Параллелограмм это ничто иное как четырехугольник

4

«Высокий уровень»

J Параллелограмм – это ничто иное, как четырехугольник.

J Не кто иной не сделал бы этого лучше меня.

R Это был не кто иной, как сам президент концерна.

R Никто иной, кроме Петрова, ко мне не приходил.

Предложение не содержит орфографических ошибок:

R Где он только не побывал!

J Дети Ивановых систематически не доедают.

R Малыш не достает рукой до звонка.

J Мы не досчитались четырехсот рублей.

Предложение не содержит орфографических ошибок:

J Егор совершил ничем неоправданный поступок.

R Некоторые произведения писателя остались не опубликованными при его жизни.

J На столе лежало нераспечатанное мамой письмо.

R Колхозники собрали хороший урожай, несмотря на засуху.

Слитно пишутся все слова в ряду …

J не_взирая на не_погоду, не_вдалеке от озера

J (на)веки, (на)веки веков, (во)след

J (в)отместку, работать (в)полсилы, (на)цыпочках

R (на)чисто, (по)просту, (экстра)ординарный

J (не)видел (ни)зги, (в)начале августа

Укажите ряды, в которых все слова пишутся через дефис:

R (еле) еле, (кое) где, одеться (по) зимнему

J (крепко) накрепко, (дальне) восточный, (по) лучше

J (давным) давно, (по) тихоньку, (как) либо

R (по) товарищески, (пол) Москвы, (сине) зеленый

J (юго) запад, (бледно) розовый, (как) будто

Выделенные слова пишутся через дефис в предложениях:

J Чаще всего дачные поезда днем (полу)пустые.

R При пединституте организован (учебно)консультативный пункт, при нем имеется (учебно)методический кабинет.

R Бурые листья осин стали (нежно)зелеными.

J (Десяти)метровые уступы опоясывают гору.

J В глубине (тёмно)хвойного леса вас охватывает сырой (полу)мрак.

Две буквы НН пишутся в примере

R его лицо было сосредоточе…о

J серебря…ная цепочка

J эти работы еще не провере…ы

J море скова…о льдом

Частица НЕ пишется в словосочетаниях

R н… понял вопроса

J встал н… свет н… заря

R н… мог н… улыбнуться

J в комнате н… звука, н… шороха

J во что бы то н… стало

Орфографические ошибки допущены в предложении

J Переселение жителей деревни связано с огромными затратами, а кроме того с драматической ломкой судеб людей, вынужденных покидать родные места

J Полученный ответ рассматривается нами как согласие

R В инструкцие подробно изложенно, как работает данный механизм

J В таком случае учащиеся явно ощущают дефицит доброты и внимания со стороны учителя

Параллелограмм это ничто иное как четырехугольник

Видео: Геометрия 8. Урок 2 — Параллелограмм. Свойства и признаки.

Параллелограмм против четырехугольника

Четырехугольники и параллелограммы — это многоугольники, встречающиеся в евклидовой геометрии. Параллелограмм — это частный случай четырехугольника. Четырехугольники могут быть плоскими (2D) или трехмерными, в то время как параллелограммы всегда плоские.

Четырехугольник

Четырехугольник — это многоугольник с четырьмя сторонами. Он имеет четыре вершины, а сумма внутренних углов составляет 3600 (2π рад). Четырехугольники подразделяются на самопересекающиеся и простые четырехугольники. У самопересекающихся четырехугольников две или более стороны пересекаются друг с другом, а геометрические фигуры меньшего размера (например, треугольники образуются внутри четырехугольника).

Простые четырехугольники также делятся на выпуклые и вогнутые четырехугольники. Вогнутые четырехугольники имеют смежные стороны, образующие углы отражения внутри фигуры. Простые четырехугольники, не имеющие внутренних углов, называются выпуклыми четырехугольниками. Выпуклые четырехугольники всегда могут иметь мозаику.

Большая часть геометрии четырехугольников на начальных уровнях касается выпуклых четырехугольников. Некоторые четырехугольники нам хорошо знакомы еще со времен начальной школы. Ниже представлена ​​диаграмма, показывающая различные выпуклые четырехугольники.

Параллелограмм

Параллелограмм можно определить как геометрическую фигуру с четырьмя сторонами, причем противоположные стороны параллельны друг другу. Точнее, это четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Эта параллельность придает параллелограммам множество геометрических характеристик.

Четырехугольник является параллелограммом, если найдены следующие геометрические характеристики.

• Две пары противоположных сторон равны по длине. (AB = DC, AD = BC)

• Две пары противоположных углов равны по размеру. ()

• Если соседние углы являются дополнительными

• Пара противостоящих друг другу сторон параллельна и равна длине. (AB = DC и AB∥DC)

• Диагонали делят друг друга пополам (AO = OC, BO = OD)

• Каждая диагональ делит четырехугольник на два конгруэнтных треугольника. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)

Далее сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей. Иногда это называют закон параллелограмма и имеет широкое применение в физике и технике. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2 )

Каждую из вышеперечисленных характеристик можно использовать в качестве свойств после того, как будет установлено, что четырехугольник является параллелограммом.

Площадь параллелограмма можно рассчитать как произведение длины одной стороны и высоты противоположной стороны. Следовательно, площадь параллелограмма можно записать как

Площадь параллелограмма = основание × высота = AB×час

Площадь параллелограмма не зависит от формы отдельного параллелограмма. Это зависит только от длины основания и высоты перпендикуляра.

Если стороны параллелограмма могут быть представлены двумя векторами, площадь может быть получена по величине векторного произведения (перекрестного произведения) двух смежных векторов.

Если стороны AB и AD представлены векторами () и () соответственно, площадь параллелограмма равна, где α — угол между и .

Ниже приведены некоторые дополнительные свойства параллелограмма.

• Площадь параллелограмма в два раза больше площади треугольника, образованного любой из его диагоналей.

• Площадь параллелограмма делится пополам любой линией, проходящей через середину.

• Любое невырожденное аффинное преобразование переводит параллелограмм в другой параллелограмм.

• Параллелограмм имеет вращательную симметрию 2-го порядка.

• Сумма расстояний от любой внутренней точки параллелограмма до сторон не зависит от местоположения точки.

В чем разница между параллелограммом и четырехугольником?

• Четырехугольники — это многоугольники с четырьмя сторонами (иногда называемые четырехугольниками), а параллелограмм — это особый тип четырехугольника.

• Четырехугольники могут иметь стороны в разных плоскостях (в трехмерном пространстве), в то время как все стороны параллелограмма лежат в одной плоскости (плоские / двухмерные).

• Внутренние углы четырехугольника могут принимать любое значение (включая углы отражения), в сумме они могут составлять 3600. Параллелограммы могут иметь только тупые углы в качестве максимального типа угла.

• Четыре стороны четырехугольника могут быть разной длины, в то время как противоположные стороны параллелограмма всегда параллельны друг другу и равны по длине.

• Любая диагональ делит параллелограмм на два конгруэнтных треугольника, в то время как треугольники, образованные диагональю общего четырехугольника, не обязательно конгруэнтны.

Четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда

Теорема: Четырехугольник является параллелограммом, если:

1. противоположные его углы равны;
2. противоположные его стороны попарно равны;
3. его диагонали точкой пересечения делятся пополам;
4. две его противоположные стороны параллельны и равны.

