Угол между прямой и плоскостью
Вывод формулы для вычисления угла между прямой и плоскостью
Из уравнения прямой можно найти направляющий вектор прямой
Из уравнения плоскости вектор нормали плоскости имеет вид
Из формул скалярного произведения векторов найдем косинус угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой
| cos ψ = | | q · s | |
| | s | · | q | |
Так как φ = 90° — ψ , то синус угла между прямой и плоскостью sin φ = cos ψ .
Расписав скалярное произведение векторов и модуль векторов через их координаты, получим формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью.
Пример вычисления угла между прямой и плоскостью
Найти угол между прямой
| x — 4 | = | y + 2 | = — | z — 6 |
| 2 | 6 | 3 |
и плоскостью x — 2 y + 3 z + 4 = 0.
Из уравнения прямой найдем направляющий вектор прямой
Из уравнения плоскости найдем вектор нормали плоскости
Воспользовавшись формулой, найдем угол между прямой и плоскостью
| sin φ = | | 2 · 1 + 6 · (-2) + (-3) · 3 | | = |
| √ 2 2 + 6 2 + (-3) 2 · √ 1 2 + (-2) 2 + 3 2 |
= | 2 — 12 — 9 | √ 4 + 36 + 9 · √ 1 + 4 + 9 = |-19| √ 49 · √ 14 = 19 7√ 14
Ответ: sin φ = 19 7√ 14 .
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Угол между прямой и плоскостью. Метод координат. Задание 14
В этой статье я расскажу, как находить угол между прямой и плоскостью c помощью методом координат.
Для этого нам, как обычно, понадобятся некоторые теоретические сведения.
1 . Уравнение плоскости имеет вид 
2. Важно! В этом уравнении плоскости коэффициенты 
— координаты вектора нормали к плоскости (то есть вектора, перпендикулярного плоскости).
3 . Косинус угла между векторами 
и 
, или параллельный прямой 
, называется направляющим вектором прямой.
5 . Синус угла 
между прямой и плоскостью 
равен косинусу угла 
между нормалью (
То есть синус угла между прямой, направляющий вектор которой имеет координаты 
вычисляется по формуле:
Введем систему координат:
Начало координат поместим в точку В, поэтому все координаты этой точки равны нулю.
Запишем уравнение плоскости SBC. Для этого найдем координаты точек S, B и C и подставим их в уравнение плоскости
(все ребра пирамиды равны 1)
Чтобы найти координаты точки S сначала найдем координаты ее проекции на плоскость основания, а затем ее координаты по оси OZ:
,
Получим систему уравнений:
, 
Как найти угол между вектором и плоскостью
Нахождение координат и длин вектора.
Вычисление угла между векторами.
Составление уравнение плоскости по трем точкам.
Решение задач с доказательством.
Для того, чтобы успешно решать задачи методом координат, полезно помнить:
Чтобы задать вектор, проходящий черерз 2 точки, нужно из координат второй точки вычесть координаты первой точки.
Чтобы найти длину вектора, нужно извлечь корень квадратный из суммы квадратов его координат.
Задача. Найти координаты и длины векторов AB, BC, AC, если точки имееют координаты А = (5; 8; 3), B = (1; 0; −3), C = (−2; 5; −1).
AB = (1−5; 0-8; −3−3) = (−4; −8; −6)
AC = (−2−5; 5−8; −1−3) = (−7; −3; −4)
BC = (1−(−2); 0−5; −1−3) = (3; −5; −4)
Для нахождения угла между двумя векторами a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2):
Задача. Найдите площадь треугольника, ограниченную точками A = (−4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = (−1; 0; 6).
- Находим координаты векторов.
- Вычисляем косинус угла между векторами.
- Через основное тригометрическое тождество получаем синус.
- Подставляем в формулу площади.
AB = (3−(−4); 1−4; 0−4) = (7; −3; −4)
AC = (−1−(−4); 0−4; 6−4) = (3; −4; 2)
Задача. Задайте уравнение плоскости, проходящей через точки A = ( − 4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = ( − 1; 0; 6).
- Находим координаты векторов.
- Задаем матрицу плоскости.
- Вычисляем ее определитель, это и есть уравнение плоскости.
AB = (3−(−4); 1−4; 0−4) = (7; −3; −4)
Первая строчка заполняется переменными x, y, z, и из них вычитаются координаты любой точки плоскости. В данном случае вычитается точка С = ( − 1; 0; 6). Тогда получится такая строка: (x−(−1); y − 0; z−6).
Вторая строчка — координаты первого вектора.
Третья строчка — координаты второго вектора (нет разницы какой из векторов задавать во второй строчке, а какой в третьей).
Четвертая заполняется аналогично первой.
Пятая — аналогично второй.
Теперь перемножаем все значения на одном синем отрезке и складываем с другими значениями на других отрезках:
Аналогично делаем с зелеными отрезками:
Осталось из значений синих отрезков вычесть значения зеленых отрезков:
= −22х −26y − 19z + 92
−22х −26y −19z + 92 — искомое уравнение плоскости, проходящей через точки A = (−4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = (−1; 0; 6).
P.s. Если вам кажется, что это сложно, то огорчу вас. Одна из первых тем (самых простых), которые вы будите проходить на первом курсе любого университета — это матрицы, так что можно немного облегчить себе жизнь и разобраться заранее.
Задача. Найдите угол между плоскостью, проходящей через точки A = ( − 4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = ( − 1; 0; 6), и плоскостью, заданную уравнением
Угол между прямой и плоскостью: определение, примеры нахождения
Статья начинается с определение угла между прямой и плоскостью. В данной статье будет показано нахождение угла между прямой и плоскостью методом координат. Подробно будут рассмотрены решение примеров и задач.
Угол между прямой и плоскостью – определение
Предварительно необходимо повторить понятие о прямой линии в пространстве и понятие плоскости. Для определения угла между прямой и плоскостью необходимый несколько вспомогательных определений. Рассмотрим эти определения подробно.
Прямая и плоскость пересекаются в том случае, когда они имеют одну общую точку, то есть она является точкой пересечения прямой и плоскости.
Прямая, пересекающая плоскость, может являться перпендикулярной относительно плоскости.
Прямая является перпендикулярной к плоскости, когда она перпендикулярна любой прямой, находящейся в этой плоскости.
Проекция точки M на плоскость γ является сама точка, если она лежит в заданной плоскости, либо является точкой пересечения плоскости с прямой, перпендикулярной плоскости γ , проходящей через точку M , при условии, что она не принадлежит плоскости γ .
Проекция прямой а на плоскость γ — это множество проекций всех точек заданной прямой на плоскость.
Отсюда получаем, что перпендикулярная к плоскости γ проекция прямой имеет точку пересечения. Получаем, что проекция прямой a – это прямая, принадлежащая плоскости γ и проходящая через точку пересечения прямой a и плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
На данный момент имеем все необходимые сведения и данные для формулировки определения угла между прямой и плоскостью
Углом между прямой и плоскостью называют угол между этой прямой и ее проекцией на эту плоскость, причем прямая не перпендикулярна к ней.
Определение угла, приведенное выше, помогает прийти к выводу о том, что угол между прямой и плоскостью представляет собой угол между двумя пересекающимися прямыми, то есть заданной прямой вместе с ее проекцией на плоскость. Значит, угол между ними всегда будет острым. Рассмотрим на картинке, приведенной ниже.
Угол, расположенный между прямой и плоскостью, считается прямым, то есть равным 90 градусов, а угол, расположенный между параллельными прямыми, не определяется. Бывают случаи, когда его значение берется равным нулю.
Нахождение угла между прямой и плоскостью
Задачи, где необходимо найти угол между прямой и плоскостью, имеет множество вариация решения. Ход самого решения зависит от имеющихся данных по условию. Частыми спутниками решения являются признаки подобия или равенства фигур, косинусы, синусы, тангенсы углов. Нахождение угла возможно при помощи метода координат. Рассмотрим его более детально.
Если в трехмерном пространстве вводится прямоугольная система координат О х у z , тогда в ней задается прямая a , пересекающая плоскость γ в точке M , причем она не перпендикулярна плоскости. Необходимо найти угол α , находящийся между заданной прямой и плоскостью.
Для начала необходимо применить определение угла между прямой и плоскостью методом координат. Тогда получим следующее.
В системе координат О х у z задается прямая a , которой соответствуют уравнения прямой в пространстве и направляющий вектор прямой пространства, для плоскости γ соответствует уравнение плоскости и нормальный вектор плоскости. Тогда a → = ( a x , a y , a z ) является направляющим вектором заданной прямой a , а n → ( n x , n y , n z ) — нормальным вектором для плоскости γ . Если представить, что у нас имеются координаты направляющего вектора прямой a и нормального вектора плоскости γ , тогда известны их уравнения, то есть заданы по условию, тогда есть возможность определения векторов a → и n → , исходя из уравнения.
Для вычисления угла необходимо преобразовать формулу, позволяющую получить значение этого угла при помощи имеющихся координат направляющего вектора прямой и нормального вектора.
Необходимо отложить векторы a → и n → , начиная от точки пересечения прямой a с плоскостью γ . Существуют 4 варианта расположения этих векторов относительно заданных прямых и плоскости. Рассмотри рисунок, приведенный ниже, на котором имеются все 4 вариации.
