Как решать параметрические неравенства

Неравенства с параметром

Напомню, что два неравенства называются равносильными, если их решения совпадают. При решении неравенств нужно понимать, какие преобразования будут равносильными, и какие нет:

1. Перенос какого-либо члена неравенства из одной части в другую, при этом знак этого члена меняется на противоположный.
2. Умножение или деление всего неравенства (левой и правой частей) на одно и то же положительное число.
3. Умножение или деление всего неравенства на отрицательное число, при условии, что вы меняете знак неравенства.

Разберем несколько примеров простейших неравенств с параметром. Рассуждения здесь примерно такие же, что и при анализе уравнений. Как аналитически исследовать квадратные уравнения, можно познакомиться здесь.

Решить неравенство \((a-2)x>a^2-4\) для любого значения параметра \(a\).

Первый случай: Если \(a=2\), получим неравенство \(0*x>0\), которое не имеет решений.

Внимание! Важно помнить, что если вы делите неравенство на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный. Поэтому, нужно рассмотреть еще два случая.

Второй случай: Если \(a > 2 ⇔ x > \frac ⇔ x > a+2;\)

Третий случай: Если \(a 2\) $$ x > a+2;$$ при \(a Пример 2

Решить неравенство \(ax^2-4x-4>0\) при всех значениях параметра \(a\).

Первый случай: Если \(a=0\) , неравенство примет вид \(-4x-4>0 ⇔ x

Получаем, что дискриминант больше нуля при \(a > -1; D 0\) ветки параболы направлены вверх, а при \(a 0,D > 0\)

Параметрические уравнения, неравенства и системы, часть С

Уравнение, которое кроме неизвестной величины содержит также другую дополнительную величину, которая может принимать различные значения из некоторой области, называется параметрическим. Эта дополнительная величина в уравнении называется параметр. На самом деле с каждым параметрическим уравнением может быть написано множество уравнений.

Способ решения параметрических уравнений

1. Находим область определения уравнения.
2. Выражаем a как функцию от $х$.
3. В системе координат $хОа$ строим график функции, $а=f(х)$ для тех значений $х$, которые входят в область определения данного уравнения.
4. Находим точки пересечения прямой, $а=с$, где $с∈(-∞;+∞)$ с графиком функции $а=f(х)$. Если прямая, а=с пересекает график, $а=f(х)$, то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение вида, $а=f(х)$ относительно $х$.
5. Записываем ответ.

Общий вид уравнения с одним параметром таков:

При различных значениях, а уравнение $F(x, a) = 0$ может иметь различные множества корней, задача состоит в том, чтобы изучить все случаи, выяснить, что будет при любом значении параметра. При решении уравнений с параметром обычно приходится рассматривать много различных вариантов. Своевременное обнаружение хотя бы части невозможных вариантов имеет большое значение, так как освобождает от лишней работы.

Поэтому при решении уравнения $F(x, a) = 0$ целесообразно под ОДЗ понимать область допустимых значений неизвестного и параметра, то есть множество всех пар чисел ($х, а$), при которых определена (имеет смысл) функция двух переменных $F(x, а)$. Отсюда естественная геометрическая иллюстрация ОДЗ в виде некоторой области плоскости $хОа$.

ОДЗ различных выражений (под выражением будем понимать буквенно — числовую запись):

1. Выражение, стоящее в знаменателе, не должно равняться нулю.

2. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

3. Подкоренное выражение, стоящее в знаменателе, должно быть положительным.

4. У логарифма: подлогарифмическое выражение должно быть положительным; основание должно быть положительным; основание не может равняться единице.

Алгебраический способ решения квадратных уравнений с параметром $ax^2+bx+c=0$

Квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0, а≠0$ не имеет решений, если $D < 0$;

Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда $D > 0$;

Квадратное уравнение имеет один корень, если $D=0$

Тригонометрические тождества

3. $sin^<2>α+cos^<2>α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

Неравенства с параметром

Пример 1. При каких значениях параметра a неравенство верно при любом x:
a) \(\mathrm\)
Выражение слева – уравнение параболы ветками вверх. Такая парабола будет всегда положительной, если D < 0. Найдём дискриминант: \begin \mathrm< D=(a-4)^2-4\cdot 1\cdot (a^2-a+4)= >\\ \mathrm < =a^2-8a+16-4a^2+4a-16=-3a^2-4a=-3a\left(a+\frac43\right)\lt 0 >\end Получаем: $$ \mathrm < a\left(a+\frac43\right)\gt 0\Rightarrow a\lt -\frac43\cup a\gt 0 >$$ Ответ: \(\mathrm\).

б) \(\mathrm\)
При a = 0 неравенство преобразуется в \(\mathrm<-8x\lt 0\Rightarrow x\gt 0>\), т.е. выполняется не при всех x.
При a < 0 парабола будет всегда отрицательной при D < 0. Находим дискриминант: \begin \mathrm< D=8^2-4\cdot a\cdot a=4(16-a^2)\lt 0 >\\ \mathrm < a^2-16\gt 0\Rightarrow(a+4)(a-4)\gt 0\Rightarrow a\lt -4\cup a\gt 4 >\end Получаем систему: $$ \left\< \begin < l l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right.\Rightarrow a\lt -4 $$

При a > 0 парабола будет отрицательной только на интервале, что не соответствует условию.
Ответ: \(\mathrm\).

При a > 0 парабола будет отрицательной только на интервале, что не соответствует условию.
Ответ: \(\mathrm\).

Пример 2. При каких значениях a множеством решений неравенства \(\mathrm<(x-a)^2(x-3)(x+5)\lt 0>\) является промежуток (–5; 3)?
Решаем систему: $$ \left\< \begin < l l >\mathrm <(x-a^2)(x-3)(x+5)\lt 0>& \\ \mathrm <-5\lt x\lt 3>& \end\right. $$ Если -5 < x < 3, то (x – 3)(x + 5) < 0. Значит: $$ (x-a)^2\gt 0\Rightarrow x-a\ne 0\Rightarrow \left\< \begin < l l >\mathrm & \\ \mathrm <-5\lt x\lt 3>& \end\right.\Rightarrow \mathrm $$ Ответ: \(\mathrm\).

Задание 17. Уравнения и неравенства с параметром

Существует ровно три генеральных метода решения задач 17:

• Метод перебора — классический перебор вариантов. Например, когда выражение под модулем больше нуля и когда меньше;
• Графический метод — привлечение чертежа. Во многих задачах 17 достаточно начертить графики функций — и решение становится очевидным;
• Метод следствий — нестандартный и, как правило, самый изощренный. Если в исходном условии удастся подметить что-нибудь полезное, в дальнейшем можно значительно упростить решение всей задачи.

Конечно, одну и ту же задачу зачастую можно решить разными способами. Но далеко не все они оптимальны: выбрав неправильный «путь», можно увязнуть в вычислениях, так и не дойдя до ответа.

Поэтому в данном разделе я рассмотрю все способы, а ваша задача — практиковаться и учиться правильно выбирать.:)

Глава 1. Графический подход § 1. Вебинар по задачам 18: модуль и окружности § 2. Как решать задачу 18: графический подход § 3. Задача 18: две окружности и модуль § 4. Задача 18: пересечение графиков окружности и модуля § 5. Новая задача 18 из пробного ЕГЭ — наглядный пример того, как эффективно работает графическое решение задач с параметром. Глава 2. Аналитический подход § 1. Задачи 18: Аналитическое решение § 2. Окружность и модуль: задачи 18 с двумя параметрами § 3. Аналитическое решение задачи 18 с перебором различных вариантов Глава 3. Нестандартные приемы § 1. Задача 18: метод симметричных корней § 2. Как увидеть симметрию корней в задаче 18? § 3. Метод мажорант в задаче 18 § 4. Графическое решение сложных задач 18 с модулем § 5. Задание 18: Симметрия корней в системе уравнений § 6. Анализ знаков квадратного трёхчлена в сложных задачах 18 § 7. Применение производной для отыскания точек пересечения графиков § 8. Продвинутый метод симметричных корней § 9. Новая задача 18 с графическим решением