Доказательство:

A. Пусть в четырехугольнике KLMN углы К и М равны друг другу и равны а, пусть также равны друг другу и равны р углы L и N (рисунок). Учитывая, что сумма углов четырехугольника равна 360°, получаем, что 2α + 2β = 360°, или α + β = 180°. Учитывая, что углы К и L, равные соответственно аир, являются внутренними односторонними углами при прямых KN и LM, пересеченных прямой KL, заключаем, что стороны KN и LM параллельны. Также по углам К и N заключаем, что стороны KL и NM параллельны. Теперь по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник KLMN — параллелограмм.

B. Пусть в четырехугольнике CDEF стороны CD и FE, а также CF и DE попарно равны (рисунок). Проведем одну из диагоналей четырехугольника, например СЕ. Треугольники CDE и EFC равны по трем сторонам. Поэтому углы DEC и FCE равны. Поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых DE и CF, пересеченных прямой СЕ, то стороны DE и CF параллельны. Также из равенства углов DCE и FEC получаем, что стороны CD и FE параллельны. Теперь по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник CDEF — параллелограмм.

C. Пусть точка В пересечения диагоналей IL и КМ четырехугольника IKLM делит эти диагонали пополам: IB = BL и KB = ВМ (рисунок). Тогда треугольники KBL и MBI равны по двум сторонам и углу между ними. Это позволяет утверждать, что углы 1MB и LKB равны, а значит, стороны IM и KL параллельны. Аналогично из равенства треугольников KBI и MBL делаем вывод о параллельности сторон IK и LM. Теперь по определению параллелограмма можем утверждать, что четырехугольник IKLM — параллелограмм. Очень часто это надо знать при решении олимпиадных задачах на школьных олимпиадах.

D. Пусть в четырехугольнике OPQR противоположные стороны ОР и RQ параллельны и равны (рисунок). Проведем диагональ OQ. Полученные углы POQ и RQO равны, так как они являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых ОР и RQ, пересеченных прямой OQ. Поэтому треугольники OPQ и RQO равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, их соответствующие углы PQO и ROQ равны.

А поскольку они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых PQ и OR, пересеченных прямой OQ, то стороны PQ и OR параллельны. Учитывая параллельность сторон ОР и RQ, по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник OPQR — параллелограмм.

Параллелограмм: свойства и признаки

О чем эта статья:

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
   
2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
   
3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
   Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
   

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
   ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
   
2. Противоположные углы параллелограмма равны.
   ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
   
3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
   ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
   
4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
   ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
   
5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
   ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
   
6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
   

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
   • CO = AO
   • BO = DO

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

• AB || CD
• AB = CD

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

1. AC — общая сторона;
2. По условию AB = CD;
3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

• AB = CD
• BC = AD

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

• AC — общая сторона;
• AB = CD по условию;
• BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

• CO = OA;
• DO = BO;
• углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Как доказать, что четырехугольник является параллелограммом?

Согласно определению,геометрическая фигура параллелограмм является четырехугольником с попарно параллельными противоположными сторонами и равными противолежащими углами. Доказать, что фигура параллелограмм позволяет как определение, так и ее признаки. Применяя на практике эти свойства, можно решать геометрические задачи разной сложности.

Определение параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом с параллельными противоположными сторонами. Эта фигура имеет по 2 тупых и острых угла, произвольную величину которых определяют при решении задач. Для этого используют не только признаки параллелограмма или треугольника, но и таблицу синусов с косинусами.

Квадрат, прямоугольник и ромб — это параллелограммы, обладающие общими свойствами. Фигура, у которой диагонали совпадают с биссектрисами, является ромбом. Согласно определению, прямоугольник — это четырехугольник, имеющий все прямые углы. Если стороны этой фигуры равны между собой, то прямоугольник является квадратом.

Параллелограмм — геометрическая фигура с равными противоположными сторонами. Если каждую из них возвести в квадрат и сложить их между собой, то полученная величина будет равна сумме квадратов диагоналей, проведенных через противоположные вершины углов фигуры. Диагонали этого четырехугольника пересекаются в точке, определить которую позволяют прямоугольные координаты.

Свойства фигуры

Зная различные свойства четырехугольников, можно решать простые и сложные задачи по геометрии, начиная с определения периметра, заканчивая нахождением координаты вершины параллелограмма. Для решения задач используют 7 основных свойств параллелограмма, учитывая что его стороны попарно образуют:

• смежные углы, сумма которых составляет 180 градусов;
• равные отрезки;
• одинаковые по величине противоположные углы;
• четырехугольник, сумма углов которого равна 360 градусов;
• фигуру, диагонали которой пересекаются в точке, разделяющей их на 2 равных отрезка;
• равнобедренный треугольник, одна из сторон которого является биссектрисой фигуры;
• симметричные фигуры, дополняемые линией, проходящей через точку пересечения диагоналей.

Доказать последнее свойство позволяет II признак равенства треугольников. Известен отрезок, принадлежащий линии, проведенной через точку, в которой пересекаются диагонали. В четырехугольнике КМРТ он обозначен НП. Отсюда следует равенство треугольников КОП и НОР, поэтому НО=ОП.

Сумма смежных углов параллелограмма составляет 180 градусов, поскольку они являются односторонними при параллельных прямых. Существует свойство равенства острого угла и образованного высотами тупого угла четырехугольника АВСД. Параллелограмм имеет смежные углы А и Д, а высоты ВМ и ВН проведены из вершины В, поэтому угол МВН в сумме с Д равен 180 градусам.

Доказательство равенства противолежащих сторон и углов фигуры заключается в следующем. Например, диагонали ABCD делят фигуру на 2 равных треугольника, имеющих общую сторону в виде диагонали BD. При этом углы ADВ и ABC при противолежащих вершинах A и C являются накрест лежащими.

Параллелограмм состоит из равных треугольников ABD, BCD и ABC, ACD, образуемых диагоналями AC и ВD, значит AB=CD и AD=BC. Отсюда углы при вершинах A и C, В и D имеют одинаковую величину.

Свойства можно представить в виде формул для решения уравнений и примеров, а также доказать теоретически. Их следует запомнить, чтобы правильно применять на практике. Для решения более сложных задач по геометрии следует доказать основные свойства фигуры.

Основные признаки

Существует 5 признаков параллелограмма, доказательство которых основано на свойствах прямых и образованных ими углов либо фигур. Выпуклый четырехугольник, вершины которого обозначены МНКП, имеет диагонали МП и НК. Признаки того, что фигура МНКП представляет собой параллелограмм, следующие:

• попарное равенство противоположных сторон: МН=КП и НК=МП;
• попарное равенство противоположных углов: МНК=КПМ и НКП=НМП;
• равенство и параллельность противоположных сторон: МН=КП и МН||КП;
• пересечение диагоналей в точке, которая делит их пополам;
• МН2 + КП2 = МН2 + НК2 + КП2 + МП2

Если четырехугольник имеет 2 равные и параллельные стороны, то он представляет собой параллелограмм. Четырехугольник MNPK имеет параллельные и равные MN и KP, отсюда следует доказательство I признака:

Если четырехугольник имеет противоположные стороны, которые равны попарно, то он является параллелограммом. Перед тем как доказать, что фигура является параллелограммом, следует провести диагонали. Пошаговое доказательство II признака:

Доказать деление точкой пересечения каждой из диагоналей фигуры АМКД на равные отрезки позволяет II признак равенства треугольников. При этом AОД и КОМ равны. Следовательно, AО=КО и АО=ДО.

