Как найти потенциал в точке между двумя зарядами

Определить потенциал электрического поля в точке (21 июня 2009)

Заряды q₁ и q₂ расположены, как показано на рисунке. Считая q₁ = 10 −9 Кл, а q₂ = −3 × 10 −9 Кл, определить потенциал электрического поля в точке А.

Задачу дал преподаватель кафедры ИИТ, Политехнический университет (СПб).

Комментарии

Для каждого заряда запишите потенциал с учетом своих расстояний. Сложите потенциалы и вычислите. Решение опубликуйте.

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

где заряды нам даны по условию задачи, r₁ = 0,2 м, а r − r₁ = 0,8 м − 0,2 м = 0,6 м.

Найти потенциал электрического поля в точке, лежащей посредине между двумя

Найти потенциал электрического поля в точке, лежащей посредине между двумя зарядами по 50 нКл, расположенными на расстоянии 1 м в вакууме.

Задача №6.3.9 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Решение задачи:

Так как заряды одинаковы, и они находятся на одинаковом расстоянии \(r\) от точки A, в которой нужно определить потенциал, значит потенциалы электрических полей в точке A, создаваемых каждым зарядом, также одинаковы. Это видно из формулы:

Здесь \(k\) – коэффициент пропорциональности, равный 9·10 9 Н·м 2 /Кл 2 .

Учитывая, что точка A находится посредине между двумя зарядами (\(r=\frac<2>\)), то:

Искомый потенциал \(\varphi\) равен сумме потенциалов электрических полей в точке A, создаваемых каждым зарядом, поскольку потенциал – величина скалярная. Учитывая вышесказанное, имеем:

В итоге решение задачи в общем виде выглядит так:

Ответ: 1,8 кВ.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Потенциалы

или потенциал электрического поля есть величина, равная отношению работы сил поля по перемещению точечного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность к этому заряду:

=A/Q.

Потенциал электрического поля в бесконечности условно принят равным нулю.

Отметим, что при перемещении заряда в электрическом поле работа A_в.с внешних сил равна по модулю работе A_с.п сил поля и противоположна ей по знаку:

A_в.с= – A_с.п.

 Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом Q на расстоянии r от заряда,

.

 Потенциал электрического поля, создаваемого металлической, несущей заряд Q сферой радиусом R, на расстоянии гот центра сферы:

внутри сферы (r<R) ;

на поверхности сферы (r=R)

;

вне сферы (r>R) .

Во всех приведенных для потенциала заряженной сферы формулах  есть диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.

 Потенциал электрического поля, созданного системой п точечных зарядов, в данной точке в соответствии с принципом суперпозиции электрических полей равен алгебраической сумме потенциалов ₁, ₂, . , _n, создаваемых отдельными точечными зарядами Q₁, Q₂, . Q_n:

 Энергия W взаимодействия системы точечных зарядов Q₁, Q₂, . Q_n определяется работой, которую эта система зарядов может совершить при удалении их относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой

,

где _i — потенциал поля, создаваемого всеми п–1 зарядами (за исключением 1-го) в точке, где расположен заряд Q_i.

 Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением

В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией, эта связь выражается формулой

,

или в скалярной форме

,

а в случае однородного поля, т. е. поля, напряженность которого в каждой точке его одинакова как по модулю, так и по направлению,

где ₁ и ₂ — потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; d — расстояние между этими поверхностями вдоль электрической силовой линии.

 Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда Q из одной точки поля, имеющей потенциал ₁, в другую, имеющую потенциал ₂,

A=Q(₁—₂), или ,

где E_l — проекция вектора напряженности Е на направление перемещения; dl — перемещение.

В случае однородного поля последняя формула принимает вид

A=QElcos,

где l — перемещение;  — угол между направлениями вектора Е и перемещения l.

Примеры решения задач

Пример 1. Положительные заряды Q₁=3 мкКл и Q₂=20 нКл находятся в вакууме на расстоянии r₁=l,5 м друг от друга. Определить работу A, которую надо совершить, чтобы сблизить заряды до расстояния r₂=1 м.

Решение. Положим, что первый заряд Q₁ остается неподвижным, а второй Q₂ под действием внешних сил перемещается в поле, созданном зарядом Q₁, приближаясь к нему с расстояния r₁=t,5 м до r₂=1 м.

Работа А’ внешней силы по перемещению заряда Q из одной точки поля с потенциалом ₁ в другую, потенциал которой ₂, равна по модулю и противоположна по знаку работе А сил поля по перемещению заряда между теми же точками:

Работа А сил поля по перемещению заряда A=Q(₁—₂). Тогда работа А’ внешних сил может быть записана в виде

Потенциалы точек начала и конца пути выразятся формулами

; .

Подставляя выражения ₁ и ₂ в формулу (1) и учитывая, что для данного случая переносимый заряд Q=Q₂, получим

. (2)

Если учесть, что 1/(4₀)=910 9 м/Ф, то после подстановки значений величин в формулу (2) и вычисления найдем

Пример 2. Найти работу А поля по перемещению заряда Q=10 нКл из точки 1 в точку 2 (рис. 15.1), находящиеся между двумя разноименно заряженными с поверхностной плотностью =0,4 мкКл/м 2 бесконечными параллельными плоскостями, расстояние l между которыми равно 3 см.

Решение. Возможны два способа решения задачи.

1-й способ. Работу сил поля по перемещению заряда Q из точки 1 поля с потенциалом ₁ в точку 2 поля с потенциалом ₂ найдем по формуле

Для определения потенциалов в точках 1 и 2 проведем через эти точки эквипотенциальные поверхности I и II. Эти поверхности будут плоскостями, так как поле между двумя равномерно заряженными бесконечными параллельными плоскостями однородно. Для такого поля справедливо соотношение

где Е — напряженность поля; l — расстояние между эквипотенциальными поверхностями.

Напряженность поля между параллельными бесконечными разноименно заряженными плоскостями E=/₀. Подставив это выражение Е в формулу (2) и затем выражение ₁—₂ в формулу (1), получим

A=Q(/₀)l.

2-й способ. Так как поле однородно, то сила, действующая на заряд Q, при его перемещении постоянна. Поэтому работу перемещения заряда из точки 1 в точку 2 можно подсчитать по формуле

A=Fr cos, (3)

где F — сила, действующая на заряд; r — модуль перемещения заряда Q из точки 1 в точку 2;  — угол между направлениями перемещения и силы. Но F=QE=Q(/₀). Подставив это выражение F в равенство (3), а также заметив, что rcos=l, получим

Таким образом, оба решения приводят к одному и тому же результату.

Подставив в выражение (4) значение величин Q, , ₀ и l, найдем

Пример 3. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности радиусом R, равномерно распределен заряд с линейной плотностью =10 нКл/м. Определить напряженность Е и потенциал  электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке О, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина l нити составляет 1/3 длины окружности и равна 15 см.

Решение. Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны дуги, а ось у была симметрично расположена относительно концов дуги (рис. 15.2). На нити выделим элемент длины dl. Заряд dQ=dl, находящийся на выделенном участке, можно считать точечным.

Определим напряженность электрического поля в точке О. Для этого найдем сначала напряженность dE поля, создаваемого зарядом dQ:

,

где r —радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, напряженность в которой вычисляется. Выразим вектор dE через проекции dE_x c и dE_y на оси координат:

,

где i и j — единичные векторы направлений (орты).

Напряженность Е найдем интегрированием:

.

Интегрирование ведется вдоль дуги длины l. В силу симметрии интеграл равен нулю. Тогда

, (1)

где . Так как r=R=const и dl=Rd. то

Подставим найденное выражение dE_y в (1) и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси Оу, пределы интегрирования возьмем от 0 до /3, а результат удвоим;

.

Подставив указанные пределы и выразив R через длину дуги (3l=2r), получим

.

Из этой формулы видно, что вектор Е совпадает с положительным направлением оси Оу Подставив значение  и l в последнюю формулу и сделав вычисления, найдем

Определим потенциал электрического поля в точке О. Найдем сначала потенциал d, создаваемый точечным зарядом dQ в точке О:

Заменим r на R и произведем интегрирование:

.Так как l=2R/3, то

Произведя вычисления по этой формуле, получим

Пример 4. Электрическое поле создана длинным цилиндром радиусом R=1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью =20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстояниях a₁=0,5 см и а₂=2 см от поверхности цилиндра, в средней его части.

Решение. Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала Е= —grad. Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде

Е= –(d/dr), или d= —Еdr.

Интегрируя последнее выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на r₁ и r₂ от оси цилиндра;

. (1)

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой . Подставив это выражение Е в равенство (1), получим

(2)

Так как величины r₂ и r₁ входят в формулу в виде отношения, то их можно выразить в любых, но только одинаковых единицах:

r₁=R+a₁=1,5 см; r₂=R+a₂=3 см.

Подставив значения величия , ₀, r₁ и r₂ в формулу (2) и вычислив, найдем

Пример 5. Электрическое поле создано тонким стержнем, несущим равномерно распределенный по длине заряд =0,1 мкКл/м. Определить потенциал  поля в точке, удаленной от концов стержня на расстояние, равное длине стержня.

Решение. Заряд, находящийся на стержне, нельзя считать точечным, поэтому непосредственно применить для вычисления потенциала формулу

, (1)

справедливую только для точечных зарядов, нельзя. Но если разбить стержень на элементарные отрезки dl, то заряд dl, находящийся на каждом из них, можно рассматривать как точечный и тогда формула (1) будет справедлива. Применив эту формулу, получим

, (2)

где r — расстояние точки, в которой определяется потенциал, до элемента стержня.

Из рис. 15.3 следует, что dl=(rd/cos). Подставив это выражение dl в формулу (2), найдем.

Интегрируя полученное выражение в пределах от ₁ да ₂, получим потенциал, создаваемый всем зарядом, распределенным на стержне:.

В силу симметрии расположения точки А относительно концов стержня имеем ₂=₁ и поэтому.

.Так как

(см. табл. 2), то.

Подставляя пределы интегрирования, получим

Сделав вычисления по этой формуле, найдем

Пример 6. Электрон со скоростью v=1,8310 6 м/с влетел в однородное электрическое поле в направлении, противоположном вектору напряженности поля. Какую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы обладать энергией E_i=13,6 эВ*? (Обладая такой энергией, электрон при столкновении с атомом водорода может ионизировать его. Энергия 13,6 эВ называется энергией ионизации водорода.)

Решение. Электрон должен пройти такую разность потенциалов U, чтобы приобретенная при этом энергия W в сумме с кинетической энергией T, которой обладал электрон перед вхождением в поле, составила энергию, равную энергии ионизации E_i, т. е. W+T=E_i. Выразив в этой формуле W=eU и Т =(mv 2 /2), получим eU+(mv 2 /2)=E_i. Отсюда.

* Электрон-вольт (эВ) — энергия, которую приобретает частица, имеющая заряд, равный заряду электрона, прошедшая разность потенциалов 1 В. Эта внесистемная единица энергии в настоящее время допущена к применению в физике.

Произведем вычисления в единицах СИ:

Пример 7. Определить начальную скорость υ₀ сближения про­тонов, нахо­дя­щихся на достаточно большом расстоянии друг от друга, если минимальное расстояние r_min, на которое они могут сблизиться, равно 10 -11 см.

Р е ш е н и е. Между двумя протонами действуют силы оттал­кивания, вслед­ствие чего движение протонов будет замедленным. Поэтому задачу можно ре­шить как в инерциальной системе коор­динат (связанной с центром масс двух протонов), так и в неинер­циальной (связанной с одним из ускоренно движу­щихся протонов). Во втором случае законы Ньютона не имеют места. Примене­ние же принципа Даламбера затруднительно из-за того, что ускорение системы будет переменным. Поэтому удобно рассмотреть задачу в инерциальной сис­теме отсчета.

Поместим начало координат в центр масс двух протонов. По­скольку мы имеем дело с одинаковыми частицами, то центр масс будет находиться в точке, делящей пополам отрезок, соединяющий частицы. Относительно центра масс частицы будут иметь в любой момент времени одинаковые по модулю скоро­сти. Когда частицы находятся на достаточно большом расстоянии друг от друга, скорость υ₁ каждой частицы равна половине υ₀, т. е. υ₁ =υ₀/2.

Для решения задачи применим закон сохранения энергии, со­гласно кото­рому полная механическая энергия Е изолированной системы постоянна, т. е.

где Т — сумма кинетических энергий обоих протонов относительно центра масс; П — потенциальная энергия системы зарядов.

Выразим потенциальную энергию в начальный П₁ и конечный П₂ моменты движения.

В начальный момент, согласно условию задачи, протоны нахо­дились на большом расстоянии, поэтому потенциальной энергией можно пренебречь (П₁=0). Следовательно, для начального момента полная энергия будет равна кинетической энергии T₁ протонов, т. е.

В конечный момент, когда протоны максимально сблизятся, скорость и кинети­ческая энергия равны нулю, а полная энергия будет равна потенциальной энер­гии П₂, т. е.

Прирав­няв правые части равенств (1) и (2), получим

Кинети­ческая энергия равна сумме кинетических энергий про­тонов:

(4)

Потенциальная энергия системы двух зарядов Q₁ и Q₂, находя­щихся в вакууме, определяется по формуле , где r — расстоя­ние между зарядами. Воспользовавшись этой формулой, полу­чим

(5)

С учетом равенств (4) и (5) формула (3) примет вид

откуда

Выполнив вычисления по полученной формуле, найдем υ₀=2,35 Мм/с.

Пример 8. Электрон без на­чальной скорости прошел разность потен­циалов U₀=10 кВ и влетел в пространство между пластинами плоского конденсатора, заряжен­ного до разности потенциалов U_l=100 В, по ли­нии АВ, парал­лельной пластинам (рис. 15.4). Рас­стояние d между пла­стинами равно 2 см. Длина l₁ ­пластин конденсатора в нап­равлении по­лета элек­трона, равна 20 cм. Определить рас­стояние ВС на экране Р, от­стоящем от конденсатора на l₂=1 м.

Р е ш е н и е. Движение электрона внутри конденсато­ра складыва­ется из двух дви­жений: 1) по инерции вдоль линии АВ с постоянной скоро­стью υ₀, приобретенной под действием разности потенциалов U₀, кото­рую электрон прошел до конденсатора; 2) равномерно ускоренного дви­жения в вертикальном направлении к положительно заряженной пла­стине под действием постоянной силы поля конденсатора. По вы­ходе из конденсатора электрон будет двигаться равномерно со скоро­стью υ, которую он имел в точке М в момент вылета из кон­денсатора.

Из рис. 15.4 видно, что искомое расстояние |BC|=h₁+h₂, где с h₁ — рас­стояние, на которое сместится электрон в вертикальном направлении во время движения в конденсаторе; h₂ — расстояние между точкой D на эк­ране, в которую электрон попал бы, двигаясь по выходе из конденса­тора по направлению начальной скорости υ₀, и точкой С, в которую электрон попадет в действительности.

Выразим отдельно h₁ и h₂. Пользуясь формулой длины пути равно­мерно ускоренного движе­ния, найдем

. (1)

где а — ускорение, полученное электроном под действием поля конден­сатора; t- время полета электрона внутри конденсатора.

По второму закону Ньютона a=F/m, где F — сила, с которой поле дей­ствует на электрон; т- его масса. В свою очередь, F =eE=eU₁/d, где е — заряд электрона; U₁ — разность потенциалов между пластинами конден­сатора; d — расстояние между ними. Время полета электрона внутри конденсатора найдем из фор­мулы пути равномерного движения />, откуда

где l₁ — длина конденсатора в направлении полета электрона. Выраже­ние скорости найдем из условия равенства работы, совер­шенной полем при перемещении электрона, и приобретенной им кинетической энер­гии:. Отсюда

(2)

Подставляя в формулу (1) последовательно значения а, F, t и υ₀ 2 из со­ответствующих выражений, получим

Длину отрезка h₂ найдем из подобия треугольников MDC и век­тор­ного:

(3)

где υ₁ — скорость электрона в вертикальном направлении в точке М; l₂— расстояние от конденсатора до экрана.

Скорость υ₁ найдем по формуле υ₁=at, которая с учетом выра­жений для а, F и t примет вид

Подставив выражение υ₁ в формулу (3), получим , или, заменив υ₀ 2 по формуле (3), найдем

Окончательно для искомого расстояния |BC| будем иметь

|BC|=­

­Подставив значения величин U₁, U₀, d, l₁ и l₂ в последнее выражение и произведя вычисления, получим |BC|=5,5cм.

Потенциальная энергия и потенциал поля точечных зарядов

15.1. Точечный заряд Q = 10 нКл, находясь в некоторой точке поля, обладает потенциальной энергией П = 10 мкДж. Найти потенциал φ этой точки поля.

5.2. При перемещении заряда Q=20 нКл между двумя точками поля внеш­ними силами была совершена работа А=4 мкДж. Определить работу A₁ сил поля и разность Δφ потенциалов этих точек поля.

15.3. Электрическое поле создано точечным положительным заря­дом Q₁=6 нКл. Положительный заряд Q₂ переносится из точки А этого поля в точку В (рис. 15.5). Каково изменение потенциаль­ной энергии ΔП, приходящееся на единицу переносимого заряда, если r₁=20 см и r₂=50 см?

15.4. Электриче­ское поле создано точечным зарядом Q_l=50 нКл. Не пользуясь понятием потенциала, вычислить работу А в нешних сил по пе­ремещению точечного заряда Q₂= -2 нКл из точки С в точку В

(рис. 15.6), если r₁=10 см, r₂=20 см. Определить также измене­ние ΔП потенциальной энергии сис­темы зарядов.

15.5. Поле создано точечным зарядом Q=1 нКл. Определить потен­циал φ поля в точке, удаленной от заряда на расстояние r=20 см.

15.6. Определить потенциал φ электрического поля в точке, ,удаленной от зарядов Q₁= -0,2 мкКл и Q₂=0,5 мкКл соответственно на r₁=15 см и r₂=25 см. Определить также минимальное и мак­симальное расстояния между зарядами, при которых возможно решение.

15.7. Заряды Q₁=1 мкКл и Q₂= -1 мкКл находятся на рас­стоянии d=10 см. Определить напряженность Е и потенциал φ поля в точке, уда­ленной на рас­стояние r= 10 см от первого заряда и лежащей на линии, проходящей через первый заряд перпенди­кулярно направлению от Q₁ к Q₂.

15.8. Вычислить потенциальную энергию П системы двух точеч­ных зарядов Q₁=100 нКл и Q₂=10 нКл, находящихся на рас­стоянии d=10 см друг от друга.

15.9. Найти потенциальную энергию П системы трех точечных за­рядов Q₁=10 нКл, Q₂=20 нКл и Q₃= -30 нКл, расположенных в вершинах равностороннего треугольника со стороной длиной a=10 см.

15.10. Какова потенциальная энергия П системы четырех одинако­вых то­чечных зарядов Q=10 нКл, расположенных в верши­нах квадрата со стороной дли­ной а=10 см? .

15.11. Определить потенциальную энергию П системы четырех то­чечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со стороной дли­ной a=10 см. За­ряды одинаковы по модулю Q=10 нКл,но два из них отрицательны. Рассмотреть два возможных случая расположения зарядов.

15.12. Поле создано двумя точечными зарядами +2Q и -Q, находящимися на расстоянии d=12 см друг от друга. Определить геометрическое место точек на плоскости, для которых потенциал равен нулю (написать уравнение линии нулевого потенциала).

5.13. Система состоит из трех зарядов — двух одинаковых по величине Q₁=|Q₂|=1 мкКл и противоположных по знаку и заряда Q=20 нКл, расположенного точке 1 посередине между двумя другими зарядами системы (рис. 15.7). Определить изменение потенциальной энергии ΔП системы при переносе заряда Q из точ­ки 1 в точку 2. Эти точки удалены от отрицательного заряда Q₁ на расстояние а=0,2 м.

Решение задач по определению потенциала, работы электрических сил

1 Найти потенциал шара радиуса R = 0,1 м, если на расстоянии r=10м от его поверхности потенциал электрического поля
Решение:
Поле вне шара совпадает с полем точечного заряда, равною заряду q шара и помещенного в его центре. Поэтому потенциал в точке, находящейся на расстоянии R + r от центра шара, φ_r = kq/(R + r); отсюда q = (R + r) φ_r /k. Потенциал на поверхности шара

2 N одинаковых шарообразных капелек ртути одноименно заряжены до одного и того же потенциала φ . Каков будет потенциал Ф большой капли ртути, получившейся в результате слияния этих капель?

Решение:
Пусть заряд и радиус каждой капельки ртути равны q и r . Тогда ее потенциал φ = kq / r. Заряд большой капли Q = Nq, и если ее радиус равен R , то ее потенциал Ф = kQ/R = kN q /R = N φ r / R. Объемы маленькой и большой капель и связаны между собой соотношением V=Nυ . Следовательно, и потенциал

3 В центре металлической сферы радиуса R = 1 м, несущей положительный заряд Q=10нКл, находится маленький шарик с положительным или отрицательным зарядом |q| = 20 нКл. Найти потенциал φ электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r=10R от центра сферы.
Решение:
В результате электростатической индукции на внешней и внутренней поверхностях сферы появятся равные по модулю, но противоположные по знаку заряды (см. задачу 25 и рис. 332). Вне сферы потенциалы электрических полей, создаваемых этими зарядами, в любой точке равны по модулю и противоположны по знаку. Поэтому потенциал суммарного поля индуцированных зарядов равен нулю. Таким образом, остаются лишь поля, создаваемые вне сферы зарядом BQ на ее поверхности и зарядом шарика q. Потенциал первого поля в точке удаленной от центра сферы на расстояние r , , а потенциал второго поля в той же точке . Полный потенциал . При q =+20нКл φ =27В; при q =-20нКл φ =-9В.

4 До какого потенциала можно зарядить находящийся в воздухе (диэлектрическая проницаемость ε =1) металлический шар радиуса R = 3 см, если напряженность электрического поля, при которой происходит пробой в воздухе, Е=3 МВ/м?

Решение:
Наибольшую напряженность электрическое поле имеет у поверхности шара:

Потенциал шара ; отсюда φ = ER =90 В.

5 Два одинаково заряженных шарика, расположенных друг от друга на расстоянии r = 25 см, взаимодействуют с силой F=1 мкН. До какого потенциала заряжены шарики, если их диаметры D = 1 см?

Решение:
Из закона Кулона определяем заряды шариков: . Заряд q, находящийся на шарике радиуса R = D/ 2, создает на поверхности этого шарика потенциал

В том месте, где находится этот шарик, заряд другого шарика создает потенциал . Таким образом, потенциал каждого шарика

6 В вершинах квадрата расположены точечные заряды (в нКл): q₁ = +1, q₂ = -2, q₃= +3, q₄ = -4 (рис. 71). Найти потенциал и напряженность электрического поля в центре квадрата (в точке А). Диагональ квадрата 2а = 20 см.

Решение:
Потенциал в центре квадрата равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых всеми зарядами в этой точке:

Напряженность поля в центре квадрата является векторной суммой напряженностей, создаваемых каждым зарядом в этой точке:

Модули этих напряженностей

Удобно сначала сложить попарно векторы, направленные по одной диагонали в противоположные стороны (рис. 339): E₁ + E ₃ и E ₂ + E ₄ . При данных зарядах сумма E ₁ + E ₃ по модулю равна сумме Е ₂ + Е ₄ . Поэтому результирующая напряженность Е направлена по биссектрисе угла между диагоналями и составляет с этими диагоналями углы α =45°. Ее модуль E =2545 В/м.

7 Найти потенциалы и напряженности электрического поля в точках а и b, находящихся от точечного заряда q=167нКл на расстояниях r_а = 5 см и r _b = 20 см, а также работу электрических сил при перемещении точечного заряда q _o = 1 нКл из точки а в точку b.

Решение:
Напряженности электрического поля в точках а и b

Потенциалы в этих точках

Работа электрических сил при перемещении заряда q0 из точки а в точку b

8 Точечный положительный заряд q создает в точках а и b (рис. 72) поля с напряженностями Е_a и Е_b. Найти работу электрических сил при перемещении точечного заряда q_o из точки а в точку b.

Решение:
Напряженности электрического поля в точках а и b равны

где —расстояния точек а и b от заряда q. Потенциалы в точках а и b равны


отсюда работа, необходимая для перемещения заряда q _o из точки а в точку b ,

9 В атомной физике энергию быстрых заряженных частиц выражают в электрон-вольтах. Электрон-вольт (эВ) — это такая энергия, которую приобретает электрон, пролетев в электрическом поле путь между точками, разность потенциалов между которыми равна 1 В. Выразить электрон-вольт в джоулях. Какую скорость имеет электрон, обладающий энергией 1 эВ?

Решение:
При прохождении электроном разности потенциалов V = 1 В электрические силы совершают над электроном работу

Эта работа равна кинетической энергии, приобретенной электроном, т.е.

Поскольку

10 Электрон летит от точки а к точке b, разность потенциалов между которыми V= 100 В. Какую скорость приобретает электрон в точке b, если в точке а его скорость была равна нулю?

Решение:
Работа электрических сил равна изменению кинетической энергии электрона:

1 1 Какую работу необходимо совершить при переносе точечного заряда q_o=30 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии r=10 см от поверхности заряженного металлического шара? Потенциал на поверхности шара φ = 200 В, радиус шара R = 2 см.

Решение:
Потенциал на поверхности шара φ = kq/R; отсюда его заряд q = φ R/k. Потенциал на расстоянии R + r от центра шара

При переносе заряда q _o из точки с потенциалом в бесконечность работа электрических сил мкДж. Такую же работу необходимо совершить против электрических сил при переносе заряда q _o из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии r от поверхности шара.

1 2 При переносе точечного заряда q _o =10 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии r=20 см от поверхности заряженного металлического шара, необходимо совершить работу А =0,5 мкДж. Радиус шара R=4 см. Найти потенциал φ на поверхности шара.

Решение:

1 3 Два одинаковых заряда q _o =q=50 мкКл находятся на расстоянии r _a =1 м друг от друга. Какую работу А надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния r _b =0,5 м?

Решение:

1 4 Два заряда q _a =2 мкКл и q _b =5 мкКл расположены на расстоянии r=40 см друг от друга в точках а и b (рис. 73). Вдоль прямой cd, проходящей параллельно прямой ab на расстоянии d=30см от нее, перемещается заряд q _o =100мкКл. Найти работу электрических сил при перемещении заряда q _o из точки с в точку d, если прямые ас и bd перпендикулярны к прямой cd.

Решение:

1 5 Два параллельных тонких кольца радиуса R расположены на расстоянии d друг от друга на одной оси. Найти работу электрических сил при перемещении заряда q _o из центра первого кольца в центр второго, если на первом кольце равномерно распределен заряд q ₁ , а на втором — заряд q ₂ .

Решение:

Найдем потенциал, создаваемый зарядом q , находящимся на кольце, в точке А на оси кольца, расположенной на расстоянии
х от его центра (рис. 340, а) и, следовательно, на расстояниях от точек, лежащих на кольце. Разобьем кольцо на отрезки, малые по сравнению с расстоянием r . Тогда заряд , находящийся на каждом отрезке (i — номер отрезка), можно рассматривать как точечный. Он создает в точке А потенциал . Потенциал, создаваемый в точке А всеми отрезками кольца (отстоящими от этой точки на одно и то же расстояние r ), будет

В скобках стоит сумма зарядов всех отрезков, т. е. заряд всего кольца q; поэтому

Потенциал Ф ₁ поля в центре первого кольца складывается из потенциала, создаваемого зарядом q ₁ , находящимся на первом кольце, для которого х=0, и потенциала, создаваемого зарядом q ₂ , находящимся на втором кольце, для которого x=d (рис. 340, б). Аналогично находится потенциал в центре второго кольца:

Окончательно для работы имеем

1 6 На тонком кольце радиуса R равномерно распределен заряд q. Какова наименьшая скорость υ, которую необходимо сообщить находящемуся в центре кольца шарику массы т с зарядом q _o , чтобы он мог удалиться от кольца в бесконечность?

Решение:
Если заряды q _o и q одного знака, то удалить шарик от кольца в бесконечность можно, сообщив ему бесконечно малую скорость. Если же знаки зарядов разные, то сумма кинетической и потенциальной энергий шарика в центре кольца должна быть равна нулю, так как она равна нулю в бесконечности: , где φ =kq/R — потенциал в центре кольца (см. задачу 17 ); отсюда

1 7 На шарик радиуса R=2 см помещен заряд q=4 пКл. С какой скоростью подлетает к шарику электрон, начавший движение из бесконечно удаленной от него точки?

Решение:

1 8 Между горизонтально расположенными пластинами плоского конденсатора с высоты Н свободно падает незаряженный металлический шарик массы т. На какую высоту h после абсолютно упругого удара о нижнюю пластину поднимется шарик, если в момент удара на него переходит заряд q? Разность потенциалов между пластинами конденсатора равна V, расстояние между пластинами равно d.

Решение:
Внутри конденсатора имеется однородное электрическое поле с напряженностью Е= V/d, направленной вертикально. После удара шарик приобретает заряд того же знака, что и нижняя пластина конденсатора. Поэтому на него будет действовать со стороны электрического поля сила F=qE=qV / d, направленная вверх. Согласно закону сохранения энергии изменение энергии равно работе внешних сил (в данном случае — электрических). Учитывая, что удар абсолютно упругий и что в начальный и конечный моменты шарик имеет лишь потенциальную энергию в поле силы тяжести, получим
откуда

1 9 Два шарика с одинаковыми зарядами q расположены на одной вертикали на расстоянии Н друг от друга. Нижний шарик закреплен неподвижно, а верхний, имеющий массу m , получает начальную скорость v, направленную вниз. На какое минимальное расстояние h приблизится верхний шарик к нижнему?

Решение:
Согласно закону сохранения энергии

где qV—работа электрических сил, V=kq/H—kq/h — разность потенциалов точек начального и конечного положения верхнего шарика. Для определения h получаем квадратное уравнение:

Решая его, найдем

(знак плюс перед корнем соответствовал бы максимальной высоте, достигнутой шариком, если бы он получил ту же начальную скорость, направленную вверх).

20 Найти максимальное расстояние h между шариками в условиях предыдущей задачи, если неподвижный шарик имеет отрицательный заряд q, а начальная скорость v верхнего шарика направлена вверх.

Решение:

2 1 Электрон, пролетая в электрическом поле путь от точки а к точке b, увеличил свою скорость с ν_a =1000 км/с до ν_ab = 3000 км/с. Найти разность потенциалов между точками а и b электрического поля.

Решение:
Работа, совершенная над электроном электрическим полем, идет на увеличение кинетической энергии электрона:

откуда

где γ — удельный заряд электрона. Разность потенциалов отрицательна. Так как электрон имеет отрицательный заряд, то скорость электрона увеличивается при его движении в сторону возрастания потенциала.

2 2 В плоский конденсатор влетает электрон со скоростью ν = 20 000 000 м/с, направленной параллельно пластинам конденсатора. На какое расстояние h от своего первоначального направления сместится электрон за время пролета конденсатора? Расстояние между пластинами d=2 см, длина конденсатора l=5 см, разность потенциалов между пластинами v=200 В.

Решение:
За время пролета t = l/v электрон смещается в направлении действия силы на расстояние

где γ — удельный заряд электрона.

