Как построить плоскость перпендикулярную к заданной плоскости

Алгоритм построения перпендикуляра к плоскости

3. Строим перпендикуляр n к плоскости Р( АВС). Для этого через точку D₂ проводим n₂, перпендикулярно f₂, а через D₁ проводим n₁, перпендикулярно h₁.

n₁h₁; h₁ P₁ ( А₁В₁С₁)

n₂f₂; f₂ P₂ (А₂В₂С₂)

§ 6. Перпендикулярность двух плоскостей

Две плоскости будут перпендикулярны друг к другу, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости (рис. 6.4).

АВ  , то есть АВ принадлежит плоскости  и АВ  плоскости  . Плоскость   плоскости  .

Рассмотрим это положение на комплексном чертеже (табл. 6.7), где будет показано построение плоскости Р, проходящей через прямую l и перпендикулярной плоскости, заданной треугольником Q( АВС) (табл. 6.7).

Алгоритм построения плоскости, перпендикулярной данной

1. Известно, что для построения прямой, перпендикулярной плоскости, необходимо построить горизонталь и фронталь в плоскости.

а) Заметим, что построение перпендикуляра упрощается, так как стороны плоскости Q( АВС) являются прямыми уровня:

б) Возьмем на прямой l произвольную точку К

2. Через точку К, которая принадлежит прямой l, проводим прямую n  Q, т.е.

Искомая плоскость будет определяться двумя пересекающимися прямыми, одна из которых задана – l, а другая – n является перпендикулярной к заданной плоскости:

P(l n) Q ( ABC)

1. Прямая и плоскость в пространстве могут:

а) не иметь общих точек;

б) иметь хотя бы одну общую точку;

в) иметь множество общих точек.

В зависимости от этого прямая может принадлежать плоскости, быть ей параллельна, пересекаться с данной плоскостью и, как частный случай, быть ей перпендикулярна.

2. Две плоскости в пространстве могут быть параллельны друг другу, пересекаться между собой и, как частный случай, быть взаимно перпендикулярны.

3. Две пересекающиеся плоскости имеют одну общую прямую – линию пересечения.

4. Прямая, пересекающая плоскость, имеет с ней одну общую точку.

5. Для построения перпендикуляра к плоскости необходимо использовать свойства проецирования прямого угла.

Вопросы для самоанализа

1. Назовите признаки параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей.

2. Какая прямая является линией пересечения плоскости общего положения с фронтально проецирующей плоскостью?

3. По какой линии пересекаются две горизонтально проецирующие плоскости?

4. Как определяется видимость при пересечении двух плоскостей, прямой и плоскости?

5. Какова последовательность построения точки пересечения прямой и плоскости?

6. Как провести плоскость, перпендикулярную данной прямой (через точку на прямой или через точку вне прямой)?

7. Как провести перпендикуляр к прямой общего положения?

8. Как через прямую провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости?

Построение плоскости, перпендикулярной заданной прямой линии

Плоскость, перпендикулярную заданной прямой линии, обычно задают горизонтальной и фронтальной прямыми, перпендикулярными ей. На рис. 4.50 двумя пересекающимися в точке Спрямыми к и /задана плоскость, перпендикулярная прямой линии ЛВ.

При построении геометрического места точек пространства, равноудаленного от концов отрезка АВ (рис. 4.51), искомой будет плоскость, проведенная через середину отрезка ЛВ перпендикулярно ему и заданная горизонтальной /г _1_ ЛВ и фронтальной /_1_ ЛВ прямыми линиями.

Перпендикулярность двух плоскостей

Две плоскости перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую линию, перпендикулярную другой плоскости.

Перпендикулярные плоскости, условие перпендикулярности плоскостей

Данная статья посвящена перпендикулярным плоскостям. Будут даны определения, обозначения вместе с примерами. Будет сформулирован признак перпендикулярности плоскостей и условие, при котором он выполним. Будут рассмотрены решения подобных задач на примерах.

Перпендикулярные плоскости – основные сведения

При наличии угла между пересекающимися прямыми можно говорить об определении перпендикулярных плоскостей.

При условии, что угол между перпендикулярными прямыми равен 90 градусов, их называют перпендикулярными.