Согласно III признаку, четырехугольник, диагонали которого пересекаются, а точка пересечения делит их пополам, представляет собой параллелограмм. В четырехугольнике MNPQ она обозначена буквой К. Поскольку в ней пересекаются диагонали MP и NQ, то образуемые ими треугольники MNК и КPQ равны по I признаку. Это следует из равенства вертикальных углов MКN и PКQ, а также MК и NК, КP и КQ, которые равны по условию.

В треугольниках MNК и КPQ стороны MN и PQ равны между собой. Углы NMК и КPQ равны как накрест лежащие при MN и PQ и секущей MP. Отсюда следует, что прямые MN||PQ. Итак, четырехугольник MNPQ — это параллелограмм по I признаку, поскольку MN и PQ равны и параллельны.

Пошаговое доказательство

Перед тем как доказать, что четырехугольник параллелограмм, нужно провести высоты треугольников МНК и МПК, пересекающие МК в точках О и С. По данным задачи, МНК, МПК и НПК имеют одинаковые площади. Доказательство параллельности МК и НП состоит из следующих шагов:

Чтобы доказать, что МН и ПК параллельны, нужно опустить из вершин треугольников МНК и НКП высоты Н и П, которые пересекут прямую ПК в точках Р и Т. По построению НР=ПТ, а по указанному условию площади треугольников МНК и НПК совпадают. Сторона МН параллельна ПК, следовательно, МНПК — параллелограмм. Итак, порядок доказательства параллельности МН и ПК аналогичен с доказательством, что МК и НП параллельны.

Доказательство признака образования равнобедренного треугольника и трапеции при пересечении противолежащей стороны параллелограмма биссектрисой АМ одного из углов состоит из следующих утверждений:

Зная, как доказать, что фигура параллелограмм, если известно, что 2 из его сторон равны и параллельны, можно использовать I признак равенства для доказательства другого. Согласно II признаку, стороны параллелограмма попарно равны между собой.

Параллелограмм — его свойства, признаки и определение с примерами решения

С четырехугольником вы уже знакомились на уроках математики. Дадим строгое определение этой фигуры.

Определение четырехугольника:

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех точек (вершин четырехугольника) и четырех отрезков, которые их последовательно соединяют (сторон четырехугольника). При этом никакие три его вершины не лежат на одной прямой и никакие две стороны не пересекаются.

На рисунке 1 изображен четырехугольник с вершинами

Говорят, что две вершины четырехугольника являются соседними вершинами, если они соединены одной стороной; вершины, которые не являются соседними, называют противолежащими вершинами. Аналогично стороны четырехугольника, имеющие общую вершину, являются соседними сторонами, а стороны, не имеющие общих точек,— противолежащими сторонами. На рисунке 1 стороны — соседние для стороны а сторона — противолежащая стороне вершины — соседние с вершиной а вершина — противолежащая вершине

Четырехугольник обозначают, последовательно указывая все его вершины, причем буквы, которые стоят рядом, должны обозначать соседние вершины. Например, четырехугольник на рисунке 1 можно обозначить или но нельзя обозначать

Определение

Диагональю четырехугольника называется отрезок, соединяющий две противолежащие вершины.

В четырехугольнике (рис. 2) диагоналями являются отрезки Следует отметить, что любой четырехугольник имеет диагональ, которая делит его на два треугольника.

Определение

Периметром четырехугольника называется сумма длин всех его сторон. Периметр четырехугольника (как и треугольника) обозначают буквой

Любой четырехугольник ограничивает конечную часть плоскости, которую называют внутренней областью этого четырехугольника (на рис. 3, а, б она закрашена).

На рисунке 3 изображены два четырехугольника и проведены прямые, на которых лежат стороны этих четырехугольников. В четырехугольнике эти прямые не проходят через внутреннюю область — такой четырехугольник является выпуклым (рис. 3, а). В четырехугольнике прямые проходят через внутреннюю область — этот четырехугольник является невыпуклым (рис. 3, б).

Определение

Четырехугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.

Действительно, четырехугольник на рисунке 3, а лежит по одну сторону от любой из прямых В школьном курсе геометрии мы будем рассматривать только

выпуклые четырехугольники (другие случаи будут оговорены отдельно).

Определение

Углом (внутренним углом) выпуклого четырехугольника при вершине называется угол

Угол, смежный с внутренним углом четырехугольника при данной вершине, называют внешним углом четырехугольника при данной вершине.

Углы, вершины которых являются соседними, называют соседними углами, а углы, вершины которых являются противолежащими,— противолежащими углами четырехугольника.

Теорема (о сумме углов четырехугольника)

Сумма углов четырехугольника равна

В данном четырехугольнике проведем диагональ, которая делит его на два треугольника (рис. 4). Поскольку сумма углов четырехугольника равна сумме всех углов треугольников и то есть равна Теорема доказана.

Пример:

Углы четырехугольника соседние с углом равны, а противолежащий угол в два раза больше угла (см. рис. 1). Найдите угол если

Решение:

Углами, соседними с углом являются углы а углом, противолежащим к — угол По условию задачи Поскольку сумма углов четырехугольника равна то Если градусная мера угла равна то градусная мера угла по условию равна Отсюда имеем: Следовательно,

Ответ:

Определение параллелограмма

Рассмотрим на плоскости две параллельные прямые, пересеченные двумя другими параллельными прямыми (рис. 7).

В результате такого пересечения образуется четырехугольник, который имеет специальное название — параллелограмм.

Определение

Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.

На рисунке 7 изображен параллелограмм в котором

Пример:

На рисунке 8 Докажите, что четырехугольник — параллелограмм.

Решение:

Из равенства треугольников следует равенство углов: Углы 1 и 2 являются внутренними накрест лежащими при прямых и секущей Аналогично углы 3 и 4 являются внутренними накрест лежащими при прямых и секущей По признаку параллельности прямых имеем: Следовательно, в четырехугольнике противолежащие стороны попарно параллельны, т.е. — параллелограмм по определению.

Как и в треугольнике, в параллелограмме можно провести высоты (рис. 9).

Определение

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведенный из точки одной стороны к прямой, которая содержит противолежащую сторону.

Очевидно, что к одной стороне параллелограмма можно провести бесконечно много высот (рис. 9, а),— все они будут равны как расстояния между параллельными прямыми, а из одной вершины параллелограмма можно провести две высоты к разным сторонам (рис. 9, б). Часто, говоря «высота параллелограмма», имеют в виду ее длину.

Свойства параллелограмма

Непосредственно из определения параллелограмма следует, что любые два его соседних угла являются внутренними односторонними при параллельных прямых, которые содержат противолежащие стороны. Это означает, что сумма двух соседних углов параллелограмма равна

Докажем еще несколько важных свойств сторон, углов и диагоналей параллелограмма.

Теорема (свойства параллелограмма)

В параллелограмме:

1. противолежащие стороны равны;
2. противолежащие углы равны;
3. диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Свойства 1 и 2 иллюстрирует рисунок 10, а, а свойство 3 — рисунок 10, б.

Проведем в параллелограмме диагональ (рис. 11) и рассмотрим треугольники

У них сторона — общая, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей Следовательно, по второму признаку равенства треугольников. Отсюда, в частности, следует, что и А поскольку то Следовательно, свойства 1 и 2 доказаны.

Для доказательства свойства 3 проведем в параллелограмме диагонали которые пересекаются в точке (рис. 12).

Рассмотрим треугольники У них по доказанному, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей Следовательно, по второму признаку. Отсюда следует, что т. е. точка является серединой каждой из диагоналей и Теорема доказана полностью.

Пример №1

Сумма двух углов параллелограмма равна Найдите углы параллелограмма.

Решение:

Пусть дан параллелограмм Поскольку сумма двух соседних углов параллелограмма равна то данные углы могут быть только противолежащими. Пусть Тогда по свойству углов параллелограмма Сумма всех углов параллелограмма равна поэтому

Ответ:

Пример №2

В параллелограмме биссектриса угла делит сторону пополам. Найдите периметр параллелограмма, если

Решение:

Пусть в параллелограмме биссектриса угла пересекает сторону в точке (рис. 13). Заметим, что поскольку — биссектриса угла как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей Отсюда т.е. по признаку равнобедренного треугольника треугольник — равнобедренный с основанием значит, По условию Следовательно, поскольку противолежащие стороны параллелограмма равны, то

Ответ: 36 см.

Признаки параллелограмма

Теоремы о признаках параллелограмма

Для того чтобы использовать свойства параллелограмма, во многих случаях необходимо сначала убедиться, что данный четырехугольник действительно является параллелограммом. Это можно доказать либо по определению (см. задачу в п. 2.1), либо по признакам — условиям, гарантирующим, что данный четырехугольник — параллелограмм. Докажем признаки параллелограмма, которые чаще всего применяются на практике.

Теорема (признаки параллелограмма)

1. Если две противолежащие стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
2. Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
3. Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

1) Пусть в четырехугольнике (рис. 15).

Проведем диагональ и рассмотрим треугольники и Они имеют общую сторону по условию, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей Следовательно, по первому признаку равенства треугольников. Из равенства этих треугольников следует равенство углов 3 и 4. Но эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых и секущей Тогда по признаку параллельности прямых Таким образом, в четырехугольнике противолежащие стороны попарно параллельны, откуда следует, что — параллелограмм по определению.

2) Пусть в четырехугольнике (рис. 16).

Снова проведем диагональ и рассмотрим треугольники и В этом случае они равны по третьему признаку: сторона — общая, и по условию. Из равенства треугольников следует равенство углов 1 и 2, которые являются внутренними накрест лежащими при прямых и секущей По признаку параллельности прямых Следовательно, в четырехугольнике стороны параллельны и равны, и по только что доказанному признаку 1 — параллелограмм.

3) Пусть в четырехугольнике диагонали пересекаются в точке и (рис. 17). Рассмотрим треугольники Эти треугольники равны по первому признаку: как вертикальные, а и по условию. Следовательно, равны и соответствующие стороны и углы этих треугольников: Тогда и — параллелограмм по признаку 1.

Теорема доказана полностью.

Пример №3

В параллелограмме точки — середины сторон соответственно (рис. 18). Докажите, что четырехугольник —параллелограмм.

Решение:

Рассмотрим четырехугольник Стороны и параллельны, т.к. лежат на прямых, содержащих противолежащие стороны параллелограмма Кроме того, как половины равных сторон параллелограмма Таким образом, в четырехугольнике две стороны параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник — параллелограмм.

Попробуйте самостоятельно найти другие способы решения этой задачи, основанные на применении других признаков и определения параллелограмма.

Необходимые и достаточные условия

Каждый из признаков параллелограмма указывает на определенную особенность, наличия которой в четырехугольнике достаточно для того, чтобы утверждать, что он является параллелограммом. Вообще в математике признаки иначе называют достаточными условиями. Например, перпендикулярность двух прямых третьей — достаточное условие параллельности данных двух прямых.

В отличие от признаков, свойства параллелограмма указывают на ту особенность, которую обязательно имеет любой параллелограмм. Свойства иначе называют необходимыми условиями. Поясним такое название примером: равенство двух углов необходимо для того, чтобы углы были вертикальными, ведь если этого равенства нет, вертикальными такие углы быть не могут.

В случае верности теоремы «Если то утверждение является достаточным условием для утверждения а утверждение — необходимым условием для утверждения Схематически это можно представить так:

Таким образом, необходимые условия (свойства) параллелограмма следуют из того, что данный четырехугольник — параллелограмм; из достаточных условий (признаков) следует то, что данный четырехугольник — параллелограмм.

Сравнивая свойства и признаки параллелограмма, нетрудно заметить, что одно и то же условие (например, попарное равенство противолежащих сторон) является и свойством, и признаком параллелограмма. В таком случае говорят, что условие является необходимым и достаточным. Необходимое и достаточное условие иначе называют критерием. Например, равенство двух углов треугольника — критерий равнобедренного треугольника.

Немало примеров необходимых и достаточных условий можно найти в других науках и в повседневной жизни. Все мы знаем, что воздух — необходимое условие для жизни человека, но не достаточное (человеку для жизни нужно еще много чего, среди прочего — пища). Выигрыш в лотерею — достаточное условие для материального обогащения человека, но оно не является необходимым — ведь улучшить свое финансовое положение можно и другим способом. Попробуйте самостоятельно найти несколько примеров необходимых и достаточных условий.

Виды параллелограммов

Прямоугольник

Определение

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

На рисунке 28 изображен прямоугольник

Поскольку прямоугольник является частным случаем параллелограмма, он имеет все свойства параллелограмма: противолежащие стороны прямоугольника параллельны и равны, противолежащие углы равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам и т.д. Однако прямоугольник имеет некоторые особые свойства. Докажем одно из них.

Теорема (свойство прямоугольника)

Диагонали прямоугольника равны.

Пусть дан прямоугольник с диагоналями (рис. 29). Треугольники и прямоугольные и равны по двум катетам — общий, как противолежащие стороны прямоугольника). Отсюда следует равенство гипотенуз этих треугольников, т. е. что и требовалось доказать.

Имеет место и обратное утверждение (признак прямоугольника): если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Докажите это утверждение самостоятельно. Таким образом, можно утверждать, что равенство диагоналей параллелограмма — необходимое и достаточное условие (критерий) прямоугольника.

Опорная задача

Если все углы четырехугольника прямые, то этот четырехугольник — прямоугольник. Докажите.

Решение:

Пусть в четырехугольнике (см. рис. 28). Углы являются внутренними односторонними при прямых и секущей Поскольку сумма этих углов составляет то по признаку параллельности прямых Аналогично доказываем параллельность сторон Следовательно, по определению параллелограмма — параллелограмм. А поскольку все углы этого параллелограмма прямые, то — прямоугольник по определению.

Определение

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

На рисунке 30 изображен ромб

Он обладает всеми свойствами параллелограмма, а также некоторыми дополнительными свойствами, которые мы сейчас докажем.

Теорема (свойства ромба)

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

Эти свойства ромба иллюстрируются рисунком 31.

Пусть диагонали ромба пересекаются в точке (рис. 32). Поскольку стороны ромба равны, то треугольник равнобедренный с основанием а по свойству диагоналей параллелограмма точка — середина Следовательно, отрезок — медиана равнобедренного треугольника, которая одновременно является его высотой и биссектрисой. Это означает, что т.е. диагонали ромба перпендикулярны, и— биссектриса угла

Аналогично доказываем, что диагонали ромба являются биссектрисами и других его углов. Теорема доказана.

Опорная задача

Если все стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник — ромб. Докажите.

Решение:

Очевидно, что в четырехугольнике, все стороны которого равны, попарно равными являются и противолежащие стороны. Следовательно, по признаку параллелограмма такой четырехугольник — параллелограмм, а по определению ромба параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Решая задачи, помещенные в конце этого параграфа, вы докажете другие признаки прямоугольника и ромба.

Квадрат

На рисунке 33 изображен еще один вид параллелограмма — квадрат.

