Как найти углы при основании равнобедренного треугольника если известна вершина

Поскольку в любом треугольнике сумма углов равна $180^<\circ>» width=»33″ height=»15″ />, то угол, противоположный основанию выражается следующим образом:</p> <p><img decoding=$

где $\alpha$ – угол при основании равнобедренного треугольника.

Задание

В равнобедренном треугольнике угол между боковыми сторонами в три раза больше угла при основании. Найти углы треугольника.

Решение

Пусть угол при основании равен

, тогда угол между боковыми сторонами равен

. Поскольку сумма углов в треугольнике равна $180^<\circ>» width=»33″ height=»15″ />, то получим уравнение</td> </tr> </table></div> <p> <img decoding=$

Задание

Найти углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен $50^<\circ>» width=»25″ height=»14″ />.</td> </tr> <tr> <td>Решение</td> <td>В решении этой задачи возможны 2 случая.</td> </tr> </table></div> <p>1. Если известный угол – это угол при основании, то второй угол при основании также равен <img decoding=$

Также угол при основании равнобедренного треугольника можно найти, зная стороны. Высота, проведенная к основанию, делит его на две равные части, и косинус искомого угла становится равен половине основания, деленного на боковую сторону:

Как посчитать угол равнобедренного треугольника

Треугольник с одинаковыми боковыми сторонами называется равнобедренным. В нем равны и углы при основании. Если они известны, то вычислить третий угол не составит труда. Как известно, сумма всех углов треугольника равна 180°. Если из 180° вычесть сумму двух одинаковых углов при основании (а), то найдем третий угол β:

β = 180°-2α

Если известна величина угла b, противолежащего основанию и требуется найти угол (а) при основании, необходимо из 180° вычесть известный угол β. Полученную величину делим на два, т.к. углы при основании равны.

α= (180°-β)/2

Если известны стороны равнобедренного треугольника, можно рассчитать все его углы. Чтобы найти угол при основании, проведем к основанию высоту, которая делит основание пополам, а треугольник — на два одинаковых прямоугольных треугольника. Гипотенузой вновь образованных треугольников будет боковая сторона равнобедренного треугольника (а), а одним из катетов — половина длины основания (b/2). Используя теорему косинусов определяем косинус угла (а), как отношение прилежащего к искомому углу катета (b/2) к гипотенузе (а) по формуле:

cosα= b/2a

Рассчитать угол при основании равнобедренного треугольника можно также через катеты образованного в нем прямоугольного треугольника (например, abc). Одним из его катетов (b) будет половина длины основания равнобедренного треугольника, другим катетом (а) — высота равнобедренного треугольника. Найти угол α при основании треугольника можно через тангенс угла, как отношение противолежащего ему катета (а) к прилежащему катету (b).

tg (α) = a/b

В таблицк тангенсов находим угол α в градусах. Т.к. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то найти третий угол не составит труда, зная, что сумма всех его углов равна 180°.

Равнобедренный треугольник. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти неизвестные элементы (стороны, углы) а также периметр, площадь, высоты равнобедренного треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Определение равнобедренного треугольника

Определение 1 (Евклид). Треугольник, в котором длины двух сторон равны между собой называется равнобедренным треугольником.

Равные стороны равнобедренного трекугольника называются боковыми сторонами. Третья сторона равнобедренного треугольника называется основанием треугольника (Рис.1).

Угол между боковыми сторонами равнобедненного треугольника ($ \small \angle A $ ) называется вершинным углом. Углы между основанием и боковыми сторонами ($ \small \angle B, \ \angle C $ ) называются углами при основании.

Существует более общее определение равнобедненого треугольника:

Определение 2 (Современная трактовка). Треугольник, в котором длины хотя бы двух сторон равны между собой называется равнобедренным треугольником.

Из определения 2 следует, что равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника. Действительно, в качестве равных сторон можно взять любые две стороны равностороннего треугольника, а третья сторона будет основанием.

Теорема о равнобедренном треугольнике

Теорема 1. Углы, прилежащие к основанию равнобедренного треугольника равны.

