Супремум и инфимум числовых множеств.
Выше было описано правило, устанавливающее признак равенства двух вещественных чисел. Опишем теперь правило, позволяющее установить, какое из двух вещественных чисел больше.
Пусть оба вещественных числа имеют знак +.
Найдем первую по порядку цифру в этих числах, которые не равны друг другу. Пусть это будет цифра с номером n, т.е.
(заметим,что символами математики это записывается так: 
). Тогда, если 
, то считаем, что a>b, а если 
, то a<b.
Если вещественные числа а и b разных знаков, то большим считается число, имеющее знак +.
Пусть оба числа имеют знак –. Назовем модулем вещественного числа это же число, но со знаком +.
Тогда, если |a|>|b| то считаем, что а<b, если же |a|<|b| то считаем, что а>b.
Это правило будет необходимо нам ниже.
Определение. Множество, элементами которого являются вещественные числа, называется числовым множеством.
Числовые множества мы будем обозначать
Для того, чтобы все дальнейшие определения и теоремы записывались в принятой математической форме, введем специальные значки, которые носят название кванторов. Их два:
Знак
называется “квантор общности” и читается “для каждого” ( 
есть перевернутая буква А из английского выражения “for All”).
Знак 
называется “квантором существования” и читается “существует” ( 
есть перевернутая буква Е из английского слова “Exist”). Вариантом этого квантора является знак
!, который читается “существует единственный” или “существует один и только один”.
А теперь перейдем к определениям.
Определение 1. Числовое множество 
(читается: существует такое 
, что для любого 
выполнено условие x меньше либо равно M) .Число М называется верхней гранью числового множества
Определение 2. Числовое множество 
. Число m называется нижней гранью числового множества
Определение 3. Числовое множество 
.
Очевидно,что если, скажем, существует одна верхняя грань, то их бесконечно много: если, например, М – верхняя грань числового множества
Определение 4. Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью или супремумом числового множества
Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью или инфимумом числового множества
Эти понятия столь важны, что опишем их в других терминах.
Sup
Первое свойство означает, что sup
Второе свойство означает, что любая попытка уменьшить эту верхнюю грань приводит к появлению элемента из 
.
Говоря образно, sup
Аналогично, inf
Заметим, что сами sup
Теперь мы в состоянии доказать важнейшую теорему этого раздела и одну из важнейших теорем всего мат. анализа.
Теорема о существовании супремума и инфимума.
Если числовое множество
Если числовое множество
Мы докажем эту теорему только для sup
Процедура построения sup .
Пусть М – верхняя грань для 
. Проделаем следующее построение:
а) Выбросим из множества
б) У оставшихся чисел выпишем те цифры 
, которые стоят перед запятой. Множество 
этих цифр конечно, т.к. этих цифр не более чем [M] (целая часть М). Обратите внимание, что именно в этом месте используется ограничение теоремы – существование верхней грани. Если бы верхней грани не существовало, то множество
В силу конечности множества 
из этих цифр до запятой можно выбрать самую большую -–ведь их же конечное число. Обозначим самую большую из этих цифр через 
.
в) Выбросим из 
. У оставшихся чисел выпишем первую цифру после запятой. Этих цифр 
не более 10. Выберем из них самую большую и обозначим ее через 
.
г) Выбросим из 
. У оставшихся чисел выпишем вторую цифру после запятой. Этих цифр 
не более 10. Выберем из них самую большую и обозначим ее через 
.
д) Выбросим из
Повторяя эту операцию до бесконечности мы построим число
Покажем,что 
и естьsup
Проверим первое свойство sup .
Возьмем любое 
. Если х имеет знак –, то ясно, что 
.
Пусть х имеет знак +. Тогда
Сравним 
. Вспомним, что 
было самым большим из 
. Поэтому может быть всего два варианта: либо 
, либо 
. В первом случае 
и дальнейшая проверка ни к чему.