Определение

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Иначе можно сказать, что квадрат — это прямоугольник, который является ромбом. Действительно, поскольку квадрат является прямоугольником и ромбом и, конечно же, произвольным параллелограммом, то:

1. все стороны квадрата равны, а противолежащие стороны параллельны;
2. все углы квадрата прямые;
3. диагонали квадрата равны, перпендикулярны, делят углы квадрата пополам и делятся точкой пересечения пополам.

Связь между отдельными видами параллелограммов. Равносильные утверждения

Исходя из определений произвольного параллелограмма и его отдельных видов, мы можем схематически отобразить связь между ними (рис. 34).

На схеме представлены множества параллелограммов, прямоугольников и ромбов. Такой способ наглядного представления множеств называют диаграммами Эйлера — Венна. Диаграмма Эйлера — Венна для параллелограммов демонстрирует, что множества прямоугольников и ромбов являются частями (подмножествами) множества параллелограммов, а множество квадратов — общей частью (пересечением) множеств прямоугольников и ромбов. Диаграммы Эйлера — Венна часто используют для подтверждения или проверки правильности логических рассуждений.

Подытоживая материал этого параграфа, обратим также внимание на то, что возможно и другое определение квадрата: квадратом называется ромб с прямыми углами. В самом деле, оба приведенных определения описывают одну и ту же фигуру. Такие определения называют равносильными. Вообще два утверждения называются равносильными, если они или оба выполняются, или оба не выполняются. Например, равносильными являются утверждения «В треугольнике две стороны равны» и «В треугольнике два угла равны», ведь оба они верны, если рассматривается равнобедренный треугольник, и оба ложны, если речь идет о разностороннем треугольнике.

Равносильность двух утверждений также означает, что любое из них является необходимым и достаточным условием для другого. В самом деле, рассмотрим равносильные утверждения «Диагонали параллелограмма равны» и «Параллелограмм имеет прямые углы». Из того, что диагонали параллелограмма равны, следует, что он является прямоугольником, т.е. имеет прямые углы, и наоборот: параллелограмм с прямыми углами является прямоугольником, т.е. имеет равные диагонали. На этом примере легко проследить логические шаги перехода от признаков фигуры к ее определению и далее — к свойствам. Такой переход довольно часто приходится выполнять в процессе решения задач.

Трапеция

Как известно, любой параллелограмм имеет две пары параллельных сторон. Рассмотрим теперь четырехугольник, который имеет только одну пару параллельных сторон.

Определение

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называют ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. На рисунке 37 в трапеции стороны являются основаниями, а — боковыми сторонами.

Углы, прилежащие к одной боковой стороне, являются внутренними односторонними при параллельных прямых, на которых лежат основания трапеции. По теореме о свойстве параллельных прямых из этого следует, что сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна На рисунке 37

Определение

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из точки одного основания к прямой, содержащей другое основание.

Очевидно, что в трапеции можно провести бесконечно много высот (рис. 38),— все они равны как расстояния между параллельными прямыми.

Чаще всего в процессе решения задач высоты проводят из вершин углов при меньшем основании трапеции.

Частные случаи трапеций

Как среди треугольников и параллелограммов, так и среди трапеций выделяются отдельные виды, обладающие дополнительными свойствами.

Определение

Прямоугольной трапецией называется трапеция, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

На рисунке 39 изображена прямоугольная трапеция. У нее два прямых угла при меньшей боковой стороне. Эта сторона одновременно является и высотой трапеции.

Определение

Равнобедренной трапецией называется трапеция, в которой боковые стороны равны.

На рисунке 40 изображена равнобедренная трапеция с боковыми сторонами и Иногда равнобедренную трапецию также называют равнобокой или равнобочной.

У равнобедренной трапеции так же, как и у равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Докажем это в следующей теореме.

Теорема (свойство равнобедренной трапеции)

В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Пусть — данная трапеция,

Перед началом доказательства заметим, что этой теоремой утверждается равенство углов при каждом из двух оснований трапеции, т. е. необходимо доказать, что

Проведем высоты из вершин тупых углов и рассмотрим прямоугольные треугольники (рис. 41). У них как боковые стороны равнобедренной трапеции, как расстояния между параллельными прямыми Следовательно, по гипотенузе и катету. Отсюда следует, что Углы трапеции также равны, поскольку они дополняют равные углы

Имеет место также обратное утверждение (признак равнобедренной трапеции):

• если в трапеции углы при основании равны, то такая трапеция является равнобедренной.

Докажите этот факт самостоятельно.

Пример №4

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция в которой (рис. 42). По условию задачи треугольник равнобедренный с основанием с другой стороны, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей Пусть градусная мера угла 1 равна тогда в данной трапеции Поскольку сумма углов, прилежащих к боковой стороне, составляет имеем: Следовательно,

Ответ:

Построение параллелограммов и трапеций

Задачи на построение параллелограммов и трапеций часто решают методом вспомогательного треугольника. Напомним, что для этого необходимо выделить в искомой фигуре треугольник, который можно построить по имеющимся данным. Построив его, получаем две или три вершины искомого четырехугольника, а остальные вершины находим по данным задачи.

Пример №5

Постройте параллелограмм по двум диагоналям и углу между ними.

Решение:

Пусть — данные диагонали параллелограмма, — угол между ними. Анализ

Пусть параллелограмм построен (рис. 43).

Треугольник можно построить по двум сторонам и углу между ними

Таким образом, мы получим вершины искомого параллелограмма.

Вершины можно получить, «удвоив» отрезки

Построение

1. Разделим отрезки пополам.

2. Построим треугольник по двум сторонам и углу между ними.

3. На лучах отложим отрезки и

4. Последовательно соединим точки

Четырехугольник — параллелограмм, поскольку по построению его диагонали точкой пересечения делятся пополам. В этом параллелограмме (по построению),

Исследование

Задача имеет единственное решение при любых значениях

В некоторых случаях для построения вспомогательного треугольника на рисунке-эскизе необходимо провести дополнительные линии.

Пример №6

Постройте трапецию по четырем сторонам.

Решение:

Пусть — основания искомой трапеции, — ее боковые стороны.

Анализ

Пусть искомая трапеция построена (рис. 44).

Проведем через вершину прямую параллельную Тогда — параллелограмм по определению, следовательно, Кроме того, следовательно, Вспомогательный треугольник можно построить по трем сторонам. После этого для получения вершин надо отложить на луче и на луче с началом в точке параллельном отрезки длиной

Построение

1. Построим отрезок

2. Построим треугольник по трем сторонам

3. Построим луч, проходящий через точку и параллельный При этом построенный луч и луч должны лежать по одну сторону от прямой

4. На луче от точки отложим отрезок на луче с началом — отрезок

5. Соединим точки

По построению следовательно, — параллелограмм по признаку. Отсюда Кроме того, Следовательно, — искомая трапеция.

Исследование

Задача имеет единственное решение, если числа удовлетворяют неравенству треугольника.

Теорема Фалеса

Для дальнейшего изучения свойств трапеции докажем важную теорему.

Теорема (Фалеса)

Параллельные прямые, которые пересекают стороны угла и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне.

Пусть — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон данного угла, а — соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если то (рис. 46).

Проведем через точку прямую параллельную (рис. 47).

Четырехугольники — параллелограммы по определению. Тогда а поскольку

Рассмотрим треугольники У них по доказанному, как вертикальные, a как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей Следовательно, по второму признаку, откуда

Заметим, что в условии данной теоремы вместо сторон угла можно рассматривать две произвольные прямые, поэтому теорема Фалеса может формулироваться и следующим образом: параллельные прямые, которые пересекают две данные прямые и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой.

