 10. Часть представления, содержащая значащие цифры (1,30 или 1,23), известна как мантисса или мантисса. Цифры в основании и экспоненте (10 или 10) считаются точными числами, поэтому для этих цифр значащие цифры не имеют значения.
- Явно укажите количество значащих цифр (иногда используется сокращение sf): например, «20 000 до 2 SF » или «20 000 (2 sf)».
- Укажите ожидаемую изменчивость (точность) явно с помощью знака плюс-минус, как в 20 000 ± 1%. Это также позволяет указать диапазон точности между степенями десяти.
Округление и десятичные разряды
Основное понятие значащих цифр часто используется в связи с округлением. Округление до значащих цифр — это более универсальный метод, чем округление до n десятичных знаков, поскольку он обрабатывает числа разных масштабов единообразно. Например, население города может быть известно только с точностью до ближайшей тысячи и может быть указано как 52 000, в то время как население страны может быть известно только с точностью до миллиона и может быть указано как 52 000 000. Первые могут ошибаться на сотни, а вторые — на сотни тысяч, но оба имеют две значащие цифры (5 и 2). Это отражает тот факт, что значимость ошибки одинакова в обоих случаях относительно размера измеряемой величины.
Чтобы округлить до n значащих цифр:
- Определите значащие цифры перед округлением. Это n последовательных цифр, начинающихся с первой ненулевой цифры.
- Если цифра справа от последней значащей цифры больше 5 или 5, за которой следуют другие ненулевые цифры, добавьте 1 до последней значащей цифры. Например, 1,2459 в результате вычисления или измерения, которое допускает только 3 значащие цифры, следует записать как 1,25.
- Если цифра справа от последней значащей цифры — это 5, за которой не следует никакая другая цифры или только нули, для округления требуется правило разрыва связи. Например, чтобы округлить 1,25 до 2 значащих цифр:
-
(также известное как «5/4») округляет до 1,3. Это метод округления по умолчанию, подразумеваемый во многих дисциплинах, если не указан. , который округляется до ближайшего четного числа, в этом случае округляется до 1,2. Та же стратегия, примененная к 1,35, вместо этого округляет до 1,4. Этот метод предпочитают многие научные дисциплины, потому что, например, он позволяет избежать искажения среднего значения в длинном списке значений вверх.
В финансовых расчетах число часто округляется до заданного количества знаков (например, до двух места после десятичного разделителя для многих мировых валют). Это делается потому, что большая точность несущественна, и обычно невозможно погасить задолженность меньше наименьшей денежной единицы.
В британских налоговых декларациях доход округляется до ближайшего фунта, в то время как уплаченный налог рассчитывается до ближайшего пенни.
В качестве иллюстрации десятичная величина 12.345 может быть выражена с различным количеством значащих цифр или десятичных знаков. Если доступна недостаточная точность, то число округляется до каким-либо образом, чтобы соответствовать доступной точности. В следующей таблице показаны результаты для различной общей точности и десятичных разрядов.
| . Точность | Округление до. значащих цифр | Округление до. десятичных знаков |
|---|---|---|
| 6 | 12,3450 | 12,345000 |
| 5 | 12,345 | 12,34500 |
| 4 | 12,34 или 12,35 | 12,3450 |
| 3 | 12,3 | 12,345 |
| 2 | 12 | 12,34 или 12,35 |
| 1 | 10 | 12,3 |
| 0 | Н / Д | 12 |
Другой пример для 0,012345 :
| . Точность | Округлено до. значащих цифр | Округлено до. десятичные разряды |
|---|---|---|
| 7 | 0,01234500 | 0,0123450 |
| 6 | 0,0123450 | 0,012345 |
| 5 | 0,012345 | 0,01234 или 0,01235 |
| 4 | 0,01234 или 0,01235 | 0,0123 |
| 3 | 0,0123 | 0,012 |
| 2 | 0,012 | 0,01 |
| 1 | 0,01 | 0,0 |
| 0 | Н / Д | 0 |
Представление ненулевого значения число x с точностью до p значащих цифр имеет числовое значение, которое задается формулой:
10 n ⋅ round (x 10 n) <\ displaystyle 10 ^
, который может потребоваться записать со специальной маркировкой, как подробно описано выше, чтобы указать количество значащих нулей в конце.
Арифметика
Поскольку существуют правила для определения количества значащих цифр в непосредственно измеряемых величинах, существуют правила определения количества значащих цифр в величинах, рассчитанных на основе этих измеренных величин.
При определении количества значащих цифр в расчетных величинах учитываются только измеренные величины. Точные математические величины, такие как π в формуле для площади круга с радиусом r, πr не влияют на количество значащих цифр в окончательной расчетной области. Точно так же ½ в формуле для кинетической энергии массы m со скоростью v, ½mv, не влияет на количество значащих цифр в окончательной расчетной кинетической энергии. Для этого считается, что константы π и ½ имеют бесконечное количество значащих цифр.
Для величин, созданных из измеренных величин с помощью умножения и деления, вычисленный результат должен иметь столько значащих цифр, сколько измеренное число с наименьшим количеством значащих цифр. Например,
1,234 × 2,0 = 2,468. ≈ 2,5,
только с двумя значащими цифрами. Первый фактор состоит из четырех значащих цифр, а второй — двух значащих цифр. Фактор с наименьшим количеством значащих цифр — это второй фактор с двумя значащими цифрами, поэтому окончательный расчетный результат также должен иметь всего две значащие цифры. Однако о промежуточных результатах см. Ниже.
Для величин, созданных из измеренных величин путем сложения и вычитания, последний значащий десятичный разряд (сотни, десятки, единицы, десятые и и т.д.) в вычисленном результате должен совпадать с крайним левым или наибольшим десятичным знаком последнего значащего числа из всех измеренных величин в сумме. Например,
100,0 + 1,234 = 101,234. ≈ 101,2
с последней значащей цифрой на разряде десятых. У первого члена последняя значащая цифра находится на десятом месте, а у второго члена — последняя значащая цифра на тысячном месте. Крайний левый из десятичных знаков последней значащей цифры из всех членов суммы — это десятая позиция от первого члена, поэтому вычисленный результат также должен иметь свою последнюю значащую цифру на десятом месте.
Правила вычисления значащих цифр для умножения и деления противоположны правилам для сложения и вычитания. Для умножения и деления имеет значение только общее количество значащих цифр в каждом из факторов; десятичный разряд последней значащей цифры в каждом множителе не имеет значения. Для сложения и вычитания имеет значение только десятичный разряд последней значащей цифры в каждом из терминов; общее количество значащих цифр в каждом термине не имеет значения. Однако большая точность часто достигается, если в промежуточных результатах сохраняются некоторые незначительные цифры, которые используются в последующих вычислениях.
В основании 10 логарифм числа a нормализованное число, результат должен быть округлен до количества значащих цифр в нормализованном числе. Например, log 10 (3.000 × 10) = log 10 (10) + log 10 (3.000) ≈ 4 + 0,47712125472, следует округлить до 4,4771..
При вычислении антилогарифмов полученное число должно иметь столько значащих цифр, сколько мантисса в логарифме.
Выполняя вычисления, не следуйте этим рекомендациям для получения промежуточных результатов; сохраняйте как можно больше цифр (как минимум на 1 больше, чем предполагает точность окончательного результата) до конца расчета, чтобы избежать кумулятивных ошибок округления.
Оценка десятых
При использовании линейке сначала используйте наименьшую отметку в качестве первой оценочной цифры. Например, если наименьшая отметка линейки составляет 0,1 см, а считывается 4,5 см, это 4,5 (± 0,1 см) или 4,4–4,6 см. Однако на практике размер обычно можно оценить на глаз, ближе чем интервал между наименьшими отметками линейки, например в приведенном выше случае его можно оценить от 4,51 см до 4,53 см (см. ниже).
Также возможно, что общая длина линейки может быть неточной до степени наименьшей отметки, и отметки могут быть несовершенно разнесены в пределах каждой единицы. Однако, если предположить, что линейка нормального хорошего качества, должна быть возможность оценить десятые доли между ближайшими двумя отметками, чтобы получить дополнительный десятичный разряд точности. В противном случае ошибка чтения линейки добавляется к любой ошибке в калибровке линейки.
Оценка
При оценке доли особей, несущих определенную характеристику в популяции, из случайная выборка из этой совокупности, количество значащих цифр не должно превышать максимальную точность, допускаемую этим размером выборки.
Отношение к точности и прецизионности измерения
Традиционно в различных областях техники «точность» означает близость данного измерения к его истинному значению; «точность» относится к стабильности этого измерения при многократном повторении. В надежде отразить то, как термин «точность» на самом деле используется в научном сообществе, существует более свежий стандарт ISO 5725, который сохраняет то же определение точности, но определяет термин «правильность» как близость данного измерения к его истинное значение и использует термин «точность» как сочетание истинности и точности. (Более полное обсуждение см. В статье Точность и точность.) В любом случае количество значащих цифр примерно соответствует точности, а не использованию слова «точность» или новой концепции истинности.
В вычислениях
Компьютерные представления чисел с плавающей запятой используют форму округления до значащих цифр, как правило, с двоичными числами. Количество правильных значащих цифр тесно связано с понятием относительной ошибки (которое имеет то преимущество, что является более точной мерой точности и не зависит от системы счисления, также известной в качестве основы используемой системы счисления).