Отсюда получаем, что угол между векторами a → и n → имеет обозначение a → , n → ^ и является острым, тогда искомый угол α , располагающийся между прямой и плоскостью, дополняется, то есть получаем выражение вида a → , n → ^ = 90 ° — α . Когда по условию a → , n → ^ > 90 ° , тогда имеем a → , n → ^ = 90 ° + α .
Отсюда имеем, что косинусы равных углов являются равными, тогда последние равенства записываются в виде системы
cos a → , n → ^ = cos 90 ° — α , a → , n → ^ < 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ > 90 °
Необходимо использовать формулы приведения для упрощения выражений. Тогда получим равенства вида cos a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^ < 90 ° cos a → , n → ^ = — s i n α , a → , n → ^ > 90 ° .
Проведя преобразования, система приобретает вид sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ < 90 ° sin α = — cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = — cos a → , n → ^ , a → , n → ^ < 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^
Отсюда получим, что синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором заданной плоскости.
Раздел нахождения угла, образованного двумя векторами, выявили, что этот угол принимает значение скалярного произведения векторов и произведения этих длин. Процесс вычисления синуса угла, полученного пересечением прямой и плоскости, выполняется по формуле
sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → · n → = a x · n x + a y · n y + a z · n z a x 2 + a y 2 + a z 2 · n x 2 + n y 2 + n z 2
Значит, формулой для вычисления угла между прямой и плоскостью с координатами направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости после преобразования получается вида
α = a r c sin a → , n → ^ a → · n → = a r c sin a x · n x + a y · n y + a z · n z a x 2 + a y 2 + a z 2 · n x 2 + n y 2 + n z 2
Нахождение косинуса при известном синусе позволительно, применив основное тригонометрическое тождество. Пересечение прямой и плоскости образует острый угол. Это говорит о том, что его значение будет являться положительным числом, а его вычисление производится из формулы cos α = 1 — sin α .
Выполним решение нескольких подобных примеров для закрепления материала.
Найти угол, синус, косинус угла, образованного прямой x 3 = y + 1 — 2 = z — 11 6 и плоскостью 2 x + z — 1 = 0 .
Для получения координат направляющего вектора необходимо рассмотреть канонические уравнения прямой в пространстве. Тогда получим, что a → = ( 3 , — 2 , 6 ) является направляющим вектором прямой x 3 = y + 1 — 2 = z — 11 6 .
Для нахождения координат нормального вектора необходимо рассмотреть общее уравнение плоскости, так как их наличие определяется коэффициентами, имеющимися перед переменными уравнения. Тогда получим, что для плоскости 2 x + z — 1 = 0 нормальный вектор имеет вид n → = ( 2 , 0 , 1 ) .
Необходимо перейти к вычислению синуса угла между прямой и плоскостью. Для этого необходимо произвести подстановку координат векторов a → и b → в заданную формулу. Получаем выражение вида
sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → · n → = a x · n x + a y · n y + a z · n z a x 2 + a y 2 + a z 2 · n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 3 · 2 + ( — 2 ) · 0 + 6 · 1 3 2 + ( — 2 ) 2 + 6 2 · 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5
Отсюда найдем значение косинуса и значение самого угла. Получим:
cos α = 1 — sin α = 1 — 12 7 5 2 = 101 7 5
Ответ: sin α = 12 7 5 , cos α = 101 7 5 , α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5 .
Имеется пирамида, построенная при помощи значений векторов A B → = 1 , 0 , 2 , A C → = ( — 1 , 3 , 0 ) , A D → = 4 , 1 , 1 . Найти угол между прямой A D и плоскостью А В С .
Для вычисления искомого угла, необходимо иметь значения координат направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости. для прямой A D направляющий вектор имеет координаты A D → = 4 , 1 , 1 .
Нормальный вектор n → , принадлежащий плоскости А В С , является перпендикулярным вектору A B → и A C → . Это подразумевает то, что нормальным вектором плоскости А В С можно считать векторное произведение векторов A B → и A C → . Вычислим это по формуле и получим:
n → = A B → × A C → = i → j → k → 1 0 2 — 1 3 0 = — 6 · i → — 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = ( — 6 , — 2 , 3 )
Необходимо произвести подстановку координат векторов для вычисления искомого угла, образованного пересечением прямой и плоскости. получим выражение вида:
α = a r c sin A D → , n → ^ A D → · n → = a r c sin 4 · — 6 + 1 · — 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · — 6 2 + — 2 2 + 3 2 = a r c sin 23 21 2
