Как найти точки пересечения графиков с осями

3 Точки пересечения с осями координат

Для того, чтобы найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс, (нули функции), нужно решить систему:

Аналогично с осью ординат, :

Найти точки пересечения графика функции с осями координат

С осью OY: точка не входит в область определения, значит график функции ось OY не пересекает

4 Промежутки знакопостоянства функции. Исследование поведения функции на концах промежутков знакопостоянства, в т.Ч. И на бесконечности

Промежутки знакопостоянства функции разделяют точки пересечения графика функции с осью абсцисс и точки разрыва функции.

Если эти точки изобразить на оси ОХ, то на каждом из полученных интервалов функция сохраняет свой знак.

Для того чтобы выяснить, какие значения принимает функция на каждом интервале, нужно взять любое число из интервала, подставить в формулу, которой задается функция и найти значение.

Если функция принимает положительные значения на промежутке, то ее график на этом промежутке располагается над осью абсцисс, если отрицательные – под осью абсцисс.

Исследование поведения функции на концах промежутков знакопостоянства, проводится с помощьютеории пределов. Рассмотрим на конкретных примерах

Указать промежутки знакопостоянства функций. Исследовать поведение функции на концах промежутков знакопостоянства, в т.ч. на бесконечности

 Функция обращается в нуль при и терпит разрыв при . Наносим эти точки на ось ОХ:

В каждом из интервалов она сохраняет определенный знак, а именно

Так как функция нечетная (3.1), то на симметричных интервалах знак меняется на противоположный.

Вывод На интервалах: и график функции проходит над осью ОХ, а на интервалах и под осью ОХ.

Для выяснения поведения функции на концах промежутков знакопостоянства вычислим следующие пределы:

 По аналитическому заданию функции можно определить, что , т.е. график функции проходит только над осью ОХ.

Для выяснения поведения функции на концах промежутков знакопостоянства вычислим следующие пределы:

Обратите внимание, что в точке поведение функции исследуется отлько справа, т.к. слева функция неопределенна

 Имеем (4.3) и .

Вывод. На интервалах: и график функции проходит над осью ОХ, на интервале под осью ОХ.

Для выяснения поведения функции на концах промежутков знакопостоянства (данная функция в точке определена только слева, а в точке только справа) вычислим следующие пределы:

Точки пересечения графика функции с осью

Данный калькулятор предназначен для определения точек пересечения графика функции с осями координат.
В точке пересечения функции с осью Ox координата y всегда равна нулю, а в точке пересечения с осью Oy координата x=0.
Для того чтобы найти точки пересечения графика функции с осью ординат (Oy), необходимо подставить в уравнения функции x=0 , тем самым, найти y. Аналогично, чтобы найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс (Ox), необходимо подставить в уравнение функции y=0 и найти x.

Нахождение координат точек пересечения функции с осями используется для анализа функции и построения ее графика.
Для того чтобы получить ответ, введите функцию в ячейку. Основные примеры ввода функций для данного калькулятора указаны ниже.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

: x^a

Точки пересечения графика функции с осями координат

В алгебре и начале анализа можно встретить множество задач на поиск точек пересечения графиков функций с помощью их построения или другими методами. Благодаря определенному алгоритму действий, найти ответ достаточно просто. В большинстве случаев решение заключается в определении корней различного вида уравнений.

График функции \(y = f(x)\) является множеством точек \((x; y)\) , координаты которых связаны соотношением \(y = f(x).\)

Равенство \(y = f(x)\) называют уравнением данного графика. Таким образом, график функции представляет собой множество точек (x; y), где x — является аргументом, а y — определяется как значение функции, соответствующее данному аргументу.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В том случае, когда графики пересекаются в какой-то точке, можно сделать вывод о существовании общего решения системы уравнений. Определить координаты точки можно с помощью графического или аналитического метода. В первом случае требуется построить график уравнения с переменной. Аналитический метод поиска координат точек, в которых графики функций пересекаются, подразумевает решение уравнения, а найденные корни и являются искомыми точками.

Как найти координаты, примеры решения

Существует несколько способов решения подобных задач:

1. Поиск точек пересечения графиков функций заключается в приравнивании обеих функций друг к другу. При этом все члены с х переносят в левую сторону, а оставшиеся – в правую. Затем остается найти корни уравнения, которое получилось после преобразований.
2. Второй метод состоит в записи системы уравнения для ее последующего решения с помощью подстановки одной функции в другую.
3. Третий способ подразумевает построение графиков функций, чтобы определить точки их пересечения визуально.

В качестве примера можно рассмотреть две линейные функции:

Данные функции являются прямыми. Их можно графически изобразить, если принять какие-либо два значения \(x_1\) и \(x_2\) и найти \(f(x_1)\) и \((x_2)\) . Далее действия необходимо повторить с функцией \(g(x)\) . Затем достаточно легко определить визуально координаты точки пересечения рассматриваемых функций.

Важно отметить, что для линейных функций характерна лишь одна точка пересечения только в том случае, когда \(k_1 \neq k_2\) . В противном случае \(k_1=k_2\) , а функции будут параллельными друг другу, в связи с тем, что k является коэффициентом угла наклона. При \( k_1 \neq k_2\) и \(m_1=m_2\) точка пересечения будет соответствовать \(M(0;m)\) . Данная закономерность упрощает решение многих подобных задач.

Имеются функции: \(f(x) = 2x-5\)

Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики рассматриваемых функций.

В первую очередь стоит отметить, что функции являются линейными. Важно обратить внимание на коэффициент угла наклона рассматриваемых функций:

По этой причине имеется лишь одна точка пересечения графиков функций. Определить ее можно путем решения уравнения:

Необходимо перенести члены с x в левую часть, а остальные — в правую:

В результате удалось найти x=8, что соответствует абсциссе точки пересечения графиков. Требуется определить ординату y с помощью подстановки x = 8 в любое из уравнений – в \(f(x)\) , либо в \(g(x)\) :

\(f(8) = 2\cdot 8 — 5 = 16 — 5 = 11\)

Таким образом, M (8;11) – представляет собой точку, в которой пересекаются графики пары линейных функций.

Записаны две функции: \(f(x)=2x-1\)

Необходимо определить точки, в которых графики рассматриваемых функций пересекаются.

Таким образом, линейные функции параллельны между собой, что объясняет отсутствие точек пересечения их графиков.

Ответ: графики функций параллельны, точки пересечения отсутствуют.

Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики следующих функций: \(f(x)=x^2-2x+1\)

В данном случае функции являются нелинейными. Поэтому алгоритм решения задачи будет несколько отличаться от предыдущих примеров. В первую очередь следует приравнять уравнения:

Далее необходимо разнести в разные стороны уравнения члены с x и без него:

Таким образом, будет определена абсцисса искомой точки. Затем необходимо найти ординату у. Для этого нужно подставить \(x = 0\) в какое-либо из двух начальных уравнений. К примеру:

\(f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1\)

M (0;1) является точкой, в которой пересекаются графики функций.

Приравнивание функций друг к другу и нахождение корней

Выяснить, имеют ли точки пересечения графики функций, можно путем сравнения соответствующих тождеств и решения уравнения. Однако при этом допускается получение различных равенств с неизвестными. Тогда целесообразно воспользоваться специальными методиками.

Когда уравнение относится к первой степени или является линейным, решение получить достаточно просто. Метод заключается в переносе переменных величин в одну часть уравнения, а известных – в другую. Алгоритм действий:

• раскрытие скобок, приведение подобных коэффициентов;
• перенос членов с неизвестными в одну сторону, а с известными – в другую;
• математические преобразования;
• определение корня.

Квадратные уравнения решают с помощью одного из способов:

• разложение на множители;
• выделение полного квадрата;
• поиск дискриминанта;
• теорема Виета.

В первом случае представляется возможным понизить степень при неизвестной величине. Второй метод заключается в выделении квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Каждая из этих методик реализуема при наличии знаний соответствующих тождеств, в том числе правил разложения на множители.