Обозначение перпендикулярности принято писать знаком « ⊥ ». Если в условии дано, что плоскости α и β перпендикулярные, тогда запись принимает вид α ⊥ β . На рисунке ниже показано подробно.

Когда в улови дано, что плоскость α и β перпендикулярны, это значит, что α перпендикулярна β и наоборот. Такие плоскости называют взаимно перпендикулярными. Например, стена и потолок в комнате являются взаимно перпендикулярными, так как при пересечении дают прямой угол.

Перпендикулярность плоскостей – признак и условие перпендикулярности

На практике можно встретить задания, где необходимо определить перпендикулярность заданных плоскостей. Для начала нужно определить угол между ними. Если он равен 90 градусам, тогда они считаются перпендикулярными из определения.

Для доказательства перпендикулярности двух плоскостей применяют признак перпендикулярности двух плоскостей. Формулировка содержит понятия перпендикулярная прямая и плоскость. Напишем точное определение признака перпендикулярности в виде теоремы.

Если одна из двух заданных плоскостей пересекает прямую, перпендикулярную другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны.

Доказательство имеется в учебнике по геометрии за 10 — 11 класс, где есть подробное описание. Из признака следует, что, если плоскость перпендикулярна линии пересечения двух заданных плоскостей, то она перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Существует необходимое и достаточное условия для доказательства. Рассмотрим их для перпендикулярности двух заданных плоскостей, которое применяется в качестве проверки их перпендикулярности, находящихся в прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Чтобы доказательство имело силу, необходимо применить определение нормального вектора плоскости, который способствует доказать необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей.

Для того, чтобы перпендикулярность пересекающихся плоскостей была явной, необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы заданных плоскостей пересекались под прямым углом.

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат. Если имеем n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) , являющимися нормальными векторами заданных плоскостей α и β , то необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов n 1 → и n 2 → примет вид

n 1 → , n 2 → = 0 ⇔ A 1 · A 2 + B 1 · B 2 + C 1 · C 2 = 0

Отсюда получаем, что n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) — нормальные векторы заданных плоскостей, а для действительности перпендикулярности α и β необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов n 1 → и n 2 → было равным нулю, а значит, принимало вид n 1 → , n 2 → = 0 ⇔ A 1 · A 2 + B 1 · B 2 + C 1 · C 2 = 0 .

Рассмотрим подробнее на примерах.

Определить перпендикулярность плоскостей, заданных в прямоугольной системе координат O x y z трехмерно пространства, заданного уравнениями x — 3 y — 4 = 0 и x 2 3 + y — 2 + z 4 5 = 1 ?

Для нахождения ответа на вопрос о перпендикулярности для начал необходимо найти координаты нормальных векторов заданных плоскостей, после чего можно будет выполнить проверку на перпендикулярность.

x — 3 y — 4 = 0 является общим уравнением плоскости, из которого можно сразу преобразовать координаты нормального вектора, равные n 1 → = ( 1 , — 3 , 0 ) .

Для определения координаты нормального вектора плоскости x 2 3 + y — 2 + z 4 5 = 1 перейдем от уравнения плоскости в отрезках к общему.

x 2 3 + y — 2 + z 4 5 ⇔ 3 2 x — 1 2 y + 5 4 z — 1 = 0

Тогда n 2 → = 3 2 , — 1 2 , 5 4 — это координаты нормального вектора плоскости x 2 3 + y — 2 + z 4 5 = 1 .

Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов n 1 → = ( 1 , — 3 , 0 ) и n 2 → = 3 2 , — 1 2 , 5 4 .

Получим, что n 1 → , n 2 → = 1 · 3 2 + ( — 3 ) · — 1 2 + 0 · 5 4 = 3 .

Видим, что оно не равно нулю, значит, что заданные векторы не перпендикулярны. Отсюда следует, что плоскости также не перпендикулярны. Условие не выполнено.

Ответ: плоскости не перпендикулярны.

Прямоугольная система координат O x y z имеет четыре точки с координатами A — 15 4 , — 7 8 , 1 , B 17 8 , 5 16 , 0 , C 0 , 0 , 3 7 , D — 1 , 0 , 0 . Проверить, перпендикулярны ли плоскости А В С и A B D .