Доказательство (доказательство Прокла). Пусть задан равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC (Рис.2). Докажем, что $ \small \angle B= \angle C. $ Возьмем любую точку D на стороне AC и точку E на стороне AB так, чтобы AD=AE. Проведем отрезки DE, CE, BD. Треугольники ABD и ACE равны по двум сторонам и углу между ними: AE=AD, AC=AB, угол $ \small \angle A $ общий (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников). Отсюда следует:

$ \small CE=BD,$

(1)

$ \small \angle ACE=\angle ABD.$

(2)

Из $ \small AB=AC$ и $ \small AD=AE $ следует:

$ \small CD=BE.$

(3)

Рассмотрим треугольники CBE и BCD. Они равны по трем сторонам: $ \small CE=BD,$ $ \small CD=BE ,$ сторона $ \small BC $ общая. Отсюда следует, что

$ \small \angle ECB= \angle DBC. $

(4)

Из (2) и (4) следует, что $ \small \angle B= \angle C. $

Доказательство (Вариант 2). Пусть задан равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC (Рис.3). Проведем биссектрису $ \small AH $ треугольника. Тогда $ \small \angle CAH=\angle BAH. $ Докажем, что $ \small \angle B= \angle C. $ Треугольники AHB и AHC равны по двум сторонам и углу между ними: AC=AB, сторона $ \small AH $ общая, $ \small \angle CAH=\angle BAH. $ Отсюда следует: $ \small \angle B= \angle C. $

Свойства равнобедренного треугольника

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса проведенная к основанию является медианой и высотой.

Доказательство. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC, а AH− биссектриса треугольника (Рис.3). Треугольники AHB и AHC равны по двум сторонам и углу между ними: AC=AB, сторона $ \small AH $ общая, $ \small \angle 1=\angle 2. $ Тогда $ \small CH=HB, $ $ \small \angle 3=\angle 4. $ Равенство $ \small CH=HB $ означает, что $ \small AH $ является также медианой треугольника ABC. Углы $ \small \angle 3$ и $ \angle 4 $ смежные. Следовательно их сумма равна 180° и, поскольку эти углы равны, то каждый из этих углов равен 90°. Тогда $ \small AH $ является также высотой треугольника $ \small ABC. $ Поскольку высота $ \small AH $ перпендикулярна к $ \small BC $ и $ \small CH=HB, $ то $ \small AH $ является также серединным перпендикуляром к основанию равнобедренного треугольника.

Мы доказали, что биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр равнобедренного треугольника, проведенные к основанию совпадают.

Исходя из теоремы 2 можно сформулировать следующие теоремы, доказательство которых аналогично доказательству теоремы 2:

Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана проведенная к основанию является биссектрисой и высотой.

Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота проведенная к основанию является биссектрисой и медианой.

Признаки равнобедренного треугольника

Признак 1. Если в треугольнике две стороны равны, то треугольник является равнобедренным.

Признак 1 следует из определения 1.

Признак 2. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство признака 2 смотрите в статье Соотношения между сторонами и углами треугольника (Следствие 2. Признак равнобедренного треугольника).

Признак 3. Если в треугольнике высота проведенная к одной стороне совпадает с медианой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство. Пусть в треугольнике $ \small ABC $ $ \small AH $ является высотой и медианой (Рис.4). Тогда $ \small \angle 3=\angle4=90°, $ $ \small CH=HB. $ Треугольники $ \small AHC $ и $ \small AHB $ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников): $ \small AH $ − общая сторона, $ \small CH=HB, $ $ \small \angle 3=\angle4. $ Следовательно $ \small AB=AC. $

Признак 4. Если в треугольнике высота проведенная к одной стороне совпадает с биссектрисой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство. Пусть в треугольнике $ \small ABC $ $ \small AH $ является высотой и биссектрисой (Рис.4). Тогда $ \small \angle 3=\angle4=90°, $ $ \small \angle 1=\angle2. $ Треугольники $ \small AHC $ и $ \small AHB $ равны по стороне и прилежащим двум углам (второй признак равенства треугольников): $ \small AH $ − общая сторона, $ \small \angle 1=\angle 2, $ $ \small \angle 3=\angle4. $ Следовательно $ \small AB=AC. $

Признак 5. Если в треугольнике биссектриса проведенная к одной стороне совпадает с медианой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство (Вариант 1). Пусть в треугольнике $ \small ABC $ $ \small AH $ является биссектрисой и медианой (Рис.5). Тогда

$ \small \angle 1=\angle2, $ $ \small CH=HB. $

(5)

Применим теорему синусов для треугольника $ \small AHC $:

$ \small \frac = \frac . $

(6)

Применим теорему синусов для треугольника $ \small AHB $:

$ \small \frac = \frac . $

(7)

тогда, из (5), (6), (7) получим:

$ \small \frac = \frac . $

(8)

Следовательно $ \small \sin \angle C= \sin \angle B. $ Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, то нам интересует синус углов от 0 до 180°. Учитывая это получим, что синусы углов равны в двух случаях: 1) $ \small \angle C= \angle B, $ 2) $ \small \angle C= 180° — \angle B. $ Поскольку сумма двух углов треугольника меньше 180°: $ \small \angle C + \angle B Доказательство (Вариант 2). Пусть в треугольнике \( \small ABC $ $ \small AH $ является биссектрисой и медианой, т.е. $ \small \angle 1=\angle 2, $ $ \small CH=HB $ (Рис.6). На луче $ \small AH $ отложим отрезок $ \small HD $ так, чтобы $ \small AH=HD. $ Соединим точки $ \small C $ и $ \small D. $

Треугольники $ \small AHB $ и $ \small DHC $ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Действительно: $ \small AH=HD, $ $ \small CH=HB, $ $ \small \angle 4=\angle 5 $ (углы 4 и 5 вертикальные). Тогда $ \small AB=CD, $ $ \small \angle 6=\angle 2. $ Отсюда $ \small \angle 6=\angle 1. $ Получили, что треугольник $ \small CAD $ равнобедренный (признак 2). Тогда $ \small AC=CD. $ Но $ \small AB=CD $ и, следовательно $ \small AB=AC. $ Получили, что треугольник $ \small ABC $ равнобедренный.

1. Признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и боковой стороне

Если основание и боковая сторона одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и боковой стороне другого равнобедненного треугольника, то эти треугольники равны.

Действительно. Поскольку треугольник равнобедренный, то боковые стороны равны. То есть три стороны одного равнобедренного треугольника соответственно равны трем сторонам другого равнобедненного треугольника. А по третьему признаку равенства треугольников, эти треугольники равны.

2. Признак равенства равнобедренных треугольников по боковой стороне и углу при вершине

Если боковая сторона и угол при вершине одного равнобедренного треугольники соответственно равны боковой стороне и углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

Действительно. Так как боковые стороны равнобедненного треугольника равны, то имеем: две стороны и угол между ними одного треугольника соотвественно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника. Тогда по первому признаку равенства треугольников, эти реугольники равны.

3. Признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и углу при основании

Если основание и угол при основании равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и углу при основании другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. тогда имеем: основание и две углы одного равнобедненного треугольника равны основанию и двум углам другого равнобедненного треугольника. Тогда эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.

Задачи и решения

Задача 1. Известны основание $ \small a=5 $ и высота $ \small h=6 $ равнобедренного треугольника. Найти углы, боковые стороны, периметр, площадь.

Решение. Найдем боковые стороны $ \small b $ и $ \small c $ равнобедренного треугольника. Воспользуемся теоремой Пифагора:

(9)

Подставляя значения $ \small a $ и $ \small h $ в (9), получим:

Боковая сторона $ \small c $ равнобедренного треугольника равна:

Найдем периметр треугольника. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

(10)

Подставляя значения $ \small a=5, $ $ \small b=6.5 $ и $ \small c=6.5 $ в (10), получим:

Найдем угол $ \small B $ равнобедренного треугольника:

(11)

Подставляя значения $ \small a=5, $ $ \small h=6 $ в (11), получим:

Тогда угол $ \small C $ равнобедренного треугольника равен:

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, то имеем:

Площадь треугольника можно вычислить из формулы:

(12)

Подставляя значения $ \small a=5, $ $ \small h=6 $ в (12), получим: