Когда неравенство выполняется при всех значениях х

0

Когда неравенство выполняется при всех значениях х

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I

§ 20 Эквивалентные неравенства и их свойства

До сих пор мы рассматривали тождественные неравенства, то есть такие неравенства, которые выполняются (обращаются в числовые неравенства) при всех допустимых или специально указанных значениях входящих в них букв. К таким относятся, например, неравенства:

а + 1 > а, а 2 > 0,

Теперь мы переходим к изучению неравенств, которые выполняются не при всех, а лишь при некоторых (а может быть, и ни. при каких!) допустимых значениях букв. Примером такого неравенства может служить неравенство

2х > 0.

Оно выполняется при любых положительных значениях х, хотя допустимыми значениями х являются все числа, в том числе и отрицательные.

Решить неравенство, содержащее неизвестную величину, — это значит найти все те значения этой неизвестной величины, при которых данное неравенство выполняется.

Подобно решению уравнений, решение неравенств обычно проводится путем сведения их к более простым, эквивалентным (или равносильным) неравенствам.

Два неравенства, содержащие одну и ту же неизвестную величину, называются эквивалентными (или равносильными), если они выполняются при одних и тех же значениях этой величины.

Примером эквивалентных неравенств могут служить неравенства 2х > 0 и —3х < 0, справедливые при всех положительных значениях х. Неравенства х > 0 и х 2 > 0 не эквивалентны, поскольку первое из них верно только при положительных значениях х, а второе — как при положительных, так и при отрицательных значениях х.

Неравенства, каждое из которых не выполняется ни при каких значениях неизвестной величины, также считаются эквивалентными. Примером таких неравенств могут служить неравенства

х 2 < — 1 и —(5x 4 + 3) > 0.

Эквивалентные неравенства обладают рядом важных свойств, которые мы приводим без доказательства.

Свойство 1. Если к обеим частям неравенства прибавить или из обеих частей вычесть число или выражение, определенное для всех значений неизвестной величины, то получится неравенство, эквивалентное данному.

Примеры. 1) Если к обеим частям неравенства х > 2 — х прибавить число —2, то в результате получится неравенство х — 2 > —х. Это неравенство, как утверждает свойство 1, должно быть эквивалентно данному неравенству х > 2 — х.

2) Прибавим к каждой части неравенства 1 /_x < 1 выражение . В результате получим . Выражение определено при всех значениях х. Следовательно, полученное неравенство эквивалентно данному неравенству 1 /_x < 1.

Существенным условием в 1-м свойстве эквивалентных неравенств является то, что выражение, которое мы прибавляем к каждой части исходного неравенства, должно быть определено для всех значений неизвестной величины. Если это условие не выполнено, то данное и полученное из него неравенства могут оказаться неэквивалентными. Поясним это на следующем примере. Прибавив к обеим частям неравенства х > 0 выражение , мы получим неравенство . Исходное неравенство верно при всех положительных значениях х и, в частности, при х = 1. Полученное же неравенство при х = 1 не имеет смысла. Поэтому при х = 1 оно выполняться не может. Таким образом, рассматриваемые два неравенства не эквивалентны.

Из первого свойства эквивалентных неравенств вытекает важное для дальнейшего следствие. Любое слагаемое, определенное для всех значений неизвестной величины, можно перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак этого слагаемого на противоположный.

Действительно, пусть дано неравенство

Р(х) + Q (х) > R (х), (1)

где Р(х), Q(х) и R(х) представляют собой некоторые выражения, зависящие от х, причем Q(х) определено для любых значений х. Нам нужно доказать, что такое неравенство эквивалентно неравенству

Р(х) > R(х) — Q(х). (2)

Доказательство этого факта очень простое: неравенство (2) получается, если из обеих частей неравенства (1) отнять Q(х).

Пример. Пусть дано неравенство 3х + 1 < 2 — х. Перенеся —х из правой части в левую, а 1, наоборот, из левой части в правую, получим:

3х + х < 2 — 1,

4х< 1.

Последнее неравенство выполняется, очевидно, при всех значениях х, меньших 1 /₄. При этих же значениях х должно, следовательно, выполняться и данное неравенство 3х + 1 < 2 — х.

Вообще можно доказать, что переносить из одной части неравенства в другую можно любое слагаемое.

Например, слагаемое в неравенстве

можно перенести из левой части в правую. В результате такого преобразования получится неравенство

эквивалентное данному (оба неравенства выполняются при всех положительных значениях х, кроме 1). А вот такое простое преобразование, как приведение подобных членов, требует большей осторожности. Так, если бы мы в правой части последнего неравенства привели подобные члены, то получили бы неравенство

х > 0,

которое не эквивалентно исходному неравенству.

Свойство 2. Если обе части неравенства умножить на положительное число или выражение, принимающее только положительные значения и определенное для всех значений неизвестной величины, то получится неравенство, эквивалентное данному.

Примеры. 1) Если обе части неравенства х > 2 — х умножить на положительное число 3, то получится неравенство 3х > 6 — 3х, эквивалентное данному.

2) Выражение х 2 + 1 принимает только положительные значения и определено для всех значений х. Поэтому неравенство х < 1 эквивалентно неравенству

х(х 2 + 1) < х 2 + 1,

х 3 + х < х 2 + 1.

Следует особо подчеркнуть, что то выражение, на которое мы умножаем обе части исходного неравенства, должно удовлетворять двум требованиям:

а) оно обязано принимать только положительные значения и

б) быть определенным для всех значений неизвестной величины.

Если хотя бы одно из этих требований не удовлетворяется, то исходное и полученное из него неравенства могут оказаться неэквивалентными. Поясним это на следующих примерах.

1) Неравенство х > 0 выполняется только для положительных значений х. Умножив его почленно на х, мы получим неравенство х 2 > 0. Оно верно как для положительных, так и для отрицательных значений х. Несоответствие этого результата со свойством 2 легко объяснить. Ведь выражение х, на которое мы умножили обе части исходного неравенства х > 0, принимает как положительные, так и отрицательные значения. А на этот случай свойство 2 не дает никаких гарантий.

2) Умножив неравенство х > 0 на выражение , мы получим неравенство Предлагаем учащимся самостоятельно показать, что это неравенство не эквивалентно данному, и объяснить, почему 2-е свойство эквивалентных неравенств здесь не применимо.

Свойство 3. Если обе части неравенства умножить на отрицательное число или выражение, которое определено для всех значений неизвестной величины и принимает только отрицательные значения, а знак неравенства изменить на противоположный ( > на < ; < на >), то получится неравенство, эквивалентное данному.

Это свойство вполне аналогично 2-му свойству. Поэтому подробно останавливаться на нем мы не будем.

Упражнения

152. Эквивалентны ли неравенства:

153. Эквивалентны ли неравенства:

152. а) Да; б) нет; в) нет; г) да. 153. а) Да; б) да; в) да; г) да; д) нет; е) нет; ж) нет; з). да.

Решение неравенств

Неравенство — это отношение, связывающее два числа или иных математических объекта с помощью одного из перечисленных ниже знаков.

Основные понятия, связанные с решением неравенств с одной переменной

Пусть дано неравенство f(x) > g(x). Всякое значение переменной х, при котором данное неравенство, обращается в верное числовое неравенство, называют решением неравенства. Решить неравенство с переменной — значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства с одной переменной называют равносильными, если решения этих неравенств совпадают; в частности, неравенства равносильны, если оба не имеют решений.

При решении неравенств обычно заменяют данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному; полученное неравенство снова заменяют более простым, равносильным данному неравенством и т. д. Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений.

Теорема 1.

Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 2.

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 3.

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Например, неравенства равносильны по теореме 1. Неравенства и равносильны по теореме 2 (обе части

неравенства разделили на положительное число 3, оставив без изменения знак < исходного неравенства). Неравенства -6х < 12 и х > -2 равносильны по теореме 3 (обе части неравенства —6х <12 разделили на отрицательное число -6, изменив при этом знак < исходного неравенства на знак >).

На практике иногда полезны теоремы, являющиеся обобщениями теорем 2 и 3.

Теорема 4.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной положительные значения, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 5.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной отрицательные значения, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Графическое решение неравенств с одной переменной

Для графического решения неравенства f(x) > g(x) нужно построить графики функций у = f(x) и у = g(x) и выбрать те участки оси абсцисс, на которых график функции у = f(x) расположен выше графика функции у = g(x).

Пример:

Решить графически неравенство

Решение:

Построим в одной системе координат графики функций (рис. 1.113).

Из рисунка видно, что график функции расположен выше графика функции при х > 2.

Ответ:

Линейные неравенства с одной переменной

Линейным называют неравенство вида (или соответственно ). Если , то неравенство равносильно неравенству (см. теорему 2); значит, множество решений неравенства есть промежуток . Если , то неравенство равносильно неравенству (см. теорему 3); значит, множество решений неравенства есть промежуток . Если , то неравенство принимает вид ; оно не имеет решений, если , и верно при любых х, если b < 0.

Многие неравенства в процессе преобразований сводятся к линейным.

Пример:

Решение:

Раскрыв скобки, получим

По теореме 1 это неравенство равносильно заданному неравенству. Разделим теперь обе части неравенства (1) на отрицательное число -9 и изменим знак неравенства. Получим согласно теореме 3 неравенство, равносильное неравенству (1): .

Значит, множество решений заданного неравенства есть луч .

Системы неравенств с одной переменной

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств.

Значение переменной, при котором каждое неравенство системы обращается в верное числовое неравенство, называют решением системы неравенств.

Неравенства, образующие систему, объединяют фигурной скобкой. Например, запись

означает, что неравенства 2х-1 > З и Зх-2 < 11 образуют систему.

Иногда используют запись в виде двойного неравенства.

Например, систему неравенств

можно записать в виде двойного неравенства

Пример 1.

Решить систему неравенств

Решение:

Первое неравенство системы преобразуется в равносильное ему неравенство , а второе — в неравенство . Таким образом, задача сводится к решению системы

С помощью координатной прямой (рис. 1.114) находим, что множество решений системы есть интервал (пересечение зашрихованных на рис. 1.114 промежутков).

Пример 2.

Решить систему неравенств

Решение:

Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим

Значений х, удовлетворяющих одновременно неравенствам и , нет; следовательно, заданная система неравенств не имеет решений.

Совокупность неравенств с одной переменной

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств.

Значение переменной, при котором хотя бы одно из неравенств, образующих совокупность, обращается в верное числовое неравенство, называют решением совокупности неравенств.

Пример:

Решить совокупность неравенств

Решение:

Преобразовав каждое из неравенств, получим совокупность, равносильную заданной:

С помощью числовой прямой находим, что решением заданной совокупности является промежуток (рис. 1.115) (объединения заштрихованных на рис. 1.115. промежутков).

Дробно-линейные неравенства

Дробно-линейные неравенства — это неравенства вида

Пример 1.

Решить неравенство

Решение:

Дробь положительна, если числитель и знаменатель ее имеют одинаковые знаки, т. е. либо оба положительны, либо оба отрицательны. Значит, мы получаем совокупность двух систем неравенств

Из первой находим

Из второй находим

В итоге получили следующие решения заданного неравенства:

Пример 2.

Решить неравенство

Решение:

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства (см. теорему 3, п. 174). Получим

Дробь меньше или равна нулю в двух случаях: 1) если числитель меньше или равен нулю, а знаменатель больше нуля; 2) если числитель больше или равен нулю, а знаменатель меньше нуля. Значит, мы получаем совокупность двух систем неравенств

Из первой находим

Из второй находим т. е. система не имеет решений.

Значит, множество решений заданного неравенства есть промежуток .

Квадратные неравенства

Здесь речь идет о неравенствах вида

Теорема 6.

Если дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, а старший коэффициент положителен, то при всех значениях х выполняется неравенство

Рассмотрим теперь случай, когда . Для решения неравенства (или ) нужно разложить квадратный трехчлен на множители по формуле

(см. п. 56), затем разделить обе части неравенства (или ) на число , сохранив знак неравенства, если , и изменив знак неравенства на противоположный, если (см. п. 174), т. е. перейти к неравенству

(или ). Теперь остается воспользоваться тем, что произведение двух чисел положительно (отрицательно), если множители имеют одинаковые (разные) знаки.

Пример 1.

Решить неравенство

Решение:

Найдем корни трехчлена Из уравнения получаем Значит, , и мы приходим к неравенству и далее . Выражения х + 2 и должны иметь одинаковые знаки, т. е.

Из первой системы находим , а из второй х < -2.

Пример 2.

Решить неравенство

Решение:

Преобразуем неравенство к виду и, умножив обе части последнего неравенства на -1, получим . Корни квадратного трехчлена таковы: . Разложив квадратный трехчлен

на множители, получим и далее . От последнего неравенства переходим к совокупности систем неравенств

Первая система не имеет решений, а из второй находим

Пример 3.

Решить неравенство

Решение:

Квадратный трехчлен имеет два одинаковых корня . Значит,

и неравенство принимает вид . Это неравенство выполняется при всех х, кроме х = 3.

Пример 4.

Решить неравенство

Решение:

откуда

Из первой системы получаем , из второй .

Графическое решение квадратных неравенств

Графиком квадратичной функции является парабола с ветвями, направленными вверх, если , и вниз, если . При этом возможны три случая:

1) парабола пересекает ось х (т. е. уравнение имеет два различных корня);

2) парабола имеет вершину на оси х (т. е. уравнение имеет один корень);

3) парабола не пересекает ось х (т. е. уравнение не имеет корней).

Итого возможны шесть положений параболы, служащей графиком функции относительно оси х, — они представлены на рисунках 1.116—1.121. Опираясь на эти графические иллюстрации, можно решать квадратные неравенства.

Пример 1.

Решить неравенство

Решение:

Уравнение имеет два корня: Порабола, служащая графиком функции имеет вид, изображенный на рисунке 1.116. Неравенство выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат выше оси х: это будет при или при , т. е. при х < -2 или при .

Значит, решения неравенства таковы: (см. пример 1 из п. 180).

Пример 2.

Решить неравенство

Решение:

Уравнение имеет два корня: . Парабола, служащая графиком функции , имеет вид, изображенный на рисунке 1.116. Неравенство выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат на оси х или ниже ее: это будет при х из промежутка . Значит, множество решении неравенства есть отрезок (см. пример 2 из п. 180).

Пример 3.

Решить неравенство .

Решение:

Уравнение имеет один корень х = 2. Парабола, служащая графиком

функции , имеет вид, изображенный на рисунке 1.120. Неравенство выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат выше оси х. Таких точек нет; значит, неравенство не имеет решений.

Пример 4.

Решить неравенство .

Решение:

Уравнение не имеет действительных корней. Парабола, служащая графиком функции у = —Зх + х — 5, имеет вид, изображенный на рисунке 1.121. Неравенство выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат ниже оси х. Так как вся парабола лежит ниже оси х, то неравенство выполняется при любых значениях х.

Неравенства с модулями

При решении неравенств, содержащих переменные под знаком модуля, используют определение модуля:

Иногда полезно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой означает расстояние точки координатной прямой от начала отсчета О, а означает расстояние между точками и на координатной прямой (см. п. 27).

Кроме того, можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства, основанный на следующей теореме.

Теорема 7.

Если выражения f(x) и g(x) при любых х принимают только неотрицательные значения, то неравенства равносильны.

Применяется эта теорема при решении неравенств с модулями так.

Пусть нужно решить неравенство

Так как при любых х из области определения выражений f(х) и g(x) справедливы соотношения то данное неравенство равносильно неравенству

Пример 1.

Решить неравенство

Решение:

| х — 1| можно рассматривать как расстояние на координатной прямой между точками х и 1. Значит, нам нужно указать на координатной прямой все точки х, которые удалены от точки 1 меньше чем на 2 единицы. С помощью координатной прямой (рис. 1.122) устанавливаем, что множество решений неравенства есть интервал (-1; 3).

Возведя обе части данного неравенства в квадрат, получим равносильное ему неравенство Решая последнее неравенство, получим , откуда находим, что -1 < х < 3 (см. п. 180 или 181).

По определению модуля числа,

поэтому данное неравенство можно заменить совокупностью двух систем неравенств

Из первой системы получаем , из второй системы -1 <х < 1. Объединив эти решения, получим промежуток (-1; 3).

Пример 2.

Решить неравенство .

Решение:

Имеем . Нам нужно указать на координатной прямой все такие точки х, которые удалены от точки -2,5 на расстояние, большее или равное 3,5. С помощью координатной прямой (рис. 1.123) находим решения: .

Пример 3.

Решить неравенство .

Решение:

Возведя обе части неравенства в квадрат, получим неравенство , равносильное данному. Преобразовав последнее неравенство, получим , откуда находим .

Пример 4.

Решить неравенство .

Решение:

Если , то |2х + 4| = 2х + 4 и, следовательно, неравенство примет вид 2х + 4 < Зх + + 2. Если же 2х + 4 < 0, то |2х + 4| = -(2х + 4) и неравенство примет вид . Таким образом, данное неравенство можно заменить совокупностью двух систем неравенств:

Из первой системы находим , вторая система не имеет решений. Значит, множество решений неравенства — луч .

Решение рациональных неравенств методом промежутков

(этот метод иногда называют методом интервалов)

Решение рациональных неравенств вида (вместо знака > может быть и любой другой знак неравенства), где р(х) и q(x) — многочлены, основано на следующем рассуждении.

Рассмотрим выражение , где Если х > d, то каждый из множителей положителен и, следовательно, на промежутке имеем h(x) > 0. Если с < х < d, то х — d < 0, а остальные множители по-прежнему положительны. Значит, на интервале (с; d) имеем h(x) < 0. Аналогично, на интервале (b; с) будет h(x) > 0 и т. д. (рис. 1.124).

Изменение знаков h(x) удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (ее называют «кривой знаков»), которую чертят справа налево, начиная сверху (рис. 1.125). Эту иллюстрацию нужно понимать так: на тех промежутках, где эта кривая проходит выше координатной прямой, выполняется неравенство h(x) > 0, на тех же промежутках, где кривая проходит ниже прямой, имеем h(x) < 0.

Для проведенного выше рассуждения было несущественно количество линейных множителей в числителе и знаменателе, а также взаимное расположение корней числителя и знаменателя дроби на координатной прямой. Поэтому оно применимо для любой функции у = f(x) вида

где числа попарно различны. Изменение знаков функции у = f(x) мы также можем иллюстрировать с помощью кривой знаков, которую чертят справа налево, начиная сверху, и проводят через все отмеченные на координатной прямой точки . На этом основан метод промежутков, который с успехом применяется для решения рациональных неравенств.

Пример 1.

Решение:

Выполним преобразования левой части неравенства

и умножим обе части неравенства на 8; получим неравенство равносильное данному.

Изменение знаков функции у = f(x), где

иллюстрируем с помощью кривой знаков (рис. 1.126). Значения х, при которых f(x) < 0 (заштриховано), удовлетворяют следующим неравенствам:

Это решения исходного неравенства.

Пример 2.

Решить неравенство

Решение:

Имеем и далее

Начертим кривую знаков для функции (рис. 1.127). С ее помощью находим решения неравенства:

Пример 3.

Решить неравенство

Решение: Выражение обращается в нуль при х = 1 и при х = -2, а при остальных значениях х оно положительно. Значения х = 1 и х = -2 удовлетворяют данному нестрогому неравенству, т. е. являются его решениями. Пусть теперь тогда , а потому, разделив обе части заданного неравенства на

и сохранив знак заданного неравенства, получим неравенство , равносильное исходному (см. п. 174). Полученное неравенство имеет решение . В ответ нужно включить и отмеченное выше решение х = -2.

Ответ:

Показательные неравенства

При решении неравенств вида следует помнить, что показательная функция возрастает при и убывает при (см. п. 94). Значит, в случае, когда , неравенство равносильно неравенству того же смысла f(х) > g(x). В случае же, когда , неравенство равносильно неравенству противоположного смысла f(х) < g(x).

Пример 1.

Решить неравенство

Решение:

Здесь основание степени больше 1, поэтому, сравнивая показатели, запишем неравенство того же смысла Зх + 7 < 2х — 1. Решив это неравенство, получим х < -8.

Пример 2.

Решить неравенство

Решение:

Так как , то заданное неравенство можно записать в виде

Так как 0 < 0,04 < 1, то, сравнивая показатели, запишем неравенство противоположного смысла . Далее,

Логарифмические неравенства

При решении неравенств вида следует помнить, что логарифмическая функция возрастает при и убывает при (см. п. 96). Значит, в случае, когда , от исходного неравенства следует перейти к неравенству того же смысла f(х) > g(x). В случае же, когда , от исходного неравенства следует перейти к неравенству противоположного смысла f(х) < g(x). При этом следует учитывать, что логарифмическая функция определена лишь на множестве положительных чисел. Значит, должны выполняться неравенства f(х) > 0 и g(x) > 0.

Таким образом, неравенство при равносильно системе неравенств

а при равносильно системе неравенств

Заметим, что систему (1) можно упростить: неравенство f(x) > 0 вытекает из неравенств f(x) > g(x), g(x) > 0, поэтому неравенство f(x) > 0 можно опустить, т. е. переписать систему (1) в виде

Аналогично, систему (2) можно переписать в виде

Пример 1.

Решить неравенство

Решение:

Так как , то данное неравенство можно переписать в виде Далее имеем

откуда

Пример 2.

Решить неравенство

Решение:

Чтобы все логарифмы имели смысл, должны выполняться неравенства х + 2 > 0 и 2х — 6 > 0. Используя свойства логарифмов, преобразуем заданное неравенство:

Таким образом, заданное неравенство равносильно системе неравенств

С помощью координатной прямой (рис. 1.128) устанавливаем, что множество решений последней системы, а значит, и заданного неравенства есть интервал (3; 8).

Иррациональные неравенства

При решении иррациональных неравенств используется следующее утверждение:

Теорема 8.

Если обе части неравенства принимают на некотором множестве X только неотрицательные значения, то, возведя обе части неравенства в квадрат (или в любую четную степень) и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное данному (на множестве X).

Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную степень (с сохранением знака неравенства) всегда является равносильным преобразованием неравенства.

Рассмотрим неравенство вида

(1)

Ясно, что решение этого неравенства является в то же время решением неравенства и решением неравенства g(x) > 0 (из неравенства (1) следует, что ). Значит, неравенство (1) равносильно системе неравенств

Так как при выполнении условий, задаваемых первыми двумя неравенствами этой системы, обе части третьего неравенства системы определены и принимают только неотрицательные значения, их возведение в квадрат есть равносильное преобразование неравенства. Выполнив это преобразование, придем к системе

Итак, неравенство равносильно системе неравенств

Рассмотрим теперь неравенство вида

(2)

Как и выше, заключаем, что , но в отличие от предыдущего случая здесь g(x) может принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения. Поэтому заданное неравенство (2) рассмотрим в каждом из следующих случаев: g(x) < 0, . Получим совокупность систем неравенств:

В первой из этих систем можно опустить последнее неравенство — оно вытекает из первых двух неравенств системы. Во второй системе можно выполнить возведение в квадрат обеих частей последнего неравенства.

В итоге приходим к следующему результату: неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

Пример 1.

Решить неравенство

Решение:

Это неравенство равносильно системе неравенств

Решив систему, находим

Пример 2.

Решить неравенство

Решение:

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

Второе неравенство второй системы можно опустить как следствие третьего неравенства той же системы.

Решив первую систему, получим х < -3, из второй системы получаем Объединив найденные решения, получим

Решение тригонометрических неравенств

Рассмотрим примеры графического решения простейших тригонометрических неравенств, т. е. неравенств вида где f(х) — одна из тригонометрических функций.

Пример 1.

Решить неравенство sin х > 0.

Решение:

Построим график функции у = sin х и выберем на оси х значения аргумента х, которым соответствуют точки графика, лежащие выше оси х. Одним из промежутков, содержащих такие точки оси х, является интервал (рис. 1.129), а всего таких интервалов будет бесконечно много,

причем в силу периодичности функции у = sin х каждый из них получается из сдвигом по оси х на Таким образом, решением заданного неравенства служит объединение интервалов вида Это можно записать так:

Пример 2.

Решить неравенство

Решение:

Построим график функции у = cos х и проведем прямую Нас интересуют те значения аргумента х, которым соответствуют точки графика, лежащие ниже прямой Одним из нужных нам промежутков является интервал (рис. 1.130).

Воспользовавшись периодичностью функции у = cos х, запишем ответ:

Пример 3.

Решить неравенство .

Решение:

Построим график функции у = tg х и проведем прямую у = -1. Нас интересуют те значения х, которым соответствуют точки графика, лежащие не ниже прямой у = — 1.

Одним из нужных нам промежутков является (рис. 1.131), а всего таких промежутков будет бесконечно много, причем в силу периодичности функции у = tg х каждый получается из сдвигом по оси х на Это позволяет записать решение следующим образом:

Неравенства и системы неравенств с двумя переменными

Рассмотрим неравенство f(x; у) > g(x; у). Решением неравенства с двумя переменными называют пару значений переменных, которая обращает неравенство с переменными в верное числовое неравенство. Известно, что пара действительных чисел (х; у) однозначно определяет точку координатной плоскости. Это дает возможность изобразить решения неравенства или системы неравенств с двумя переменными геометрически, в виде некоторого множества точек координатной плоскости.

Пример 1.

Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства х + у — 1 > 0.

Решение:

Преобразуем данное неравенство к виду у > -х + 1. Построим на координатной плоскости прямую у = -х + 1. Так как ордината любой точки, лежащей выше прямой у = —х + 1, больше, чем ордината точки, имеющей такую же абсциссу, но лежащей на прямой, то множество точек плоскости, расположенных выше этой прямой, и будет геометрическим изображением решений заданного неравенства (рис. 1.132).

Пример 2.

Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства

Решение:

Преобразуем неравенство к виду . Построим на координатной плоскости параболу — график функции .

Так как ордината любой точки, лежащей выше параболы , больше, чем ордината точки, имеющей ту же абсциссу, но лежащей на параболе, и так как неравенство нестрогое, то геометрическим изображением решений заданного неравенства будет множество точек плоскости, лежащих на параболе и выше нее (рис. 1.133).

Пример 3.

Изобразить на координатной плоскости множество решений системы неравенств

Геометрическим изображением решений системы неравенств является множество точек первого координатного угла (рис. 1.134). Геометрическим изображением решений неравенства х + у < 5 или у < 5 — х является множество точек, лежащих ниже прямой, служащей графиком функции у = 5 — х (рис. 1.135).

Наконец, геометрическим изображением решений неравенства ху > 4 или, поскольку х > 0, неравенства является множество точек, лежащих выше ветви гиперболы, служащей графиком функции (рис. 1.136). В итоге получаем множество точек координатной плоскости, лежащих в первом координатном углу ниже прямой, служащей графиком функции у = 5 — х, и выше гиперболы, служащей графиком функции (рис. 1.137).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Неравенства и их геометрическое содержание

Метод координат позволяет геометрически толковать не только уравнения, а так же и неравенства.

Потому как мы говорим, что уравнение с двумя переменными и обозначает на плоскости некоторую линию, можно сказать, что неравенство с двумя переменными и обозначается множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому неравенству. Таким образом геометрически толковать и неравенство

Если выражение является линейным, то есть где — постоянные, то мы получим линейное уравнение

и два линейные неравенства

Если коэффициенты и не равны одновременно нулю, то уравнение (2.40) обозначает на плоскости прямую, а неравенства (2.41) и (2.42) — соответственно две полуплоскости, на которой прямая (2.40) разбивает координатную плоскость. Для того чтобы выяснить, какая из двух полуплоскостей обозначается заданной линейным неравенством, можно использовать, например, такой способ.

Выберем какую нибудь точку. подставим ее координаты в неравенство, что проверяется.

Если координаты точки удовлетворяют неравенству, то неравенство обозначает ту плоскость, в которой находится выбранная точка: если же координаты точки не удовлетворяют неравенство, то неравенство обозначает плоскость, которая не содержит выбранной точки.

Пример:

Записать с помощью неравенства ту полуплоскость, в которой лежит точка и границей которой прямая Проверить, лежит в этой же полуплоскости начало координат.

Решение. Подставим координаты точки в левую часть уравнения заданной прямой: Полученная величина положительна. Следует, точка не принадлежит на заданной прямой, а искомая плоскость обозначается неравенством

Студенту рекомендовано сделать рисунок и решить самостоятельно вторую часть примера.

Можно рассмотреть также систему неравенств:

Областью решения системы неравенств называется множество всех точек, координаты каждой из них удовлетворяют всем неравенствам системы.

пересечением нескольких множеств точек называется множество точек, каждая из которых принадлежим всем множествам, что пересекаются. Очевидно, областью решения системы неравенства служит пересечение областей решения каждой из неравенства системы.

Областью решений, системы линейных уравнений

является, очевидно пересечение полуплоскостей, что обозначается каждой из неравенств системы. Эта область может быть и пустым множеством, то есть множеством, которая не содержит ни одной точки.

Если же это множество точек не пустое, то она обозначается многоугольной областью. Если кроме того, эта область ограничена, то есть не содержит точек как и при большим значением координат, то ее называют началом многоугольника.

Пример:

Записать с помощью системы неравенств множество точек, что лежат посередине треугольника с вершинами

Решение. Студенту рекомендовано выполнить рис., очевидно, множество всех внутренних точек треугольника можно рассмотреть как пересечение трех полуплоскостей, из которых первая ограничена прямой и содержит точку вторая ограничена прямой и содержит точку

найдем неравенство, что обозначает первую из этих полуплоскостей. Сложим уравнение прямой зная координаты точек и

или

Подставляя в левую часть этого уравнения координаты точки получим Следует, первая полуплоскость обозначается неравенством

Аналогично, плоскость, что ограничена прямой и содержит точку обозначается неравенством:

А плоскость, что ограничена прямой и содержит точку обозначается неравенством:

Следует множество всех внутренних точек треугольника обозначается системой неравенств

Если вместо строгих неравенств ( или ) рассматривать не строгие неравенства ( или ), то обозначенная ими область включается и границы этих полуплоскостей.

Например, область решений неравенств:

является область, что ограничена треугольником включая ее как внутренние, так и граничные точки, то есть и точки отрезков

Аналогично интерпретируются геометрически линейные неравенства тремя переменными. Линейное неравенство с тремя неизвестными обозначается полуплоскость, а система таких неравенств — пересечение полупространства. Если он не пустой, является многогранной областью или в случае ограниченности многогранником.

Примеры решения задач:

Задача 2.121.

Построить область решений системы линейных неравенств:

Решение. Построим граничные прямые, что соответствуют данным неравенств, по двум точкам, что соответствуют этим прямым

Каждая прямая делит плоскость на две полуплоскости. Та из них, что содержит начало координат и является областью решений каждой из неравенств. Стрелками обозначим полуплоскости, которые являются областями решений данных неравенств. Пересечение отмеченных полуплоскостей — четырехугольник — область решения данной системы (рис. 2.21).

Задача 2.122 Построить область решений системы линейных неравенств:

Решение. Построим граничные прямые, что соответствуют данным неравенствам:

Область решение первой прямой содержит начало координат, а область решений второй и третьей неравенств — не содержат начало координат. Стрелками обозначим полуплоскости, точки которых удовлетворяют неравенствам. Областью решений является выпуклая неограниченная область (рис. 2.22).

Задача 2.123

Построить область решений системы линейных неравенств:

Решение. Строим граничные прямые:

Строим область решений каждого неравенства (рис. 2.23).

Не существует ни одной точки для всех плоскостей, что соответствуют данным уравнениям. Следует, область решений пустая. Система неравенств несовместима.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Квадратные неравенства. Как решать квадратные неравенства?

Квадратные неравенства обычно решают методом интервалов . Ниже приведен алгоритм, как решать квадратные неравенства с дискриминантом больше нуля. Решение квадратных неравенств с дискриминантом равным нулю или меньше нуля – разобраны отдельно.

Приведите неравенство к виду \(ax^2+bx+c⋁0\).
Примеры:

Разложите выражение слева на множители. Для этого приравняйте его к нулю и решите получившееся уравнение, найдя корни \(x_1\) и \(x_2\). Затем запишите исходное выражение в виде \(a(x-x_1 ) (x-x_2 )\) Подробнее об этом можно почитать здесь .

Начертите числовую ось и отметьте на ней найденные корни. Если неравенство строгое (со знаком \(<\) или \(>\)) то точки должны быть выколоты, если неравенство нестрогое (со знаком \(≤\) или \(≥\)), то точки должны быть закрашены.

Нанесенные корни разбивают числовую ось на несколько интервалов.
В первом справа интервале поставьте:
\(-\) знак плюс если перед скобками ничего не стоит или стоит положительное число
\(-\) знак минус если перед скобками стоит знак минус.
В следующих за ним интервалах поставьте чередующиеся знаки.

Заштрихуйте подходящие интервалы, то есть числовые промежутки :
\(-\) со знаком «\(+\)», если в неравенстве стояло «\(>0\)» или «\(≥0\)»
\(-\) со знаком «\(-\)», если в неравенстве стояло «\(<0\)» или «\(≤0\)»

Выпишите в ответ те интервалы, которые вы заштриховали.
Внимание! При строгих знаках неравенства (\(<\) или \(>\)) границы интервала НЕ ВХОДЯТ в решение, при этом в ответе сам интервал записывается в виде \((x_1;x_2)\) – скобки круглые. При нестрогих знаках неравенства (\(≤\) или \(≥\)) — границы интервала ВХОДЯТ в решение, и ответ записывается в виде \([x_1;x_2]\), с квадратными скобками на точках.

Пример. Решите квадратное неравенство \(\frac<5>+\frac<2x><3>\) \(≥\) \(\frac<8><15>\)
Решение:

Чтобы избавиться от дробей , умножим обе части неравенство на \(15\).

Перенесем \(8\) влево.

Вот мы и привели неравенство к виду \(ax^2+bx+c⋁0\). Запишем квадратное уравнение вида \(ax^2+bx+c=0\).

Когда корни найдены, запишем неравенство в разложенном на множители виде.

Теперь начертим числовую ось, отметим на ней корни и расставим знаки на интервалах.

Выпишем в ответ интересующие нас интервалы . Так как знак неравенства \(≥\), то нам нужны интервалы со знаком \(+\), при этом сами корни мы включаем в ответ (скобки на этих точках – квадратные).

Квадратные неравенства с отрицательным и равным нулю дискриминантом

Алгоритм выше работает, когда дискриминант больше нуля, то есть квадратный трехчлен имеет \(2\) корня. Что делать в остальных случаях? Например, таких:

параметр — Когда неравенство выполняется для всех x?

При каких значениях $%a$% неравенство $$\log_<\frac<2a-15><5>>\frac <\sin x+\sqrt<3>\cos x+a-5><5>>0$$ выполняется для всех $%x$%?

задан 13 Июн ’14 15:27

1 ответ

отвечен 13 Июн ’14 15:49

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.