Радиус вписанной окружности в трапецию, формула
Радиус вписанной окружности в трапецию равен половине высоты трапеции.
Радиус вписанной окружности в трапецию
Главное чтобы выполнялось условие при котором в данную трапецию возможно вписать окружность. В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны. т.е.:
Иначе в данную трапецию нельзя вписать окружность.
бедро трапеции выражается через высоту по теореме Пифагора:
Отсюда — зная все стороны трапеции вычислим такую высоту трапеции, которая удовлетворяет условию вписанной окружности (3).
после небольших преобразований получим
используем формулы Квадрат суммы и Квадрат разности и после раскрытия скобок и упрощения получим
И соответственно радиус вписанной окружности в трапецию
Все формулы для радиуса вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
a — сторона треугольника
r — радиус вписанной окружности
Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):
Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол
a — равные стороны равнобедренного треугольника
b — сторона ( основание)
α — угол при основании
О — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :
2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота
a — равные стороны равнобедренного треугольника
b — сторона ( основание)
h — высота
О — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :
Окружность, вписанная в трапецию
Окружность можно вписать в любой треугольник. Однако это утверждение нельзя применить к любому из четырехугольников.
Прежде чем приступить к рассмотрению темы о вписанной в трапецию окружности, дадим определение вписанной окружности.
Вписанной в многоугольник окружностью называют окружность, которая касается каждой из сторон многоугольника в одной точке. Многоугольник в этом случае называют описанным около окружности.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Теорема о вписанной окружности: в произвольный выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
Доказательство: пусть имеется произвольный четырехугольник MNKL и вписанная в него окружность. Обозначим точки касания окружности со сторонами четырехугольника как O, P, R, S.
Если касательные проведены из одной точки, то отрезки, построенные от этой точки до точки касания с окружностью, равны. Тогда KS=KR, LS=LO, MO=MP, NR=NP. Вычислим суммы противоположных сторон: MN+KL=(MP+NP)+(KS+LS) и NK+ML=(NR+KR)+(MO+LO).
Из равенства отрезков получим, что MN+KL= NK+ML.
Четырехугольник считают выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно линии, проходящей через любую из его сторон.
Трапеция является выпуклым четырехугольником. При этом две параллельные стороны трапеции называют основаниями, а две остальные — боковыми сторонами.
Тогда необходимым условием наличия вписанной окружности в трапецию будет равенство суммы ее оснований и боковых сторон.
Для обратного случая — окружность описана вокруг трапеции, трапеция должна быть равнобедренной, то есть ее боковые стороны должны быть равными.
Рассмотрим свойства вписанной в трапецию окружности.
Из свойства биссектрис при боковых сторонах трапеции следует, что радиусы вписанной окружности, проведенные к вершинам боковой стороны и лежащие на биссектрисах, образуют прямой угол.
Биссектрисы трапеции пересекаются под углом 90°.
Радиус вписанной окружности, проведенный к точкам касания, перпендикулярен сторонам трапеции (по свойству перпендикулярности радиуса и касательной).
Из предыдущего свойства вытекает следующее: радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции, а диаметр — полной длине высоты.
Высота трапеции — прямая, опущенная от одного основания к другому под прямым углом.
Где находится центр такой окружности
Для построения и решения задача необходимо определить, где расположен центр вписанной окружности.
Центр окружности, вписанной в трапецию, лежит в точке пересечения биссектрис.
Биссектрисы трапеции пересекаются под прямым углом, отсюда можно сделать следующий вывод: треугольники MON и KOL — прямоугольные.
Формулы для расчета
Основными характеристиками любой окружности являются радиус и диаметр.
Точка касания окружности радиусом R и боковой стороны делит последнюю на два отрезка v и q. Тогда формула для вычисления радиуса будет иметь вид:
Если трапеция равнобедренная и сумма длин оснований равна двум длинам боковой стороны, радиус вписанной окружности:
Диаметр равен длине двух радиусов, значит:
Формула радиуса через высоту трапеции:
Диаметр через высоту:
Если значение высоты неизвестно, ее можно найти через длины диагоналей \(d_1\) и \(d_2\) и оснований a и b трапеции:
где γ — угол между диагоналями трапеции.
Площадь вписанной окружности через параметры трапеции (высоту, отрезки боковой стороны):
\(S=\pi R^2=\frac14\pi h^2\)
\(S=\pi R^2=\pi\cdot v\cdot q\)
В случае равнобедренной трапеции:
Периметр вписанной окружности через параметры трапеции:
Если трапеция равнобедренная:
Приведем формулы для вычисления произвольной и равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности R.
Найти радиус вписанной окружности прямоугольную трапецию
Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
a — сторона треугольника
r — радиус вписанной окружности
Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):
Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол
a — равные стороны равнобедренного треугольника
b — сторона ( основание)
α — угол при основании
О — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :
2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота
a — равные стороны равнобедренного треугольника
b — сторона ( основание)
h — высота
О — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :
Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями а и b.
Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,277
- гуманитарные 33,618
- юридические 17,900
- школьный раздел 606,909
- разное 16,829
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Найти радиус вписанной окружности прямоугольную трапецию
Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая боковая сторона равна 42. Найдите радиус окружности.
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда
Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 32, её большая боковая сторона равна 9. Найдите радиус окружности.
Пусть радиус вписанной окружности равен r, тогда длина меньшей боковой стороны равна 2r. Суммы длин противоположных сторон описанного вокруг окружности четырехугольника равны, поэтому сумма оснований трапеции равна сумме длин ее боковых сторон или 2r + 9. Тогда для периметра трапеции имеем 2(2r + 9) = 32, откуда r = 3,5.