Как найти область значения показательной функции

Урок 21. Показательная функция

— примеры реальных процессов, описываемых показательной функцией.

Глоссарий по теме

Функция вида , a>0, а≠1 называется показательной функцией с основанием а.

Функция называется монотонно возрастающей на промежутке <a; b>, если (чем больше аргумент, тем больше значение функции).

Функция называется монотонно убывающей на промежутке <a; b>, если (чем больше аргумент, тем меньше значение функции).

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб.для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.310-314, сс. 210-216.

Открытые электронные ресурсы:

http://fcior.edu.ru/ — Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов

http://school-collection.edu.ru/ — Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Определение, свойства и график показательной функции

Функция вида y=а х , a>0, а≠1 называется показательной функцией с основанием а.

Такое название она получила потому, что независимая переменная стоит в показателе. Основание а – заданное число.

Для положительного основания значение степени а х можно найти для любого значения показателя х – и целого, и рационального, и иррационального, то есть для любого действительного значения.

Сформулируем основные свойства показательной функции.

1. Область определения.

Как мы уже сказали, степень а х для a>0 определена для любого действительного значения переменной х, поэтому область определения показательной функции D_(y)=R.

2. Множество значений.

Так как основание степени положительно, то очевидно, что функция может принимать только положительные значения.

Множество значений показательной функции Е_(y)=R + , или Е_(y)=(0; +∞).

3. Корни (нули) функции.

Так как основание a>0, то ни при каких значениях переменной х функция не обращается в 0 и корней не имеет.

При a>1 функция монотонно возрастает.

При 0<a<1 функция монотонно убывает.

5. При любом значении а значение функции y (0) = а 0 =1.

6. График функции.

Рисунок 1 – График показательной функции при a>1

Рисунок 2 – График показательной функции при 0<a<1

Независимо от значения основания а график функции имеет горизонтальную асимптоту y=0. Для 0<a<1 при х стремящемся к плюс бесконечности, для a>1 при х стремящемся к минус бесконечности.

2. Рассмотрим пример исследования функции y=–3 х +1.

1) Область определения функции – любое действительное число.

2) Найдем множество значений функции.

Так как 3 х >0, то –3 х <0, значит, –3 х +1<1, то есть множество значений функции y=–3 х +1 представляет собой промежуток (-∞; 1).

3) Так как функция y=3 х монотонно возрастает, то функция y=–3 х монотонно убывает. Значит, и функция y=–3 х +1 также монотонно убывает.

4) Эта функция будет иметь корень: –3 х +1=0, 3 х =1, х=0.

5) График функции

Рисунок 3 – График функции y=–3 х +1

6) Для этой функции горизонтальной асимптотой будет прямая y=1.

3. Примеры процессов, которые описываются показательной функцией.

1) Рост различных микроорганизмов, бактерий, дрожжей и ферментов описывает формула: N= N₀·a kt , N– число организмов в момент времени t, t – время размножения, a и k – некоторые постоянные, которые зависят от температуры размножения, видов бактерий. Вообще это закон размножения при благоприятных условиях (отсутствие врагов, наличие необходимого количества питательных веществ и т.п.). Очевидно, что в реальности такого не происходит.

2) Давление воздуха изменяется по закону: P=P₀·a -kh , P– давление на высоте h, P₀ – давление на уровне моря, h – высота над уровнем моря, a и k – некоторые постоянные.

3) Закон роста древесины: D=D₀·a kt , D– изменение количества древесины во времени, D₀ – начальное количество древесины, t – время, a и k – некоторые постоянные.

4) Процесс изменения температуры чайника при кипении описывается формулой: T=T₀+(100– T₀)e -kt .

5) Закон поглощения света средой: I=I₀·e -ks , s– толщина слоя, k – коэффициент, который характеризует степень замутнения среды.

6) Известно утверждение, что количество информации удваивается каждые 10 лет. Изобразим это наглядно.

Примем количество информации в момент времени t=0 за единицу. Тогда через 10 лет количество информации удвоится и будет равно 2. Еще через 10 лет количество информации удвоится еще раз и станет равно 4 и т.д.

