Какие из указанных ниже множеств являются замкнутыми

Открытые и замкнутые множества

Определение 19.МножествоЕназываетсяоткрытым, если все его точки являются внутренними, то есть если оно не содержит своих граничных точек.

Определение 20.МножествоЕназываетсязамкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, то есть. (Иначе,).

Пример 1. Любоеn-мерный интеграл – открытое множество. Любой отрезок – замкнутое множество.

Следует обратить особое внимание на то что, классы замкнутых и открытых множеств не охватывают вместе всех множеств, кроме того, эти классы пересекаются. Существуют множества, которые не являются ни замкнутыми, ни открытыми, а так же множества, которые одновременно являются и замкнутыми, и открытыми.

Пример 2. Пустое множество следует считать замкнутым, хотя оно в то же время является и открытым. МножествоRдействительных чисел одновременно является и замкнутым, и открытым.

Множество Qрациональных чисел ни замкнуто, ни открыто. Линейный полуинтервал — ни замкнутое, ни открытое множество.

Теорема 3. Любой шарS(a,r)— открытое множество.

Доказательство:

Пусть . Возьмём. Докажем, что шар(это будет означать, что любая точка шара— внутренняя, то есть— открытое множество). Возьмём. Докажем, что, для этого оценим расстояние:

.

Следовательно, , то есть, то естьS(a,r)— открытое множество.

Теорема 4.Производное множество любого множестваEзамкнуто.

Доказательство:

Пусть . Тогдав любой окрестноститочкисуществует хотя бы одна точкамножества, отличная от. Так как— предельная точка множестваE, то в любой её окрестности (в том числе сколь угодно малой, содержащейся в) существует хотя бы одна точкамножестваE, отличная от точки. Таким образом, по определению точкаявляется предельной точкой для множестваE.Итак,, что по определению означает замкнутость множестваE.

Следует заметить, что в частном случае производное множество может оказаться пустым.

Свойства открытых и замкнутых множеств

Теорема 5. Объединение любого конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Доказательство:

Пусть — замкнутые множества. Докажем, что— замкнутое множество.

Пусть — предельная точка множества. Тогда— предельная точка хотя бы одного из множеств(доказывается от противного). Так как— замкнутое множество, то. Но тогда. Итак, любая предельная точка множестваему принадлежит, то естьзамкнуто.

Теорема 6.Пересечение любого числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Доказательство:

Пусть — любая совокупность замкнутых множеств. Докажем, что— замкнутое множество.

Пусть — предельная точка множества. Тогда по теореме 1 в любой окрестностисодержится бесконечно много точек из. Но все точки множестваявляются и точками множеств. Следовательно, всодержится бесконечно много точек из. Но все множествазамкнуты, поэтомуи, то естьзамкнуто.

Теорема 7. Если множествоFзамкнуто, то его дополнениеCFоткрыто.

Доказательство:

Пусть . Так какзамкнуто, тоне является его предельной точкой (). Но это означает, что существует окрестностьточки, не содержащая точек множестваF, то есть. Тогдаи поэтому— внутренняя точка множества_.Так как— произвольная точка множестваCF,то все точки этого множества являются внутренними, то естьCFоткрыто.

Теорема 8. Если множествоGоткрыто, то его дополнениеCGзамкнуто.

Доказательство:

Пусть вместе с некоторой окрестностью. Следовательно,не является предельной точкой множестваCG. Итак, />не является предельной точкой для, то естьсодержит все свои предельные точки. По определению,замкнуто.

Теорема 9.Объединение любого числа открытых множеств является открытым множеством.

Доказательство:

Пусть — произвольная совокупность открытых множестви. Докажем, что— открытое множество. Имеем:

.

Так как множества открыты, то по теореме 8 множествазамкнуты. Тогда по теореме 6 их пересечениезамкнуто. По теореме 7 множествооткрыто.

Теорема 10.Пересечение любого конечного числа открытых множеств является открытым множеством.

Доказательство:

Пусть — пересечение любого конечного числа открытых множеств. Докажем, что— открытое множество. Имеем:

.

Так как множества открыты, то по теореме 8 множествазамкнуты. Тогда по теореме 5 их объединениезамкнуто. По теореме 7 множествооткрыто.

Замкнутые и открытые множества

Одна из основных задач теории точечных множеств — изучение свойств различных типов точечных множеств. Познакомимся с этой теорией на двух примерах и изучим свойства так называемых замкнутых и открытых множеств.

Множество называется замкнутым , если оно содержит все свои предельные точки. Если множество не имеет ни одной предельной точки, то его тоже принято считать замкнутым. Кроме своих предельных точек, замкнутое множество может также содержать изолированные точки. Множество называется открытым , если каждая его точка является для него внутренней.

Приведем примеры замкнутых и открытых множеств. Всякий отрезок есть замкнутое множество, а всякий интервал — открытое множество. Несобственные полуинтервалы и замкнуты, а несобственные интервалы и открыты. Вся прямая является одновременно и замкнутым и открытым множеством. Удобно считать пустое множество тоже одновременно замкнутым и открытым. Любое конечное множество точек на прямой замкнуто, так как оно не имеет предельных точек. Множество, состоящее из точек

замкнуто; это множество имеет единственную предельную точку дополнением множества , обладающий тем свойством, что ни одна из его точек не принадлежит множеству или , если точка часть множества можно представить в форме пересечения

Каждое из множеств замкнуто. Поэтому, в силу предложения 1, множество замкнуто. Если множество пусто, то весь полуинтервал не принадлежит множеству не пусто. Так как это множество целиком расположено на полуинтервале , то оно ограничено снизу. Обозначим через , а значит . Далее, так как , то полуинтервал , лежащий левее точки и, следовательно, не содержит точек множества , не содержащий точек множества , не содержащий точек множества содержит точку и — два смежных интервала множества

Канторово совершенное множество

Построим одно специальное замкнутое множество, обладающее рядом замечательных свойств. Прежде всего удалим из прямой несобственные интервалы и . После этой операции у нас останется отрезок . Далее, удалим из этого отрезка интервал , составляющий его среднюю треть. Из каждого из оставшихся двух отрезков и удалим его среднюю треть. Этот процесс удаления средних третей у остающихся отрезков продолжим неограниченно. Множество точек на прямой, остающееся после удаления всех этих интервалов, называется канторовым совершенным множеством; мы будем обозначать его буквой .

Рассмотрим некоторые свойства этого множества. Множество замкнуто, так как оно образуется путем удаления из прямой некоторого, множества непересекающихся интервалов. Множество не пусто; во всяком случае в нем содержатся концы всех выброшенных интервалов.

Замкнутое множество называется совершенным , если оно не содержит изолированных точек, т. е. если каждая его точка является предельной точкой. Покажем, что множество совершенно. Действительно, если бы некоторая точка , то она служила бы общим концом двух смежных интервалов этого множества. Но, согласно построению, смежные интервалы множества не имеют общих концов.

Множество не содержит ни одного интервала. В самом деле, допустим, что некоторый интервал . Тогда он целиком принадлежит одному из отрезков, получающихся на -м шаге построения множества . Но это невозможно, так как при имеет мощность континуума. В частности, отсюда следует, что канторово совершенное множество содержит, кроме концов смежных интервалов, еще и другие точки. Действительно, концы смежных интервалов образуют лишь счетное множество.

Разнообразные типы точечных множеств постоянно встречаются в самых различных разделах математики, и знание их свойств совершенно необходимо при исследовании многих математических проблем. Особенно большое значение имеет теория точечных множеств для математического анализа и топологии.

Приведем несколько примеров появления точечных множеств в классических разделах анализа. Пусть — непрерывная функция, заданная на отрезке . Зафиксируем число . Нетрудно показать, что это множество может быть произвольным замкнутым множеством, расположенным на отрезке . Точно так же множество точек , может быть каким угодно открытым множеством . Если есть последовательность непрерывных функций, заданных на отрезке , то множество тех точек дескриптивной теорией множеств . Весьма большие заслуги в деле развития дескриптивной теории множеств принадлежат советским математикам — Н.Н. Лузину и его ученикам П.С. Александрову, М.Я. Суслину, А.Н. Колмогорову, М.А. Лаврентьеву, П.С. Новикову, Л.В. Келдыш, А.А. Ляпунову и др.

Исследования Н.Н. Лузина и его учеников показали, что имеется глубокая связь между дескриптивной теорией множеств и математической логикой. Трудности, возникающие при рассмотрении ряда задач дескриптивной теории множеств (в частности, задач об определении мощности тех или иных множеств), являются трудностями логической природы. Напротив, методы математической логики позволяют более глубоко проникнуть в некоторые вопросы дескриптивной теории множеств.

2.6. Замыкание и замкнутые классы

Определение 1. Пусть MÍР2. Замыканием М называется множество всех функций из P2, которые можно выразить формулами над М. Замыкание М обозначается [M].

Определение 2. Множество функций М называется замкнутым классом, если [M]=M.

Пример 1.

1) P2 – замкнутый класс.