Пример №7

Разделите данный отрезок на равных частей.

Решение:

Решим задачу для т.е. разделим данный отрезок на три равные части (рис. 48).

Для этого проведем из точки произвольный луч, не дополнительный к лучу и отложим на нем равные отрезки Проведем прямую и параллельные ей прямые через точки По теореме Фалеса эти прямые делят отрезок на три равные части. Аналогично можно разделить произвольный отрезок на любое количество равных частей.

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса помогает исследовать еще одну важную линию в треугольнике.

Определение

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 49, а отрезок — средняя линия треугольника В любом треугольнике можно провести три средние линии (рис. 49, б).

Теорема (свойство средней линии треугольника)

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Пусть — средняя линия треугольника (рис. 50). Докажем сначала, что Проведем через точку прямую, параллельную По теореме Фалеса она пересечет отрезок в его середине, т.е. будет содержать отрезок Следовательно,

Проведем теперь среднюю линию По только что доказанному она будет параллельна стороне Четырехугольник с попарно параллельными сторонами по определению является параллелограммом, откуда А поскольку точка — середина то

Опорная задача (теорема Вариньона) Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Докажите.

Решение:

Пусть точки — середины сторон четырехугольника (рис. 51). Проведем диагональ Отрезки — средние линии треугольников соответственно. По свойству средней линии треугольника они параллельны стороне и равны ее половине, т.е. параллельны и равны между собой. Тогда по признаку параллелограмма четырехугольник — параллелограмм.

Средняя линия трапеции

Определение

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

На рисунке 52 отрезок — средняя линия трапеции

Теорема (свойство средней линии трапеции) Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Пусть — средняя линия трапеции с основаниями (рис. 53).

Проведем прямую и отметим точку — точку пересечения прямых Рассмотрим треугольники У них поскольку — середина как вертикальные, a как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей Следовательно, по второму признаку, откуда Тогда по определению — средняя линия треугольника По свойству средней линии треугольника поэтому и Кроме того, из доказанного равенства треугольников следует, что откуда По свойству средней линии треугольника

Пример №8

Через точки, делящие боковую сторону трапеции на три равные части, проведены прямые, параллельные основаниям трапеции. Найдите длины отрезков этих прямых, заключенных внутри трапеции, если ее основания равны 2 м и 5 м.

Решение:

Пусть в трапеции (рис. 54).

По теореме Фалеса параллельные прямые, которые проходят через точки отсекают на боковой стороне равные отрезки, т.е. Тогда по определению — средняя линия трапеции — средняя линия трапеции Пусть По свойству средней линии трапеции имеем систему:

Ответ: 3 м и 4 м.

Вписанные углы

Градусная мера дуги

В седьмом классе изучение свойств треугольников завершалось рассмотрением описанной и вписанной окружностей. Но перед тем как рассмотреть описанную и вписанную окружности для четырехугольника, нам необходимо остановиться на дополнительных свойствах углов.

До сих пор мы изучали только те углы, градусная мера которых не превышала Расширим понятие угла и введем в рассмотрение вместе с самим углом части, на которые он делит плоскость.

На рисунке 58 угол делит плоскость на две части, каждая из которых называется плоским углом. Их градусные меры равны

Используем понятие плоского угла для определения центрального угла в окружности.

Определение

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в центре окружности.

На рисунке 59, а, б стороны угла с вершиной в центре окружности пересекают данную окружность в точках При этом образуются две дуги, одна из которых меньше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка рис. 59, а), а другая — больше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка рис. 59, б).

Для того чтобы уточнить, какой из двух плоских углов со сторонами мы рассматриваем как центральный, мы будем указывать дугу окружности, которая соответствует данному центральному углу (т.е. содержится внутри него).

На рисунке 59, а центральному углу обозначенному дужкой, соответствует дуга а на рисунке 59, б — дуга В случае, когда лучи дополнительные, соответствующая дуга является полуокружностью (рис. 59, в).

Определение

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Градусную меру дуги, как и саму дугу, обозначают так: Например, на рисунке 59, в т. е. градусная мера полуокружности составляет Очевидно, что градусная мера дуги всей окружности составляет

Концы хорды делят окружность на две дуги — (рис. 59, г). Говорят, что эти дуги стягиваются хордой

Вписанный угол

Определение

Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

На рисунке 60 изображен вписанный угол Его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках и Дуга (на рисунке она выделена) лежит внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол опирается на дугу

Теорема (о вписанном угле)

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Пусть в окружности с центром вписанный угол опирается на дугу Докажем, что Рассмотрим три случая расположения центра окружности относительно данного вписанного угла (рис. 61).

1) Пусть центр окружности лежит на одной из сторон данного угла (рис. 61, а). В этом случае центральный угол является внешним углом при вершине равнобедренного треугольника По теореме о внешнем угле треугольника А поскольку углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника, то

т.е.

2) Пусть центр окружности лежит внутри угла (рис. 61, б). Луч делит угол на два угла. По только что доказанному следовательно,

3) Аналогично в случае, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 60, б),

Только что доказанную теорему можно сформулировать иначе.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Пример №9

Найдите угол если (рис. 62).

Решение:

Для того чтобы найти угол необходимо найти градусную меру дуги на которую он опирается. Но непосредственно по данным задачи мы можем найти только градусную меру дуги на которую опирается угол из теоремы о вписанном угле Заметим, что дуги вместе составляют полуокружность, т.е. следовательно, Тогда по теореме о вписанном угле

Ответ:

Следствия теоремы о вписанном угле

По количеству и значимости следствий теорема о вписанном угле является одной из «богатейших» геометрических теорем. Сформулируем наиболее важные из этих следствий.

Следствие 1

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Действительно, по теореме о вписанном угле градусная мера каждого из вписанных углов на рисунке 63 равна половине дуги

Следствие 2

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность,— прямой, и наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность.

Действительно, поскольку градусная мера полуокружности равна то угол который опирается на полуокружность, равен (рис. 64). Обоснование обратного утверждения проведите самостоятельно.

Следствие 3

Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Первое из приведенных утверждений вытекает из следствия 2. Если в треугольнике угол прямой (рис. 65, а), то дуга на которую опирается этот угол, является полуокружностью.

Тогда гипотенуза — диаметр описанной окружности, т.е. середина гипотенузы — центр окружности. Утверждение о длине медианы следует из равенства радиусов:

Отметим еще один интересный факт: медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит данный треугольник на два равнобедренных треугольника с общей боковой стороной. Из этого, в частности, следует, что углы, на которые медиана делит прямой угол, равны острым углам треугольника (рис. 65, б).

В качестве примера применения следствий теоремы о вписанном угле приведем другое решение задачи, которую мы рассмотрели в п. 7.2.

Пример №10

Найдите угол если (см. рис. 62).

Решение:

Проведем хорду (рис. 66).

Поскольку вписанный угол опирается на полуокружность, то по следствию 2 Значит, треугольник прямоугольный, тогда По следствию 1 углы равны, поскольку оба они опираются на дугу Следовательно,

Ответ:

Вписанные четырехугольники

Определение

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.

Четырехугольник на рисунке 72 является вписанным в окружность. Иначе говорят, что окружность описана около четырехугольника.

Как известно, около любого треугольника можно описать окружность. Для четырехугольника это можно сделать не всегда. Докажем свойство и признак вписанного четырехугольника.