Если предположить, что поток информации изменялся по тому же закону до того года, который принят за начальный, то будем двигаться по оси абсцисс влево от начала координат и над значениями аргумента -10, -20 и т.д. будем наносить на график значения функции уже в порядке убывания — уменьшая каждый раз вдвое.

Рисунок 4 – График функции y=2 х – изменение количества информации

Закон изменения количества информации описывается показательной функцией y=2 х .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Выберите показательные функции, которые являются монотонно убывающими.

1. y=3 x-1
2. y=(0,4) x+1
3. y=(0,7) -х
4. y=
5. y=3 -2х
6. y=10 2x +1

Монотонно убывающими являются показательные функции, основание которых положительно и меньше единицы. Такими функциями являются: 2) и 4) (независимо от того, что коэффициент в показателе функции 4) равен 0,5), заметим, что функцию 4) можно переписать в виде: , используя свойство степеней.

Также монотонно убывающей будет функция 5). Воспользуемся свойством степеней и представим ее в виде:

2) 4) 5)

Найдите множество значений функции y=3 x+1 – 3.

Так как 3 x+1 >0, то 3 x+1 – 3>–3, то есть множество значений:

Найдите множество значений функции y=|2 x – 2|

2 x –2>–2, но, так как мы рассматриваем модуль этого выражения, то получаем: |2 x – 2|0.

Показательная функция ее свойства и график уравнения

Показательная функция: определение, формула, свойства, график

В данной публикации мы рассмотрим определение и формулу показательной функции, перечислим ее основные свойства, а также продемонстрируем, как выглядит ее график и приведем пример его построения.

Определение показательной функции

Показательная функция – это функция вида , где:

• a – основание степени, при этом и ;
• x – показатель степени.

Примеры:

Свойства показательной функции

1. Область определения – все действительные числа: .

График показательной функции

Согласно Свойству 3, представленному выше, график показательной функции может быть:

• возрастающим при
• убывающим при

Асимптота – ось Ox , т.е. линия графика будет стремиться к оси абсцисс, но никогда не коснется ее.

Пример: построим график функции .

Для начала составим таблицу соответствия значений x и y .

Показательная функция, ее свойства. Простейшие показательные уравнения

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы рассмотрим показательную функцию, ее график и основные свойства. Также научимся решать простейшие показательные уравнения.

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Показательная функция и логарифм»

Показательная функция ее свойства и график уравнения

Показательной функцией назыввается функция вида y = a x , где a > 0 и a ≠ 1.

График функции имеет следующий вид:

Рассмотрим свойства функции:

1. Областью определения функции является множество всех действительных чисел R.
2. Множеством значений функции являются все положительные числа, т. е. промежуток E(y): (0; +∞).
3. Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет.
4. Функция не является ни нечетной, ни четной. Имеет общий вид.
5. Функция непериодическая.
6. График функции пересекает координатную ось Oy в точке (0; 1).
7. Функция не имеет нулей.
8. при a > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0
9. Функция принимает положительные значения на всей области определения.

Примеры решения задач

Задача 1.

В одной координатной плоскости построить графики функций:

Решение.

Для начала построим график функции y=2 x . Для этого найдем значения функции при x = 0, ±1, ±2, ±3.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y(x)				1	2	4	8

Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y = 2 x возрастает на всей области определения D(y)=R, так как основание функции 2 > 1.

Подобным образом построим графики остальных функций.

Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля (E (y)=R+).

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем больше основание a (если a>1) показательной функции y = a x , тем ближе расположена кривая к оси Оу.

Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

Задача 2.

В одной координатной плоскости построить графики функций:

Решение.

Для начала построим график функции . Для этого найдем значения функции при x = 0, ±1, ±2, ±3.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y(x)	8	4	2	1

Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция убывает на всей своей области определения: D(y)=R, так как основание функции 0

Подобным образом построим графики остальных функций.

Переменная х может принимать любое значение: D(y)=R, при этом область значений функции: E(y)=R+.

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю.

Чем меньше основание а (при 0 x , тем ближе расположена кривая к оси Оу.

Все эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Задание 3.

Найти область значений функции:

1. y = -2 x
2. y = +1
3. y = 3 x+1 — 5

Решение.

Область значений показательной функции y = 2 x – все положительные числа, т. е. 0 x x

2. y = +1

0 . Тогда, прибавляя ко всем частям двойного неравенства число 1, получаем:

Функция. Показательная функция.

Показательной называется функция у = а х , в которой а – это постоянное положительное число.

Число а необходимо брать положительным потому, что при а < 0 величины не были бы действительными.

Аргумент х может иметь любые действительные значения, а значения функции у = а х необходимо задавать только положительные.

Для функции у = 16 х при х = 1/4 выбираем только значение у = 2, а значение у = — 2 и 2i и —2i не рассматриваем.

Графики показательной функции при а = 1/2; 1/3; 1/10; 2; 3; 10 проходят через точку (0; 1). Если а = 1 получаем график в виде прямой линии, параллельной оси абсцисс х, при этом функция а х становится постоянной величиной.

При а > 1 график при передвижении вправо поднимается, при а < 1 — опускается вниз. Графики у = 2 х и у = (1/2) х неограниченно приближаются к оси абсцисс х, но не достигают ее.

Графики функций у = 2 х и у = (1/2) х , также как у = 3 х и у = (1/3) х и вообще у = 2 х и у = (1/2) х симметричны друг другу относительно оси ординат у.

Свойства показательной функции

Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел. Ведь положительное число а можно возвести в степень с любым показателемх.

Это значит, что график показательной функции простирается вдоль всей оси абсцисс.

Область значений показательной функции — множество всех положительных чисел. Ведь при возведении положительного числа а в степень с показателем х не может получиться ни нуля, ни отрицательного числа. Это значит, что график показательной функции не может иметь общих точек с осью абсцисс и не может иметь точек в третьей и четвертой четверти. График показательной функции простирается над всей осью абсцисс.

Из сказанного следует, что показательная функция сохраняет один и тот же знак на всей области определения — всегда положительна.

Монотонность показательной функции определяется значением основания а:

если а>1, то функция возрастает,

а если а<1, то функция убывает.

Различно и поведение показательных функций на границах области определения.

Если а>1, то функция на отрицательной бесконечности стремится к нулю, а на положительной бесконечности стремится к бесконечности.

Если же а<1, то функция на отрицательной бесконечности стремится к бесконечности, а на положительной бесконечности стремится к нулю.

Логарифмическая функция

Функция вида y = log_a х (где а > 0, а ≠ 1) называется логарифмической.

Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел. Это следует из определения логарифма, так как выражение log_ax имеет смысл только при x > 0.

2) Множество значений логарифмической функции — множество R всех действительных чисел. Это следует из того, что для любого действительного числа b есть такое положительное число x, что log_ax = b, т.е. уравнение log_ax = b имеет корень. Такой корень существует и равен x = a b , так как log_aa b = b.

3) Логарифмическая функция y = log_ax является возрастающей на промежутке x > 0, если a > 0, и убывающей, если 0 < a < 1.

4) Если a > 0, то функция y = log_ax принимает положительные значения при x > 1,отрицательные — при 0 < x < 1. Если 0 < a < 1, то функция y = log_ax принимает положительные значения при 0 < x < 1, отрицательные — при x > 1. Это следует из того, что функция y = log_ax принимает значение , равное нулю, при x = 1 и является возрастающей на промежутке x > 0, если a > 1, и убывающей, если 0 > a > 1.

Ниже представлены графики логарифмических функций при a > 0 (1); 0 > a >1 (2).

Стоит отметить, что график любой логарифмической функции y = log_ax проходит через точку (1 ; 0).

Вида y= , где х – переменная, а- число, а >0 и х не равно 1.

Показательными уравнениями и неравенствами считают такие уравнения и неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ах = аb, где а > 0, а ≠ 1, х – неизвестное. Это уравнение имеет единственный корень х = b.

34. Логарифм числа N по основанию a — это такой показатель степени x, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число N.

a x = N

log_a(N)= x

Для логарифма числа справедливо следующее тождество

Число a (основание логарифма), и N (число) можно брать и целыми и дробными, но обязательно положительными, если логарифм должен быть действительным, иначе он будет комплексным числом.

Само значение логарифма числа может быть и отрицательным. Отрицательные логарифмы также важны как и положительные.

Если основание логарифма a больше 1 то большее число N имеет больший логарифм