Если же 
, то сравним 
. Опять-таки по построению возможны два варианта: либо 
и тогда 
и дальнейшая проверка ни к чему, либо 
.
Если 
, то сравним
. Опять-таки по построению возможны два варианта: либо 
и тогда 
и дальнейшая проверка ни к чему, либо 
.
Продолжая этот процесс и дальше, получим, что возможны два следующих варианта.
а) Найдется какое-то n, для которого 
. Тогда 
.
б) Для всех n 
. Тогда 
. Поэтому всегда 
и первое свойство супремума выполнено.
Проверка второго свойства супремума.
Заметим,что второе свойство 
можно записать так: 
. Возьмем положительное 
:
.
Так как 
, то найдется такое n,что
но вспомним процедуру построения
. На n-м шаге после выбрасывания во множестве 
. Любое из этих чисел будет больше x’ (т.к. 
), но естественно, меньше или равно 
. Поэтому любое из этих чисел удовлетворяет второму свойству супремума.
Подумайте сами, что надо изменить в процедуре построения
, если во множестве
Что такое inf в математике
$$\forall x\in X \ \rightarrow \ x \ \leq \ \overline x,\label $$
$$\forall x’ < \overline x \ \exists\widetilde x\in X: \ \widetilde x > x’.\label $$
$$\exists m: \ x\in X_ , \ x\not\in X_ \label $$
$$x’ < \widetilde x=_0,a_1…a_n… \ \leq \ \overline x, \ \ \ \ \ то есть \ \ \ \ \ x’ < \widetilde x \ \leq \ \overline x \ \ \ \ \ и \ \ \ \ \ x\in X_0\subset X.\nonumber$$
Что такое inf в математике
Математические неопределенности на примере Python
Супремумы и инфимумы
Привет всем. Подскажите как доказать, что sup(X-Y) = supX — infY ?
Сообщение было отмечено как решение
Что такое inf в математике
Продолжаем знакомство с операциями над массивами и посмотрим как они ведут себя с булевыми операциями. Предположим, имеется одномерный массив:
и мы хотим определить все числа, которые больше 5. Мы с вами уже выполняли такую операцию и для этого сначала формировали булевый массив, а затем, выделяли элементы, у индексов которых стоит значение True:
На выходе получим массив из трех элементов, которым соответствуют позиции True:
Видите, как это может быть удобно: выделить нужные элементы, не используя ни одного оператора цикла языка Python. А, значит, такая конструкция будет работать достаточно быстро (так как внутри реализована на языках Си и Fortran).
Конечно, эту запись можно еще упростить и записать в виде:
Результат будет тем же. По аналогии работают и другие булевы операторы:
array([[inf, inf],
[inf, inf],
[inf, inf]])
Здесь NumPy нас лишь предупредил, что встретилось деление на ноль, но расчеты были завершены и все элементы равны inf.
Что это за значение inf? Это сокращение от английского слова infinity – бесконечность. Действительно, при делении на 0 получаем бесконечность. Именно это и указано в значениях элементов массива. Благодаря использованию этого специального значения, NumPy избежал ошибки деления на 0. Причем, inf – это полноценный элемент массивов. Его можно непосредственно задать при определении:
И, далее, он может участвовать в вычислениях. Например, умножим b на ноль и посмотрим, что получится:
Последний элемент превратился в nan. Это еще одно сокращение от английского:
not a number (не число)
То есть, значение nan указывает, что в результате арифметической операции третий элемент перестал быть каким-либо числовым значением. Причем, это определение оказывается «прилипчивым». Например, сложим все элементы массива:
То есть, любые арифметические операции с nan приводят к nan.
Функции isnan и isinf
Так как элементы inf и nan не относятся к числам, то для их идентификации, проверки, что текущий элемент массива принимает одно из этих значений, существуют функции isnan() и isinf(). Они возвращают True, если элемент равен nan и inf и Flase – в противном случае. Посмотрим как можно их использовать в программе. Пусть имеется массив:
к которому применим эти две функции:
На выходе имеем массив с булевыми значениями и True стоит на местах inf (при вызове isinf) и nan (при вызове isnan). Далее, используя этот массив можно исключить нечисловые элементы из массива, например, так:
Здесь исключаются все элементы inf, а операция
indx инвертирует булевы значения. Аналогично можно отфильтровать значения nan.
Дополнительные функции: isfinite, iscomplex, isreal
Часто, при работе с массивами требуется определить: являются ли его элементы конечными числами. Для этого используется еще одна функция – isfinit():
Соответственно, все не числовые элементы помечены как False, а числовые – как True.
Далее, мы можем уточнять тип числа: комплексное или действительное, с помощью функций iscompex() и isreal(). Например:
Обратите внимание, несмотря на то, что тип данных у всех элементов массива complex128 (посмотреть можно через a.dtype), последний элемент функция iscomplex() пометила как False, так как мнимая часть равна нулю.
Аналогично работает функция isreal():
Только теперь True помечены действительные числа, а False – все остальные. Но, применяя эту функцию к массиву b:
получим все значения True. То есть, специальные значения nan и inf отмечаются как действительные.
Функции logical_and, logical_or, logical_not и logical_xor
В NumPy можно выполнять стандартные булевы операции И, ИЛИ, НЕ, исключающее ИЛИ, применительно к данным массивов. Например, зададим два массива так, чтобы попарно элементы образовывали все возможные комбинации:
И, затем, применим к ним логические операции:
Получили вполне ожидаемые результаты в соответствии с таблицами истинности этих операций.
Все те же операции можно проводить и с числовыми значениями, полагая, что 0 – это False, а любое другое число – True. Например, два таких массива:
Будут вести себя идентично массивам X, Y при булевых операциях:
Видео по теме
#2. Основные типы данных. Создание массивов функцией array() | NumPy уроки
#3. Функции автозаполнения, создания матриц и числовых диапазонов | NumPy уроки
#4. Свойства и представления массивов, создание их копий | NumPy уроки
#5. Изменение формы массивов, добавление и удаление осей | NumPy уроки
#6. Объединение и разделение массивов | NumPy уроки
#7. Индексация, срезы, итерирование массивов | NumPy уроки
#8. Базовые математические операции над массивами | NumPy уроки
#9. Булевы операции и функции, значения inf и nan | NumPy уроки
#10. Базовые математические функции | NumPy уроки
#11. Произведение матриц и векторов, элементы линейной алгебры | NumPy уроки
#12. Множества (unique) и операции над ними | NumPy уроки
#13. Транслирование массивов | NumPy уроки
© 2021 Частичное или полное копирование информации с данного сайта для распространения на других ресурсах, в том числе и бумажных, строго запрещено. Все тексты и изображения являются собственностью сайта
Точные грани числовых множеств
Верхняя и нижняя грани числовых множеств.
Множество X вещественных чисел (X ⊂ \(\mathbb \)) называется ограниченным сверху, если существует вещественное число C такое, что все элементы множества X не превосходят C, то есть
$$
\exists C \ \in \ \mathbb : \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \leq \ C.\label
$$
Всякое вещественное число C, обладающее свойством \eqref , называется верхней гранью числового множества X.
Аналогично, множество X ⊂ \(\mathbb \) называется ограниченным снизу, если
$$
\exists C’\in\mathbb : \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \geq \ C’.\label
$$
Всякое вещественное число С ‘ , удовлетворяющее условию \eqref , называют нижней гранью числового множества X.
Если числовое множество множество ограничено как сверху, так и снизу, его называют ограниченным, то есть \(\Leftrightarrow\left\ \ \exists C\in\mathbb : \ \forall x\in X \ \rightarrow \ C’ \ \leq \ x \ \leq \ C\right\>\).
Записать ⌉A с помощью кванторов, если A = \)>.
По условию \(B=\left\ : \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \geqslant \ C\right\>\). Поэтому
$$
\rceil B=\left\ : \ \exists x_C \ \in \ X \ \rightarrow \ x_C Определение 1.
Число M называется точной верхней гранью числового множества X, если выполняются следующие условия:
Число M = sup X, вообще говоря, может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X. Например, если X — множество чисел x таких, что 1 ≤ x Замечание 2.
Из определения точной верхней грани множества следует, что если у числового множества X есть точная верхняя грань M, то она единственна.
Число m называется точной нижней гранью числового множества X, если выполняются следующие условия:
Если непустое множество вещественных чисел X ограничено сверху, то существует sup X; если непустое множество X ограничено снизу, то существует inf X.
Докажем существование верхней точной грани. По условию множество X не пусто, то есть содержит хотя бы один элемент. Возможны два случая:
Первый случай. Предположим, что все элементы множества X неотрицательны. По условию множество X ограничено сверху, а значит выполняется условие \eqref . Пусть C=c0,c1c2…cn…; тогда c0 — неотрицательное целое число, причем C x’.\label $$
Возьмем произвольное число x ∈ X и пусть x = a0, . Чтобы проверить выполнение условия \eqref , рассмотрим три произвольных случая:
$$x\not\in X_k \ \ \ \ \ при \ k=0,1,2,…,\label $$
$$x\in X_k \ \ \ \ \ при \ k=0,1,2,…,\label $$
$$\exists m: \ x\in X_ , \ x\not\in X_ \label $$
Из \eqref следует, что \(a_0 удовлетворяет произвольный элемент \(\widetilde x\in X_m\), так как
Из неравенства \eqref следует, что sup X есть нижняя грань множества Y. Точная нижняя грань множества Y, то есть число inf Y, есть наибольшая из всех нижних граней множества Y. Значит, sup X ≤ inf Y.
Что такое inf в математике
using namespace std;
Было проведено 9 запусков программы, при которых в качестве значений переменных s и t вводились следующие пары чисел:
(8, 8); (9, 6); (4, 7); (6, 6); (–9, –2); (–5, 9); (–10, 10); (6, 9); (10, 6).
Сколько было запусков, при которых программа напечатала «YES»?
Костя записал IP-адрес школьного сервера на листке бумаги и положил его в карман куртки. Костина мама случайно постирала куртку вместе с запиской. После стирки Костя обнаружил в кармане четыре обрывка с фрагментами IP-адреса. Эти фрагменты обозначены буквами А, Б, В и Г:
| .33 | 3.232 | 3.20 | 23 |
|---|---|---|---|
| А | Б | В | Г |
Восстановите IP-адрес. В ответе укажите последовательность букв, обозначающих фрагменты, в порядке, соответствующем IP-адресу.
В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.
Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Пушкин & Лермонтов? Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.
На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж и К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К, проходящих через город Ж?
Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.
С помощью текстового редактора определите, какой правитель кажется «жалок и смешон» Казарину, герою драмы М. Ю. Лермонтова «Маскарад». В ответе укажите имя. Текст указанного произведения представлен в различных формах в одном из подкаталогов каталога Файлы 11−12.
Выберите ОДНО из предложенных ниже заданий: 13.1 или 13.2.
13.1. Используя информацию и иллюстрированный материал, содержащийся в каталоге Файлы-13, создайте презентацию из трёх слайдов на тему «Домашние животные». В презентации должны содержаться краткие иллюстрированные сведения о домашних животных, их видах и правилах ухода за ними.
Все слайды должны были выполнены в едином стиле, каждый слайд должен быть озаглавлен.
Презентацию сохраните на файле, имя которого Вам сообщает организатор экзамена.
Требования к оформлению презентации
1. Параметры страницы (слайда): экран (16:9), ориентация альбомная.
2. Содержание, структура, форматирование шрифта и размещение изображения на слайдах:
а) первый слайд — титульный слайд с названием презентации; в подзаголовке титульного слайда в качестве информации об авторе презентации указывается идентификационный номер участника экзамена;
б) второй слайд — основная информация в соответствии с заданием, размещённая о образцу на рисунке макета слайда 2;
в) третий слайд — дополнительная информация по теме презентации, размещённая на слайде по образцу на рисунке макета слайда 3:
В презентации должен использоваться единый тип шрифта.
Размер шрифта для названия презентации на титульном слайде — 40 пунктов, для подзаголовка на титульном слайде и заголовков слайдов — 24 пункта, для подзаголовках на втором и третьем слайдах и для основного текста — 20 пунктов.
Текст не должен перекрывать основные изображения или сливаться с фоном.
13.2. Создайте в текстовом редакторе документ и напишите в нём следующий текст, точно воспроизведя все оформление текста, имеющееся в образце.
Данный тест должен быть написан шрифтом размером 14 пунктов. Основной текст выровнен по ширине. В тексте есть слова, выделенные жирным шрифтом, курсивом и подчёркиванием.
При этом допустимо, чтобы ширина Вашего текста отличалась от ширины текста в примере, поскольку ширина текста зависит от размера страницы и полей. В этом случае разбиение текста на строки должно соответствовать стандартной ширине абзаца.
В электронную таблицу занесли результаты тестирования учащихся по физике и информатике. Вот первые строки получившейся таблицы:
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Ученик | Округ | Физика | Информатика |
| 2 | Брусов Анатолий | Западный | 18 | 12 |
| 3 | Васильев Александр | Восточный | 56 | 66 |
| 4 | Ермишин Роман | Северный | 44 | 49 |
| 5 | Моникашвили Эдуард | Центральный | 65 | 78 |
| 6 | Круглов Никита | Центральный | 57 | 67 |
| 7 | Титова Анастасия | Северный | 54 | 63 |
В столбце А указаны фамилия и имя учащегося; в столбце В — округ учащегося; в столбцах С, D — баллы, полученные, соответственно, по физике и информатике. По каждому предмету можно было набрать от 0 до 100 баллов. Всего в электронную таблицу были занесены данные по 266 учащимся. Порядок записей в таблице произвольный.
Откройте файл с данной электронной таблицей. На основании данных, содержащихся в этой таблице, ответьте на три вопроса.
1. Чему равна наибольшая сумма баллов по двум предметам среди учащихся округа «Северный»? Ответ на этот вопрос запишите в ячейку G1 таблицы.
2. Сколько процентов от общего числа участников составили ученики, получившие по физике больше 60 баллов? Ответ с точностью до одного знака после запятой запишите в ячейку G3 таблицы.
3. Постройте круговую диаграмму, отображающую соотношение учеников из округов «Западный», «Восточный» и «Северный». Левый верхний угол диаграммы разместите вблизи ячейки G6.
Выберите ОДНО из предложенных ниже заданий: 15.1 или 15.2.
Исполнитель Робот умеет перемещаться по лабиринту, начерченному на плоскости, разбитой на клетки. Между соседними (по сторонам) клетками может стоять стена, через которую Робот пройти не может. У Робота есть девять команд. Четыре команды — это команды-приказы:
вверх вниз влево вправо
Ещё четыре команды — это команды проверки условий. Эти команды проверяют, свободен ли путь для Робота в каждом из четырёх возможных направлений:
сверху свободно снизу свободно слева свободно справа свободно
Эти команды можно использовать вместе с условием «если», имеющим следующий вид:
Здесь условие — одна из команд проверки условия. Последовательность команд — это одна или несколько любых команд-приказов. Например, для передвижения на одну клетку вправо, если справа нет стенки, и закрашивания клетки можно использовать такой алгоритм:
если справа свободно то
В одном условии можно использовать несколько команд проверки условий, применяя логические связки и, или, не, например:
если (справа свободно) и (не снизу свободно) то
Для повторения последовательности команд можно использовать цикл «пока», имеющий следующий вид:
Например, для движения вправо, пока это возможно, можно использовать следующий алгоритм:
нц пока справа свободно
На бесконечном поле имеется вертикальная стена. Длина стены неизвестна. От верхнего конца стены вправо отходит горизонтальная стена также неизвестной длины. Робот находится в клетке, расположенной слева от нижнего края вертикальной стены.
На рисунке указан один из возможных способов расположения стен и Робота (Робот обозначен буквой «Р»).
Напишите для Робота алгоритм, закрашивающий все клетки, расположенные левее вертикальной стены и выше горизонтальной стены и прилегающие к ним. Робот должен закрасить только клетки, удовлетворяющие данному условию. Например, для приведённого выше рисунка Робот должен закрасить следующие клетки (см. рисунок).
Конечное расположение Робота может быть произвольным. Алгоритм должен решать задачу для произвольного размера поля и любого допустимого расположения стен внутри прямоугольного поля. При исполнении алгоритма Робот не должен разрушиться. Алгоритм напишите в текстовом редакторе и сохраните в текстовом файле. Название файла и каталог для сохранения Вам сообщат организаторы экзамена.
15.2 Напишите программу, которая в последовательности целых чисел определяет сумму двух наибольших и сумму двух наименьших. Программа должна вывести две этих суммы в указанном порядке. Программа получает на вход целые числа, количество введённых чисел не известно, последовательность чисел заканчивается числом 0 (0 — признак окончания ввода, не входит в последовательность). Количество чисел не превышает 1000. Введённые числа по модулю не превышают 30 000.
В последовательности не менее двух чисел.
1. Теория пределов
1.1 Супремум и инфимум
Определение 1. Множество , элементами которого являются числа, называется числовым множеством.
Определение 2. Множество вещественных чисел называется ограниченным сверху (снизу), если существует число M ( m ) такое, что x £ M ( x ³ m ).
Число M называется верхней гранью числового множества . Аналогично, число m называется нижней гранью числового множества .
Верхних (нижних) граней бесконечно много, так как любое число, большее M (меньшее m ), есть также верхняя (нижняя) грань.
Определение 3. Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью или супремумом числового множества (обозначение sup ).
Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью или инфимумом числового множества (обозначение inf ).
Более точно, эти понятия выражаются следующими свойствами:
Теорема о существовании супремума и инфимума числового множества.
Если числовое множество не пусто и ограничено сверху, то у него существует sup .
Если числовое множество не пусто и ограничено снизу, то у него существует inf .
1.2 Последовательности
Определение 1. Числовой последовательностью (в дальнейшем просто последовательностью) называется упорядоченное счетное множество чисел
Обратите внимание на два момента.
1. В последовательности бесконечно много чисел. Если чисел конечное число – это не последовательность!
2. Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном порядке.
В дальнейшем для последовательности часто будем использовать сокращенное обозначение .
Над последовательностями можно производить определенные операции. Рассмотрим некоторые из них.
1. Умножение последовательности на число.
Последовательность c × – это последовательность с элементами , то есть
2. Сложение и вычитание последовательностей.
или, более подробно,
3. Умножение последовательностей.
4. Деление последовательностей.
Естественно, предполагается, что в этом случае все yn ¹ 0.
Последовательность называется ограниченной сверху, если .
Последовательность называется ограниченной снизу, если .
Последовательность называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и снизу.
1.3 Предел последовательности.
Основное определение. Число a называется пределом последовательности при n стремящимся к бесконечности, если
Для этого факта используют следующие обозначения:
Говорят, что , если .
Говорят, что , если .
Последовательность называется бесконечно большой, если (то есть, если ).
1.4 Бесконечно малые последовательности.
Оределение. Последовательность называется бесконечно малой, если , то есть если .
Бесконечно малые последовательности имеют следующие свойства.
1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть также бесконечно малая последовательность.
2. Бесконечно малая последовательность ограничена.
3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.
1.5 Сходящиеся последовательности.
Определение. Если существует конечный предел , то последовательность называется сходящейся.
Сходящиеся последовательности имеют следующие свойства.
1. Сходящаяся последовательность ограничена.
1.6 Предельный переход в неравенствах.
1.7 Предел монотонной последовательности.
Последовательность называется монотонно возрастающей, если для любого n xn +1 ³ xn .
Последовательность называется строго монотонно возрастающей, если для любого n xn +1 > xn .
Последовательность называется монотонно убывающей, если для любого n xn +1 £ xn .
Последовательность называется строго монотонно убывающей, если для любого n xn +1 xn .
Теорема о существовании предела монотонной последовательности.
1. Если последовательность монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный sup ( inf ).
На основании этой теоремы доказывается, что существует так называемый замечательный предел
1.8 Подпоследовательности
и рассмотрим последовательность . Она называется подпоследовательностью последовательности .
Если – бесконечно большая последовательность, то любая ее подпоследовательность есть также бесконечно большая.
Лемма Больцано- Вейерштрасса.
1. Из любой ограниченной последовательности можно извлечь такую подпоследовательность, которая сходится к конечному пределу.
2. Из любой неограниченной последовательности можно извлечь бесконечно большую подпоследовательность.
На основании этой леммы доказывается один из основных результатов теории пределов –
Признак сходимости Больцано-Коши.
Для того, чтобы у последовательности существовал конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы
Последовательность, удовлетворяющая этому свойству, называется фундаментальной последовательностью, или последовательностью, сходящейся в себе.
1.9 Предел функции
Основное определение. Число b называется предельным значением (пределом) функции f ( x ) при x стремящимся к a (обозначение или ), если
Число b называется предельным значением (пределом) функции f ( x ) при x стремящимся к + ¥ (обозначение ), если
Говорят, что функция f ( x ) стремится к + ¥ при x стремящимся к a (обозначение ), если
Если ,то существует . Верно и обратное утверждение.
Теорема, устанавливающая связь понятий предела функции и предела последовательности.
Для того, чтобы существовал необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности , у которой существовал
Свойства предельных значений.
Предельные значения имеют такие же свойства, что и предел последовательности:
1.10 Предел монотонной функции
Функция f ( x ) называется
строго монотонно возрастающей, если из x 1> x 2 следует f ( x 1)> f ( x 2).
Функция f ( x ) называется
строго монотонно возрастающей, если из x 1> x 2 следует f ( x 1) f ( x 2).
Если f ( x ) при x a и ограничена сверху то существует конечный .
Если f ( x ) при x a но сверху не ограничена, то .
Аналогичные формулировки имеют место и для монотонно убывающей функции.
1.11 Признак Больцано-Коши существования предела функции.
Теорема. Для того, чтобы при x стремящимся к a существовал конечный , необходимо и достаточно, чтобы
Эта теорема является одной из важнейших теорем теории пределов.
1.12 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин
1. Если существует и , ¸ то говорят, что a ( x ) и b ( x ) – бесконечно малые одного порядка.
Обозначение: a = O ( b ) или b = O ( a ).
2. Если (или, что то же самое, ), то говорят, что a ( x ) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем b ( x ).
Обозначение a = o ( b ).
3. Если не существует, то говорят, что a ( x ) и b ( x ) несравнимы.
Слагаемое называется главной частью a ( x ).
1. Если существует и , ¸ то говорят, что A ( x ) и B ( x ) – бесконечно большие одного порядка.
2. Если (или, что то же самое, ), то говорят, что A ( x ) есть бесконечно большая более высокого порядка, чем B ( x ).
3. Если не существует, то говорят, что A ( x ) и B ( x ) несравнимы.