Что такое o большое

Сложность алгоритмов. Big O. Основы.

Сложность алгоритма — это количественная характеристика, которая говорит о том, сколько времени, либо какой объём памяти потребуется для выполнения алгоритма.

Развитие технологий привело к тому, что память перестала быть критическим ресурсом. Поэтому когда говорят об анализе сложности алгоритма, обычно подразумевают то, насколько быстро он работает.

Но ведь время выполнения алгоритма зависит от того, на каком устройстве его запустить. Один и тот же алгоритм запущенный на разных устройствах выполняется за разное время.

Тогда было предложено измерять сложность алгоритмов в элементарных шагах — то, сколько действий необходимо совершить для его выполнения. Любой алгоритм включает в себя определённое количество шагов и не важно на каком устройстве он будет запущен, количество шагов останется неизменным. Эту идею принято представлять в виде Big O (или О-нотации).

Big O показывает то, как сложность алгоритма растёт с увеличением входных данных. При этом она всегда показывает худший вариант развития событий — верхнюю границу.

Big O показывает верхнюю границу зависимости между входными параметрами функции и количеством операций, которые выполнит процессор.

Распространённые сложности алгоритмов

Здесь рассмотрены именно распространённые виды, так как рассмотреть все варианты врядли возможно. Всё зависит от алгоритма, который вы оцениваете. Всегда может появится какая-то дополнительная переменная (не константа), которую необходимо будет учесть в функции Big O.

Константная — O(1).

Означает, что вычислительная сложность алгоритма не зависит от входных данных. Однако, это не значит, что алгоритм выполняется за одну операцию или требует очень мало времени. Это означает, что время не зависит от входных данных.

Пример № 1.

У нас есть массив из 5 чисел и нам надо получить первый элемент.

Насколько возрастет количество операций при увеличении размера входных параметров?
Нинасколько. Даже если массив будет состоять из 100, 1000 или 10 000 элементов нам всеравно потребуется одна операция.

Пример № 2.

Сложение двух чисел. Функция всегда выполняет константное количество операций.

Пример № 3.

Размер массива. Опять же, функция всегда выполняет константной количество операций.

Линейная — O(n).

Означает, что сложность алгоритма линейно растёт с увеличением входных данных. Другими словами, удвоение размера входных данных удвоит и необходимое время для выполнения алгоритма.

Такие алгоритмы легко узнать по наличию цикла по каждому элементу массива.

Пример № 1 — Рекурсивная функция.

Пример № 2 — Линейная функция.

Функция pairSumSequence() в цикле складывает какие-либо пары чисел, вызывая функцию pairSum() . Цикл выполняется от 0 до n. Т.е. чем больше n, тем больше раз выполнится цикл. Поэтому сложность функции pairSumSequence() — O(n).

Пример № 3.

В функции два последовательных цикла for , каждый из которых проходит массив длиной n, следовательно сложность будет: O(n + n) = O(n)

Логарифмическая — O(log n).

Означает, что сложность алгоритма растёт логарифмически с увеличением входных данных. Другими словами это такой алгоритм, где на каждой итерации берётся половина элементов.

К алгоритмам с такой сложностью относятся алгоритмы типа “Разделяй и Властвуй” (Divide and Conquer), например бинарный поиск.

Линеарифметическая или линеаризованная — O(n * log n).

Означает, что удвоение размера входных данных увеличит время выполнения чуть более, чем вдвое.

Примеры алгоритмов с такой сложностью: Сортировка слиянием или множеством n элементов.

Квадратичная — O(n 2 ), O(n^2).

Означает, что удвоение размера входных данных увеличивает время выполнения в 4 раза. Например, при увеличении данных в 10 раз, количество операций (и время выполнения) увеличится примерно в 100 раз. Если алгоритм имеет квадратичную сложность, то это повод пересмотреть необходимость использования данного алгоритма. Но иногда этого не избежать.

Такие алгоритмы легко узнать по вложенным циклам.

Пример № 1.

В функции есть цикл в цикле, каждый из них проходит массив длиной n, следовательно сложность будет: O(n * n) = O(n 2 )

Зачем изучать Big O

• Концепцию Big O необходимо понимать, чтобы уметь видеть и исправлять неоптимальный код.
• Ни один серьёзный проект, как ни одно серьёзное собеседование, не могут обойтись без вопросов о Big O.
• Непонимание Big O ведёт к серьёзной потере производительности ваших алгоритмов.

