Как умножать не целые числа

Правило умножения десятичных дробей на натуральные числа

Десятичная дробь — форма записи обыкновенной дроби, у которой знаменатель равен 10, 100, 1000 и т.д.

Числа со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. записывают без знаменателя. Сначала пишут целую часть, а потом числитель дробной части. Целую часть отделяют от дробной части запятой.

Например, вместо 5 7 10 пишут 5,7 (читают: «5 целых 7 десятых»).

Вместо 3 17 100 пишут 3,17 (читают: «3 целых 17 сотых»).

Десятичные дроби перемножают как целые числа, на запятые внимания не обращают. В результате отделяют запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой во всех множителях вместе.

Найдите значение выражения: 0 , 15 × 2 , 3 .

Задания подобного плана выполняют по следующему алгоритму:

1. Перемножить десятичные дроби как целые числа, на запятые не обращать внимания.
2. Посчитать количество цифр после запятой в каждом множителе.
3. В ответе отделить запятой справа количество цифр, которое получили.
4. Если последняя цифра после запятой — нуль или нули, то необходимо переписать результат без нулей.
5. Записать ответ.

× 2 , 3 0 , 15 + 30 45 0 , 345

В двух множителях три цифры после запятой. Нужно отделить три цифры справа в результате и поставить запятую.

Умножение десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число

Для того, чтобы умножить десятичную дробь на обыкновенную дробь, необходимо:

1. Перевести десятичную дробь в обыкновенную дробь.
2. Перемножить обыкновенные дроби — числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.
3. При выполнении умножения по возможности следует сократить дробное выражение:

• найти общие делители числителя и знаменателя;
• разделить числитель и знаменатель на их общие делители;
• получить несократимую дробь: у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме единицы.

1. Числа, которые остались после сокращения, перемножить отдельно в числителе и знаменателе.

• если получилась неправильная дробь ‒ числитель больше знаменателя, то выделить целую часть.

1. Обыкновенную дробь или смешанное число перевести в десятичную дробь, если возможно.
2. Если десятичная дробь заканчивается нулем или нулями, то переписать результат без нулей.
3. Записать ответ.

Для того, чтобы умножить десятичную дробь на смешанное число, необходимо:

1. Перевести десятичную дробь в обыкновенную дробь.
2. Перевести смешанное число в обыкновенную дробь.
3. Перемножить эти дроби.
4. Сократить дробное выражение до несократимой дроби.
5. Перемножить числа в числителе и знаменателе.
6. Дробь перевести в десятичную дробь или смешанное число.
7. Если десятичная дробь заканчивается нулем или нулями, то переписать результат без нулей.
8. Записать ответ.

Умножение десятичной дроби на натуральное число

Произведение десятичной дроби и натурального числа — сумма слагаемых, каждое из которых равно этой дроби, а количество слагаемых определяется натуральным числом.

Выражение представляют в виде суммы, в которой слагаемое 0,25 повторяется четыре раза:

0 , 25 × 4 = 0 , 25 + 0 , 25 + 0 , 25 + 0 , 25 .

Для того, чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, необходимо:

1. Умножить десятичную дробь на натуральное число, не обращая внимания на запятую.
2. Посчитать количество цифр после запятой в десятичной дроби.
3. В произведении отделить столько цифр справа, сколько их отделено запятой в десятичной дроби.
4. Если последняя цифра после запятой — нуль или нули, то переписать результат без нуля или нулей.
5. Записать ответ.

Алгоритм, как ставить запятую, правила переноса

Для того, чтобы в результате умножения правильно поставить запятую, надо:

• посчитать количество цифр после запятой в каждом множителе;
• в результате отделить запятой справа это количество цифр.

При умножении десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. запятую в десятичной дроби переносят вправо на столько цифр, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

Если количество цифр в десятичной дроби после запятой меньше количества нулей после единицы, то нужно:

• уравнять количество разрядов — поставить нули после последней цифры десятичной дроби;
• перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей после единицы в множителе.

При умножении десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. переносят запятую влево на столько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе. Нуль целых также учитываем.

Примеры решения задач

Выполните умножение: 1 , 2 × 3 4 .

Для объяснения решения действуем по алгоритму:

1. Переводим десятичную дробь в обыкновенную дробь:

• «как слышим, так и пишем»: одна целая, две десятых — 1 , 2 = 1 2 10 — получили смешанное число;
• сокращаем дробную часть смешанного числа: 1 2 10 = 1 1 5 ;
• переводим смешанное число в неправильную дробь: 1 1 5 = 1 × 5 + 1 5 = 6 5 — знаменатель переписываем без изменений, в числителе умножаем целую часть на знаменатель и прибавляем числитель.

1. Полученную неправильную дробь умножаем на множитель:

6 5 × 3 4 = 6 × 3 5 × 4 :

• ищем общий делитель чисел в числителе и знаменателе — 6 и 4 делятся нацело на 2;
• делим числитель и знаменатель на 2, получаем: 6 × 3 5 × 4 = 3 × 3 5 × 2 ;
• больше общих делителей у числителя и знаменателя нет, кроме 1, поэтому умножаем числа в числителе и в знаменателе: 3 × 3 5 × 2 = 9 10 .

1. Переводим полученную обыкновенную дробь в десятичную:

• знаменатель дроби равен 10, после единицы один нуль, значит после запятой отделяем одну цифру: 9 10 = 0 , 9 .

1 , 2 × 3 4 = 1 2 10 × 3 4 = 1 1 5 × 3 4 = 1 × 5 + 1 5 × 3 4 = 6 5 × 3 4 = 6 × 3 5 × 4 = 3 × 3 5 × 2 = 9 10 = 0 , 9 .

Выполните умножение: 2 , 1 × 2 4 7 .

Чтобы умножить десятичную дробь на смешанное число:

1. Переводим десятичную дробь в обыкновенную дробь: 2 , 1 = 2 1 10 = 2 × 10 + 1 10 = 21 10 .
2. Переводим смешанное число в неправильную дробь: 2 4 7 = 2 × 7 + 4 7 = 18 7 .
3. Перемножаем полученные числа: 21 10 × 18 7 = 21 × 18 10 × 7 .
4. Прежде чем дальше перемножать числа в числителе и знаменателе, ищем общие делители числителя и знаменателя:

• числа 21 и 7 делятся нацело на 7. Получаем 21 × 18 10 × 7 = 3 × 18 10 × 1 ;
• числа 18 и 10 делятся нацело на 2. Получаем 3 × 18 10 × 1 = 3 × 9 5 × 1 ;
• больше общих делителей, кроме единицы, у числителя и знаменателя нет. Перемножаем числа в числителе и числа в знаменателе: 3 × 9 5 × 1 = 27 5 .

1. Дробь неправильная — числитель больше знаменателя — выделяем целую часть: 27 5 = 5 2 5 .
2. Это смешанное число переводим в десятичную дробь. Умножаем числитель и знаменатель дробной части на 2 (чтобы в знаменателе стало 10): 5 2 5 = 5 2 × 2 5 × 2 = 5 4 10 = 5 , 4 .
3. Записываем ответ.

2 , 1 × 2 4 7 = 2 1 10 × 2 4 7 = 2 × 10 + 1 10 × 2 × 7 + 4 7 = 21 10 × 18 7 = 21 × 18 10 × 7 = 3 × 18 10 × 1 = 3 × 9 5 × 1 = 27 5 = 5 2 5 = 5 2 × 2 5 × 2 = 5 4 10 = 5 , 4 .

Выполните умножение: 4 , 27 × 8 .

Решаем пример по схеме:

• перемножаем как целые числа, на запятую внимание не обращаем;
• считаем количество цифр после запятой: две цифры;
• отсчитываем справа в результате две цифры и ставим запятую.

Выполните умножение: 45 , 204 × 100 .

Запятую в десятичной дроби переносим вправо на две цифры, так как в множителе после единицы стоит два нуля.

45 , 204 × 100 = 4520 , 4 .

Выполните умножение: 541 , 27 × 0 , 0001 .

Запятую переносим влево на четыре цифры, так как в множителе перед единицей стоит четыре нуля.

541 , 27 × 0 , 0001 = 0 , 054127 .

Решите уравнение: x ÷ 2 , 05 = 1 , 3 .

Чтобы решить уравнение, нужно найти его корни или доказать, что корней нет.

Находим делимое. Для этого умножаем делитель на частное: x = 1 , 3 × 2 , 05 .

× 1 , 3 2 , 05 + 205 615 2 , 665

Ответ: x = 2 , 665 .

Для закрепления навыков умножения десятичных дробей используют математические тренажеры.

Умножение десятичных дробей

Умножение десятичных дробей происходит в три этапа.

Десятичные дроби записывают в столбик и умножают как обыкновенные числа.

Считаем количество знаков после запятой у первой десятичной дроби и у второй. Их количество складываем.

В полученном результате отсчитываем справа налево столько же цифр, сколько получилось их в пункте выше и ставим запятую.

Как умножать десятичные дроби

Записываем десятичные дроби в столбик и умножаем их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые. То есть 3,11 мы рассматриваем как 311 , а 0,01 как 1 .

Получили 311 . Теперь считаем количество знаков (цифр) после запятой у обеих дробей. В первой десятичной дроби два знака и во второй — два. Общее количество цифр после запятых:

Отсчитываем справа налево 4 знака (цифры) у полученного числа. В полученном результате цифр меньше, чем нужно отделить запятой. В таком случае нужно слева приписать недостающее число нулей.

У нас не хватает одной цифры, поэтому приписываем слева один ноль.

Запомните!

При умножении любой десятичной дроби на 10; 100; 1000 и т.д. запятая в десятичной дроби перемещается вправо на столько знаков, сколько нулей стоит после единицы.

• 70,1 · 10 = 701
• 0,023 · 100 = 2,3
• 5,6 · 1 000 = 5 600

Запомните!

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед единицей.

Умножение целого числа на дробь

Сегодня мы с вами будем изучать умножение целого числа на дробь. Эта тема очень актуальна в наши дни для любых людей: от биолога до математика. Но для начала давайте познакомимся поближе с этим «чудо-зверем» — дробью.

Что такое дробь

Дробью называется число, которое состоит из нескольких долей единицы.

Если говорить простым языком, есть у вас торт. Он один, он является одним целым. Но вот вы отрезали от него половину. Это его доля. Всего один целый торт сейчас состоит из двух частей. Одну вы съели (очень уж вкусный был). То есть получается, что вы съели одну часть из двух, на которые вы его разделили. Значит, вы съели ½ торта. В подобном виде можно представить любую вещь, разделив ее на части.

Для того чтобы овладеть умением умножения числа на дробь, не нужно много мудрости или знаний. Достаточно уметь перемножать целые числа. Это довольно похожие понятия и имеют одинаковый смысл.

Умножение целых чисел можно представить в виде сложения равных слагаемых. То есть: 5*2 = 5+5= 10. В принципе, умножать дробь на число — почти такое же занятие. Мы просто находим сумму этих самых слагаемых, которые, кстати, являются одинаковыми.

Как вы могли заметить, подразумевающийся смысл у обоих действий один и тот же — сложение слагаемых.

Теперь же мы можем подняться на новую ступень и попробуем перемножить целое и дробь. Наши примеры будут выглядеть так: 5 • 2 /4. Однако прежнее определение для умножения чисел не подходит для этого случая, потому что вы не сможете заменить такое умножение сложением.

Поэтому давайте дадим новое определение для умножения, как же нам теперь нужно понимать это действие.

Как происходит умножение

Для проникновения в тайный смысл хитрого умножения дадим определение, что же все-таки это значит: чтобы совершить умножение числа на дробь, нужно найти дробь этого целого числа.

Поэтому что мы получаем? Для того чтобы умножить 5 на 2 /3, нам нужно найти 2 /3 от пяти.

Возникает естественный и значимый вопрос: почему же действия, которые с первого взгляда кажутся нам различными, такие, как поиск дроби и суммы равных чисел, в математике получили объяснение только одним словом — «умножение»?

Все это объясняется достаточно просто. Оба действия помогают нам решать очень похожие вопросы. Поэтому логичнее всего здесь будет понимать и принимать тот факт, что похожие задачи решаются одними и теми же действиями, и это в реальной жизни вполне оправдано.

Задача

Чтобы понять все это на живом примере, давайте рассмотрим такую задачу: «1 кг яблок стоит 40 р. Сколько тогда будут стоить 3 кг этих яблок?»

И ежику понятно, что подобная задача решается умножением количества килограммов на стоимость за 1 кг, т. е. 40*3 = 120 рублей.

Теперь попробуем понять и решить похожую задачу, но с дробями. Посчитаем: «1 кг яблок стоит 40 рублей. Какова будет стоимость 3 /4 кг таких яблок?»

Эта задача, как и предыдущая, тоже решается перемножением стоимости яблок за 1 кг на требуемый нам вес.

В данную задачу можно подставить любую другую дробь, будь то 2 /3 или же 3 /7, не меняя при этом концепции и условий самой задачи.

Как мы выяснили ранее, если не трогать основной смысл задач и не менять ничего, кроме чисел, то мы можем применять одинаковое действие при решении заданий, которое называется умножением. Все гениальное просто, не так ли?

Все-таки давайте вернемся к нашему главному вопросу: умножение целого на части. Как это сделать?

Для примера возьмем опять нам всем полюбившуюся задачу про яблоки. Разберем числа, которые там встречаются:

Если снова взглянуть на определение, то найти нам нужно 3 /4 от 40. Давайте начнем с более простого и попробуем найти четверть от 40, а только потом уже 3 /4.

Четверть (т. е. 1 /4) от 40 это 40 /4;

3 /4 от 40 является значение (3*40)/4.

Что мы имеем:

40*3/4 = (40*3)/4 = 10*3 = 30.

Давайте посмотрим другой случай: 40 * 5 /8 равно чему?

• 1 /8 от 40 это 40 /8;
• 5 /8 от 40 составляют (5*8)/40;
• В итоге получается: 40 * 5/8 = (40*5)/8 = 5*5 = 25.

Правило умножения

Давайте теперь попробуем понять правило, применяемое для умножения:

• Для того чтобы умножить целое число на дробь, мы должны умножить числитель этой дроби на нужное нам значение целого числа, а потом получившийся результат поставить числителем новой дроби, а знаменатель новой дроби оставить прежним.

Если понимать это правило с помощью букв, то выглядеть оно будет так:

Но также нам важно помнить об одном очень важном моменте. Перед тем как выполнять умножение, следует сократить все, что сокращается, чтобы облегчить себе жизнь. Например: умножим 15*2/3 = (15*2)/3. Но 15 и 3 можно сократить на 3, остается (5*2)/1. Но мы знаем, что любая дробь, знаменателем которой является 1 — это целое число, которое стоит в числителе. Вот и получается, что (5*2)/1 = 5*2 = 10. Поэтому для упрощения своей же работы рекомендуется сокращать числа.

Итак, вот мы с вами и научились умножать целое число на дробь. Надеюсь, что эта статья очень поможет вам в ваших продвижениях в математике. Широких вам горизонтов!

Видео

Это видео поможет вам лучше понять и запомнить, как умножается целое число на дробь.

Умножение десятичных дробей: правила, примеры

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом десятичную дробь можно умножить на натуральное целое число или другую десятичную дробь. Также разберем примеры для закрепления теоретического материала.

• Умножение десятичной дроби на натуральное число
  • Делитель – 10, 100, 1000, 10000 и т.д.
  • Делитель – любое число

  Умножение десятичной дроби на натуральное число

  Делитель – 10, 100, 1000, 10000 и т.д.

  Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число 10, 100, 1000 и т.д., просто переносим запятую-разделитель вправо на столько нулей, сколько содержит это число.

  Пример 1

  Объяснение: Т.к. в числе 10 всего один ноль, то и запятую переносим на одну позицию вправо.

  Пример 2

  Объяснение: Т.к. в числе 100 два нуля, то запятую переносим на две позиции.

  Пример 3

  Объяснение: В числе 10 один ноль, следовательно, десятичный разделитель сдвигаем на одну позицию.

  Пример 4

  0,0043 ⋅ 1000 = 4,3

  Объяснение: В числе 1000 три нуля, значит разделитель сдвигаем на три позиции.

  Примечание: если количество нулей и, соответственно, позиций переноса разделителя больше, чем цифр после запятой, значит дописываем оставшиеся нули в конце полученного результата. Это работает и в обратную сторону (см. Пример 7 ниже).

  Пример 5

  3,67 ⋅ 1000 = 3670

  Объяснение: В числе 1000 три нуля, следовательно разделитель переносим на две позиции и дописываем один ноль в конце найденного числа.

  Делитель – любое число

  Чтобы умножить десятичную дробь на любое натуральное целое число, отбрасываем запятую и выполняем умножение, как будто имеем дело не с дробью, а с обычным числом. Затем отсчитываем с конца полученного результата столько цифр, сколько было в дробной части исходной десятичной дроби, и ставим в этом месте запятую.

  Пример 6: найдем произведение чисел 5,68 и 8.

  Убираем запятую в числе 5,68 и умножаем его на 8:
  568 ⋅ 8 = 4544

  Отсчитываем две цифры с конца и добавляем запятую-разделитель, т.е.:

  Примечание: Если десятичная дробь меньше 1 (т.е. целая часть равна 0), то отбросив запятую, мы не учитываем при умножении ноль/нули, которые идут в начале.

  Пример 7: умножим число 0,089 на 7.

  Убираем запятую в числе 0,089 и, отбросив нули, умножаем его на 7:
  89 ⋅ 7 = 623

  Здесь обратная ситуация рассмотренной ранее в Примере 5. С конца отсчитываем 3 цифры, ставим запятую и добавляем ноль слева от нее, т.е.:

  Произведение десятичных дробей

  Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, выполняем практически те же самые действия, что и описанные в разделе выше – убираем запятые, на этот раз в обеих дробях, и умножаем их как обычные числа. Затем отсчитываем с конца найденного результата столько цифр, сколько их было вместе в дробных частях обоих множителей, и пишем запятую.

  Пример 8: найдем, сколько будет 5,615 ⋅ 2,14.

  5615 ⋅ 214 = 1201610

  Отсчитать с конца нужно 5 цифр, т.к. в первом множителе после запятой было три цифры, во втором – две (5 = 3 + 2). Т.е.: