27,Амплитудный и фазовый спектры сигнала. Отрицательные частоты. Физический и двусторонний спектры.
Так как аргумент комплексного числа есть функция многозначная, то для вычисления фаз нужно предварительно договариваться о выборе значений . Можно, например, условиться брать главное значение аргумента, т.е. значение, удовлетворяющее условию
Амплитуды и фазы гармонических колебаний, в виде суммы которых представляется периодическая функция f(x), играют большую роль в различных прикладных вопросах. Для наглядного представления этих амплитуд и фаз делают следующие построения: возьмем ось частот и на этой оси отложим частоты .
Против каждой частоты перпендикулярно к оси будем откладывать соответствующую амплитуду .Так как , то , т.е. амплитудный спектр симметричен относительно прямой L=0, а так как →0 при n→∞, то ординаты амплитудного спектра стремятся к нулю по мере удаления от прямой L=0, причем порядок убывания этих ординат не ниже чем (без доказательства).
Аналогично строится фазовый спектр функции f(x).Для этого против точек оси частот откладываются отрезки длины (вверх >0 и вниз <0).Так как = и , то , т.е. фазовый спектр симметричен относительно точки L=0.
Отрицательные частоты
Понятие отрицательной и положительной частоты может быть показано на примере вращающегося в ту или другую сторону вектора. Частота со знаком отражает как скорость, так и направление вращения. Скорость выражена в оборотах (циклах) в секунду (герцах) или рад/с (где 1 оборот соответствует 2π радианам).
Для заданного во времени сигнала такой вектор представляет его на комплексной плоскости. Зависимость значения сигнала от времени есть лишь зависимость проекции вектора на действительную ось от времени. Поэтому понятие отрицательной частоты не может быть представлено в виде некомплексных сигналов во временной области и распространяется только на частотную.
Чтобы сигнал был представим в некомплексном виде, формула Эйлера требует равенства коэффициентов при комплесных экспонентах частот разных знаков. Несимметричность спектра равноценна наличию в сигнале гармоник, заданных только для отрицательной частоты.
Рассмотрим сигнал с девиацией частоты 
относительно несущей. При переносе несущей на ноль обычным гетеродином информация искажается. Поэтому для правильной обработки необходимо использовать квадратурный гетеродин, в котором вводится дополнительный канал, позволяющий сохранить информацию о несимметричности спектра (об отрицательной частоте относительно несущей) представляя огибающую двумя равноценными сигналами: исходный сигнал становится комплексным. Получить из такого сигнала вещественнный можно лишь его переносом на несущую 
, иначе требуется два канала передачи.
Пример искажения сигнала при преобразовании несущей обычным гетеродином:
Преобразование квадратурным гетеродином:
Для частотной области таким непредставимым понятием является временная асимметрия сигналов: лишь симметричные сигналы имеют некомплексный спектр.
Нечетная симметрия синусоиды во времени, в частотной области представлена сменой знака частоты: 
, а значения косинуса не связаны со знаком частоты.
Таким образом, понятие отрицательной частоты столь же оправданно, как и понятие отрицательного времени. Наглядное представление вращающегося в разные стороны вектора можно получить на экране осциллографа, подавая синус на вертикальные, а косинус на горизонтальные пластины и меняя полуось времени (знак синуса).
Большая Энциклопедия Нефти и Газа
Поскольку фазовый спектр для всех весовых функций линейно зависит от частоты, его графики не представляют интереса и потому не приводятся. Для повышения наглядности частотная ось градуируется в номерах каналов ДПФ, для этого при вызове функции f reqz указана частота дискретизации, равная длине окна. [2]
Определенный выше фазовый спектр можно быстро оценить совместно с энергетическим спектром с помощью графа, приведенного на рис. 6.11. Можно показать, что фазовый спектр ПУА с упорядочением по Адамару инвариантен к умножению исходной последовательности ( Х ( т) на действительное число. [3]
График кумулятивного фазового спектра Л ( / Д в случае, если две последовательности некоррелированы, должен представлять собой прямую линию. Чтобы рассмотреть отклонение от прямой, нужно построить 95 — и 75 процентные доверительные интервалы на расстоянии 1 36 / Y V и 1 02 / V V от теоретического кумулятивного спектра. [4]
Результаты измерения фазового спектра плоской волны [17, 18] хорошо согласуются с расчетом по формуле (5.49) при любых реализовавшихся в эксперименте значениях параметра р на трассах Li l 75 км и / 213 5 км. [5]
В человеческой речи фазовый спектр имеет весьма однообразное строение соответствующее резким переходам от одних форм колебаний к другим. Между этими переходами тянутся сравнительно долгие интервалы, в которых ничего существенного для передачи информации не происходит. Например, гласные звуки имеют довольно четкое начало и конец, а между этими точками они тянутся десятки или сотни периодов. Благодаря этому голоса звучат музыкально по сравнению со случайными шумами, но большая часть времени, занятого гласными звуками, потеряна для передачи информации. [6]
Фурье, определение фазового спектра , корреляционных и взаимных корреляционных функций, дифференцирование, интегрирование, расчет скользящего среднего по пяти и девяти точкам. [7]
Флуктуации в этом фазовом спектре обусловлены либо шумом, либо изменением направления потока энергии. [8]
Подобным же образом строится фазовый спектр радиоимпульса . [9]
Эти функции называются амплитудный спектр и фазовый спектр временной функции s ( t), Sff) есть спектральная плотность. Короткий отрезок временной функции характеризуется к р а т-ко временным спектром. Структура его меняется & зависимости от выбора рассматриваемого отрезка. [11]
Амплитудный спектр — всегда четная, а фазовый спектр — всегда нечетная функция со. [12]
Имеющиеся различия, если не требуется знание фазового спектра , несущественны. [14]
Фазовая спектральная диаграмма получается таким же построением фазового спектра на плоскости v, o); или i, г) ( — ( см. фиг. [15]
Понятие амплитудного и фазового спектров сигнала
Запишем комплексную функцию спектральной плотности F(jiв) в показательной форме:
где | /’//’о))| — модуль комплекса /’(ум), или амплитудный спектр сигнала; его обычно обозначают F(cо); р(со) — аргумент комплекса F(yco), или фазовый спектр сигнала.
Поскольку между функцией времени и ее спектральной плотностью существует однозначная связь, определяемая прямым (10.19) и обратным
(10.20) преобразованиями Фурье, то сигнал может быть задан не только временной зависимостью, но и его амплитудным и фазовым спектрами.
Связь преобразования Фурье с прямым преобразованием Лапласа
Рассмотрим случай функции времени /(f), равной нулю при f р превращает формулу (10.21) в прямое преобразование Лапласа:
Полученный результат позволяет для функции времени, равной нулю при f at (t); 6 — амплитудный спектр; в — фазовый спектр
Пример 10.8 (спектр прямоугольного импульса). Определим амплитудный F(со) и фазовый vp(co) спектры прямоугольного импульса (рис. 10.11, а) высотой Л, длительностью Его аналитическое выражение можно записать при помощи функции Хевисайда:
Рис. 10.11. К примеру 10.8. Спектр прямоугольного импульса:
а — график функции /(/) = Л • 1(C) + Л • 1 (С — /н); 6 — амплитудный спектр;
в — фазовый спектр
Переходим от заданной функции времени к ее изображению по Лапласу с учетом теоремы запаздывания:
После подстановки р — 3 ?70 приходим к выражению для комплексной функции спектральной плотности
Приводим данный комплекс к показательной форме записи:
Модуль полученного комплекса представляет амплитудный спектр заданного прямоугольного импульса
Аргумент комплексной функции ТДусо), определяющий искомый фазовый спектр у(со), записываем с учетом периодического (с периодом 2л//н) изменения знака синуса.
Для зависимости р(со) это равносильно скачкообразному приращению величиной 180° на частотах 2//и, 4Д, и т.д., поэтому выполняются следующие равенства:
Фазовый спектр сигнала. Амплитудные и фазовые спектры сигналов
Набор гармоник, образующих ряд Фурье (4.10) в тригонометрической форме, называют спектром периодического сигнала , а наборы амплитудU m k и начальных фазэтих гармоник — спектрамиамплитуд и фаз . Каждую гармонику:
можно отобразить двумя вертикальными линиями. Для этого на одной оси частот необходимо отложить значение частоты этой гармоники и изобразить вертикальную линию высотой, равной амплитуде гармоникизатем на другой оси частот на частоте этой же гармоникиизобразить вторую вертикальную линию, равную по высоте начальной фазе гармоники.
Ряд Фурье (4.3) можно переписать в виде
Учитывая, что функция косинуса периодична с периодом 2 = 360°, т.е. ее значения повторяются через 360°, можно вычесть целое число периодов из фазы гармонических составляющих. Тогда получим еще одну форму записи ряда (4.3):
Эти ряды можно изобразить графически. Гармоники этого сигнала, входящие в формулу (4.3), показаны на временных диаграммах рис. 4.1, б —д. Другой способ графического изображения составляющих ряда Фурье для сигнала на рис. 4.1, а приведен на рис. 4.5,а – в. Амплитуды гармоник убывают по закону, гдеп — номер гармоники, а фазы гармоник изменяются по законуn где- фаза первой гармоники.
Для смещенной на четверть периода периодической последовательности прямоугольных импульсов (рис. 4.3, а ) формула ряда Фурье (4.6) может быть видоизменена, если вспомнить, что знак «минус» перед гармоническим колебанием означает поворот колебания по фазе на 180°:
Рис. 4.5. Амплитуды и фазы гармоник сигнала (4.12) и (4.13)
Начальные фазы колебаний в ряде (4.14) поочередно принимают значения 0 и 180°. Графическое изображение ряда (4.14) дано на рис. 4.5, а и б.
Вертикальные линии на рис. 4.5 и 4.6 получили название спектральных линий , а наборы этих линий, или, что то же, наборы амплитуди фазгармоник в (4.10), образуютспектры амплитуд и фаз данного сигнала.
Рис. 4.6. Амплитуды и фазы гармоник сигнала (4.14)
Радиоинженерам знакомы приборы – анализаторы спектров, которые откликаются на каждую гармонику, входящую в состав сигнала сложной формы и позволяющие их измерять.
Таким образом, спектр амплитуд — это набор амплитуд гармоник , , , . (включая постоянную и основную составляющие), входящих в ряд Фурье, записанный в тригонометрической форме (4.10), а спектр фаз — это набор начальных фаз,, … этих гармоник. Комплексные амплитуды из (4.12) образуют комплексный спектр сигнала u (t ).
Анализ спектрального (гармонического) состава периодических сигналов — это вычисление амплитуд и начальных фаз гармонических составляющих ряда Фурье. Обычно для вычисления указанных величин используется форма записи ряда Фурье (4.2):
Покажем, что форма записи (4.15) эквивалентна форме записи (4.7).
Из приведенных выше рассуждений следует, что для анализа спектрального состава сигнала достаточно знать, как вычислять величины , U « mn иU ’ mn в выражении (4.15).
Из формул (4.2) мы знаем, что постоянная составляющая ряда вычисляется как среднее значение функции:
Коэффициенты U « mk иU «» mk вычисляются как средние взвешенные значения с весамиcosk иsinсоответственно:
Поскольку, 
то
Применяя формулу Эйлера
получаем окончательно выражение для комплексного спектра сигнала:
На спектр сигнала влияет не только форма сигнала, но и его параметры. Лучше всего рассмотреть это влияние на конкретном примере, а проще всего – на примере периодической последовательности прямоугольных импульсов. В достаточно общем случае эта последовательность изображена на рис. 4.7,а. Период повторения импульсов обозначенТ», а отношение периода к длительности импульсов» называютскважностью и обозначают.
Вычисление коэффициентов ряда Фурье в тригонометрической форме по формулам (4.16) — (4.18) приводит нас к записи (см. табл. 4.1)
где U 0 =U / q и
Рис. 4.7. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов со скважностью q = 3 и ее спектр
Спектр амплитуд такой периодической последовательности со скважностью q = 3 изображен на рис. 4.7,б.
При значениях k , кратных скважностиq импульсной последовательности, функцияпринимает нулевые значения и гармоники с этими номерами имеют нулевые амплитуды (в нашем примере сk = 3,6, 9, . ). Частота первой гармоники определяется по формуле
Для гармоник с номерами k , для которых амплитудаположительная, фазовый уголравен нулю; для гармоник же с номерамиk , для которых величинаокажется отрицательной, фазовый угол принимает значение 180° (рис. 4.7, в).
Рассмотрим влияние на спектр последовательности прямоугольных импульсов таких ее параметров, как период и длительность импульса.
От величины периода зависит прежде всего частота основной гармоники, т.е. ее местоположение в спектре. Если мы будем, например, увеличивать период импульсной последовательности (рис. 4.7, а ), то частота первой гармоникибудет уменьшаться.
Это приведет к сгущению спектральных линий (рис. 4.8, б ив ). Скважность импульсов будет также увеличиваться с ростом периода (в нашем примереq = 5), следовательно, обращаться в нуль будут гармоники с более высокими номерами, кратнымиq (k = 5, 10, 15, . ). Амплитуды всех гармоник уменьшатся.
Рис. 4.8. Последовательность прямоугольных импульсов со скважностью q = 5 и ее спектр
С другой стороны, если период последовательности оставлять неизменным (например, ), а длительность импульсов, скажем, уменьшать (например, до величины, как на рис. 4.9,а ), то первая гармоника не будет менять свое местоположение в спектре сигнала. С ростом же скважности в нуль будут обращаться, как и ранее, гармоники с номерами, кратнымиq (на рис. 4.8,б приk = 5,10,15,… ).
Рис. 4.9. Влияние длительности импульсов на спектр сигнала
Рис. 4.10. Влияние длительности импульсов и периода их повторения на спектр сигнала
На рис. 4.10, показан случай, когда подверглись изменению и период, и длительность импульса. Предлагаем читателям проанализировать данную ситуацию самостоятельно. Примеры решения задач по расчету периодических сигналов также приведены в .
Хотя мы проанализировали довольно частные примеры, характерное поведение спектра наблюдается и для других видов периодических импульсных последовательностей. Оно заключается в следуюoем:
При увеличении периода последовательности Т частота первой гармоникиуменьшается и спектральные линии сгущаются; наоборот, при уменьшении периода частота первой гармоники увеличивается и спектральные линии становятся реже;
Чем короче импульсы в последовательности, тем медленнее убывают с ростом номера п амплитуды гармоник; наоборот, чем шире импульсы, тем быстрее убывают амплитуды высших гармоник.
Основные положения изложенных в п. 4.2 материалов.
В соответствии со спектральным способом анализа прохождения сигналов через линейные цепи любой случайный сигнал S (T ) можно представить в виде бесконечной суммы элементарных аналитически однотипных детерминированных сигналов :
(2.8)
Подавая на вход линейной цепи (рис. 1.14), коэффициент передачи которой равен , элементарный детерминированный сигнал, можно найти элементарный отклик цепи, то есть сигнал на выходе цепи.
Рис.2.3. К определению сигнала на выходе линейной цепи.
Сигнал на выходе линейной цепи равен
(2.9)
Поскольку для линейных цепей справедлив принцип суперпозиции, то результирующий отклик будет равен:
(2.10)
Функции, описывающие элементарные сигналы, называются базисными функциями. Представление сигнала базисными функциями упрощается, если они являются ортогональными и ортонормированными.
Набор функций называется ортогональным, Если в интервале от до
при (2.11)
И ортонормированным, Если для всех Выполняется условие
. (2.12)
Ортогональность базисных функций, с помощью которых представляется исходный сигнал , является гарантией того, что представление сигнала может быть сделано единственным образом. Условию ортогональности отвечают гармонические функции кратных частот, а также функции Уолша, которые на отрезке своего существования от до принимают лишь значения, равные 1, дискретные сигналы Баркера и некоторые другие функции. Спектральный метод анализа сигналов основан на преобразованиях Фурье и состоит в замене сложной функции времени, описывающей сигнал, суммой простых гармонических сигналов, образующих частотный спектр этого сигнала. Знаменитый французский физик и математик Ж. Б. Фурье (1768 – 1830 г. г.) доказал, что любое изменение во времени некоторой функции можно аппроксимировать в виде конечной или бесконечной суммы ряда гармонических колебаний с разными амплитудами, частотами и начальными фазами. Этой функцией может быть ток или напряжение в электрической цепи.
Рассмотрим вначале представление периодического электрического сигнала (рис. 2.4), отвечающего условию
, (2.13)
где: — период сигнала; =1,2,3,….
Рис. 2.4. Периодический сигнал
Представим этот сигнал бесконечным тригонометрическим рядом:
Этот ряд называется рядом Фурье.
Возможна запись ряда Фурье в другом виде:
, (2.15)
Где: 
— модуль амплитуд гармоник;
— фазы гармоник;
— коэффициенты косинусоидальных составляющих; 
— коэффициенты синусоидальных составляющих; 
— среднее значение сигнала за период (постоянная составляющая).
Отдельные слагаемые рядов называют гармониками. Число является номером гармоники. Совокупность величин в ряде (2.15) называют спектром амплитуд, а совокупность величин — спектром фаз.
