Нахождение площади поверхности усеченного конуса: формулы
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь поверхности прямого усеченного кругового конуса (боковую, полную и основания), а также разберем пример решения задачи для закрепления представленного теоретического материала.
- Формулы вычисления площади усеченного конуса
- 1. Боковая поверхность
- 2. Основания
- 3. Полная площадь
Формулы вычисления площади усеченного конуса
Примечание: иногда усеченный конус, также, называют коническим слоем.
1. Боковая поверхность
Чтобы найти площадь (S) боковой поверхности прямого усеченного кругового конуса, необходимо знать длину его образующей, а также радиусы двух оснований.
Примечание: в этой и других формулах ниже число π чаще всего округляется до 3,14.
2. Основания
Основаниями кругового усеченного конуса являются два круга, площади которых считаются таким образом:
Примечание: если вместо радиусов (R или r) даны соответсвующие им диаметры (d), их следует разделить на 2, чтобы получить нужные радиусы.
3. Полная площадь
Чтобы вычислить площадь полной поверхности усеченного конуса, требуется сложить площади его боковой поверхности и двух оснований.
Sполн. = πl(R + r) + πR 2 + πr 2 = π(lR + lr + R 2 + r 2 )
Пример задачи
Найдите площадь поверхности усеченного конуса, если известно, что радиусы его оснований равны 6 и 11 см, а длина образующей составляет 8 см.
Решение
Все известные значения для вычисления площади нам известны, так что остается лишь подставить их в формулы, приведенные выше.
Геометрия 10-11 класс. Усеченный конус
Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса находится по формуле: \(
+ \,> \right)\,L\) ; объем усеченного конуса находится по формуле: \(V = \frac<1><3>\pi \,H\,\left( <\,R_1^2 + \cdot + R_2^2\,> \right)\) , где \( \) и \( \) – радиусы оснований; L – длина образующей; H – длина высоты конуса. Площадь поверхности усеченного конуса
Усечённый конус или конический слой — часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием.
Усечённый конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг меньшей боковой стороны.
Формула площади боковой поверхности усеченного конуса: S = π l (R + r) ,
где R — радиус нижнего основания, r — радиус верхнего основания, l — образующая усеченного конуса.
Формула площади полной поверхности усеченного конуса: S = π (l R + l r + R 2 + r 2 ) ,
где R — радиус нижнего основания, r — радиус верхнего основания, l — образующая усеченного конуса.
Образующая усеченного конуса рассчитывается по формуле:
, где R — радиус нижнего основания, r — радиус верхнего основания, h — высота усеченного конуса.22. Радиусы оснований усеченного конуса 3дм и 7дм, образующая 5дм. Найдите площадь осевого сечения.
Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Им является равнобедренная трапеция ABCD с основаниями ВС = 2R1 = 6 дм и AD = 2R2 = 14дм. Далее, проведем BM⊥AD и CK⊥AD. Так что ВС = МК и ВМ = СК. Тогда
ВСКМ — прямоугольник. ΔABM = ΔСКD, так что
В прямоугольном ΔAВМ
по теореме Пифагора получим:
Решебник по геометрии за 11 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №22
к главе «§21.Тела вращения».