Шпаргалка

Небольшие подсказки, которые помогут определить сложность алгоритма.

• Получение элемента коллекции это O(1). Будь то получение по индексу в массиве, или по ключу в словаре в нотации Big O это будет O(1).
• Перебор коллекции это O(n).
• Вложенные циклы по той же коллекции это O(n 2 ).
• Разделяй и властвуй (Divide and Conquer) всегда O(log n).
• Итерации которые используют “Разделяй и властвуй” (Divide and Conquer) это O(n log n).

Полезные ссылки

Оценка сложности алгоритма. Сложность алгоритмов. Big O, Большое О — 25-минутное видео, в котором очень доступно (и с примерами) объясняются основы анализа сложности алгоритмов.
Big O — статья на хабре о Big O.
Знай сложности алгоритмов — статья рассказывает о времени выполнения и о расходе памяти большинства алгоритмов.

Что такое «O» большое в программировании?

Замечали ли вы, что одни программы выполняются дольше, чем другие? Причиной задержки может быть, например, используемый компьютер. Но предположим, что у вас хороший компьютер с мощным процессором. Тогда в чем причина?

Дело в том, что время выполнения написанной программы зависит от переданных входных данных.

Но как выяснить, эффективна ли программа? Есть ли способ это определить? Как проверить, при передаче каких входных данных программа работает лучше всего?

Прежде чем перейти к ответам, разберемся с тем, как вообще работает эффективная программа. И в этом поможет одна забавная история.

Однажды в компании, которой надоел медленный интернет, было решено провести ряд тестирований. Передачу данных из одного места в другое, находящееся на расстоянии 50 км, проводили одновременно двумя методами.

Один метод заключался в использовании почтового голубя, к лапке которого привязали USB-флешку.

Вторым методом было использование интернета в тех же целях, что и голубя.

Самое интересное заключалось в том, что голубь обогнал интернет. Но как?

Если голубю потребовалось время, чтобы добраться до места, независимо от размера данных, то время достижения интернет-сигнала меняется в зависимости от размера данных.

Перейдем к вычислительным сложностям

Вот две сложности, связанные с программированием.

• Временная: время, необходимое для обработки входных данных.
• Пространственная: количество места, требуемое для обработки входных данных.

Что такое нотация “О” большое?

Этот термин используется в программировании для описания вычислительной сложности алгоритма. В частности, он позволяет оценить, сколько времени требуется для запуска программы.

Проще говоря, термином “О” большое определяется, как время выполнения растет по мере увеличения входных данных.

• Увеличение времени выполнения. Поскольку время, необходимое для выполнения программы, зависит от процессора компьютера, используется “О” большое, чтобы показать, как меняется время выполнения.
• Ввод данных. Поскольку проверяется не только время, которое требуется для выполнения программы, но и ввод, в нотации “О” большое есть “n”, которое определяет количество элементов обрабатываемых входных данных. Поскольку время выполнения растет с увеличением размера входных данных, эту величину можно представить в виде O(n).
• По мере увеличения входных данных. По мере увеличения входных данных программам иногда требуется больше времени для выполнения, что приводит к проблемам с производительностью. Поэтому разрабатываемую программу нужно проверять по мере увеличения входных данных.

Визуализированные примеры

O(1) не увеличивается с изменением размера входных данных. Таким образом, время обработки O(1) — величина постоянная независимо от того, какие входные данные были переданы.

Пример:

В данном случае, независимо от того, какие входные данные были переданы, сложность останется равной O(1).

Линейная временная сложность означает, что время пропорционально входным данным. Время будет меняться в зависимости от входных данных.

Пример:

Показывает производительность пропорционально размеру входных данных. O(n²) представляет наихудшую производительность.

Пример:

Логарифмическая | O(log n)

Логарифмическая сложность представляет время, необходимое для выполнения алгоритма, пропорциональное логарифму количества элементов (n) входных данных.

Пример:

Для данной программы с любыми итерациями значение i = i*2. Поэтому на n-й итерации значение i= i*n и i всегда меньше размера самого цикла (N).

Следовательно, можно получить:

Таким образом, наихудшая временная сложность такого алгоритма будет равна O(log(n)).

Отбросим константы

Существует вероятность того, что O(N) код быстрее, чем O(1) код для определенных входных данных. “О” большое просто описывает скорость увеличения. По этой причине мы отбрасываем константу, что означает, что O(3N) на самом деле O(N):

• O(3N) → O(N)

Можно отбросить не только константы, но и неглавные члены:

• O(N3+N) → O(N3)
• O(N+logN) → O(N)
• O(2∗2N + 1000N100) → O(2N)

Как вычислить сложность?

Очевидно, что сложность различается в зависимости от структуры кода, используемого в алгоритме. Рассмотрим несколько примеров кода и их сложность.

Обозначение O-большое: введение для начинающих разработчиков

Обозначение O-большое – один из самых базовых инструментов информатики для анализа временной и пространственной сложности алгоритма.

Выбор алгоритма и структуры данных начинает иметь значение, когда вам нужно написать программное обеспечение со строгими SLA (соглашениями об уровне обслуживания) или для миллионов пользователей.

Обозначение O-большое позволяет сравнивать эффективность различных алгоритмов, поэтому, используя его, когда дело доходит до написания программного обеспечения, вы можете создать хорошо спроектированное и продуманное приложение, которое будет масштабироваться и работать лучше, чем у конкурентов.

Что будет рассмотрено в данной статье:

Что такое обозначение O-большое?

Обозначение O-большое – это математическая функция, используемая в информатике для описания сложности алгоритма, или, более конкретно, времени выполнения, требуемого алгоритмом. В разработке программного обеспечения оно используется для сравнения эффективности различных подходов к решению задачи.

Используя обозначение O-большое, вы выражаете, насколько быстро растет время выполнения при росте количества входных данных. По сути, это способ понять, насколько масштабируемым является алгоритм.

Это обозначение не сообщает вам, насколько быстро или медленно будет работать алгоритм, но оно сообщает, как изменяется сложность алгоритма в зависимости от размера входных данных.

Что такое временная и пространственная сложность?

Говоря об обозначении O-большое, важно понимать концепции временной и пространственной сложностей, главным образом потому, что обозначение O-большое – это способ классификации сложностей.

Сложность – это приблизительная мера эффективности алгоритма, связанная с каждым написанным вами алгоритмом. Это то, о чем должны знать все программисты.

Есть два вида сложности: временная и пространственная. Временная сложность и пространственная сложность – это, по сути, аппроксимации того, сколько времени и сколько места потребуется алгоритму для обработки определенных входных данных.

Как правило, необходимо определить три уровня (лучший случай, средний случай и худший случай), которые известны как асимптотические обозначения. Эти обозначения позволяют нам ответить на такие вопросы, как:

• Не становится ли алгоритм внезапно невероятно медленным при увеличении размера входных данных?
• Сохраняет ли он быстрое время выполнения при увеличении размера входных данных?

Лучший случай – обозначается как Омега-большое или Ω(n).

Омега-большое (обычно обозначаемая как Ω) представляет собой асимптотическое обозначение для наилучшего случая или минимальную скорость роста для данной функции. Это обозначение дает нам асимптотическую нижнюю границу скорости роста времени выполнения алгоритма.

Средний случай – обозначается как Тета-большое или Θ(n)

Тета (обычно обозначаемая как Θ) является асимптотической записью для обозначения асимптотически жесткой границы скорости роста времени выполнения алгоритма.

Худший случай – обозначается как O-большое или O(n)

O-большое (обычно обозначаемое как O) представляет собой асимптотическое обозначение для наихудшего случая или потолка роста для данной функции. Оно дает нам асимптотическую верхнюю границу скорости роста времени выполнения алгоритма.

Разработчики обычно выбирают наихудший сценарий, O-большое потому, что вы не ожидаете, что ваш алгоритм будет запускаться в лучших или даже средних условиях. Это позволяет вам делать аналитические заявления, такие как «ну, в худшем случае мой алгоритм масштабируется так быстро».

Распространенные разновидности обозначения O-большое

Эти разновидности обозначения O-большое не единственные, но с ними вы, скорее всего, будете сталкиваться часто.

O(1) – постоянная временная сложность

O(1) означает постоянное время выполнения, что означает, что независимо от размера входных данных алгоритм будет иметь одинаковое время выполнения.

Рисунок 1 – O(1), постоянная временная сложность

Пример:

Массив: вставка или получение элемента

O(log n) – логарифмическая временная сложность

O(log n) означает, что время увеличивается линейно, когда n растет экспоненциально. Таким образом, если для вычисления 10 элементов требуется 1 секунда, то для вычисления 100 элементов потребуется 2 секунды, и так далее. Сложность равна O(log n), когда мы используем алгоритмы «разделяй и властвуй», например, бинарный поиск.

Рисунок 2 – O(log n), логарифмическая временная сложность

Пример:

Двоичное дерево: вставка или получение элемента

O(n) – линейная временная сложность

O(n) описывает алгоритм, производительность которого будет расти линейно и прямо пропорционально размеру входного набора данных.

Рисунок 3 – O(n), линейная временная сложность

Пример:

Дерево: поиск в глубину (DFS) дерева

O(n²) – квадратичная временная сложность

По мере увеличения количества элементов в вашем списке время, необходимое для работы вашего алгоритма, будет увеличиваться экспоненциально.

Рисунок 4 – O(n²), квадратичная временная сложность

Пример:

Алгоритм сортировки: пузырьковая сортировка и сортировка вставками.

Асимптотический анализ: как определить сложность алгоритма

Как найти O-большое алгоритма

Если на собеседовании вас просят определить сложность O-большое алгоритма, вот общее правило:

• отбросьте ведущие константы;
• игнорируйте члены более низкого порядка.

Пример: найдите сложность O-большое алгоритма с временной сложностью 3n 3 + 4n + 2.

Это упрощается до O(n 3 ).

Как найти временную сложность алгоритма

При расчете временной сложности алгоритма вам необходимо выполнить три шага:

1. перечислите все основные операции в коде;
2. подсчитайте, сколько раз каждая из них была выполнена;
3. суммируйте все подсчеты, чтобы получить формулу.

Простой пример, который измеряет временную сложность цикла for размером n :

Сначала разделите код на отдельные операции, а затем вычислите, сколько раз они выполняются, что будет выглядеть так:

После подсчета количества операций и того, сколько раз каждая операция выполняется, вы просто складываете все эти подсчеты, чтобы получить временную сложность всей программы.

Временная сложность = 1+1+1+(n+1)+n+n+1=3+(n+1)+2n+1=>3n+5

Общие советы по асимптотическому анализу:

• каждый раз, когда список или массив повторяется x раз, сложность, скорее всего, равна O(n);
• когда вы видите задачу, в которой обрабатываемое количество элементов каждый раз уменьшается вдвое, скорее всего, временная сложность будет равна O(log n);
• всякий раз, когда у вас есть единожды вложенный цикл, алгоритм, скорее всего, имеет квадратичную временную сложность.

Полезные формулы для расчета временной сложности алгоритма:

Примеры кода для обозначений O-большое

Данная функция выполняется за время O(1) (или «постоянное время») относительно своих входных данных. Это означает, что входной массив может состоять из 1 или 1000 элементов, но для данной функции всё равно потребуется всего один «шаг».

Данная функция выполняется за время O(n) (или «линейное время»), где n – количество элементов в векторе. Если в векторе 10 элементов, необходимо 10 операций печати. Если в нем 1000 элементов, нам придется выполнить 1000 операций печати.

Здесь у нас два вложенных цикла. Если наш вектор содержит n элементов, наш внешний цикл выполняется n раз, а наш внутренний цикл запускается n раз для каждой итерации внешнего цикла, давая нам общее количество операций печати n 2 . Таким образом, данная функция выполняется за время O(n 2 ) (или «квадратичное время»). Если в векторе 10 элементов, нам нужно выполнить 100 операций печати. Если в нем 1000 элементов, нам придется выполнить 1000000 операций печати.

Как работает Big O нотация в JavaScript

В этом мануале мы поговорим о том, что такое Big O нотация и как она работает.

В некоторых примерах далее мы будем ссылаться на следующие два массива, один из них состоит из 5 элементов, а другой – из 50.

Также мы будем использовать удобный Performance API для измерения разницы во времени выполнения.

Что такое Big O нотация?