Третий способ состоит в поиске корней через дискриминант (Д), который является дополнительным параметром, позволяющим сразу решить задачу. Дискриминант определяется с помощью формулы:

В том случае, когда Д>0, переменная может иметь пару значений, которые превращают равенство в справедливое тождество. Если Д=0, то корень является единственным. Когда Д<0, искомое тождество с неизвестными не имеет решений.

Квадратные уравнения решают таким образом:

• выполнение необходимых алгебраических преобразований, в том числе раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых;
• выбор наиболее оптимального способа решения и его реализация;
• проверка корней с помощью их подстановки в начальное выражение.

Распространенной ошибкой является пренебрежение проверкой результатов решения. Некорректные действия могут привести к образованию ложных корней.

Существует несколько методик решения тождеств кубического и биквадратного типов:

• понижение степени, то есть разложение на множители;
• замена переменной.

Первый вариант решения подразумевает выполнение преобразований для последующего применения одной из формул сокращенного умножения. Такой способ применяют нечасто. Второй способ состоит в том, что при решении необходимо ввести переменную с более низкой степенью, которая упрощает выражение. Порядок действий при этом следующий:

• выполнение математических преобразований;
• выражение переменной через другую;
• решение квадратного или линейного уравнения;
• подстановка промежуточных корней, которые получилось найти на третьем шаге, во второй;
• вычисление искомых корней;
• проверка;
• исключение ложных решений;
• запись ответа.

Путем составления системы уравнений

Данный метод определения точек пересечения графиков функций предполагает запись системы уравнения. К примеру:

Решение системы уравнений представляет собой пару чисел (х, у), являющуюся одновременно решением для первого и второго уравнения системы. Решить систему уравнений – значит, отыскать все ее решения, либо установить их отсутствие.

Порядок действий при решении системы уравнений можно рассмотреть на примере:

Решение будет иметь следующий вид:

Данные уравнения являются линейными, поэтому график каждого из них представляет собой прямую. График первого уравнения проходит через точки (0; 1) и (-1; 0). График второго уравнения проходит через точки (0; -1) и (-1; 0). Прямые пересекаются в точке (-1; 0), это и является решением системы уравнений.

Решение системы представляет сбой единственную пару чисел:

Если подставить данные числа в любое из уравнений, то получится справедливое равенство. Таким образом, имеется единственное решение линейной системы. Можно записать отчет: (-1;0).

В процессе решения линейной системы можно столкнуться с разными ситуациями:

• система обладает единственным решением, прямые пересекаются;
• решения системы отсутствуют. прямые параллельны;
• система обладает бесчисленным множеством решений, прямые совпадают.

При рассмотрении частного случая системы p(x; y) и q(x; y) являются линейными выражениями от x и y.

В задачах нередко требуется решить нелинейную систему уравнений. К примеру, необходимо решить следующую систему:

Решение имеет следующий вид:

График первого уравнения будет иметь вид прямой, а второго – являться окружностью. Можно построить первый график по точкам:

Центр окружности в точке О(0; 0), радиус равен 1.

Графики пересекаются в точке А(0; 1) и в точке В(-1; 0).

Можно решить систему графическим способом:

В первую очередь необходимо построить график первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 2. График второго уравнения является параболой, которая смещена относительно начала координат на 2 вверх, то есть ее вершина – точка (0; 2).

Графики обладают одной общей точкой А(0; 2). Данная точка является решением системы. Если подставить два числа в уравнение, можно проверить корректность ответа и записать его. Ответ: (0; 2).

В качестве еще одного примера можно решить следующую систему:

Первым шагом является построение графика первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 1.

Далее необходимо построить график функции:

График будет являться ломанной:

Далее следует сместить ее на 1 вниз по оси oy. В результате получится график функции:

При помещении обоих графиков в одну систему координат получится следующая ситуация:

Таким образом, получились три точки пересечения: А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1)

Нахождение через графическое построений функций

Любой определенный график задают с помощью соответствующей функции. Найти точки, в которых пересекаются графики, можно путем решения уравнения, имеющего вид:

Решение данного уравнения будет являться искомой точкой.

