Как найти полярный угол точки

Полярная система координат

П олярная система координат – система плоских координат образованная направленным прямым лучом OX, называющимся полярной осью. Чаще всего за полярную ось принимают ось северного направления какого-либо меридиана. Начало координат — точка O — называется полюсом системы.

Положение любой точки в полярной системе определяется двумя координатами: радиусом-вектором r (или полярным расстоянием S) – расстоянием от полюса до точки, и полярным углом  при точке O, образованным осью OX и радиусом вектором точки и отсчитываемым от оси OX по ходу часовой стрелки.

Под полярным углом  в геодезии часто принимают дирекционный угол направления, с помощью которого определяют координаты точек и расстояния между ними.

П ереход от прямоугольных координат к полярным и обратно для случая, когда начала обеих систем находятся в одной точке и оси OX у них совпадают, выполняется по формулам прямой геодезической задачи:

tg = Y/X,  = arctg(Y/X)

Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку. [1]

Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

Графическое представление

Точка в полярной системе координат.

Каждая точка в полярной системе координат может быть определена двумя полярными координатами, что обычно называются r (радиальная координата) и (угловая координата, полярный угол, азимут, иногда пишут θ или t). Координата r соответствует расстоянию до полюса, а координата равна углу в направлении против часовой стрелки от луча через 0° (иногда называется полярной осью) [1] .

Например, точка с координатами будет выглядеть на графике как точка на луче, который лежит под углом 60° к полярной оси, на расстоянии 3 единиц от полюса. Точка с координатами будет нарисована на том же месте, поскольку отрицательное расстояние изображается в положительную в противоположном направлении (на 180°).

Одной из важных особенностей полярной системы координат является то, что одна и та же точка может быть представлена бесконечным количеством способов. Это происходит потому, что для определения азимута точки нужно повернуть полярную ось так, чтобы он указывал на точку. Но направление на точку не изменится, если осуществить произвольное число дополнительных полных оборотов. В общем случае точка может быть представлена в виде или , где n — произвольное целое число [10] .

Для обозначения полюса используют координаты . Независимо от координаты точка с нулевым расстоянием от полюса всегда находится на нём [11] . Для получения однозначных координат точки, обычно следует ограничить значение расстояния до неотрицательных значений , а угол к интервалу или (в радианах или ) [12] .

Углы в полярных координатах задаются либо в градусах, либо в радианах, при этом . Выбор, как правило, зависит от области применения. В навигации традиционно используют градусы, в то время как в некоторых разделах физики, и почти во всех разделах математики используют радианы [13] .

Полярная система координат

Полярные координаты точки на плоскости — это два числа, которые определяют положение этой точки относительно некоторой фиксированной точки (полюса) и некоторого фиксированного луча (полярной оси). Первая координата точки —полярный радиус — определяет расстояние точки от полюса: ; вторая координата — полярный угол — угол, на который надо повернуть ось в положительном или отрицательном направлении до совпадения с лучом (рис. 11).

Полярный угол

• Полярный угол считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки и отрицательным — при отсчете в противоположную сторону.

Если в полярной системе координат условимся длину полярного радиуса считать неотрицательной и полярный угол брать в интервале , то этим устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и полярными координатами , за исключением полюса, который конкретного полярного угла не имеет.

Это соответствие удобно иметь в виду при решении задач на построение отдельных точек на плоскости, определение расстояния между двумя точками, деление отрезка в заданном отношении и др.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

При исследовании функций и построении их графиков часто полярный радиус принимает отрицательные значения, а полярный угол принимает значения, большие или отрицательные. Например, в функции при полярный радиус в функции угол может принимать произвольные значения.

• Во многих задачах приходится рассматривать значения полярного угла и полярного радиуса от до .

Отрицательные значения откладывают от полярной оси по часовой стрелке, а отрицательные значения — на продолжении луча с другой стороны от полюса. Тогда значения между 0 и или между и называют главными.

В этом случае произвольная пара координат определяет на плоскости только одну точку, а одной точке плоскости соответствует множество пар чисел. Действительно, при изменении от до луч может бесконечное число раз занимать одно и то же положение, например луч при где — целое положительное или отрицательное число, занимает одно и то же положение (рис. 12). Точка на луче с полярным радиусом может быть определена одной из пар координат

Это следует иметь в виду и при построении графиков функций, заданных в полярной системе координат.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Переход от декартовых координат к полярным и наоборот выполняется по формулам

где , — декартовы координаты произвольной точки а , — ее полярные координаты. Здесь декартова система координат выбрана так, что ее начало совпадает с полюсом полярной системы, а ось абсцисс — с полярной осью.

Кроме прямоугольной системы координат на плоскости часто используют полярную систему координат, которая полностью определяется упорядоченной парой точек и . Первую из них — точку — называют полюсом полярной системы координат. Из полюса в направлении второй точки проводят луч , называемый полярной осью (рис. 3.4).

Расстояние между точками и выбирают в качестве единицы масштаба. Ясно, что полюс полярной системы координат , ее полярная ось и установленная единица масштаба однозначно определяют на плоскости положение точки . Поэтому выбор этой тройки геометрических объектов часто рассматривают как выбор конкретной полярной системы координат.

Положение точки в полярной системе координат фиксируется расстоянием между точкой и полюсом , называемым полярным радиусом, и углом между полярной осью и вектором полярным углом. Полярный радиус и полярный угол составляют полярные координаты точки на плоскости, которые записывают так: .

