Как найти значение функции при значении аргумента

Найти значение функции – Как найти значение функции по значению аргумента

Как найти значение функции по значению аргумента? Это можно сделать с помощью формулы, задающей функцию.

Если функция задана формулой y=f(x), чтобы найти значение функции по данному значению аргумента, надо в формулу функции вместо каждого икса подставить это значение и вычислить значение y.

1) Линейная функция задана формулой y=10x-7.

Найти значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 3; -2,5; 1,4; 0.

2) Функция задана формулой

Найти значение функции при x, равном 10; -2; 1; 0.

Значение функции по данному значению аргумента можно найти также по графику. Как это сделать, мы рассмотрим в следующий раз.

Как найти значение аргумента по значению функции

Как найти значение аргумента по значению функции? Это можно сделать с помощью формулы функции.

Если формула задана формулой вида y=f(x), чтобы найти значение аргумента по значению функции, надо в формулу вместо y подставить заданное значение функции и решить получившееся уравнение относительно икса.

1) Линейная функция задана формулой y=5x-8. Найти значение аргумента, при котором значение функции равно 7; -38;0.

Поменяем местами левую и правую часть, чтобы запись выглядела в привычном виде (знаки при этом менять не надо):

Это — линейное уравнение. Неизвестное — в одну сторону, известные — в другую (при переносе слагаемых из одной части в другую знаки меняются на противоположные):

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

2) При каком значении аргумента значение функции

Решаем квадратное уравнение.

При y=0 x=3 и x=0,5.

Это — неполное квадратное уравнение. Общий множитель x выносим за скобки

и решаем уравнение типа «произведение равно нулю»:

При y=3 x=0 и x=3,5.

Значение аргумента по заданному значению функции можно также найти с помощью графика. О том, как это сделать, мы будем говорить в следующий раз.

Как по значению аргумента найти соответствующее значение функции. ?

Как по значению аргумента найти соответствующее значение функции? Аргумент — х, значение функции — y. Нам известно некоторое значение аргумента, например, х = 2. Чтобы найти соответствующее ему значение функции нужно в формулу у = 6х + 12 вместо х подставить его значение, в нашем примере это число 2. Получаем: у = 6*2 + 12 = 12 + 12 = 24 Итак, значению аргумента х = 2 соответствует значение функции у = 24. Правило: чтобы по значению аргумента найти значение функции надо в формулу данной функции вместо х подставить его числовое значение. б) Как найти значение аргумента, которому соответствует указанное значение функции? Нам задано значение функции — y, например y = 6. Чтобы найти значение аргумента, которому соответствует указанное значение функции нужно в формулу у = 6х + 12 вместо y подставить его значение, в нашем примере это число 6. Получаем уравнение: 6 = 6х + 12 6х = -6 х = -1 Итак, значению функции y = 6 соответствует значение аргумента х = -1. Правило: чтобы по значению функции найти значение аргумента надо в формулу данной функции вместо y подставить его числовое значение.

подставляй найденный аргумент в условие и останется только одна переменная

Функцыя задана формулой y=5x-1.Найти значение функции, если значение аргумента равно -1.

Как решать задачи на функцию

Прежде чем перейти к разбору решения задач с функциями обязательно прочитайте урок «Что такое функция в математике».

После того, как вы действительно поймете, что такое функция (возможно, придется прочитать урок не один раз) вы с бóльшей уверенностью сможете решать задания с функциями.

В этом уроке мы разберем, как решать основные типы задач на функцию и графики функций.

Как получить значение функции

Рассмотрим задание. Функция задана формулой « y = 2x − 1 »

1. Вычислить « y » при « x = 15 »
2. Найти значение « x », при котором значение « y » равно « −19 ».

Для того, чтобы вычислить « y » при « x = 15 » достаточно подставить в функцию вместо « x » необходимое числовое значение.

Запись решения выглядит следующим образом.

Для того, чтобы найти « x » по известному « y », необходимо подставить вместо « y » в формулу функции числовое значение.

То есть теперь наоборот, для поиска « x » мы подставляем в функцию « y = 2x − 1 » вместо « y » число « −19 » .

Мы получили линейное уравнение с неизвестным « x », которое решается по правилам решения линейных уравнений.

Запомните!

Не забывайте про правило переноса в уравнениях.

При переносе из левой части уравнения в правую (и наоборот) буква или число меняет знак на противоположный .

Как и при решении линейного уравнения, чтобы найти неизвестное, сейчас требуется умножить и левую, и правую часть на « −1 » для смены знака.

Теперь разделим и левую, и правую часть на « 2 », чтобы найти « x » .

Как проверить верно ли равенство для функции

Рассмотрим задание. Функция задана формулой « f(x) = 2 − 5x ».

Верно ли равенство « f(−2) = −18 »?

Чтобы проверить верно ли равенство, нужно подставить в функцию « f(x) = 2 − 5x » числовое значение « x = −2 » и сопоставить с тем, что получится при расчетах.

Важно!

Когда подставляете отрицательное число вместо « x », обязательно заключайте его в скобки.

Не забывайте использовать правило знаков.

Неправильно

Правильно

С помощью расчетов мы получили « f(−2) = 12 ».

Это означает, что « f(−2) = −18 » для функции « f(x) = 2 − 5x » не является верным равенством.

Как проверить, что точка принадлежит графику функции

Рассмотрим функцию « y = x 2 −5x + 6 »

Требуется выяснить, принадлежит ли графику этой функции точка с координатами (1; 2) .

Для этой задачи нет необходимости, строить график заданной функции.

Запомните!

Чтобы определить, принадлежит ли точка функции, достаточно подставить её координаты в функцию (координату по оси « Ox » вместо « x » и координату по оси « Oy » вместо « y »).

Если получится верное равенство , значит, точка принадлежит функции.

Вернемся к нашему заданию. Подставим в функцию « y = x 2 − 5x + 6 » координаты точки (1; 2) .

Вместо « x » подставим « 1 ». Вместо « y » подставим « 2 ».

У нас получилось верное равенство, значит, точка с координатами (1; 2) принадлежит заданной функции.

Теперь проверим точку с координатами (0; 1) . Принадлежит ли она
функции « y = x 2 − 5x + 6 »?

Вместо « x » подставим « 0 ». Вместо « y » подставим « 1 ».

В этом случае мы не получили верное равенство. Это означает, что точка с координатами (0; 1) не принадлежит функции « y = x 2 − 5x + 6 »

Как получить координаты точки функции

С любого графика функции можно снять координаты точки. Затем необходимо убедиться, что при подстановке координат в формулу функции получается верное равенство.

Рассмотрим функцию « y(x) = −2x + 1 ». Её график мы уже строили в предыдущем уроке.

Найдем на графике функции « y(x) = −2x + 1 », чему равен « y » при x = 2 .

Для этого из значения « 2 » на оси « Ox » проведем перпендикуляр к графику функции. Из точки пересечения перпендикуляра и графика функции проведем еще один перпендикуляр к оси « Oy ».

Полученное значение « −3 » на оси « Oy » и будет искомым значением « y ».

Убедимся, что мы правильно сняли координаты точки для x = 2
в функции « y(x) = −2x + 1 ».

Для этого мы подставим x = 2 в формулу функции « y(x) = −2x + 1 ». Если мы правильно провели перпендикуляр, мы также должны получить в итоге y = −3 .

При расчетах мы также получили y = −3 .

Значит, мы правильно получили координаты с графика функции.

Важно!

Все полученные координаты точки с графика функции обязательно проверяйте подстановкой значений « x » в функцию.

При подстановке числового значения « x » в функцию в результате должно получиться то же значение « y », которое вы получили на графике.

При получении координат точек с графика функции высока вероятность, что вы ошибетесь, т.к. проведение перпендикуляра к осям выполняется «на глазок».

Вычисление значения функции по формуле

Понятие функции впервые встречается на уроках алгебры за седьмой класс.

Функция — правило, по которому элементу одного множества ставится в соответствие элемент второго множества. Зависимость обозначают как f(x) или y(x).

Независимую переменную x называют аргументом функции. Переменную y, значение которой зависит от переменной x, называют функцией.

Функция может быть представлена в трех видах: формульном (аналитическом), табличном и графическом.

При задании функции в аналитическом виде, зависимость y(x) представляется в виде уравнения.

y = 2 x — 5 3 x 3 + x ; y = 5 x — x 5 + 2 7

Функция в табличном виде представляет собой таблицу, где в одной строке находятся значения переменной x, а в другой — значения y.

При задании функции в графическом виде на координатной плоскости XOY строят график, отображающий зависимость y(x).

В данной статье будем рассматривать случаи, когда функция задана в виде формулы.

Вычисление значений функций по формуле

Для вычисления функции в заданной точке значение аргумента x подставляют в выражение y(x) и находят величину y при требуемом x.

Для того чтобы найти значение функции в нескольких точках, необходимо следующее:

1. Последовательно подставить значения аргумента x в выражение y(x) и выполнить расчет значений функции — переменной y.
2. Записать результат. Иногда результат предоставляют в виде таблицы значений функции.

При задании значений переменной x следует учитывать область определения функции (множество значений, которые может принимать аргумент). Например, если функция представляет собой дробное выражение и аргумент находится в знаменателе дроби, переменная x не может принимать значения, при которых знаменатель обращается в ноль.

Использование различных правил преобразования математических выражений упрощает работу по вычислению значений функции.

Перечислим часто используемые тождества:

1. Приведение подобных, то есть сложение или вычитание слагаемых с одинаковой буквенной частью. Пример: y = 5 x — 5 9 + 3 x = ( 5 x + 3 x ) — 5 9 = 8 x — 5 9 .
2. Разложение на множители заключается в вынесении общего множителя за скобки. Пример: y = 9 x 2 + 3 x — 5 = 3 x ( 3 x + 1 ) — 5 .
3. Сокращение дробей — деление числителя и знаменателя на общий множитель. Пример: y = 12 x 8 x 2 + 8 = 4 x · 3 4 x · 2 x + 8 = 3 2 x + 8 .
4. Сложение и (или) вычитание дробей. Перед преобразованием следует привести дроби к общему знаменателю или, напротив, сократить. Пример: y = 7 + 3 5 x — x 2 4 + 1 2 x = 7 + 3 · 4 5 x · 4 — x 2 · 5 x 4 · 5 x + 1 · 10 2 x · 10 = 7 + 12 20 x — 5 x 3 20 x + 10 20 x = 7 + 22 — 5 x 3 20 x .

В дальнейшем на уроках алгебры будут рассматриваться более сложные функции, значения которых не всегда можно вычислить по формуле или по графику. В таких случаях приближенное значение находят с помощью дифференциала.

Примеры задач на вычисление значений функции

Вычислить значение функции, заданной формулой y ( x ) = x + 5 x — 3 x 2 — 3 x + 20 , при значении аргумента x=2.

Сначала выполним преобразование выражения, для этого приведем подобные в числителе дроби, получим:

y ( x ) = x + 5 x — 3 x 2 — 3 x + 20 = 6 x — 3 x 2 — 3 x + 20

Теперь подставим в получившееся выражение x=2:

y = 6 x — 3 x 2 — 3 x + 20 = 6 · 2 — 3 2 2 — 3 · 2 + 20 = 9 18 = 1 2

Ответ: y ( 2 ) = 1 2 .

Определить значение аргумента, при котором значение функции y ( x ) = x 3 x + 2 x 6 — x 2 будет равно 1.