Ниже на рис. 2.5 представлены амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала. Вертикальные отрезки амплитудного спектра представляют амплитуды гармоник и называются спектральными линиями.
Рис 2.5. Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала
Таким образом, спектр периодического сигнала – Линейчатый. Каждый периодический сигнал имеет вполне определенные амплитудный и фазовый спектры.
Сумма ряда (2.15) является бесконечной, но, начиная с некоторого номера, амплитуды гармоник настолько малы, что ими можно пренебречь и практически реальный периодический сигнал представляется функцией с ограниченным спектром. Интервал частот, соответствующий ограниченному спектру, называется шириной спектра.
Если функция , описывающая периодический сигнал, является четной, то сумма ряда (2.14) будет содержать только косинусоидальные составляющие. Если — нечетная функция, то сумма будет содержать только синусоидальные составляющие.
Возможно также представление периодического сигнала в виде комплексного ряда Фурье:
, (2.16)
— комплексные амплитуды спектра, содержащие информацию, как об амплитудном, так и о фазовом спектрах.
После подстановки значений и , получим:
(2.17)
Если подставить полученное значение в ряд (1.29), то он обращается в тождество. Таким образом, периодический электрический сигнал можно задавать либо функцией времени , либо комплексной амплитудой спектра.
2.2.1. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов
Состав спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов зависит от величины отношения периода последовательности к длительности импульса, называемого скважностью импульсов. В спектре будут отсутствовать гармоники с номерами кратными скважности импульсов. Скважность импульсов равна . На рис.1.17 приведены три импульсные последовательности с разными скважностями и соответствующие им спектры. Для периодической последовательности, скважность которой равна 2, в спектре отсутствуют 2, 4, 6 ,8 и т. д. гармоники. Для последовательности, скважность которой равна 3, в спектре отсутствуют 3, 6 и т. д. гармоники. Для последовательности, скважность которой равна 4, в спектре отсутствуют 4, 8 и т. д. гармоники. Во всех приведенных спектрах интервал между спектральными линиями равен величине обратной периоду последовательности. Точки на оси частот, в которых спектр равен нулю, соответствуют величине, обратной длительности импульсов периодических последовательностей.
Рис.2.6 .Периодические последовательности импульсов и их спектры.
2.2.2. Спектр непериодического сигнала
При рассмотрении спектра непериодического сигнала воспользуемся предельным переходом от периодического сигнала к непериодическому сигналу, устремив период к бесконечности.
Для периодического сигнала, представленного на рис. 2.4, ранее получено выражение (2.17) для комплексной амплитуды спектра:
(2.18)
(2.19)
Построим модуль спектра :
Рис. 2.7. Модуль спектра периодического сигнала
Расстояние между спектральными линиями равно . Если увеличивать период , то будет уменьшаться интервал w1 . При интервал между спектральными линиями w1® dw. При этом периодическая последовательность импульсов превращается в одиночный импульс и модуль спектра стремится к непрерывной функции частоты . В результате предельного перехода от периодического сигнала к непериодическому линейчатый спектр вырождается в сплошной спектр, представленный на рис. 2.8.
Рис. 2.8. Спектр непериодического сигнала
При этом комплексная амплитуда равна:
. (2.20)
С учетом предельного перехода при
(2.21)
Подставим полученное выражение в ряд (2.16). При этом сумма трансформируется в интеграл, а значения дискретных частот в значение текущей частоты и непериодический сигнал можно представить в следующем виде:
. (2.22)
Это выражение соответствует обратному преобразованию Фурье. Огибающая сплошного спектра одиночного импульса совпадает с огибающей линейчатого спектра периодической функции, представляющей периодическое повторение этого импульса.
Интеграл Фурье позволяет любую непериодическую функцию представить в виде суммы бесконечного числа синусоидальных колебаний с бесконечно малыми амплитудами и бесконечно малым интервалом по частоте. Спектр сигнала определяется из выражения
Этот интеграл соответствует прямому преобразованию Фурье.
– комплексный спектр, в нём содержится информация, как о спектре амплитуд, так и о спектре фаз.
Таким образом, спектр непериодической функции сплошной. Можно сказать, что в нём содержатся «все» частоты. Если вырезать из сплошного спектра малый интервал частот , то частоты спектральных составляющих в этом участке будут отличаться сколь угодно мало. Поэтому спектральные составляющие можно складывать так, как будто все они имеют одну и ту же частоту и одинаковые комплексные амплитуды. Спектральная плотность есть отношение комплексной амплитуды малого интервала частот к величине этого интервала.
Спектральный анализ сигналов имеет фундаментальное значение в радиоэлектронике. Информация о спектре сигнала позволяет обоснованно выбирать полосу пропускания устройств, на которые воздействует этот сигнал.
2.2.3. Спектр одиночного прямоугольного видеоимпульса
Рассчитаем спектр одиночного прямоугольного импульса, амплитуда которого равна Е , а длительность — t, представленного на рис. 2.9.
Рис. 2.9. Одиночный прямоугольный импульс
В соответствии с выражением (2.24) спектр такого сигнала равен
=. (2.24)
Поскольку = 0 , когда , то частоты, на которых спектр обращается в нуль равны , где K =1,2,3…
На рис. 2.10 представлен комплексный спектр одиночного прямоугольного импульса длительностью .
Рис.2.10. Спектр одиночного прямоугольного импульса
Спектральная плотность определяет распределение энергии в спектре одиночного импульса. В общем случае распределение энергии неоднородно. Однородное распределение характерно для хаотического процесса, называемого «белым шумом».
Спектральная плотность импульса на нулевой частоте равна его площади. Приблизительно 90% энергии одиночного прямоугольного импульса сосредоточено в спектре, ширина которого определяется выражением
Соотношение (1.41) определяет требования к ширине полосы пропускания радиотехнического устройства. В задачах, где форма сигнала имеет второстепенное значение полосу пропускания устройства для этого сигнала можно выбрать равной ширине первого лепестка спектра. При этом неизвестна степень искажения формы сигнала. Двукратное увеличение полосы пропускания лишь на 5% увеличит энергию сигнала при одновременном возрастании уровня шумов.
Любой сигнал можно разложить на составляющие. Такое разложение сигнала называется спектральным. При этом сигнал можно представить в виде графика зависимости параметров сигнала от частоты, такая диаграмма называется спектральной или спектром сигнала.
Спектр сигнала — это совокупность простых составляющих сигнала с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами.
Между спектром сигнала и его формой существует жесткая взаимосвязь: изменение формы сигнала приводит к изменению его спектра и наоборот, любое изменение спектра сигнала приводит к изменению его формы. Это важно запомнить, поскольку при передаче сигналов в системе передачи, они подвергаются преобразованиям, а значит, происходит преобразование их спектров.
Различают два вида спектральных диаграмм:
— спектральная диаграмма амплитуд;
— спектральная диаграмма фаз.
В спектральной диаграмме амплитуд — отображаются все составляющие со своими амплитудами и частотами.
В спектральной диаграмме фаз — отображаются все составляющие со своими начальными фазами и частотами.
Любой сигнал имеет одну спектральную диаграмму амплитуд и одну спектральную диаграмму фаз, в составе которых может содержаться множество составляющих.
Не зависимо от того, какой спектр (амплитуд или фаз), он изображается в виде множества линий — составляющих. В спектре амплитуд высота спектральной линии равна амплитуде составляющей сигнала, а в спектре фаз — начальной фазе составляющей. Причем: в спектре амплитуд все составляющие имеют положительные значения, а в спектре фаз как положительные, так и отрицательные. Если амплитуда спектральной составляющей имеет отрицательный знак, то в спектре амплитуд она берется по модулю, а в спектре фаз знак составляющей изменяется на противоположный.
Классификация спектров сигналов.
1. По виду спектры бывают дискретными (линейчатыми) или сплошными .
Дискретным является спектр, у которого можно выделить отдельные составляющие.
Сплошным является спектр, у которого нельзя выделить отдельные составляющие, так как они расположены настолько близко, что сливаются друг с другом.
2. По диапазону частот различают спектры ограниченные и неограниченные .
Ограниченным является спектр, у которого вся энергия сигнала (все спектральные составляющие) находятся в ограниченном диапазоне частот (fmax ? ?).
Неограниченным является спектр, у которого вся энергия сигнала находится в неограниченном диапазоне частот (fmax ? ?). На практике такие спектры ограничивают.
Спектральное представление периодических сигналов
1. Гармоническое колебание.
Математическая модель гармонического колебания имеет вид:
u(t)=Ums sin (?st+?s) (11)
Как видно из математической модели, в спектре данного колебания присутствует одна гармоническая составляющая, которая находится на частоте?s. Высота составляющей в спектре амплитуд равна амплитуде колебания Ums, а в спектре фаз — начальной фазе колебания?s. Причем при построении спектра необходимо учитывать связь между временной диаграммой сигнала и спектром амплитуд. Амплитуда составляющей спектра должна по высоте соответствовать амплитуде колебания на временной диаграмме.
Необходимо отметить, что при увеличении частоты сигнала, его составляющая будет удаляться по оси частот от нуля (рисунок 13).
Рисунок 13 — Спектральное представление гармонических колебаний
Как видно из рисунков, спектр гармонического колебания является дискретным и ограниченным.
2. Периодические, негармонические сигналы.
Основной особенностью спектрального представления таких сигналов является наличие в их спектре множества спектральных составляющих. Такие сигналы могут быть описаны рядом Фурье, согласно которому:
т. е. сигнал может быть представлен суммой постоянной составляющей и множества гармонических составляющих.
Преобразуем данный ряд, используя тригонометрическое свойство
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y (13)
Полагая что x=?k и y=k?ct получим:
Поскольку Umk и?k являются параметрами ряда, то их можно обозначить коэффициентами
Umk sin ? k = ak; Umk cos ?k = bk (15)
Тогда ряд примет вид:
Параметры ряда можно определить через коэффициенты ak и bk:
Амплитуда постоянной составляющей и коэффициенты могут быть определены через значение сигнала u(t):
Из ряда следует, что если описываемый сигнал является четной функцией f(t)=f(-t), то ряд будет иметь только косинусоидальные составляющие, так как bk=0, если нечетная функция (f(t) ? f(-t)), то рад содержит только синусоидальные составляющие (ak=0).
Рассмотрим спектральное представление периодических, негармонических сигналов на примере периодической последовательности прямоугольных импульсов (ПППИ).
При построении спектра необходимо рассчитать следующие параметры:
а) скважность сигнала:
б) значение постоянной составляющей:
в) частоту первой гармоники спектра, которая равна частоте сигнала:
г) амплитуды гармонических составляющих спектра:
При построении спектра необходимо отметить следующие особенности:
1. Все гармонические составляющие находятся на частотах, кратных частоте первой гармоники (2?1, 3?1, 4?1 и т. д.);
2. Для спектра амплитуд:
а) спектр ПППИ имеет лепестковый характер, т. е. в спектре можно выделить множество «лепестков»;
б) количество гармонических составляющих в лепестке зависит от скважности и равно q — 1;
в) амплитуды гармонических составляющих, находящихся на частотах, кратных скважности, равны нулю;
г) форма спектра обозначается огибающей — пунктирной линией, плавно соединяющей вершины гармонических составляющих;
д) точка, из которой исходит огибающая, равна 2U0 или 2I0.
3. Для спектра фаз:
а) все гармонические составляющие, на частотах, не кратных скважности, имеют одинаковую высоту, равную?/2 (90°);
б) все гармонические составляющие в одном лепестке имеют одинаковый знак, а в соседних противоположный.
в) составляющие на частотах кратных скважности имеют начальную фазу равную нулю.
Спектры ПППИ при скважности q=3 представлены на рисунке 14.
Как видно из диаграмм спектр ПППИ является дискретным и неограниченным. Поэтому за ширину спектра принимают диапазон частот, в пределах которого находится два первых лепестка, т. к. в них содержится около 95% энергии сигнала:
Рисунок 14 — Спектральное представление ПППИ: а) временная диаграмма; б) спектральная диаграмма амплитуд; в) спектральная диаграмма фаз
Как видно из формулы ширина спектра ПППИ зависит только от длительности импульса и не зависит от его периода.
3. Непериодические сигналы .
Поскольку в непериодических сигналах нельзя выделить период, т. к. Т. то рассчитать и построить спектр тем же методом, что и для периодических сигналов нельзя. Однако знать спектр таких сигналов необходимо, т. к. все информационные сигналы являются непериодическими. Для построения спектра непериодического сигнала производят следующую процедуру: сигнал мысленно представляют как периодический с произвольным периодом, ддля которого строят спектр. Затем осуществляют предельный переход устремляя период к бесконечности (Т??) (рисунок 15). При этом частота первой гармоники и, соответственно, расстояние между гармоническими составляющими стремится к нулю (f1=1/Т), поэтому все составляющие сливаются друг с другом и образуют сплошной спектр.
Рисунок 15 — Импульсный сигнал u(t) и его представление периодическим сигналом
Форма спектра непериодических сигналов обозначается огибающей (сплошной линией) (рисунок 16).
Рисунок 16 — Спектральная диаграмма непериодического сигнала
Ряд Фурье, для таких сигналов, также нельзя записать, т. к. в этом случае амплитуда постоянной составляющей и коэффициенты ak и bk равны нулю. В этом случае значение сигнала в любой момент времени также равно нулю, что является не верным. Поэтому для таких сигналов используют преобразования Фурье:
Выражение (27) является обратным преобразованием, а (28) прямым преобразованием Фурье.
Величина S(?) является комплексной спектральной плотностью непериодического сигнала u(t). Она равна:
где S(?) спектральная плотность амплитуд или амплитудный спектр непериодического сигнала, а?(?) — фазовый спектр непериодического сигнала.
Спектральная плотность амплитуд непериодического сигнала на любой частоте? равна суммарной амплитуде составляющих находящихся в малой полосе?? в окрестностях частоты? пересчитанных на 1 Герц.
Временные диаграммы и спектральные плотности амплитуд для прямоугольного и треугольного импульсов представлены на рисунке 18:
Рисунок 18 — Спектральное представление непериодических сигналов: а) прямоугольный импульс; б) треугольный импульс
2.1. Спектры периодических сигналов
Периодическим сигналом (током или напряжением) называют такой вид воздействия, когда форма сигнала повторяется через некоторый интервал времени T , который называется периодом. Простейшей формой периодического сигнала является гармонический сигнал или синусоида, которая характеризуется амплитудой, периодом и начальной фазой. Все остальные сигналы будут негармоническими или несинусоидальными . Можно показать, и практика это доказывает, что, если входной сигнал источника питания является периодическим, то и все остальные токи и напряжения в каждой ветви (выходные сигналы) также будут периодическими. При этом формы сигналов в разных ветвях будут отличаться друг от друга.
Существует общая методика исследования периодических негармонических сигналов (входных воздействий и их реакций) в электрической цепи, которая основана на разложении сигналов в ряд Фурье. Данная методика состоит в том, что всегда можно подобрать ряд гармонических (т.е. синусоидальных) сигналов с такими амплитудами, частотами и начальными фазами, алгебраическая сумма ординат которых в любой момент времени равна ординате исследуемого несинусоидального сигнала. Так, например, напряжение u на рис. 2.1. можно заменить суммой напряжений и , поскольку в любой момент времени имеет место тождественное равенство: . Каждое из слагаемых представляет собой синусоиду, частота колебания которой связана с периодом T целочисленными соотношениями.
Для рассматриваемого примера имеем период первой гармоники совпадающим с периодом негармонического сигнала T 1 = T , а период второй гармоники в два раза меньшим T 2 = T /2, т.е. мгновенные значения гармоник должны быть записаны в виде:
Здесь амплитуды колебаний гармоник равны между собой ( ), а начальные фазы равны нулю.
Рис. 2.1. Пример сложения первой и второй гармоники
В электротехнике гармоническая составляющая, период которой равен периоду негармонического сигнала, называется первой или основной гармоникой сигнала. Все остальные составляющие называются высшими гармоническими составляющими. Гармоника, частота которой в k раз больше первой гармоники (а период, соответственно, в k раз меньше), называется
k — ой гармоникой. Выделяют также среднее значение функции за период, которое называют нулевой гармоникой. В общем случае ряд Фурье записывают в виде суммы бесконечного числа гармонических составляющих разных частот:
где k — номер гармоники; — угловая частота k — ой гармоники;
ω 1 = ω =2 π / T — угловая частота первой гармоники; — нулевая гармоника.
Для сигналов часто встречающихся форм разложение в ряд Фурье можно найти в специальной литературе. В таблице 2 приведены разложения для восьми форм периодических сигналов. Следует отметить, что приведенные в таблице 2 разложения будут иметь место, если начало системы координат выбраны так, как это указано на рисунках слева; при изменении начала отсчета времени t будут изменяться начальные фазы гармоник, амплитуды гармоник при этом останутся такими же. В зависимости от типа исследуемого сигнала под V следует понимать либо величину, измеряемую в вольтах, если это сигнал напряжения, либо величину, измеряемую в амперах, если это сигнал тока.