Как найти ускорение на наклонной плоскости

Как найти ускорение на наклонной плоскости

Найти линейные ускорения а центров масс шара, диска и обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости α = 30°, начальная скорость всех тел v₀ = 0. Сравнить найденные ускорения с ускорением тела, соскальзывающего с наклонной плоскости при отсутствии трения.

Дано:

Решение:

Потенциальная энергия на высоте h

Переходит в кинетическую энергию поступательного и вращательного движения

2.9. Движение тела по наклонной плоскости

[latexpage]Под движением по наклонной плоскости понимают перемещение тела вдоль плоской поверхности, которая расположена под определенным углом к горизонту. Для расчета характеристик данного движения нужно установить, какие силы, действуют на движущееся тело (или покоящее). Чаще всего при решении задач на движение тела при наклонной плоскости сила трения неизвестна. Поэтому приходится определять ее из соответствующей системы уравнений движения. При решении задач на наклонную плоскость наиболее удобно использовать систему координат, которую мы укажем ниже. Использование такой системы координат позволяет минимизировать количество тригонометрических функций угла (синусов и косинусов) при нахождении проекций векторов.

Пример. На какую высоту надо поднять край доски длиной 2 м, чтобы по ней можно было равномерно поднимать груз массой 100 кг, прикладывая к нему силу 160 Н, направленную вдоль доски? Коэффициент трения равен 0,4.

Решение. 1. Систему отсчета свяжем с доской, относительно которой движется тело, поскольку, очевидно, что она будет неподвижна относительно Земли в тот момент времени, когда груз будет двигаться по ней, а значит эта система является инерциальной. Координатную ось $Ox$ направим вдоль наклонной плоскости в направлении движения тела. Координатную ось $Oy$ направим так, чтобы она проходила перпендикулярно наклонной плоскости в направлении вектора силы реакции опоры $\overrightarrow$.

2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело.

3. Запишем второй закон Ньютона, учитывая, что в тот момент, когда груз начнет двигаться, его ускорение будет равно нулю

Проекции на координатные оси:

$Oy: N- mg cos \alpha = 0 $.

$mg sin \alpha — \mu mg cos \alpha =0$.

5. Кинематические уравнения в данной задаче не требуются, поэтому переходим к п.6.

6. Из последнего уравнения найдем тангенс угла наклона доски

$mg sin \alpha — \mu mg cos \alpha =0 \Rightarrow sin \alpha — \mu cos \alpha =0$,
$tg \alpha = \mu$.

Высоту, на которую нужно поднять доску можно найти из условия ($L$ — длина доски, гипотенуза прямоугольного треугольника)

$\frac=sin\alpha \Rightarrow h=L sin\alpha $.

Известно, что $tg^2\alpha +1=\frac<1>$, выведем отсюда формулу для нахождения синуса

Пример. Брусок массой 10 кг находится на наклонной плоскости с углом наклона 30°. Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен 0,6. Какую направленную вдоль наклонной плоскости силу надо приложить к бруску, чтобы сдвинуть его вдоль наклонной плоскости вверх?

Решение. 1. Систему отсчета свяжем с доской, относительно которой движется тело, поскольку, очевидно, что она будет неподвижна относительно Земли, а значит эта система является инерциальной. Координатную ось $Ox$ направим вдоль наклонной плоскости в направлении движения тела. Координатную ось $Oy$ направим так, чтобы она проходила перпендикулярно наклонной плоскости в направлении вектора силы реакции опоры $\overrightarrow$.

2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело.

3. Запишем второй закон Ньютона, учитывая, что тело движется равномерно:

Проекции на координатные оси:

$Oy: N- mg cos \alpha = 0 $.

$F-mg sin \alpha — \mu mg cos \alpha =0$.

5. Кинематические уравнения в данной задаче не требуются, поэтому переходим к п.6.

6. Из последнего уравнения найдем $F=mg sin \alpha + \mu mg cos \alpha =mg (sin \alpha + \mu cos \alpha)$, т.е.

$F=10\cdot 10\cdot \left ( sin\, 30^<\circ>+0,6\cdot cos\, 30^ <\circ>\right ) \approx 102$ Н.