Теорема (овписанном четырехугольнике)

1. Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна alt=»Параллелограмм — его свойства, признаки и определение с примерами решения» />(свойство вписанного четырехугольника).
2. Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна alt=»Параллелограмм — его свойства, признаки и определение с примерами решения» />то около него можно описать окружность (признак вписанного четырехугольника).

1) Свойство. Пусть четырехугольник вписан в окружность (рис. 72). По теореме о вписанном угле

Следовательно,

Аналогично доказываем, что

2) Признак. Пусть в четырехугольнике Опишем окружность около треугольника и докажем от противного, что вершина не может лежать ни внутри этой окружности, ни вне ее. Пусть точка лежит внутри окружности, а точка — точка пересечения луча с дугой (рис. 73).

Тогда четырехугольник — вписанный. По условию а по только что доказанному свойству вписанного четырехугольника т.е. Но угол четырехугольника — внешний угол треугольника и по теореме о внешнем угле треугольника он должен быть больше угла Следовательно, мы пришли к противоречию, т.е. точка не может лежать внутри окружности. Аналогично можно доказать, что точка не может лежать вне окружности. Тогда точка лежит на окружности, т.е. около четырехугольника можно описать окружность.

Следствие 1

Около любого прямоугольника можно описать окружность.

Если параллелограмм вписан в окружность, то он является прямоугольником

Прямоугольник, вписанный в окружность, изображен на рисунке 74.

Центр описанной окружности является точкой пересечения диагоналей прямоугольника (см. задачу 255).

Следствие 2

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная.

Равнобедренная трапеция, вписанная в окружность, изображена на рисунке 75.

Описанные четырехугольники

Четырехугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

Четырехугольник на рисунке 76 является описанным около окружности. Иначе говорят, что окружность вписана в четырехугольник.

Оказывается, что не в любой четырехугольник можно вписать окружность. Докажем соответствующие свойство и признак.

Теорема (об описанном четырехугольнике)

1. В описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны (свойство описанного четырехугольника).
2. Если в четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность (признак описанного четырехугольника).

1) Свойство. Пусть стороны четырехугольника касаются вписанной окружности в точках (рис. 76).

По свойству отрезков касательных С учетом обозначений на рисунке

2) Признак. Пусть в четырехугольнике с наименьшей стороной Поскольку по теореме о биссектрисе угла точка (точка пересечения биссектрис углов равноудалена от сторон то можно построить окружность с центром которая касается этих трех сторон (рис. 77, а). Докажем от противного, что эта окружность касается также стороны

Предположим, что это не так. Тогда прямая либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей окружности. Рассмотрим первый случай (рис. 77, б). Проведем через точку касательную к окружности, которая пересекает сторону в точке Тогда по свойству описанного четырехугольника Но по условию Вычитая из второго равенства первое, имеем: т.е. что противоречит неравенству треугольника для треугольника

Таким образом, наше предположение неверно. Аналогично можно доказать, что прямая не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны т. е. четырехугольник описанный. Теорема доказана.

Замечание. Напомним, что в данной теореме рассматриваются только выпуклые четырехугольники.

Следствие

В любой ромб можно вписать окружность. Если в параллелограмм вписана окружность, то он является ромбом

Ромб, описанный около окружности, изображен на рисунке 78. Центр вписанной окружности является точкой пересечения диагоналей ромба (см. задачу 265, а).

Пример №11

В равнобедренную трапецию с боковой стороной 6 см вписана окружность. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть — данная равнобедренная трапеция с основаниями По свойству описанного четырехугольника Средняя линия трапеции равна т.е. равна 6 см.

Ответ: 6 см

Геометрические софизмы

Многим из вас, наверное, известна древнегреческая история об Ахиллесе, который никак не может догнать черепаху. История математики знает немало примеров того, как ложные утверждения и ошибочные результаты выдавались за истинные, а их опровержение давало толчок настоящим математическим открытиям. Но даже ошибки и неудачи могут принести пользу математикам. Эти ошибки остались в учебниках и пособиях в виде софизмов — заведомо ложных утверждений, доказательства которых на первый взгляд кажутся правильными, но на самом деле таковыми не являются. Поиск и анализ ошибок, содержащихся в этих доказательствах, часто позволяют определить причины ошибок в решении других задач. Поэтому в процессе изучения геометрии софизмы иногда даже более поучительны и полезны, чем «безошибочные» задачи и доказательства.

Рассмотрим пример геометрического софизма, связанного с четырехугольниками, вписанными в окружность.

Окружность имеет два центра.

Обозначим на сторонах произвольного угла точки и проведем через эти точки перпендикуляры к сторонам соответственно (рис. 79).

Эти перпендикуляры должны пересекаться (ведь если бы они были параллельны, то параллельными были бы и стороны данного угла — обоснуйте это самостоятельно). Обозначим точку — точку пересечения перпендикуляров.

Через точки не лежащие на одной прямой, проведем окружность (это можно сделать, поскольку окружность, описанная около треугольника существует и является единственной). Обозначим точки — точки пересечения этой окружности со сторонами угла Прямые углы являются вписанными в окружность. Значит, по следствию теоремы о вписанных углах, отрезки являются диаметрами окружности, которые имеют общий конец но не совпадают. Тогда их середины являются двумя разными центрами одной окружности, т.е. окружность имеет два центра.

Ошибка этого «доказательства» заключается в неправильности построений на рисунке 79. В четырехугольнике т.е. он вписан в окружность. Это означает, что в ходе построений окружность, проведенная через точки обязательно пройдет через точку В таком случае отрезки совпадут с отрезком середина которого и является единственным центром построенной окружности.

Среди задач к этому и следующим параграфам вы найдете и другие примеры геометрических софизмов и сможете самостоятельно потренироваться в их опровержении. Надеемся, что опыт, который вы при этом приобретете, поможет в дальнейшем избежать подобных ошибок при решении задач.

Четырехугольник и окружность в задачах. Метод вспомогательной окружности

При решении задач об окружностях и четырехугольниках иногда следует использовать специальные подходы. Один из них заключается в рассмотрении вписанного треугольника, вершины которого являются вершинами данного вписанного четырехугольника.

Пример №12

Найдите периметр равнобедренной трапеции, диагональ которой перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием угол если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 8 см.

Решение:

Пусть дана вписанная трапеция (рис. 80).

Заметим, что окружность, описанная около трапеции, описана также и около прямоугольного треугольника значит, ее центром является середина гипотенузы Тогда В треугольнике как катет, противолежащий углу Поскольку в прямоугольном треугольнике то углы при большем основании трапеции равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей Следовательно, в треугольнике два угла равны, т.е. он является равнобедренным с основанием откуда Тогда

Ответ: 40 см.

Особенно интересным и нестандартным является применение окружности (как описанной, так и вписанной) при решении задач, в условиях которых окружность вообще не упоминается.

Пример №13

Из точки лежащей на катете прямоугольного треугольника проведен перпендикуляр к гипотенузе (рис. 81). Докажите, что

Решение:

В четырехугольнике значит, около него можно описать окружность. В этой окружности вписанные углы будут опираться на одну и ту же дугу, и по следствию теоремы о вписанном угле

Метод решения задач с помощью дополнительного построения описанной или вписанной окружности называют методом вспомогательной окружности.

Замечательные точки треугольника

Точка пересечения медиан

В седьмом классе в ходе изучения вписанной и описанной окружностей треугольника рассматривались две его замечательные точки — точка пересечения биссектрис (иначе ее называют инцентром треугольника) и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Рассмотрим еще две замечательные точки треугольника.