Для начала необходимо рассчитать скалярное произведение векторов данных плоскостей. Если оно равно нулю, только в этом случае можно считать, что они перпендикулярны. Находим координаты нормальных векторов n 1 → и n 2 → плоскостей А В С и A B D .

Из заданных координат точек вычислим координаты векторов A B → , A C → , A D → . Получаем, что:

A B → = 47 8 , 19 16 , — 1 , A C → = 15 4 , 7 8 , — 4 7 , A D → = 11 4 , 7 8 , — 1 .

Нормальный вектор плоскости А В С является векторным произведением векторов A B → и A C → , а для A B D векторное произведение A B → и A D → . Отсюда получим, что

n 1 → = A B → × A C → = i → j → k → 47 8 19 16 — 1 15 4 7 8 — 4 7 = 11 56 · i → — 11 28 · j → + 11 16 · k → ⇔ n 1 → = 11 56 , — 11 28 , 11 16 n 2 → = A B → × A D → = i → j → k → 47 8 19 16 — 1 11 4 7 8 — 1 = — 5 16 · i → + 25 8 · j → + 15 8 · k → ⇔ n 2 → = — 5 16 , 25 8 , 15 8

Приступим к нахождению скалярного произведения n 1 → = 11 56 , — 11 28 , 11 16 и n 2 → = — 5 16 , 25 8 , 15 8 .

Получим: n 1 → , n 2 → = 11 56 · — 5 16 + — 11 28 · 25 8 + 11 16 · 15 8 = 0 .

Если оно равно нулю, значит векторы плоскостей А В С и A B D перпендикулярны, тогда и сами плоскости перпендикулярны.

Ответ: плоскости перпендикулярны.

Можно было подойти к решению иначе и задействовать уравнения плоскостей А В С и A B D . После нахождения координат нормальных векторов данных плоскостей можно было бы проверить на выполнимость условие перпендикулярности нормальных векторов плоскостей.

Построение прямой и плоскости, перпендикулярных заданной плоскости

При построении прямой, перпендикулярной заданной плоскости, будем исходить из того, что если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. На рис. 48 изображена плоскость, заданная пересекающимися фронталыо и горизонталью. Чтобы восстановить перпендикуляр к этой плоскости из точки А, достаточно на основании теоремы о проекциях прямого угла провести фронтальную проекцию перпендикуляра перпендикулярно фронтальной проекции фронтали f₂, а горизонтальную проекцию перпендикуляра — перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h|.

На рис. 49 показано построение плоскости, перпендикулярной заданной плоскости треугольника АВС. В этой задаче требуется, чтобы новая плоскость проходила через заданную прямую АС. Решение задачи основано на условии, что если какая-либо плоскость перпендикулярна другой плоскости, то она должна проходить через перпендикуляр к этой плоскости. Для решения задачи

проводим в плоскости заданного треугольника АВС фронталь А — 1 и горизонталь С — 2, восставляем из точки С перпендикуляр к треугольнику АВС, задавая его фронтальной и горизонтальной проекциями Ст — К? и С| — К,. Взяв на нём произвольную точку К и соединив её с точкой А, получим искомую плоскость треугольника АКС, которая перпендикулярна заданной, так как проходит через перпендикуляр к ней СК.

Примеры решения задач

Задача 1. Определить величину расстояния от точки D до плоскости треугольника А13С.

Решение. Кратчайшим расстоянием от точки до плоскости является перпендикуляр, опущенный из этой точки на плоскость. Рассмотрим поэтапное решение задачи (рис. 50).

1. Построим по координатам проекции точек А, В, С, D: А,(х,у) А₂(х, z) и т.д (рис. 51).

Соединим одноименные проекции точек А, В, С. Получим A_tBiCi и А₂В₂С₂ — проекции треугольника АВС (рис. 52).

2. В ХАВС через удобно выбранные вершины проведем горизонталь h(h₂, h₂). Построение горизонтали начинают с фронтальной проекции h₂, которая всегда параллельна оси ОХ ( h₂ II ОХ) и данном случае проведена через вершину С (С₂). Горизонтальная проекция горизонтали строится по признаку принадлежности ее плоскости ХАНС (она должна проходить через две точки плоскости). Горизонтальная проекция горизонтали проведена через точки С₂ и 1/ (рис. 53).

3. В ХАВС через удобно выбранные вершины проведем фронталь f (f/.f₂). Построение фронтали начинают с горизонтальной проекции которая всегда параллельна оси ОХ (j) II ОХ). Она проведена через вершину А (А/). Фронтальная проекция фронтали строится по признаку принадлежности сс плоскости АВС (она должна проходить через две точки плоскости). Фронтальная проекция фронтали проведена через точки А₂ и 2₂ (рис. 54).

4. На эпюре прямая перпендикулярна плоскости, если ее горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция перпендикулярна фронтальной проекции фронтали этой плоскости.

Из точки D (Dj, D₂) проведем прямую т, перпендикулярную ААДС, согласно условию перпендикулярности прямой и плоскости: //г±ААВС, если /Ле /И], /«1 1 Л1 И D₂E »»2, »»2-L/’ (рис. 55).

5. Найдем точку К пересечения прямой т с плоскостью треугольника ЛЯС (рис. 56):
- — через прямую т проведем вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость YfLi)- На эпюре проекция этой плоскости совпадет с горизонтальной проекцией прямой
- — определим линию пересечения 3-4 вспомогательной плоскости и заданной;
- — на пересечении линии 3-4 и прямой т получим искомую точку К.
6. Определим видимость проекций отрезка DK. используя конкурирующие точки.

Для определения видимости геометрических элементов пользуются конкурирующими точками. Это точки, принадлежащие скрещивающимся прямым и лежащие на общей проецирующей прямой. Таким образом, на одной из проекций эти точки совпадают. Например, на рис. 57 представлены скрещивающиеся прямые т и п. На фронтальной проекции точки А и В совпадают. Однако их горизонтальные проекции имеют различные координаты у: точка с большей координатой у (А/) расположена ближе к наблюдателю и поэтому на фронтальной проекции видима. По фронтальной проекции конкурирующих точек С и D оп ределяют их видимость на горизонтальной проекции, на которой видима точка, расположенная выше, т.е. имеющая большую координату z. Большую координату г имеет точка С, поэтому па горизонтальной проекции она видимая.

На рис. 58 определена видимость прямой т, пересекающей треугольник АВС в точке К. Для определения видимости на горизонтальной проекции используем конкурирующие точки 1 и 2, принадлежащие скрещивающимся прямым т и ВС. Точка 2, принадлежащая стороне треугольника ВС, выше точки 1, лежащей на прямой т. Следовательно, точка l_t и прямая которой она принадлежит, на участке К) — 7/ невидимы. В точке пересечения К/ видимость меняется на противоположную. Точки 3 и 4, принадлежащие скрещивающимся пря02

мым т и АВ, используем для определения видимости прямой т на фронтальной проекции. Определим 3/ и 4/. Y₄ больше у. следовательно, точка 3 и прямая т, которой она принадлежит, дальше от наблюдателя, чем точка 4 и соответственно сторона треугольника АВ. Поэтому отрезок прямой 3₂ — К₂ невидимый. После точки К₂ фронтальная проекция прямой т — видимая.

7. Определим величину отрезка 1)К способом прямоугольного треугольника, D К₂ =/DK/.

Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения используется метод прямоугольного треугольника: натуральная величина отрезка прямой — это гипотенуза прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является горизонтальная (фронтальная) проекция отрезка, другим — разность расстояний концов отрезка до горизонтальной (фронтальной) плоскости проекций. На рис. 59 определена величина отрезка АВ. В точке А] проведен перпендикуляр к горизонтальной проекции отрезка, длина которого А/А] равна разности координат г концов отрезка АВ (za -Zb), определенной на

фронтальной проекции. Гипотенуза полученного треугольника А/В, является величиной отрезка АВ.

Величина отрезка может быть определена и на фронтальной плоскости проекции. Для этого в точке А₂ можно провести перпендикуляр к фронтальной проекции отрезка, на котором следует отложить разность координат у концов отрезка АВ, определенную на фронтальной проекции (Ау = у_А — у в)- Гипотенуза полученного треугольника является натуральной величиной отрезка АВ.

Задача 2. Определить величину угла между прямой AI) и плоскостью треугольника ЛВС (рис. 60).

Решение. Искомый угол — это угол между прямой AD и се проекцией на плоскость треугольника. Рассмотрим поэтапное решение задачи.
Похожие публикации: