Как перейти к полярным координатам

6

5. Переход от декартовой к полярной системе координат и обратно.

О — полюс, ρ — полярный радиус, φ — полярный угол

Переход от полярной системы координат к декартовой

Если полюс полярной системы координат совместить с началом прямоугольной системы координат, а полярную ось с положительной полуосью Ox, то по известным полярным координатам точки А( ρ; φ) ее прямоугольные координаты вычисляются по формулам:

x1=ρ*cosφ

y1=ρ*sinφ

Переход от декартовой системы координат к полярной

6. Преобразование координат для прямоугольной системы координат методом сдвига и поворота.

Преобразование декартовых прямоугольных координат при параллельном сдвиге осей определяется формулами

Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, х’, у’ — координаты той же точки относительно новых осей, а, b — координаты нового начала О’ относительно старых осей (говорят также, что а есть величина сдвига в направлении оси абсцисс, b — величина сдвига в направлении оси ординат).

Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей на угол  (который надо понимать, как в тригонометрии) определяется формулами

x = х’ cos  — y sin ,у = x’ sin  — у’ cos .

Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, х’, у’ — координаты той же точки относительно новых осей.

Формулы x = х’ cos  — y sin  + а, у = х’ sin  + y cos  + b

определяют преобразование координат при параллельном сдвиге системы осей на величину а в направлении Ох, на величину b в направлении Оу и последующем повороте осей на угол .

Все указанные формулы соответствуют преобразованию координат при неизменном масштабе

7. Алгебраическая линия и её порядок. Теорема об инвариантности порядка.

Теорема об инвариантности порядка алгебраической линии

Если в некоторой аффинной системе координат на плоскости линия задана уравнением (3.4), то и в любой другой аффинной системе координат эта линия задается уравнением того же вида (3.4) и той оке степени.

Действительно, пусть в аффинной системе координат уравнение имеет вид (3.4): Получим уравнение этой линии в другой (новой) аффинной системе координат . Старые координаты точки связаны с новыми ее координатами выражениями (2.8):

где — координаты вектора переноса начала координат , а — элементы матрицы перехода базиса к новому . Подставим эти выражения в одночлен :

Раскрывая скобки, получаем многочлен двух переменных , степень которого не больше, чем . Аналогичные многочлены получим из других одночленов, входящих в левую часть (3.4). Сложив эти многочлены, получим многочлен , степень которого не превосходит степени исходного многочлена . Таким образом, при замене системы координат порядок алгебраической линии не увеличивается. Но он не может и уменьшиться, так как если порядок уменьшится при переходе к новой системе координат, то он должен увеличиться при обратном переходе к старой системе координат. Следовательно, порядок алгебраической линии остается неизменным в любой аффинной системе координат (говорят, что порядок алгебраической линии является инвариантом). Теорема доказана.

Как вычислить двойной интеграл
в полярной системе координат?

Закончим бой с двойным интегралом нокаутом в третьем раунде. Что нужно знать и уметь для полной победы? Ещё раз взглянем на заголовок статьи… очевидно, вы должны знать, что такое полярные координаты… и уметь решать двойные интегралы =) Стоп-стоп, не закрываем в панике страницу – первое осваивается в считанные минуты, ну а второе, конечно, несколько дольше. Итак, чайникам – двойные интегралы для чайников, остальных же читателей приглашаю ознакомиться с третьим уроком темы. Новизны будет совсем немного и если вы мало-мальски набили руку на вычислении двойных интегралов, то особых трудностей возникнуть не должно.

Типовое задание формулируется примерно так: «Вычислить двойной интеграл, используя полярную систему координат». После чего для решения предлагается … обычный двойной интеграл в декартовых координатах по области . Сначала рассмотрим более простой и распространённый случай, когда подынтегральная функция двух переменных и двойной интеграл численно равен площади области интегрирования. Разберём алгоритм решения на бесхитростной демо-задаче:

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченную линиями , с помощью двойного интеграла, используя полярную систему координат

Решение: На первом этапе ничего нового. Выполняем чертёж области в прямоугольной системе координат. Линейное неравенство определяет правую полуплоскость, включая ось , а уравнение , очевидно, задаёт какую-то линию 2-го порядка. Чтобы выяснить, какую именно – выделим полный квадрат:

– окружность единичного радиуса с центром в точке .

Таким образом, требуется вычислить площадь половинки круга:

Не упустим возможность сразу узнать ответ. По школьной формуле у нас должно получиться:

Площадь фигуры стандартно рассчитывается по формуле , однако по условию нужно воспользоваться полярными координатами. На всякий случай закомментирую расположение полярной системы координат: полюс совпадает с началом прямоугольной системы, а полярная ось – с положительным направлением оси . Полярную ось можно прочертить жирнее, но лично я часто этим пренебрегаю.

При переходе к полярной системе координат произведение дифференциалов ВСЕГДА превращается в следующую вещь:

То есть, от интегрирования по декартовым «иксу» и «игреку» мы перешли к интегрированию по полярному радиусу «эр» и полярному углу «фи». Обратите внимание на дополнительно появившийся множитель , образно говоря, это «плата за переход», любители высшей математики могут погуглить якобиан перехода к полярным координатам. Практическая же сторона вопроса состоит в том, что этот множитель «эр» терять нельзя.

Но это ещё не всё – ведь границы области тоже заданы в декартовой системе. Используем формулы перехода к полярным координатам . Ось ординат не трогаем, а вот окружность потревожим:

– получено типовое уравнение, на котором заострялось внимание ещё в статье Полярные координаты.

Теперь двойной интеграл необходимо свести к повторным интегралам. Для этого нужно выяснить порядок обхода области. На уроке Двойные интегралы для чайников мы орудовали виртуальной лазерной указкой, в полярных же координатах более удачна другая ассоциация – просвечивание области радаром. Представьте, что из точки полюса исходит луч света и вращается против часовой стрелки.

Когда луч радара поворачивается от полярной оси до угла (зелёная стрелка), то он входит в область непосредственно из полюса (начиная со значения ) и выходит из неё через окружность (красная стрелка). Таким образом, на промежутке полярный радиус изменяется в пределах , и область интегрирования полностью «просканирована».

Множитель , разумеется, уходит во внутренний интеграл, где осуществляется интегрирование по «эр».

Начинающим вновь рекомендую оформить концовку в два пункта:

1) , чтобы продемонстрировать на следующем шаге примечательный факт, дальше упрощать пока не буду.

2) Подставляем трофей во внешний интеграл:

Заметьте, что здесь прорисовалась знакомая формула площади криволинейного сектора , которой мы активно пользовались на уроке Вычисление площади в полярных координатах с помощью интеграла, и фактически 2-й пункт – это повторение пройденного материала!

Что и требовалось получить.

Ответ:

В простых случаях, как этот, вычисления можно оформить и одной строкой:

Но злоупотреблять короткой дорожкой не советую – повышается риск запутаться.

В разобранной задаче жёстко требовалось использовать полярную систему координат, и это очень хорошо! Я не иронизирую. Как ни странно, более свободная формулировка условия может здОрово осложнить жизнь. Отрубим ящерице хвост:

«Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченную линиями , с помощью двойного интеграла»

Дело в том, что площадь данной фигуры рассчитывается и с помощью двойного интеграла в прямоугольной системе координат. Но решение получается длительным и громоздим (см. задачу нахождения площади круга), и если человек не знает о возможности перехода к полярным координатам (а по условию это не запрещено!), то будет загружен трудной работой.

Давайте ещё укоротим условие:

«Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченную линиями »

Здесь появилась новая степень свободы, и площадь фигуры помимо прочих способов можно рассчитать с помощью однократного интеграла (решение будет почти совпадать с решением через двойной интеграл). А люди со своеобразным чувством юмора вычислят площадь и по школьной формуле, чтобы затем настойчиво доказывать рецензенту корректность своего решения =) В чём, кстати, будут правы – ибо поборник конкретики должен и задачи ставить конкретно!

Чуть позже я коснусь ещё одной важной разновидности условия, а пока рассмотрим более содержательное задание:

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже. С прямыми всё понятно, осталось прояснить вид линий 2-го порядка. Выделяем полные квадраты:

– окружность единичного радиуса с центром в точке .

– окружность с центром в точке радиуса 2.

Таким образом:

В условии задачи ничего не сказано о полярной системе координат, и поэтому площадь фигуры можно рассчитать «обычным» двойным интегралом. Но что-то не хочется. Впрочем, если найдётся энтузиаст и отправит мне разборчивое решение, то я его, пожалуй, опубликую в качестве страшилки =) . И это случилось! Причём, двумя способами; первый демонстрирует, что бывает, когда не переходишь к новым пределам интегрирования в определённом интеграле. Таким образом, страшилка превзошла все ожидания. Спасибо за ваши письма! И возвращаемся к теме:

Какова предпосылка для перехода к полярным координатам?

Очевидно, что основной предпосылкой является наличие окружности (ей). Подчёркиваю, что это лишь предпосылка, а не обязательное правило! То есть, область интегрирования может быть ограничена окружностью (ями), но переход к полярным координатам только усложнит решение, а то и вообще заведёт его в тупик. И такие примеры встречаются реально.

Итак, площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла, используя полярную систему координат:

По формулам перехода найдём полярные уравнения окружностей:

Теперь выясним порядок обхода области. Луч радара входит в область через окружность и выходит из неё через окружность (красная стрелка), при этом он осуществляет поворот от полярной оси до угла (зелёная стрелка).

Напомню также, что «альфа» и «бета» – это не просто формальные значения углов: полярное уравнение непосредственно задаёт полярную ось (положительное направление оси абсцисс), а уравнение – луч, исходящий из полюса и совпадающий с верхней частью прямой .

Примечание: если рассматривать обобщенные полярные координаты, то уравнение определяет полярную ось и её продолжение (всю ось абсцисс), а уравнение – всю прямую

В рассматриваемой задаче дана «хорошая» прямая и значение угла понятно «с ходу». Как найти угол в общем случае? Из материалов статьи Прямая на плоскости вспоминаем, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона данной прямой к положительному направлению оси абсцисс: . В данном случае , откуда следует, что (если тяжко с числами – тригонометрические таблицы в помощь).

Возвращаемся к решению. По результатам «сканирования» области мы выяснили, что на промежутке полярный радиус изменяется в пределах .

Перейдём к повторным интегралам:

Остальное – дело техники:

Ответ:

Прикинув по чертежу количество клеточек, приходим к выводу, что полученный результат вполне и вполне правдоподобен.

Следующие два примера для самостоятельного решения:

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты

В примере № 4 мы встретили ещё одну распространённую формулировку условия, в которой предложено непосредственно вычислить двойной интеграл. Да, он численно равен площади области , но, коль скоро, о площади изначально молчок, то и в решении об этом не нужно упоминать 😉 Подумайте, как грамотно записать ответ задания.

Примерные образцы решений и чертежи в конце урока. Я их оформил в разном стиле, выбирайте, что больше нравится.

То были заезженные типовики, а сейчас на очереди более редкий, но очень интересный и поучительный экземпляр:

Вычислить двойной интеграл

Решение: определённый интеграл задаёт площадь области интегрирования, но о площади нас никто не спрашивал, поэтому никого не будем загружать своей эрудицией =) К тому же она сейчас ой как потребуется для других целей.

В чём заключается особенность этого задания? Прежде всего, бросается в глаза, что область «дэ» ограничена единственной кривой, и по характерным признакам – это какая-то алгебраическая линия 4-го порядка. Основная проблема у нас с чертежом. Конечно, можно погрузиться в справочники, но на это нет ни времени, ни особого желания. Поэтому мы попытаемся ограничиться общим анализом и обойтись совсем без чертежа.

Можно ли обойтись без чертежа?

Об этом я уже говорил на 1-м уроке: если условие задачи его не требует – то можно. Правда, область интегрирования всё равно придётся представить мысленно. Но даже если у вас есть такие способности, то демонстрировать их совсем не обязательно – потому что тяжелА жизнь вундеркинда =) И житейская мудрость заключается в том, что чертёжи, по возможности лучше выполнять. Однако у нас другой случай, когда наоборот – будет подозрительно смотреться построенный график линии 4-го порядка. Знаниями убивать тоже никого не надо, и в этой связи мы постараемся отделаться чисто аналитическим решением.

Поскольку область интегрирования, как правило, ограничена, то уравнение задаёт либо единственную замкнутую кривую, либо несколько ограниченных областей – что-то наподобие лепестков полярной розы. Ситуацию помогла бы прояснить область определения функции, но её нахождение тоже затруднено ввиду навороченности уравнения.

Что делать? Подумать о возможности использования полярной системы координат. Причём подумать самостоятельно – условие нам совершенно не намекает на способ решения. Поскольку в уравнении присутствуют знакомые «икс квадрат» и «игрек квадрат», то применение полярных координат действительно выглядит перспективно. По формулам перехода :

Вот и первое достижение – удалось понизить степень. С извлечением корня никаких шероховатостей, полярный радиус неотрицателен, параметр , косинус в знаменателе – в чётной степени:

Теперь займёмся областью определения. Поскольку тригонометрические функции периодичны, то нас интересует промежуток , или, что то же самое .

Знаменатель не может равняться нулю, поэтому .

Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: . Сведём данное условие к простейшему тригонометрическому неравенству, применив формулы понижения степени:

Я неоднократно ратовал за графическое решение подобных неравенств, но раз уж решили обойтись без чертежей, давайте вытащим из школьного учебника известную формулу. Решением неравенства , где , является следующее множество промежутков:

, где (любое целое число).

Разделим все части неравенства на 2:

В «сферу наших интересов» входят следующие значения «ка»:

В результате, область определения полярной функции :

Два нижних значения не вошли в найденные выше промежутки, что избавляет нас от дополнительных хлопот. На отрезках расположены две одинаковые (в силу периодичности и ) кривые, и график функции , судя по всему, представляет собой что-то вроде двух одинаковых лепестков, как, собственно, и предполагалось.

Таким образом, достаточно рассмотреть промежуток , а результат удвоить. Луч радара, исходя из полюса , сразу попадает в область интегрирования и выходит из неё через границу «лепестка» ; при этом он осуществляет поворот от значения до .

Переход к повторным интегралам, думаю, всем понятен:

1) Понеслась нелёгкая:

2) Подставляем результат предыдущего пункта во внешний интеграл, не забывая про «двойку» перед ним (удвоение «лепестка»):

На первом шаге удвоили интеграл от чётной функции по симметричному относительно нуля отрезку. Чтобы «не таскать всё за собой», подынтегральную функцию удобно преобразовать отдельно. Приведём её к пригодному (и выгодному!) для интегрирования виду:

Если где-то возникли непонятки, посмотрите тригонометрические формулы. А если появились вопросы по самим принципам решения подобных интегралов, пожалуйста, посетите уроки Интегралы от тригонометрических функций и Сложные интегралы.

Ответ:

Именно так. Не забываем, что в условии не спрашивалось о площадях и квадратных единицах. Однако после того как я нашёл в своих закромах этот трудный пример и включил его в содержание статьи, мне стало жутко интересно, так как же всё-таки выглядит график функции , и не допущена ли ошибка в вычислениях. Придав параметру значение , я изобразил график функции с помощью своего графопостроителя (см. Математические формулы и таблицы), и полученное значение площади оказалось очень похоже на правду. Желающие могут проделать то же самое. А если условие подобной задачи требует чертежа – то придётся =)

Получился такой увлекательный разбор решения, что на этом фоне как-то затерялся тот момент, что в двойном интеграле может оказаться «настоящая» функция с «живым» «иксом» и/или «игреком»:

Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты

Решение: область интегрирования здесь очень простая – это часть кольца между концентрическими окружностями , которая располагается в четвёртой координатной четверти (о чём нам сообщают неравенства ). И коль скоро так всё просто, можно сразу заняться переходом к полярной системе координат по формулам .

Найдём уравнения окружностей:

И выполним чертёж:

Порядок обхода области предельно понятен:

Можно было взять промежуток , но работать с табличным значением гораздо привычнее.

Отличие от предыдущих примеров состоит в дополнительном шаге – преобразовании подынтегральной функции . Используем те же стандартные формулы перехода . Если совсем просто, то в функцию двух переменных вместо «икс» подставляем и вместо «игрек» :

После подстановки максимально упрощаем выражение, но здесь этого особо не потребовалось.

Фишка последнего шага должна быть вам хорошо знакома: когда проводится интегрирование по переменной «эр», то переменная «фи» считается константой (и наоборот). Поэтому константу целесообразно сразу вынести из внутреннего интеграла, чтобы она не мешалась под ногами.

Ответ:

После того, как занавес опущен, повторим геометрический смысл полученного результата. По условию , следовательно, , то есть поверхность, которую задаёт эта функция двух переменных, в 1-й и 4-й четвертях расположена над плоскостью . Полученный в задаче результат – это в точности объём цилиндрического бруса, который ограничен плоскостью снизу, поверхностью – сверху и множеством перпендикулярных плоскости прямых, проходящих через каждую точку границы области («четвертинки» кольца) – сбоку. Примерно 66 «кубиков»: С задачей нахождения объёма тела мы вплотную столкнёмся при изучении тройных интегралов.

Завершим занятие несложным примером для самостоятельного решения:

Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты

Примерный образец чистового оформления задания в подвале.

Иногда область интегрирования приходится разбивать на две части и находить сумму двух двойных интегралов в полярных координатах, желающие могут потренироваться на Примерах № 8, 9 урока Площадь в полярных координатах. Кроме того, много дополнительных задач по теме можно раздобыть на странице готовых решений по высшей математике.

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: выделим полные квадраты и определим вид линий:

– окружность единичного радиуса с центром в точке ;

– окружность единичного радиуса с центром в точке .
Изобразим область интегрирования на чертеже:

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла, используя полярную систему координат:

Найдём угол наклона прямой :

Порядок обхода области:

Таким образом:

1)

2)

Ответ:

Пример 4: Решение: найдём уравнения линий в полярной системе координат:

Изобразим область интегрирования на чертеже:

Порядок обхода области:

Таким образом:
1)

2)

Ответ:

Пример 7: Решение: перейдём к полярной системе координат:

Изобразим область интегрирования на чертеже:

Порядок обхода области:

Таким образом:

1)
2)

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!

Переход к полярным координатам

В качестве примера замены переменных в двойном интеграле рассмотрим переход к полярным координатам. Пусть в декартовой системе координат задана область ограниченная кривой В плоскости кроме декартовой, введем полярную систему координат, поместив полюс в точку и направив полярную ось по в положительном направлении (рис. 13.11). Пусть — декартовы координаты точки области а — полярные координаты этой точки. Как видно из рис. 13.11,

Границы области

Пусть граница области задана уравнениями в полярных координатах, а именно, участок кривой задан уравнением а участок кривой — уравнением Отметим, что уравнение определяет ось а уравнение — соответственно ось Отметим также, что при фиксированном в значения суть расстояния и соответственно.

Введем еще одну декартову систему В этой системе уже декартовы координаты точки плоскости в то время как в плоскости они являются полярными координатами соответствующей точки.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

По формулам (13.13) каждой точке области будет отвечать точка области в плоскости и тем самым в этой плоскости получим область с границей в которую (согласно формулам (13.15)) переходит область плоскости (рис. 13.12). Уравнения в плоскости определяют прямые, параллельные оси Между этими прямыми расположена область Ясно, что участку кривой с уравнением отвечает участок кривой с тем же уравнением так как полярные координаты точки кривой являются декартовыми координатами соответствующей точки кривой Линии отвечает часть кривой с уравнением Для функций (13.15) вычислим определитель Якоби (13.13), положив в нем

Таким образом,

Запишем формулу (13.14) для нашего случая (когда вместо функций (13.12) берутся функции (13.15)):

Формула перехода

Это есть формула перехода к полярным координатам в двойном интеграле, здесь — область в декартовой системе

Теперь двойной интеграл по этой области выразим через двукратный, использовав формулу (13.10).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Формула (13.17) справедлива и тогда, когда граница области имеет участки, лежащие на прямых т.е. когда область имеет вид, представленный на рис. 13.13. Если при этом

то область принимает вид сектора (рис. 13.14). Для этого сектора в формуле (13.17) нужно взять

Пусть в последнем случае при этом область имеет вид, изображенный на рис. 13.15. Для этой области в формуле (13.15) нужно взять

• Пусть в последнем случае тогда область имеет форму круга с центром в начале координат и радиусом (рис. 13.16). Из сказанного выше ясно, что для этого круга в формуле (13.17) мы должны взять

Поэтому на практике при вычислении двойного интеграла по области в виде круга лучше перейти к полярным координатам указанным выше способом.

Отметим, что пределы двукратного интеграла формулы (13.17) устанавливаются непосредственно по уравнениям частей границы области в полярных координатах.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Как нарисовать звезду (и не только) в полярных координатах

— угол;
— количество выпуклых вершин;
— определяет, через какое количество вершин стороны будут лежать на одной прямой. Для него допустимы и отрицательные значения — от знака будет зависеть, в какую сторону будет выгибаться звезда;
— жёсткость — при мы получим окружность вне зависимости от прочих параметров, при — многоугольник с прямыми линиями, при промежуточных значениях от до — промежуточные фигуры между окружностью и многоугольником.

С этой формулой можно нарисовать звезду двумя путями:

2) . В этом случае требуется сделать два оборота вместо одного:

Параметр влияет на многоугольник следующим образом (здесь он изменяется от -1 до 5):

Параметр в анимации:

Комплексная форма и модификации

Можно переписать исходную формулу в комплексном виде, и, несмотря на наличие в ней мнимых единиц, значение радиуса по-прежнему будет оставаться действительным:

На первый взгляд это может показаться бессмысленным, поскольку формула стала чуть более громоздкой — но не стоит спешить с выводами. Во-первых, в ней отсутствует арксинус, что полностью меняет математический смысл формулы и позволяет по-другому посмотреть на построение звёздчатого многоугольника. Во-вторых, из неё также можно получить компактные формулы для частных случаев, например . В-третьих (и самое интересное), её можно творчески модифицировать и получать другие, неожиданные формы. Для того, чтобы появление возможной мнимой компоненты в радиусе не вызывало неоднозначности при вычислении, можно её сразу привести к декартовым координатам умножением на . Вот примеры некоторых модификаций:

Как вы наверняка заметили, вращение вектора перестало быть равномерным — и именно из-за появления мнимой составляющей в радиусе.

Квадрокруги и прочее

(выбирайте, какая больше нравится).

В чуть более развёрнутом случае можно определить промежуточные фигуры между кругом и квадратом через точку на плоскости

Можно также добавить вариативности этим фигурам с сохранением условия прохождения их через точку — модулируя непосредственно сам параметр в зависимости от угла таким образом, чтобы при прохождении через диагонали его множитель был равен единице. Например, подставив вместо функцию , мы получим дополнительный параметр , которым можно регулировать дополнительные изгибы. В частности, для получится следующее:

В ещё более развёрнутом случае можно определить не просто квадрат — а прямоугольник, и по прежнему в полярных координатах:

И даже посчитать его площадь (через эллиптические интегралы):

Это позволит делать профили с переходом из окружности в прямоугольник с контролируемой площадью сечения. Здесь площадь константна:

А здесь площадь расширяется по экспоненциальному закону:

Переход к декартовым координатам

Второй вариант предпочтительнее, поскольку даёт прямые градиенты вдоль сторон многоугольника.

Здесь также нужно помнить, что в точке (0,0) возникает неопределенность из-за деления на ноль — которая, впрочем, легко разрешается через предел (который будет равным в первом случае и нулю во втором).

Выражение также можно упростить до , коэффициенты числителя которого при разложении образуют знакочередующий вариант последовательности A034839.

Можно использовать классический фильтр нижних частот , в котором — порядок фильтра, определяющий степень затухания.

Для первого варианта:

Можно использовать и кусочно-непрерывную функцию, явно задавая границы интерполяции.

Помимо растеризации как таковой, можно задавать и деформации — например, сжать шахматную доску в круг:

Или даже натянуть её на сферу:

Appendix: как была получена формула

Классический стиль повествования в математических текстах состоит из чередования лемм/теорем и их доказательств — как если бы доказуемые утверждения появлялись у авторов в голове откровением свыше. И хотя в этом и бывает доля истины, чаще появлению формул предшествует некоторая исследовательская работа, описание которой может дать большее понимание их смысла, чем формальное доказательство; а верность утверждений, в свою очередь, можно проследить через верность шагов, к ним приведших.

Так и здесь — если бы статья началась с формулы в комплексной форме, то её появление было бы неочевидным и контр-интуитивным, а заявленные свойства требовали бы дополнительных доказательств. Но в тригонометрической форме записи историю её появления вполне возможно проследить.

1) начинаем с самого простого случая — задаче начертить прямую в полярных координатах. Для этого нужно решить уравнение , решение которого очевидно .

2) далее аргумент секанса нужно «зациклить», чтобы обеспечить изломы в прямой. Именно на этом этапе другие решения используют «грязный хак» в виде остатка от деления. Здесь же используется последовательное взятие прямой и обратной функции синуса —

Благодаря этой же записи можно упростить функцию квадрата в полярных координатах до более эстетического вида, используя представление тригонометрический функций в комплексном виде. В Wolfram Mathematica это можно сделать с помощью функций TrigToExp и ExpToTrig:

Благодаря этой же записи можно получить гладкие промежуточные фигуры между кругом и квадратом с помощью дополнительного множителя , благодаря которому аргумент арксинуса не дотягивает до единицы — :

3) параметры и были просто добавлены творческим способом и их влияние исследовалось экспериментально, по факту.

4) Прямоугольник легко получить перейдя к параметрическому виду и «растягиванием» осей

Но после этого уже не будет значить угол, теперь — это просто параметр, который описывает вектор через его проекции на координатные оси. Чтобы перейти обратно к полярным координатам нужно найти длину вектора (через корень суммы квадратов), угол (через арктангенс отношения), выразить этот угол через и подставить получившееся выражение вместо .

Sqrt[2] Sqrt[(a^2 Cos[t]^2 + b^2 Sin[t]^2)/(1 + Sqrt[Cos[2 t]^2])]
/. t -> ArcTan[(a Tan[\[Phi]])/b] // Simplify
↓

Упростить такую формулу уже посложнее, и для этого потребуется несколько этапов:

1. перейти к декартовым координатам заменой ;
2. перейти к экспоненциальному виду;
3. упростить;
4. сделать обратную замену и ;
5. опять перейти к экспоненциальному виду;
6. упростить.

Заключение

Как видите, даже в такой простой и банальной вещи как многоугольник, можно найти и придумать что-то новое. И на этом история не заканчивается — осталась неизвестной формула площади для общего случая, осталась неизвестной формула для произвольного, а не только правильного многоугольника, остались без рассмотрения разложения в степенные и тригонометрические ряды. Также, вероятно, подобного рода формула существует и для 3-мерного случая.

Поэтому если вам говорят, что в математике уже всё придумано и остались лишь задачи недоступные пониманию обычного человека — не верьте. Есть много сугубо практических задач, о существовании которых настоящие математики не подозревают, или их решение им не интересно из-за отсутствия достаточного хайпа вокруг них, или потому что у них уже есть примерное представление путей достижения для их решения. Не бойтесь браться за задачи, решение которых отсутствует в википедии, не бойтесь публиковать их решения и не бойтесь читать комментарии под статьями о бесполезности всего сущего.