Полярный угол измеряют в радианах и отсчитывают от полярной оси. Если значение угла положительно, то его отсчитывают против хода часовой стрелки, в противном случае — по ходу часовой стрелки (см. рис. 3.4). Для полюса , а угол не определен. Для остальных точек плоскости , а полярный угол определен с точностью до . Поэтому для полярного угла иногда фиксируют промежуток его изменения, например или .

Координаты точки на плоскости часто записывают как в полярной, так и в прямоугольной системах координат и используют преобразования этих координат друг в друга.

Если нет специальных указаний, то при этом подразумевают следующее взаимное расположение прямоугольной и полярной систем координат (рис. 3.5): полюс полярной системы координат совмещен с началом прямоугольной системы координат; полярная ось совпадает с положительной частью оси абсцисс, а масштаб в полярной системе для вычисления расстояний берется равным единице длины в прямоугольной системе координат. В этом случае прямоугольные координаты точки на плоскости выражаются через ее полярные координаты с помощью соотношений (см. рис. 3.5)

С учетом ограничения на полярный угол полярные координаты точки определяются через ее прямоугольные координаты следующим образом:

Пример с решением

Найдем полярные координаты точек и .

Для точки имеем: а для точки

Анализ алгоритма

Полярная система координат – двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости однозначно определяется двумя числами : полярным углом φ (который еще называют азимут или фазовый угол) и полярным радиусом r. Координата r соответствует расстоянию от точки до центра, или полюса системы координат, а координата φ равна углу, отсчитываемого в направлении против часовой стрелки от луча через 0° (иногда называемому полярной осью системы координат).

Пусть точка P имеет декартовы координаты ( x, y) и полярные координаты ( r , φ) . Тогда формулы преобразования из полярной системы координат в декартову имеют вид:

Функция atan2( double y , double x) вычисляет значение арктангенса y/ x в пределах (- π ; π ]. Если x = 0, или оба параметра равны нулю, то функция возвращает 0. В задаче полярный угол следует вывести в интервале [0; 2π). Для этого в случае отрицательного значения функции atan2 к результату следует прибавить 2π .

Реализация алгоритма

Вычисляем полярный угол точки при помощи функции atan2 . Если результатом выполнения функции atan2 будет отрицательное значение, то к нему следует прибавить 2π, так как ответ должен находиться в интервале [0; 2π).

Как найти полярный угол точки

Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

§ 14. Полярная система координат.

Познакомимся еще с одним способом определения положения точки на плоскости при помощи чисел — полярной системой координат.

Рассмотрим на плоскости ось l с единичным вектором е и началом отсчета О (рис. 42).

Пусть М произвольная точка плоскости, не совпадающая с точкой О. Тогда OM > — радиус-вектор точки М относительно точки О.

Пусть r — длина вектора OM > , т. е. | OM > | = r, а φ — угол между осью l и радиус-вектором OM > . Угол φ = будем отсчитывать от оси l в положительном направлении, т. е. в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

Числа r и φ называются полярными координатами точки М: r — полярный радиус, φ — полярный угол.

Ось l называется полярной осью, а точка О — полюсом.

Полярный радиус точки О принимается равным нулю, полярный угол точки О не определяется.

Если точка М имеет полярные координаты r и φ, то пишут М ( r ; φ). Например, точка К (рис. 43) имеет координаты r = 2, φ = 45°, т. е. K (2; 45°).

Очевидно, что положение точки на плоскости полностью определяется заданием ее полярных координат.

Если r > 0, а φ — произвольное число, то существует (и притом только одна) точка М такая, что

| OM > | = r и = φ.

Если r = 0, то точка совпадает с полюсом.

Отметим, что полярный угол точки, не совпадающей с полюсом, определяется неоднозначно. Например, полярным углом для точки K (см. рис. 43) является не только угол φ = 45°, но и угол φ = 405° и, вообще, любой угол φ = 45° + 360°k, где k = 0, ±1, ±2 . .

Полярный угол точки определяется с точностью до слагаемого, кратного 360°. Если r > 0, то пары чисел (r ; φ) и (r ; φ + 360°k), где k = 0, ±1, ±2 . определяют одну и ту же точку плоскости. Чтобы соответствие между точками плоскости (за исключением полюса) и их полярными координатами было взаимно однозначным на полярный угол φ накладывают ограничение 0 < φ < 360°.

Установим связь между полярными и прямоугольными декартовыми координатами одной и той же точки М плоскости.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат О, i, j (рис. 44).

Примем начало координат —точку О —за полюс, ось абсцисс — за полярную ось l. Тогда луч [О у) оси ординат направлен под углом 90° к оси l.

Очевидно, декартовы координаты точки М выражаются через ее полярные координаты следующим образом:

х = r cos φ, y = r sin φ. (1)

Формулы (1) позволяют находить прямоугольные декартовы координаты точки по ее полярным координатам. Из формулы (1) получаем

х 2 + у 2 = r 2 cos 2 φ + r 2 sin 2 φ = r 2 ( cos 2 φ + sin 2 φ) = r 2 ,

r = √ x 2 + y 2 . (2)

Если r =/= 0 ( М не совпадает с точкой О), то из (1) и (2) следует

Формулы (2), (3) позволяют переходить от прямоугольных декартовых координат точки к ее полярным координатам.

Задача 1. Найти полярные координаты точки М (—1; √ 3 ).

По формуле (2) находим

По формулам (3) имеем

откуда φ = 120°. Итак, М (2; 120°).

Задача 2. Найти прямоугольные декартовы координаты точки М(4; 135°).