2 3 Положительно заряженная пылинка массы г находится в равновесии внутри плоского конденсатора, пластины которого расположены горизонтально. Между пластинами создана разность потенциалов V ₁ =6000 В. Расстояние между пластинами d=5см. На какую величину необходимо изменить разность потенциалов, чтобы пылинка осталась в равновесии, если ее заряд уменьшился на q _o =1000 e?

Решение:
На пылинку действуют сила тяжести mg и сила со стороны электрического поля, где —начальный заряд пылинки и E ₁ = V ₁ /d—напряженность электрического поля в конденсаторе.
Чтобы пылинка могла находиться в равновесии, верхняя пластина конденсатора должна быть заряжена отрицательно. При равновесии
mg = F, или ; отсюда .
Так как уменьшение заряда пылинки на q _o = 1000 e равносильно увеличению положительного заряда на q _o , то новый заряд пылинки q ₂ = q ₁ + q _o . При равновесии , где V 2 —новая разность потенциалов между пластинами. Учитывая выражения для q2, q1 и q0, найдем

Таким образом, разность потенциалов нужно изменить на V ₂ — V ₁ = — 980 В (знак минус показывает, что ее нужно уменьшить, так как заряд пылинки увеличился).

2 4 Решить предыдущую задачу, считая пылинку заряженной отрицательно.

Решение:
Верхняя пластина конденсатора должна быть заряжена положительно. Новый заряд пылинки q ₂ = q _1- q _o , где q _o = 1000 e.
Поэтому (см. задачу 23 )

Напряжение между пластинами нужно увеличить на V ₂ — V ₁ = 1460 В.

2 5 В электрическое поле плоского конденсатора, пластины которого расположены горизонтально, помещена капелька масла, имеющая заряд q=1 е. Напряженность электрического поля подобрана так, что капелька покоится. Разность потенциалов между пластинами конденсатора V =500 В, расстояние между пластинами d=0,5 см. Плотность масла . Найти радиус капельки масла.

Решение:
При равновесии
откуда

2 6 Внутри плоского конденсатора, пластины которого расположены вертикально, помещена диэлектрическая палочка длины l=1 см с металлическими шариками на концах, несущими заряды +q и — q(|q|=1 нКл). Палочка может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через ее середину. Разность потенциалов между пластинами конденсатора V=3 В, расстояние между пластинами d=10см. Какую работу необходимо совершить, чтобы повернуть палочку вокруг оси на 180° по отношению к тому положению, которое она занимает на рис. 74?

Решение:
Напряженность электрического поля в конденсаторе E=V/d.
Разность потенциалов между точками, где расположены заряды,

где —потенциал в точке расположения заряда + q, а —потенциал в точке расположения заряда — q; при этом . При повороте палочки электрические силы совершают работу по переносу заряда — q из точки а в точку b и заряда + q из точки b в точку а , равную

Знак минус означает, что работу должны совершить внешние силы.

2 7 Внутри плоского конденсатора помещен диэлектрический стержень длины l=3 см, на концах которого имеются два точечных заряда + q и —q (|q|=8нКл). Разность потенциалов между пластинами конденсатора V=3 В, расстояние между пластинами d=8 см. Стержень ориентирован параллельно пластинам. Найти момент сил, действующий на стержень с зарядами.

Решение:

2 8 На концах диэлектрической палочки длины l=0,5 см прикреплены два маленьких шарика, несущих заряды — q и +q (|q|=10 нКл). Палочка находится между пластинами конденсатора, расстояние между которыми d=10cм (рис.75). При какой минимальной разности потенциалов между пластинами конденсатора V палочка разорвется, если она выдерживает максимальную силу растяжения F=0,01 Н? Силой тяжести пренебречь.

Решение:

2 9 Металлический шарик 1 радиуса R ₁ =1 см прикреплен с помощью диэлектрической палочки к коромыслу весов, после чего весы уравновешены гирями (рис. 76). Под шариком 1 помещают заряженный шарик 2 радиуса R ₂ =2 см. Расстояние между шариками h = 20 см. Шарики 1 и 2 замыкают между собой проволочкой, а потом проволочку убирают. После этого оказывается, что для восстановления равновесия надо снять с чашки весов гирю массы m = 4мг. До какого потенциала j был заряжен шарик 2 до замыкания его проволочкой с шариком 1?

Решение:
Если до замыкания шарик 2 имел заряд 0, то сумма зарядов шариков 1 и 2 после замыкания q ₁ +q ₂ = q. Потенциалы же их после замыкания одинаковы: . Следовательно, После замыкания шарик 2 действует на шарик 1 с силой
откуда
Начальный потенциал шарика 2