Пример. При каком коэффициенте трения μ брусок скользит по наклонной плоскости с углом наклона α = 30° с ускорением 3,5 м/с?

Решение. 1. Систему отсчета свяжем с наклонной плоскостью, относительно которой движется тело, поскольку, очевидно, что она будет неподвижна относительно Земли, а значит эта система отсчета является инерциальной. Координатную ось $Ox$ направим вдоль наклонной плоскости в направлении движения тела. Координатную ось $Oy$ направим так, чтобы она проходила перпендикулярно наклонной плоскости в направлении вектора силы реакции опоры $\overrightarrow$.

2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело.

3. Запишем второй закон Ньютона, учитывая, что в тот момент, когда груз начнет двигаться, его ускорение будет равно нулю

Проекции на координатные оси:

$Oy: N- mg cos \alpha = 0 $.

$mg sin \alpha — \mu mg cos \alpha =ma$.

5. Кинематические уравнения в данной задаче не требуются, поэтому переходим к п.6.

6. В последнем уравнении, после сокращения массы, получим

$g sin \alpha — \mu g cos \alpha =a$,

$g sin \alpha — a =\mu g cos \alpha$,

Пример. Санки равномерно скатываются с горы, угол наклона которой к горизонту α = 30°. Каков должен быть наименьший угол β, образуемый веревкой с поверхностью горы, чтобы санки тянуть равномерно в гору?

Решение. Рассмотрим первое условие задачи: «Санки равномерно скатываются с горы, угол наклона которой к горизонту α = 30°». Используем это условие, чтобы найти коэффициент трения санок о горку.

1. Систему отсчета свяжем с горкой, так как эта система отсчета является инерциальной. Координатную ось $Ox$ направим вдоль наклонной плоскости в направлении движения тела. Координатную ось $Oy$ направим так, чтобы она проходила перпендикулярно наклонной плоскости в направлении вектора силы реакции опоры $\overrightarrow$.

2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело.

3. Запишем второй закон Ньютона, учитывая, что санки скатываются равномерно

Проекции на координатные оси:

$Oy: N- mg cos \alpha = 0 $.

$mg sin \alpha — \mu mg cos \alpha =0$.

5. Кинематические уравнения в данной задаче не требуются, поэтому переходим к п.6.

6. В последнем уравнении, после сокращения массы, получим

$g sin \alpha — \mu g cos \alpha =0$,

$g sin \alpha =\mu g cos \alpha$,

Рассмотрим второе условие задачи и найдем условие при котором под действие силы, приложенной под углом β к наклонной плоскости, санки можно будет тянуть равномерно вверх.

1. Систему отсчета по-прежнему свяжем с горкой. Координатную ось $Ox$ направим вдоль наклонной плоскости. Координатную ось $Oy$ направим так, чтобы она проходила перпендикулярно наклонной плоскости в направлении вектора силы реакции опоры $\overrightarrow$.

2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело.

3. Запишем второй закон Ньютона, учитывая, что тело движется равномерно:

Проекции на координатные оси:

$Oy: N- mg cos \alpha +Fsin\, \beta= 0 $.

$Fcos\, \beta-mg sin \alpha — \mu (mg cos \alpha-Fsin\, \beta) =0$.

5. Кинематические уравнения в данной задаче не требуются, поэтому переходим к п.6.

6. Из последнего уравнения найдем

Из последнего уравнения видно, что значение силы будет определено при любом значении угла $0\leqslant \beta \leq \frac<\pi ><2>$. Минимальным же углом, будет являться угол $\beta =0$.

Задачи для самостоятельного решения.

1. На плоскости, угол наклона которой к горизонту можно изменять, находится шайба. При некотором угле наклона $<\alpha>$ шайба соскальзывает с плоскости с ускорением a = g/2. С каким ускорением будет соскальзывать эта шайба, если угол наклона плоскости будет $<\beta =\frac<\pi ><2>-\alpha >$? Коэффициент трения шайбы о поверхность плоскости μ = 0,5.

$a= g( cos\alpha — \mu sin \alpha ) = 1,96$ м/с 2 .

2. Санки можно удержать на ледяной горке с углом наклона α = 12° силой, не меньшей F = 50 Н. Чтобы тянуть сани в гору равномерно, силу тяги нужно увеличить на ∆F = 10 Н. С каким ускорением с этой горки будут двигаться санки, если их предоставить самим себе?

3. С каким ускорением соскальзывают санки массой m = 10 кг с горки с углом наклона α = 30° к горизонту, если их тянут вниз с постоянной горизонтальной силой F = 50 Н? Коэффициент трения санок о поверхность горки μ = 0,2.

4. Какую силу необходимо приложить к нити, составляющей угол β = 30° с наклонной плоскостью, чтобы за эту нить равномерно тащить брусок массой m = 0,5 кг? Коэффициент
трения между бруском и плоскостью μ = 0,4. Угол между плоскостью и горизонтом α = 45°

5. Деревянный брусок массой m = 0,5 кг положили на наклонную плоскость. С какой наименьшей силой, направленной перпендикулярно поверхности плоскости, нужно прижать брусок, чтобы он лежал на грани соскальзывания? Коэффициент трения бруска о плоскость μ = 0,4. Угол наклона плоскости к горизонту α = 30°

Как найти ускорение на наклонной плоскости

Задачи по динамике.

I и II закон Ньютона.

Ввод и направление осей.

Проецирование сил на оси.

Решение систем уравнений.

Самые типовые задачи по динамике

Начнем с I и II законов Ньютона.

Откроем учебник физики и прочтем. I закон Ньютона: существуют такие инерциальные системы отсчета в которых. Закроем такой учебник, я тоже не понимаю. Ладно шучу, понимаю, но объясню проще.

I закон Ньютона: если тело стоит на месте либо движется равномерно (без ускорения), сумма действующих на него сил равна нулю.

Вывод: Если тело движется с постоянной скоростью или стоит на месте векторная сумма сил будет ноль.

II закон Ньютона: если тело движется равноускоренно или равнозамедленно (с ускорением), сумма сил, действующих на него, равна произведению массы на ускорение.

Вывод: Если тело двигается с изменяющейся скоростью, то векторная сумма сил, которые как-то влияют на это тело ( сила тяги, сила трения, сила сопротивления воздуха), равна массе этого тело умножить на ускорение.

При этом одно и то же тело чаще всего движется по-разному (равномерно или с ускорением) в разных осях. Рассмотрим именно такой пример.

Задача 1. Определите коэффициент трения шин автомобиля массой 600 кг, если сила тяги двигателя 4500 Н вызывает ускорение 5 м/с².

Обязательно в таких задачах делать рисунок, и показывать силы, которые дествуют на машину:

На Ось Х: движение с ускорением

На Ось Y: нет движения (здесь координата, как была ноль так и останется, машина не поднимает в горы или спускается вниз)

Те силы, направление которых совпадает с направлением осей, будут с плюсом, в противоположном случае — с минусом.

По оси X: сила тяги направлена вправо, так же как и ось X, ускорение так же направлено вправо.

Fтр = μN, где N — сила реакции опоры. На оси Y: N = mg, тогда в данной задаче Fтр = μmg.

Коэффициент трения — безразмерная величина. Следовательно, единиц измерения нет.

Задача 2. Груз массой 5кг, привязанный к невесомой нерастяжимой нити, поднимают вверх с ускорением 3м/с². Определите силу натяжения нити.

Сделаем рисунок, покажем силы, которые дествуют на груз

T — сила натяжения нити

На ось X: нет сил

Разберемся с направлением сил на ось Y:

Выразим T (силу натяжения) и подставим числительные значения:

Самое главное не запутаться с направлением сил (по оси или против), все остальное сделает калькулятор или всеми любимый столбик.

Далеко не всегда все силы, действующие на тело, направлены вдоль осей.

Простой пример: мальчик тянет санки

Если мы так же построим оси X и Y, то сила натяжения (тяги) не будет лежать ни на одной из осей.

Чтобы спроецировать силу тяги на оси, вспомним прямоугольный треугольник.

Отношение противолежащего катета к гипотенузе — это синус.

Отношение прилежащего катета к гипотенузе — это косинус.

Сила тяги на ось Y — отрезок (вектор) BC.

Сила тяги на ось X — отрезок (вектор) AC.

Если это непонятно, посмотрите задачу №4.