Построить график можно с помощью бумаги и ручки. В процессе необходимо обратить внимание на то, что количество точек пересечения пары графиков определяется видом функции. Линейные функции обладают лишь одной точкой пересечения, линейная и квадратная – двумя, квадратные – двумя, либо четырьмя.

В общем случае двух линейных функций можно предположить, что:

Для поиска точки пересечения графиков необходимо решить уравнение:

\(y1=y2 \ или \ k1x+b1=k2x+b2\)

После преобразований получится, что:

Далее нужно выразить x:

При известной координате точки по оси абсцисс следует определить координату по оси ординат. Таким образом, можно найти координаты точки пересечения графиков:

График функции y = f (х) представляет собой множество точек плоскости, координаты (х, у) которых соответствуют выражению y = f(x). График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Для построения графика определяют несколько значений довода х и для них рассчитывают соответствующие значения функции y=f(x). Для больше точного и наглядного построения графика следует обнаружить его точки пересечения с осями координат.

С целью определить точку пересечения графика функции с осью y, нужно определить значение функции при х=0, то есть обнаружить f(0). В качестве примера можно рассмотреть график линейной функции, изображенной на рисунке:

В данном случае при х=0 \((y=a*0+b)\) функция равна b. Таким образом, график пересекает ось ординат (ось Y) в точке (0,b). Когда пересекается ось абсцисс (ось Х) функция равна 0, то есть \(y=f(x)=0\) . Для того чтобы определить х, следует решить уравнение \(f(x)=0\) . В случае линейной функции получаем уравнение \(ax+b=0\) , откуда и находим \(x=-b/a\) . В результате можно сделать вывод, что ось Х пересекается в точке \((-b/a,0).\)

При наличии квадратичной зависимости y от х, уравнение \(f(x)=0\) обладает двумя корнями. Таким образом, ось абсцисс пересекается два раза. В случае периодической зависимости y от х, например, \(y=sin(x)\) , график функции обладает бесконечным количеством точек пересечения с осью Х. Проверить корректность расчета координат точек, в которых пересекаются графики функций, можно с помощью подстановки найденных значений х в выражение f(x). Значение выражения при любом из вычисленных х должно быть равно 0.

Взаимное расположение графиков квадратных трёхчленов

В §28 данного справочника мы показали, что квадратный трёхчлен можно представить в виде:

$$ ax^2+bx+c = a(x+ \frac<2a>)^2-\frac<4a>, D = b^2-4ac $$

• ось симметрии $x = -\frac<2a>$
• вершину параболы на оси симметрии $(–\frac<2a>; -\frac<4a>)$
• точку пересечения (0;c) с осью OY

Любая парабола $y = ax^2+bx+c, a ≠ 0$ пересекается с осью OY в единственной точке (0;c) .

Количество точек пересечения параболы $y = ax^2+bx+c$ с осью OX зависит от знака дискриминанта.

Если $D \gt 0$ , парабола имеет две точки пересечения с $x_1,2 = \frac<-b \pm \sqrt><2a>$ на оси OX.

Если D = 0 , парабола имеет одну точку пересечения $x_0 = -\frac<2a>$, которая лежит на оси OX и является вершиной параболы.

Если $D \lt 0$ у параболы нет ни одной точки пересечения с осью OX.

Точки пересечения параболы с осью OX

Точки пересечения двух парабол

На практике часто возникает задача «перехвата» одного тела другим, т.е. поиска точек пересечения двух траекторий; а тела в поле тяготения Земли нередко движутся по параболе.

Поэтому исследовать возможные точки пересечения двух парабол – важная прикладная задача. Пусть уравнения парабол:

$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c_1, \quad y = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$

В точках пересечения выполняется равенство:

$$ a_1 x^2+b_1 x+c_1 = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$

$$ (a_1-a_2 ) x^2+(b_1-b_2 )x+(c_1-c_2 ) = 0 $$

Если ввести обозначения $A = a_1-a_2, B = b_1-b_2, C = c_1-c_2$, получаем уравнение:

Количество решений этого уравнения в зависимости от нулевых и ненулевых значений параметров равно 11 и описывается схемой общего алгоритма решений квадратного уравнения (см.§25 данного справочника).

$ a_1 = a_2, b_1 = b_2, $

Две параболы совпадают

Бесконечное множество общих точек, $x \in \Bbb R$

$A = B = 0, C \neq 0$

$ a_1 = a_2, b_1 = b_2, $

Параболы имеют вид

У них общая ось симметрии

$ x = -\frac<2a>$, одна парабола находится над другой.

Ветки сходятся только на бесконечности.

Точек пересечения нет

$A = 0, B \neq 0, C = 0$

$ a_1 = a_2, b_1 \neq b_2 $

Параболы имеют вид

Обе проходят через точку (0;c).

Это – единственная точка пересечения.

Одна точка пересечения

$A = 0, B \neq 0, C \neq 0$

$ a_1 = a_2, b_1 \neq b_2 $

Параболы имеют вид

Абсцисса точки пересечения

Одна точка пересечения (касание)

$A \neq 0, B = 0, C = 0$

$ a_1 \neq a_2, b_1 = b_2 $

Параболы имеют вид

Пересекаются при x=0 (точка касания)

Одна точка пересечения (касание) (0;c)

$A \neq 0, B = 0, C \neq 0$

$ a_1 \neq a_2, b_1 = b_2 $

Параболы имеют вид

Не пересекаются, если

Две точки пересечения

Пересекаются в двух точках

Две точки пересечения

$A \neq 0, B \neq 0, C = 0$

$ a_1 \neq a_2, b_1 \neq b_2 $

Параболы имеют вид

$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c $$

$$ y = a_2 x^2+b_2 x+c $$

Две точки пересечения

Две точки пересечения,

одна из которых (0;c)

$A \neq 0, B \neq 0, C \neq 0$

$ a_1 \neq a_2, b_1 \neq b_2 $

Все параметры парабол разные

Две точки пересечения

Две точки пересечения

Одна точка пересечения (касание)

Одна точка пересечения

Точек пересечения нет

Точек пересечения нет

Если две параболы не совпадают, то они могут иметь 1) две точки пересечения; 2) одну точку пересечения; 3) ни одной точки пересечения.

Иметь ровно 3, 4, 5 и т.д. точек пересечения две параболы не могут!

Примеры

Пример 1. Найдите точки пересечения параболы с осями координат:

Пересечение с осью OY: $<\left\< \begin x = 0 \\ y = -1\end \right.>$

Пересечение с осью OX:

$$ 3x^2+2x-1 = 0 \Rightarrow (3x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow $$

$ \Rightarrow \left[ \begin <\left\< \begin x = \frac<1> <3>\\ y = 0 \end \right.> \\ <\left\< \begin x = -1 \\ y = 0 \end \right.> \end \right.$ — две точки пересечения

Пересечение с осью OY: $<\left\< \begin x = 0 \\ y = 1\end \right.>$

Пересечение с осью OX:

$$ -4x^2-3x+1 = 0 \Rightarrow 4x^2+3x-1 = 0 $$

$$ (4x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow$$

$ \Rightarrow \left[ \begin <\left\< \begin x = \frac<1> <4>\\ y = 0 \end \right.> \\ <\left\< \begin x = -1 \\ y = 0 \end \right.> \end \right.$ — две точки пересечения

Пересечение с осью OY: $<\left\< \begin x = 0 \\ y = 1\end \right.>$

Пересечение с осью OX:

$$ D = 2^2-4 \cdot 5 \cdot 1 = 4-20 = -16 \lt 0 $$

Парабола не пересекает ось OX

Пересечение с осью OY: $<\left\< \begin x = 0 \\ y = -4\end \right.>$

Пересечение с осью OX:

$$ -x^2+4x-4 = 0 \Rightarrow x^2-4x+4 = 0 \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow <\left\< \begin x = 2 \\ y = 0 \end \right.>$$ — одна точка пересечения

Пример 2*. Даны две параболы

$$ y = 2x^2+5x+1 и y = x^2+3x+k $$

Найдите такое значение параметра k, чтобы параболы

1) имели две точки пересечения; 2) имели одну точку пересечения; 3) не пересекались.

$$ a_1 = 2, b_1 = 5, c_1 = 1, a_2 = 1, b_2 = 3, c_2 = k $$

$$ a_1 \neq a_2, b_1 \neq b_2 $$

A = 2-1 = 1, B = 5-3 = 2, C = 1-k

Нам необходимо рассмотреть 4 последних случая из представленных выше, в таблице §29.

1) Параболы имеют две точки пересечения в двух случаях:

1 случай: $c_2 = c_1$, k = 1

2 случай: $c_2 ≠ c_1, D \gt 0$

$$ D = B^2-4AC = 2^2-4 \cdot 1 \cdot (1-k) = 4k \gt 0 \Rightarrow k \gt 0 $$

Оба случая можем объединить требованием $k \gt 0$.

2) Параболы имеют одну точку пересечения, если:

$$ D = 4k = 0 \Rightarrow k = 0 $$

3) Параболы не имеют общих точек, если:

$$ D = 4k \lt 0 \Rightarrow k \lt 0 $$

Ответ: 1) $k \gt 0$; 2) k = 0; 3) $k \lt 0$

Пример 3. Две параболы с общей вершиной

Найдите соотношение параметров двух парабол, при котором они будут пересекаться в одной точке – вершине парабол.

Пусть уравнения парабол:

$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c_1, y = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$

Получаем две пропорции, которым параметры уравнений должны удовлетворять одновременно.

Пример 4. Используя результаты примера 3, найдите две параболы, у которых такая же вершина, как у $y = \frac<2>-3x+1$.

$$ x_0 = — \frac <2a>= — \frac<-3><2 \cdot \frac<1><2>> = 3, D = b^2-4ac = 3^2-4 \cdot \frac<1> <2>\cdot 1 = 7 $$

Уравнение искомой параболы: $y = ax^2+bx+c$

Пропорции для параметров (см. пример 3):

Пусть для искомых двух парабол a=1 и a=-0,2 (можно взять любые другие значения). Получаем:

$$ <\left\< \begin a = 1 \\ b = -6a = -6 \\ D = 14a = 14 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 1 \\ b = -6 \\ b^2-4ac = 14 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 1 \\ b = -6 \\ 36-4c = 14 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 1 \\ b = -6 \\ c = \frac<36-14> <4>= 5,5 \end \right.>$$

$$ <\left\< \begin a = -0,2 \\ b = -6a = 1,2 \\ D = 14a = -2,8 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = -0,2 \\ b = 1,2 \\ 1,2^2-4 \cdot (-0,2)c = -2,8 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = -0,2 \\ b = 1,2 \\ c = — \frac<1,44+2,8> <0,8>= -5,3 \end \right.> $$

$$ y = \frac<2>-3x+1, y = x^2-6x+5,5, y = -0,2x^2+1,2x-5,3 $$

имеют общую вершину (3;-3,5)

Пример 5. Комета движется по параболической траектории, которая в выбранной системе координат описывается уравнением $y = \frac<3>-2x+5$.

Космический аппарат запускается из начала координат и также движется по параболической траектории. Рассчитайте уравнение этой траектории так, чтобы её вершина совпала с вершиной траектории кометы.

Координаты вершины траектории кометы:

$$ x_0 = -\frac <2a>= -\frac<-2><2 \cdot \frac<1><3>> = 3, D = b^2-4ac = 2^2-4 \cdot \frac<1> <3>\cdot 5 = — \frac<8> <3>$$

Уравнение траектории космического аппарата: $y = ax^2+bx+c$.

Аппарат запускается из начала координат, т.е. его траектория пересекается с осью OY в точке (0;0). Значит, в уравнении параболы c = 0.

Пропорции для параметров (см. пример 3) с учетом c = 0:

Уравнение траектории космического аппарата с «перехватом» кометы в вершине:

Похожие публикации:

1. Как скачать драйвер на звук для компьютера windows 10
2. Куда лучше установить виндовс ssd или hdd
3. Почему принтер не печатает пдф файлы а ворд печатает
4. Через какой порт работает браузер