2) Множество <1,X1ÅX2> не является замкнутым классом. Его замыканием будет класс линейных функций: [<1, X1 Å X2>] = <F(X1, . Xn) = C0 Å C1X1 Å . Å Cnxn>. Действительно, по определению формулы над М, функция F(G1, X3), где F – есть сумма по модулю 2, G1 – функция Х1 Å Х2, будет формулой над М: F(G1, X3) = (X1 Å X2) Å X3.

ЗАмечание. В терминах замыкания и замкнутого класса можно дать другое определение полноты, эквивалентное исходному:

М – полная система, если [M] = P2.

3) A = <F(X1, . XN)| F(1, 1, . 1) = 0> – незамкнутый класс. Возьмем формулу над этим множеством. Пусть F, G1, . GN Î A, т. е. F(1, 1, . 1) = 0, G1(1, 1, . 1) = 0, тогда F(G1, . GN) Î [A]. Посмотрим, принадлежит ли функция F(G1, . GN) множеству А. F(G1(1, . 1), G2(1, . 1), . GN(1, . 1) = F(0, . 0)), но F(0, . 0) не обязано быть равным 0. Действительно, пусть G1(X1, X2) = X1 Å X2, G2(X) = X ÎA. Возьмем G2(G1(X1, X2)) = X1 Å X2 Î [A], G2(G1(1, 1)) = 1 Å 1 = 0, следовательно, G2(G1(X1, X2)) Ï A, отсюда [A] ¹ A и А – незамкнутый класс.

Важнейшие замкнутые классы в Р2

1) Т0 — класс функций, сохраняющих константу 0.

Т0 = <f(X1, . XN | F(0, . 0) = 0, N = 1, 2, . >. Покажем, что Т0 является собственным подмножеством Р2, т. е. Т0 ¹ Æ и Т0 Ì Р (не совпадает с Р2). Для этого достаточно привести примеры функций, входящих в Т0, и примеры функций из Р2, не входящих в Т0: X1&X2, X1ÚX2, XÎТ0 и X1|X2, X1 X2, ÏТ0. Покажем далее, что [Т0] = Т0. Вложение Т0 Í [ Т0] очевидно, так как по определению формулы любая функция из Т0 является формулой над Т0 и, следовательно, принадлежит [Т0]. Покажем, что [Т0]Í Т0. Для этого надо показать, что Ф = F(F1, . FM) Î [ Т0], если все функции F, F1, F2, F3, . FM Î Т0. Надо заметить, что в формуле в качестве функции F1 могут быть взяты переменные, которые мы договорились считать тождественными функциями. Тождественная функция принадлежит классу Т0, поэтому достаточно показать, что Ф = F (F 1, . FM) Î Т0. Для этого рассмотрим следующую функцию: Ф(0, . 0) = F (F 1(0, . 0), F 2(0, . 0), . ) = F(0, . 0) = 0.

Число функций, зависящих от N переменных и принадлежащих Т0, будет равно

2) T1 – Класс функций, сохраняющих константу 1.

T1 = <F(X1, . ) |F(1, 1, . ) = 1>; X1&X2, X1ÚX2, XÎT1, Х1ÅХ2, X1 X2ÏT1, следовательно Т1 – собственное подмножество Р2.

Покажем, что [T1] Í T1, обратное включение следует из определения формулы и замыкания. Так как тождественная функция входит в Т1, можно рассмотреть Ф = F(F1, . FN) Î [T1], где F, F1, . FN Î T1. Найдем Ф(1, . 1) = F(F1(1, . 1), . FN(1, . 1)) = F(1, . 1) = 1, следовательно, Ф = F(F1, . FN) Î T1, отсюда следует [T1] = T1.

3) S – Класс самодвойственных функций.

S = <F(X1, . )|F* = F >; X, , X1ÅX2ÅX3ÎS, X1&X2, X1ÚX2, X1ÅX2ÏS, следовательно, S – собственное подмножество Р2. |S(N)| = . Покажем, что [S]ÍS. Ф = F(F1, . FN) Î [S], если F, F1, . FN Î S, а также, что Ф Î S. По принципу двойственности, Ф* = F*(F1*, . FN*) = F(F1, . FN) = Ф, отсюда S – замкнутый класс.

4) L – Класс линейных функций.

L ¹ P2, так как X1&X2 Ï L. Заметим, что тождественная функция принадлежит L и |L(N)| = 2N+1. Покажем, что [L] Í L. Рассмотрим Ф = F(F1, . FM), где F, F1, . FN Î L. Тогда Ф = А0 Å А1(С10 Å С11Х1 Å. Å C1NXN1) Å A2(C20 Å C21X1 Å C22X2Å . Å C2NXN2)Å. Å AN(CM0 ÅCM1×1 Å . Å CMnXNm) = В0 Å В1Х1 Å . Å ВNХN Þ ФÎL.

5) М – Класс монотонных функций.