Пример интересен тем, что обратной задачей к теме сегодняшнего занятия. Сначала выполним преобразования и упростим выражение, получим:

y ( x ) = x 3 x + 2 x 6 — x 2 = 1 3 + 2 x 6 — x 2 = 2 · 3 6 + 2 x 6 — x · 3 6 = 2 6 — x 6 .

Теперь приравняем полученное выражение к 1, запишем уравнение:

y ( x ) = 1 ⇒ 2 6 — x 6 = 1

Решая уравнение относительно переменной x, получим, что y(x)=1 при x=1.

Ответ: y(x)=1 при x=1.

Составить таблицу значений функции y ( x ) = x 2 + 3 x 2 2 — 2 x x + x при следующих значений переменной x: 0, 1, 2.

Преобразуем и упростим выражение, получим:

y ( x ) = x 2 + 3 x 2 2 — 2 x x + x = 2 x 2 2 + 3 x 2 2 — 2 x + x = 5 x 2 2 — x

Теперь будем подставлять заданные значения аргумента и вычислять значения y:

x = 0 ⇒ y ( 0 ) = 5 · 0 2 2 — 0 = 0 ; x = 1 ⇒ y ( 1 ) = 5 · 1 2 2 — 1 = 3 2 ; x = 2 ⇒ y ( 2 ) = 5 · 2 2 2 — 2 = 8 .

Результат представим в табличной форме.

Задания для самостоятельного решения

Далее приведены примеры для самостоятельного решения с ответами к каждому заданию. Если потребуется помощь, можно еще раз прочесть представленный конспект по теме и обратиться к разобранным выше примерам.

Вычислить значение функции y ( x ) = 3 x — x 2 + x — 2 x 2 7 x при значении аргумента x=14.

Вычислить значение функции y ( x ) = x 2 + x — 4 — x 2 при значении аргумента x=4.

Для функции, заданной в предыдущем примере составить таблицу значений функции при следующих значениях аргумента: 0, 4, 9.

Ответ: y(0)=0; y(4)=1; y(9)=8.

Определить значение аргумента x, при котором значений функции y ( x ) = 4 x 2 2 x — 5 x + 15 — x будет равно 3.

Функция. Аргумент и значение функции

Функцией называется правило \(f\) , по которому каждому элементу \(x\) множества Х ставится в соответствие единственный элемент \(y\) множества Y. Обозначение: \(y=f(x)\) . Величина \(y\) зависит от величины \(x\) по определенному закону, или правилу, обозначаемому \(f\) .

Множество Х всех допустимых действительных значений аргумента \(x\) , при которых функция \(y = f ( x )\) определена, называется областью определения функции и обо­зна­ча­ет­ся как \(D(f)\) . Множество Y всех действительных значений \(y\) , которые принимает функция, называется областью значений функции и обо­зна­ча­ет­ся как \(E(f)\) .

Переменная \(x\) – независимая переменная или аргумент.

Переменная \(y\) – зависимая переменная.

Значение функции – значение \(y\) , соответствующее заданному значению \(x\) .

Например: най­дем об­ласть опре­де­ле­ния и об­ласть зна­че­ний функ­ции \(y=x^2+8\) .

Ре­ше­ние. По­сколь­ку вы­ра­же­ние \(x^2+8\) имеет смысл при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной \(x\) , то \(x\in R\) . Так как \(x^2+8\ge8\) , то \(y\in [8;+\infty)\) .

Найдите значение \(f(– 4)\) , если \(f(x) = 3x +5 \) .

Дана функция \(f(x) = 5x – 4\) . Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно \(5,5\) .

Найдите область значений функции \( y = 4x\) , если областью ее определения является промежуток \([-1;3]\) .

Найдите наибольшее значение линейной функции \(y=2x-1\) на отрезке \([-2;0]\) .

Найдите наибольшее значение линейной функции \(y=-2x-3\) на отрезке \([0;3]\) .

Найдите наименьшее значение линейной функции \(y=3x-1\) на отрезке \([1;3]\) .