Чем длинее будет верека и, соответсвенно, меньше угол α, тем проще будет тянуть санки. Идеальный вариант, когда веревка параллельна земле , ведь сила, которая действуют на ось X— это Fнcosα. При каком угле косинус максимален? Чем больше будет этот катет, тем сильнее горизонтальная сила.

Задача 3. Брусок подвешен на двух нитях. Сила натяжения первой составляет 34 Н, второй — 21Н, θ1 = 45°, θ2 = 60°. Найдите массу бруска.

Введем оси и спроецируем силы:

Получаем два прямоугольных треугольника. Гипотенузы AB и KL — силы натяжения. LM и BC — проекции на ось X, AC и KM — на ось Y.

Задача 4. Брусок массой 5 кг (масса в этой задаче не нужна, но, чтобы в уравнениях все было известно, возьмем конкретное значение) соскальзывает с плоскости, которая наклонена под углом 45°, с коэффициентом трения μ = 0,1. Найдите ускорение движения бруска?

Когда же есть наклонная плоскость, оси (X и Y) лучше всего направить по направлению движения тела. Некоторые силы в данном случае ( здесь это mg) не будут лежать ни на одной из осей. Эту силу нужно спроецировать, чтобы она имела такое же направление, как и взятые оси.
Всегда ΔABC подобен ΔKOM в таких задачах (по прямому углу и углу наклона плоскости).

Рассмотрим поподробнее ΔKOM:

Получим, что KO лежит на оси Y, и проекция mg на ось Y будет с косинусом. А вектор MK коллинеарен (параллелен) оси X, проекция mg на ось X будет с синусом, и вектор МК направлен против оси X (то есть будет с минусом).

Не забываем, что, если направления оси и силы не совпадают, ее нужно взять с минусом!

Из оси Y выражаем N и подставляем в уравнение оси X, находим ускорение:

Как видно, массу в числителе можно вынести за скобки и сократить со знаменаталем. Тогда знать ее не обязательно, получить ответ реально и без нее.
Да-да, в идеальных условиях (когда нет силы сопротивления воздуха и т.п.), что перо, что гиря скатятся (упадут) за одно и тоже время.

Задача 5. Автобус съезжает с горки под уклоном 60° с ускорением 8 м/с² и с силой тяги 8 кН. Коэффициент трения шин об асфальт равен 0,4. Найдите массу автобуса.

Сделаем рисунок с силами:

Введем оси X и Y. Спроецируем mg на оси:

Запишем второй закон Ньютона на X и Y:

Задача 6. Поезд движется по закруглению радиуса 800 м со скоростью 72 км/ч. Определить, на сколько внешний рельс должен быть выше внутреннего. Расстояние между рельсами 1,5 м.

Самое сложное — понять, какие силы куда действуют, и как угол влияет на них.

Вспомни, когда едешь по кругу на машине или в автобусе, куда тебя выталкивает? Для этого и нужен наклон, чтобы поезд не упал набок!

Угол α задает отношение разницы высоты рельсов к расстоянию между ними (если бы рельсы находились горизонтально)

Запишем какие силы действуют на оси:

Ускорение в данной задачи центростремительное!

Поделим одно уравнение на другое:

Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему:

Как мы выяснили, решение подобных задач сводится к расстановке направлений сил, проецированию их на оси и к решению систем уравнений, почти сущий пустяк.

В качестве закрепления материала решите несколько похожих задач с подсказками и ответами.

№ 4. Вычислите ускорение тела, скользящего по наклонной плоскости, если ее высота равна длине основания, а коэффициент трения тела о наклонную плоскость равен 0,20.

Оси координат направим, как показано на рисунке. Начало отсчета координат совпадает с вершиной наклонной плоскости.

II закон Ньютона в векторной форме:

Запишем его в проекциях на ось Х и Y:

Подставляя (5) в (4) с учетом уравнения (3) получим:

где b — длина основания наклонной плоскости, т.к.

(по условию задачи), то α=45° и

Подставляя в (6) получим:

Ответ: а ≈ 5,5 м/с 2 .

Решебник по физике за 9 класс (И.К.Кикоин, А.К.Кикоин, 1999 год),
задача №4
к главе «Упражнение 20».