Геометрические фигуры. Прямоугольник. Формулы.
Диагональ прямоугольника — это всякий отрезок, который соединяет 2-е вершины противолежащих углов прямоугольника.
Диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину.
Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.
Длина диагонали прямоугольника можно вычислить по теореме Пифагора. И она равняется квадратному корню из суммы квадратов длины и ширины.
Формулы для вычисления длины диагонали прямоугольника:
1. Формула диагонали прямоугольника через 2 стороны прямоугольника (по теореме Пифагора):
2. Формула диагонали прямоугольника через площадь и сторону:
3. Формула диагонали прямоугольника через периметр и сторону:
4. Формула диагонали прямоугольника через радиус окружности (описанной):
5. Формула диагонали прямоугольника через диаметр окружности (описанной):
6. Формула диагонали прямоугольника через синус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны противолежащей этому углу:
7. Формула диагонали прямоугольника через косинус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны, которая прилегает к этому углу:
8. Формула диагонали прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника:
Признаки прямоугольника.
Параллелограмм — это прямоугольник, если выполняются условия:
— Если диагонали его имеют одинаковую длину.
— Если квадрат диагонали параллелограмма равняется сумме квадратов смежных сторон.
— Если углы параллелограмма имеют одинаковую величину.
Стороны прямоугольника.
Длинная сторона прямоугольника является длиной прямоугольника, а короткая — ширина прямоугольника.
Формулы для определения длин сторон прямоугольника:
1. Формула стороны прямоугольника (длина и ширина прямоугольника) через диагональ и еще одну сторону:
2. Формула стороны прямоугольника (длина и ширина прямоугольника) через площадь и еще одну сторону:
3. Формула стороны прямоугольника (длина и ширина прямоугольника) через периметр и еще одну сторону:
4. Формула стороны прямоугольника (длина и ширина прямоугольника) через диаметр и угол α:
5. Формула стороны прямоугольника (длина и ширина прямоугольника) через диаметр и угол β:
Окружность, описанная вокруг прямоугольника.
Окружность, описанная вокруг прямоугольника — это круг, который проходит сквозь 4-ре вершины прямоугольника, с центром на пересечении диагоналей прямоугольника.
Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника:
1. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через 2-е стороны:
2. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через периметр квадрата и сторону:
3. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через площадь квадрата:
4. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через диагональ квадрата:
5. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через диаметр окружности (описанной):
6. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через синус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны противолежащей этому углу:
7. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через косинус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны у этого угла:
8. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника:
Угол между стороной и диагональю прямоугольника.
Формулы для определения угла между стороной и диагональю прямоугольника:
1. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через диагональ и сторону:
2. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через угол между диагоналями:
Угол между диагоналями прямоугольника.
Формулы для определения угла меж диагоналей прямоугольника:
1. Формула определения угла меж диагоналей прямоугольника через угол между стороной и диагональю:
2. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональ:
Прямоугольник. Онлайн калькулятор
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).
 |
Можно дать и другое определение прямоугольника.
Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.
Свойства прямоугольника
Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.
- 1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
- 2. Все углы прямоугольника прямые.
- 3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
- 4. Диагонали прямоугольника равны.
- 5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.
Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.
Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.
Диагональ прямоугольника
Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.
 |
На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.
Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:
 |
 . |
(1) |
Из равенства (1) найдем d:
 . |
(2) |
Пример 1. Стороны прямоугольника равны 
. Найти диагональ прямоугольника.
Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя в (2), получим:
 |
Ответ: 
Окружность, описанная около прямоугольника
Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):
 |
Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника
Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.
Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть
| \( \small R=\frac<\large d> <\large 2>\) | (3) |
Подставляя (3) в (2), получим:
| \( \small R=\frac<\large \sqrt |
(4) |
Пример 2. Стороны прямоугольника равны 
. Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя в (4), получим:
 |
 |
Ответ: 
Периметр прямоугольника
Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.
Периметр прямоугольника вычисляется формулой:
 |
(5) |
где \( \small a \) и \( \small b \) − стороны прямоугольника.
Пример 3. Стороны прямоугольника равны . Найти периметр прямоугольника.
Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя в (5), получим:
 |
Ответ: 
Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр
Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ \( \small d \) и периметр \( \small P \) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие \( \small \frac P2>d \) (это следует из неравенства треугольника).
Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:
 |
(6) |
 |
(7) |
Из формулы (7) найдем \( \small b \) и подставим в (6):
 |
(8) |
 |
(9) |
Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной \( \small a \):
 |
(10) |
Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):
  |
(11) |
Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:
 |
(12) |
После вычисления \( \small a \), сторона \( \small b \) вычисляется или из формулы (12), или из (8).
Примечание. Легко можно доказать, что
| \( \frac< P><2>>d \; ⇒ \; P>2\cdot d \; ⇒ \) \( \small P^2>4 \cdot d^2 \; ⇒ \; 4d^2-P^2 < 0 \) |
| \( \sqrt |
Имеем \( \small \sqrt
Пример 4. Диагональ прямоугольника равна 
, а периметр равен 
. Найти стороны прямоугольника.
Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант \( \small D \) из формулы (11). Для этого подставим , в (11):
 |
Подставляя значения и 
в первую формулу (12), получим:
 |
Найдем другую сторону \( \small b \) из формулы (8). Подставляя значения и 
в формулу, получим:
 |
Ответ: 
, 
Признаки прямоугольника
Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Как найти радиус описанной окружности вокруг прямоугольника
Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):
Калькулятор — вычислить, найти радиус описанной окружности прямоугольника через стороны
Радиус описанной окружности прямоугольника
Как известно, прямоугольником является четырехугольник с прямыми углами. Противоположные углы прямоугольника в сумме составляют 180°, соответственно, вокруг него можно описать одну окружность, при этом, вершины прямоугольника должны быть расположены на этой окружности. Центр прямоугольника и описанной вокруг него окружности размещен в месте пересечения диагоналей. Диагонали прямоугольника равны. Если известны стороны прямоугольника, можно рассчитать величину диагоналей по теореме Пифагора. Диагональ прямоугольника является в то же время и диаметром описанной окружности. R описанной окружности представляет половину диагонали прямоугольника и рассчитывается путем извлечения квадратного корня из суммы квадратов его сторон деленный на 2 или как половина его диагонали:
d — диагональ;
a, b — величины сторон прямоугольника.
Если известны стороны прямоугольника или диагонали, можно быстро найти R описанной окружности с помощью калькулятора.
Прямоугольник. Онлайн калькулятор
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).
|
Можно дать и другое определение прямоугольника.
Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.
Свойства прямоугольника
Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.
- 1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
- 2. Все углы прямоугольника прямые.
- 3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
- 4. Диагонали прямоугольника равны.
- 5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.
Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.
Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.
Диагональ прямоугольника
Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.
|
На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.
Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:
|
| . |
(1) |
Из равенства (1) найдем d:
| . |
(2) |
Пример 1. Стороны прямоугольника равны . Найти диагональ прямоугольника.
Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя в (2), получим:
|
Ответ:
Окружность, описанная около прямоугольника
Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):
|
Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника
Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.
Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть
| \( \small R=\frac \) | (3) |
Подставляя (3) в (2), получим:
| \( \small R=\frac \) | (4) |
Пример 2. Стороны прямоугольника равны . Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя в (4), получим:
|
|
Ответ:
Периметр прямоугольника
Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.
Периметр прямоугольника вычисляется формулой:
|
(5) |
где \( \small a \) и \( \small b \) − стороны прямоугольника.
Пример 3. Стороны прямоугольника равны . Найти периметр прямоугольника.
Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя в (5), получим:
|
Ответ:
Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр
Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ \( \small d \) и периметр \( \small P \) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие \( \small \frac P2>d \) (это следует из неравенства треугольника).
Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:
|
(6) |
|
(7) |
Из формулы (7) найдем \( \small b \) и подставим в (6):
|
(8) |
|
(9) |
Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной \( \small a \):
|
(10) |
Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):
|
(11) |
Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:
|
(12) |
После вычисления \( \small a \), сторона \( \small b \) вычисляется или из формулы (12), или из (8).
Примечание. Легко можно доказать, что
Пример 4. Диагональ прямоугольника равна , а периметр равен . Найти стороны прямоугольника.
Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант \( \small D \) из формулы (11). Для этого подставим , в (11):
|
Подставляя значения и в первую формулу (12), получим:
|
Найдем другую сторону \( \small b \) из формулы (8). Подставляя значения и в формулу, получим:
|
Ответ: ,
Признаки прямоугольника
Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Теорема описанной окружности — как построить, свойства
Описанная окружность — что из себя представляет
Решение задач по геометрии может быть проще, если при нахождении неизвестных пользоваться дополнительными сведениями и приемами. Одним из таких будет описание окружности вокруг фигуры.
Описанная окружность — окружность, которая описана вокруг многоугольника. Главным свойством описанной окружности будет тот факт, что она должна содержать все вершины многоугольника.
Точки окружности равноудалены от ее центра, а значит, также равноудалены будут и вершины многоугольника, вокруг которого описана окружность.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Вокруг чего можно описать
Окружность можно описать вокруг (или около):
- треугольника;
- трапеции;
- правильного многоугольника;
- правильного шестиугольника;
- прямоугольника;
- квадрата;
- многоугольника, чьи серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.
Теорема, основные свойства, признаки
Правило об описанной окружности
Около любой из вышеперечисленных фигур можно описать окружность, причем только одну.
Доказательством теоремы будет тот факт, что точка пересечения серединных перпендикуляров через медианы у любой фигуры будет только одна. Это точка будет является центром окружности, а значит, никакая другая окружность, которая при этом также захватывает все вершины фигуры, не может быть описана вокруг нее.
Теорема синусов
Теорема синусов позволяет найти двойной радиус или диаметр окружности по расчету формулы:
a, b, c — стороны треугольника,
A, B, C — углы треугольника.
Соответственно, для того, чтобы найти радиус описанной окружности, необходимо знать величины любой стороны и противоположного ей угла.
Свойства описанной окружности:
- центр окружности лежит на пересечении всех серединных перпендикуляров фигуры;
- вершины фигуры, которая описана окружностью, будут равноудалены от центра и будут лежать на кривой окружности;
- в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов будет равна 180 градусам;
- вокруг любого треугольника можно описать окружность.
Главным признаком описанной окружности будет ее расположение вокруг фигуры, причем ни одна из ее вершин не должна выходить за пределы кривой окружности.
Как найти радиус и диаметр описанной окружности, формула
Треугольник
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг треугольника:
a, b и c — стороны треугольника,
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг равностороннего треугольника по стороне:
а — сторона треугольника.
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг равностороннего треугольника по высоте:
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг равнобедренного треугольника по сторонам:
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника по катетам и гипотенузе:
Трапеция
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг трапеции по сторонам и диагонали:
a — боковые стороны трапеции,
b — верхнее основание,
с — нижнее основание,
р — полупериметр прямоугольного треугольника: \(p=\frac<\left(a+b+c\right)>2.\)
Правильный многоугольник
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг правильного многоугольника:
а — сторона многоугольника,
N — количество сторон многоугольника.
Правильного шестиугольник
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг правильного шестиугольника:
а — сторона шестиугольника,
d — диагональ шестиугольника.
Прямоугольник
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг прямоугольника по стороне:
a и b — стороны прямоугольника,
Квадрат
Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг квадрата:
Так как диаметр является суммой двух радиусов, при помощи вышеперечисленных формул можно найти диаметр просто умножив полученный результат на 2.