Теорема (о точке пересечения медиан треугольника)

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника.

Пусть в треугольнике проведены медианы (рис. 85).

Докажем, что они пересекаются в некоторой точке причем

Пусть — точка пересечения медиан и точки — середины отрезков и соответственно. Отрезок — средняя линия треугольника и по свойству средней линии треугольника Кроме того, — средняя линия треугольника и по тому же свойству Значит, в четырехугольнике две стороны параллельны и равны. Таким образом, — параллелограмм, и его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, т.е. точка делит медианы в отношении 2:1.

Аналогично доказываем, что и третья медиана точкой пересечения с каждой из медиан делится в отношении 2 :1. А поскольку такая точка деления для каждой из медиан единственная, то, следовательно, все три медианы пересекаются в одной точке.

Точку пересечения медиан треугольника иначе называют центроидом или центром масс треугольника. В уместности такого названия вы можете убедиться, проведя эксперимент: вырежьте из картона треугольник произвольной формы, проведите в нем медианы и попробуйте удержать его в равновесии, положив на иглу или острый карандаш в точке пересечения медиан (рис. 86).

Пример №14

Если в треугольнике две медианы равны, то он равнобедренный. Докажите.

Решение:

Пусть в треугольнике медианы равны и пересекаются в точке (рис. 87).

Рассмотрим треугольники Поскольку точка делит каждую из равных медиан и в отношении Кроме того, как вертикальные. Значит, по первому признаку. Отсюда следует, что

Но по определению медианы эти отрезки — половины сторон Следовательно, т.е. треугольник равнобедренный.

Точка пересечения высот

Теорема (о точке пересечения высот треугольника)

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Пусть — высоты треугольника (рис. 88).

Проведя через вершины треугольника прямые, параллельные противолежащим сторонам, получим треугольник стороны которого перпендикулярны высотам треугольника По построению четырехугольники — параллелограммы, откуда Следовательно, точка — середина отрезка Аналогично доказываем, что — середина — середина

Таким образом, высоты лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника которые пересекаются в одной точке по следствию теоремы об окружности, описанной около треугольника.

Точку пересечения высот (или их продолжений) иначе называют ортоцентром треугольника.

Таким образом, замечательными точками треугольника являются:

• точка пересечения биссектрис — центр окружности, вписанной в треугольник;
• точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам — центр окружности, описанной около треугольника;
• точка пересечения медиан — делит каждую из медиан в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника;
• точка пересечения высот (или их продолжений).

ИТОГОВЫЙ ОБЗОР ГЛАВЫ I

Теорема о сумме углов четырехугольника.

Сумма углов четырехугольника равна

Справочный материал по параллелограмму

Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны

Признаки параллелограмма

Если две противолежащие стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм

Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник- параллелограм.

Противолежащие углы параллелограмма равны.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам

Если противолежащие углы четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм

Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм

Виды параллелограммов

Прямоугольником называется параллелограм у которого все углы прямые

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны

Диагонали прямоугольника равны

Признак прямоугольника

Если все углы четырехугольника равны, то этот четырехугольник является прямоугольником

Свойства ромба

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам

Признак ромба

Если все стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник является ромбом

Свойства квадрата

Все стороны квадрата равны, а противолежащие стороны параллельны

Все углы квадрата прямые

Диагонали квадрата равны, перпендикулярны, делят углы квадрата пополам и точкой пересечения делятся пополам

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельны

Прямоугольной трапецией называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям

Равнобедренной трапецией называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобедренной

В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Признак равнобедренной

Если в трапеции углы при основании равны, то такая трапеция равнобедренная

Теорема Фалеса

Параллельные прямые, которые пересекают стороны угла и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне

Средние линии треугольника и трапеции

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны
Свойство средней линии трапеции

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в центре окружности

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла

Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность

Теорема о вписанном угле Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается

Следствия теоремы о вписанном угле

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой, и наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность

Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы

Вписанные четырехугольники

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности

Признак вписанного четырехугольника

Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна то около него можно описать окружность

Около любого прямоугольника можно описать окружность

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность

Свойство вписанного четырехугольника

• Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна
• Если параллелограмм вписан в окружность, то он является прямоугольником
• Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная

Описанные четырехугольники

Четырехугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности

Признак описанного четырехугольника

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность

В любой ромб можно вписать окружность

Свойство описанного четырехугольника

• В описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны
• Если в параллелограмм вписана окружность, то он является ромбом

Замечательные точки треугольника

Теорема о точке пересечения медиан треугольника Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника

Теорема о точке пересечения высот треугольника Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке

Большая часть теоретических положений, связанных с четырехугольником, была известна еще в Древней Греции. Например, параллелограмм упоминается в работах Евклида под названием «параллельно-линейная площадь». Основные свойства четырехугольников были установлены на практике и только со временем доказаны теоретически.

Одним из творцов идеи геометрического доказательства по праву признан древнегреческий ученый Фалес Милетский (ок. 625-547 гг. до н. э.). Его считали первым среди прославленных «семи мудрецов» Эллады. Механик и астроном, философ и общественный деятель, Фалес значительно обогатил науку своего времени. Именно он познакомил греков с достижениями египтян в геометрии и астрономии. По свидетельству историка Геродота, Фалес предсказал затмение Солнца, которое произошло 28 мая 585 г. до н. э. Он дал первые представления об электричестве и магнетизме. Достижения Фалеса в геометрии не ограничиваются теоремой, названной его именем. Считается, что Фалес открыл теорему о вертикальных углах, доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника, первым описал окружность около прямоугольного треугольника и обосновал, что угол, который опирается на полуокружность, прямой. Фалесу приписывают и доказательство второго признака равенства треугольников, на основании которого он создал дальномер для определения расстояния до кораблей на море.
В молодые годы Фалес побывал в Египте. Согласно легенде, он удивил египетских жрецов, измерив высоту пирамиды Хеопса с помощью подобия треугольников (о подобии треугольников — в следующей главе).

Изучая замечательные точки треугольника, нельзя не вспомнить имена еще нескольких ученых.

Теорему о пересечении высот треугольника доказал в XV в. немецкий математик Региомонтан (1436-1476) — в его честь эту теорему иногда называют задачей Региомонтана.

Выдающийся немецкий ученый Леонард Эйлер (1707-1783), который установил связь между замечательными точками треугольника, является уникальной исторической фигурой. Геометрия и механика, оптика и баллистика, астрономия и теория музыки, математическая физика и судостроение — вот далеко не полный перечень тех областей науки, которые он обогатил своими открытиями. Перу Эйлера принадлежит более 800 научных работ, причем, по статистическим подсчетам, он делал в среднем одно изобретение в неделю! Человек чрезвычайной широты интересов, Эйлер был академиком Берлинской, Петербургской и многих других академий наук, он существенным образом повлиял на развитие мировой науки. Недаром французский математик Пьер Лаплас, рассуждая об ученых своего поколения, утверждал, что Эйлер — «учитель всех нас».

Среди украинских математиков весомый вклад в исследование свойств четырехугольников внес Михаил Васильевич Остроградский (1801-1862). Этот выдающийся ученый, профессор Харьковского университета, получил мировое признание благодаря работам по математической физике, математическому анализу, аналитической механике. Талантливый педагог и методист, Остроградский создал «Учебник по элементарной геометрии», который, в частности, содержал ряд интересных и сложных задач на построение вписанных и описанных четырех. М. В. Остроградский угольников и вычисление их площадей.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.