Big O нотация — это просто способ представить общий рост вычислительной сложности задачи по мере увеличения набора данных. Существуют и другие обозначения, однако Big O нотация используется чаще всего, поскольку она фокусируется на сценарии наихудшего случая, который легче оценить и обдумать. Сценарий наихудшего случая – это сценарий, при котором для выполнения задачи требуется наибольшее количество операций.

Когда вы узнаете об алгоритмах больше, вы увидите, что эти выражения часто используются.

По мере того, как вы будете узнавать больше о Big O нотации, вы, вероятно, увидите много разных вариантов этого графика (среди них будут и лучшие). Мы хотим, чтобы сложность кода была как можно более низкой и прямой, в идеале избегая всего, что превышает O(n).

Алгоритм О(1)

Это идеал, независимо от того, сколько в массиве элементов, будь их один или миллион, количество времени на выполнение останется прежним. Большинство операций, выполняющих одну операцию, работают по алгоритму O(1). Отправка в массив, получение элемента по определенному индексу, добавление дочернего элемента и т. д. займет одинаковое количество времени независимо от длины массива.

Алгоритм O(n)

По умолчанию все циклы относятся к операциям линейного роста, поскольку между размером данных и временем выполнения существует взаимосвязь один к одному. Таким образом, массив с в 1000 раз большим количеством элементов займет ровно в 1000 раз больше времени.

Алгоритм O(n^2)

Экспоненциальный рост — это ловушка, в которую мы все попадаем хотя бы раз. Нужно найти подходящую пару для каждого элемента в массиве? Вложение цикла внутрь другого цикла — отличный способ превратить массив из 1000 элементов в миллион операций поиска, которые заморозят ваш браузер. Всегда лучше выполнять 2000 операций в двух отдельных циклах, чем миллион в двух вложенных циклах.

Алгоритм O(log n)

Это алгоритм логарифмического роста. Пожалуй, лучшая аналогия, которую можно придумать для объяснения этого алгоритма — это представить себе поиск слова «нотация» в словаре. Вы не станете пересматривать все записи одну за другой, вместо этого вы найдете раздел «N», затем, возможно, страницу «OPQ», затем выполните поиск по списку в алфавитном порядке, пока не найдете искомое слово.

При таком подходе количество времени, необходимое для поиска слова, по-прежнему будет зависеть от размера словаря, но не со скоростью O(n). Поскольку этот алгоритм выполняет поиск в конкретных разделах, не просматривая большую часть данных, поиск по тысяче элементов может занять менее 10 операций, а по миллиону — менее 20, что даст вам максимальную отдачу.

В этом примере мы попробуем выполнить простую быструю сортировку.

Алгоритм O(n!)

Наконец, одна из худших возможностей — факторный рост. Классическим примером этого алгоритма является задача о коммивояжере. Допустим, у нас есть несколько городов в разной удаленности. Как найти кратчайший маршрут, соединяющий их все и возвращающийся в исходную точку? Самый топорный метод: посчитать все возможные маршруты между городами, – это станет факториалом и быстро выйдет из-под контроля.

Поскольку эта задача очень быстро усложняется, мы продемонстрируем эту сложность на короткой рекурсивной функции. Эта функция умножает число на собственную функцию, принимающую себя минус единицу. Каждая цифра в нашем факториале будет выполнять свою собственную функцию, пока не достигнет 0, при этом каждый рекурсивный слой будет добавлять свой результат к нашему исходному числу. Таким образом, 3 умножается на 2, что запускает функцию, умножаемую на 1, которая запускает ее снова, чтобы остановиться на 0, возвращая 6. Рекурсия довольно легко превращается в путаницу.

Примечание: Факториал — это просто произведение всех чисел, идущих до этого числа включительно. То есть, 6! – это 1x2x3x4x5x6 = 720.

Мы хотели показать пример с factorial(15), однако после 12 все становилось слишком сложно, что приводило к сбою страницы – и это лучшее доказательство, что этого следует избегать.

Заключение

Поддержка кода в его максимально возможной производительности может показаться очевидным решением вопроса; однако, скорее всего, почти каждый разработчик хотя бы раз создавал двойные или даже тройные вложенные циклы, просто потому что «это работает». Big O нотация позволяет нам думать о сложности и выражать ее так, как мы никогда раньше не могли.