Проходит ли график функции у=-2х+4 через точку С(20;-36)
Для того, чтобы узнать, проходит ли график некоторой функции через точку с координатами (х, у), необходимо подставить х и у в линейную функцию этого графика, если равенство выполняется, значит график проходит через точку, если равенство не выполняется — график через точку не проходит.
Вывод: График проходит через заданную точку
Для решения данного задания мы должны выяснить проходит ли график функции через точку С.
График функции
График функции проходит через точку, если координаты этой точки обращают формулу функции в верное числовое равенство. Для того, чтобы выяснить проходит ли график функции через точку мы должны:
- подставить в формулу функции вместо у ординату точки С.
- подставить в формулу функции вместо х абсциссу точки С.
- если получится верное числовое равенство, значит точка лежит на графике.
Cоставим уравнение
Подставим значение функции у = -36 и решим полученное уравнение.
Первым действием перенесём число 4 в правую часть уравнения. При этом поменяем знак на противоположны.
Выполним вычитание в правой части уравнения.
Разделим произведение на множитель. При делении отрицательного числа на отрицательное получаем положительный результат.
Таким образом мы получаем значение аргумента равное 20. Следовательно, график функции у = -2х + 4 проходит через точку С с координатами (20; -36).
Линейная функция « y = kx + b » и её график
Прежде чем перейти к изучению функции « y = kx » внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».
Важно! 
Функцию вида « y = kx + b » называют линейной функцией.
Буквенные множители « k » и « b » называют числовыми коэффициентами .
Вместо « k » и « b » могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).
Другими словами, можно сказать, что « y = kx + b » — это семейство всевозможных функций, где вместо « k » и « b » стоят числа.
Примеры функций типа « y = kx + b ».
- y = 5x + 3
- y = −x + 1
- y =
2 3 x − 2
- y = 0,5x
Давайте определим для каждой функций выше, чему равны числовые коэффициенты « k » и « b » .
Обратите особое внимание на функцию « y = 0,5x » в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента « b ».
Рассматривая функцию « y = 0,5x », неверно утверждать, что числового коэффициента « b » в функции нет.
Числовый коэффициент « b » присутствет в функции типа « y = kx + b » всегда. В функции « y = 0,5x » числовый коэффициент « b » равен нулю .
Как построить график линейной функции
« y = kx + b »
Запомните! 
Графиком линейной функции « y = kx + b » является прямая .
Так как графиком функции « y = kx + b » является прямая линия , функцию называют линейной функцией.
Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
Исходя из аксиомы выше следует, что чтобы построить график функции вида
« у = kx + b » нам достаточно будет найти всего две точки.
Для примера построим график функции « y = −2x + 1 ».
Найдем значение функции « y » для двух произвольных значений « x ». Подставим, например, вместо « x » числа « 0 » и « 1 ».
Важно!
Выбирая произвольные числовые значения вместо « x », лучше брать числа « 0 » и « 1 ». С этими числами легко выполнять расчеты.
| x | Расчет « y = −2x + 1 » |
|---|---|
| 0 | y(0) = −2 · 0 + 1 = 1 |
| 1 | y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1 |
Полученные значения « x » и « y » — это координаты точек графика функции.
Запишем полученные координаты точек « y = −2x + 1 » в таблицу.
| Точка | Координата по оси « Оx » (абсцисса) | Координата по оси « Оy » (ордината) |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | 1 |
| (·)B | 1 | −1 |
Отметим полученные точки на системе координат.
Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет являться графиком функции « y = −2x + 1 ».
Как решать задачи на
линейную функцию « y = kx + b »
Построить график функции « y = 2x + 3 ». Найти по графику:
- значение « y » соответствующее значению « x » равному −1; 2; 3; 5 ;
- значение « x », если значение « y » равно 1; 4; 0; −1 .
Вначале построим график функции « y = 2x + 3 ».
Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции « y = 2x + 3 » достаточно найти всего две точки.
Выберем два произвольных числовых значения для « x ». Для удобства расчетов выберем числа « 0 » и « 1 ».
Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.
| Точка | Координата по оси « Оx » |
Координата по оси « Оy » |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | y(0) = 2 · 0 + 3 = 3 |
| (·)B | 1 | y(1) = 2 ·1 + 3 = 5 |
Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.
Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции « y = 2x + 3 ».
Теперь работаем с построенным графиком функции « y = 2x + 3 ».
Требуется найти значение « y », соответствующее значению « x »,
которое равно −1; 2; 3; 5 .
Тему «Как получить координаты точки функции» с графика функции мы уже подробно рассматривали в уроке «Как решать задачи на функцию».
В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.
Запомните!
Чтобы найти значение « y » по известному значению « x » на графике функции необходимо:
- провести перпендикуляр от оси « Ox » (ось абсцисс) из заданного числового значения « x » до пересечения с графиком функции;
- из полученной точки пересечения перпендикуляра и графика функции провести еще один перпендикуляр к оси « Oy » (ось ординат);
- полученное числовое значение на оси « Oy » и будет искомым значением.
По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции « y = 2x + 3 » необходимые значения функции « y » для « x » равным −1; 2; 3; 5 .
Запишем полученные результаты в таблицу.
| Заданное значение « x » | Полученное с графика значение « y » |
|---|---|
| −1 | 1 |
| 2 | 7 |
| 3 | 9 |
| 5 | 13 |
Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение « x », если значение « y » равно 1; 4; 0; −1 .
Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания. Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры от оси « Oy » .
Запишем полученные результаты в таблицу.
| Заданное значение « y » | Полученное с графика значение « x » |
|---|---|
| −1 | −2 |
| 0 | −1,5 |
| 1 | −1 |
| 4 | 0,5 |
Как проверить, проходит ли график через точку
Рассмотрим другое задание.
Не выполняя построения графика функции « y = 2x −
| 1 |
| 3 |
», выяснить, проходит ли график через точки с координатами (0; −
| 1 |
| 3 |
) и (1; −2) .
Запомните!
Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.
Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.
- Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
- Если получится неверное равенство, значит, точка не принадлежит графику функции.
Подставим в функцию « y = 2x −
| 1 |
| 3 |
» координаты точки (0; −
| 1 |
| 3 |
) .
−
| 1 |
| 3 |
= 2 · 0 −
| 1 |
| 3 |
−
| 1 |
| 3 |
= −
| 1 |
| 3 |
(верно)
Это означает, что график функции « y = 2x −
| 1 |
| 3 |
» проходит через точку с координатами (0; −
| 1 |
| 3 |
) .
Проверим точку с координатами (1; −2) . Также подставим координаты
в функцию « y = 2x −
| 1 |
| 3 |
».
−2 = 2 · 1 −
| 1 |
| 3 |
−2 = 2 −
| 1 |
| 3 |
−2 = 1
| 3 |
| 3 |
−
| 1 |
| 3 |
−2 = 1
| 2 |
| 3 |
(неверно)
Это означает, что график функции « y = 2x −
| 1 |
| 3 |
» не проходит через точку с координатами (1; −2) .
Как найти точки пересечения графика с осями
Найти координаты точек пересечения графика функции « y = −1,5x + 3 » с осями координат.
Для начала построим график функции « y = −1,5x + 3 » и на графике отметим точки пересечения с осями.
Для построения графика функции найдем координаты двух точек
функции « y = −1,5x + 3 ».
Выберем два произвольных числовых значения для « x » и рассчитаем значение « y » по формуле функции. Например, для x = 0 и x = 1 .
| Точка | Координата по оси « Оx » |
Координата по оси « Оy » |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3 |
| (·)B | 1 | y(1) = −1,5 · 1 + 3 = 1,5 |
Отметим полученные точки на системе координат и проведем через них прямую. Тем самым мы построим график функции « y = −1,5x + 3 ».
Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.
Запомните!
Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью « Oy » (осью ординат) нужно:
- приравнять координату точки по оси « Ox » к нулю (x = 0) ;
- подставить вместо « x » в формулу функции ноль и найти значение « y »;
- записать полученные координаты точки пересечения с осью « Oy » .
Подставим вместо « x » в формулу функции « y = −1,5x + 3 » число ноль.
Запомните!
Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью « Ox » (осью абсцисс) нужно:
- приравнять координату точки по оси « Oy » к нулю (y = 0) ;
- подставить вместо « y » в формулу функции ноль и найти значение « x »;
- записать полученные координаты точки пересечения с осью « Oy » .
Подставим вместо « y » в формулу функции « y = −1,5x + 3 » число ноль.
Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните «правило противоположности».
Важно!
Если нужно найти координаты точки пересечения графика с осью « Ox » , то приравниваем « y » к нулю.
И наооборот. Если нужно найти координаты точки пересечениа графика с осью « Oy » , то приравниваем « x » к нулю.
Функции вида y = x², y = x³ и их свойства
Функция вида у = х 2 называется квадратичной, графиком функции является парабола с вершиной в точке (0; 0), ветви параболы направлены вверх, график симметричен относительно оси ординат.
Построим график функции y = x 2 . Составим таблицу соответственных значений x и y:
Свойства функции y = x 2
- График функции неограниченно продолжается вверх справа и слева от оси y.
- Если x = 0, то y = 0. То есть график функции проходит через начало координат.
- Если x ≠ 0, то y > 0. Так как квадрат любого числа, отличного от нуля, положителен, то все точки графика кроме (0; 0), расположены выше оси x.
- Противоположным значениям x соответствует одно и то же значение y. Это следует из того, что (–x) 2 = x 2 для любого значения x. Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно оси y.
- Функция убывает на промежутке (– \(\infty\) ; 0] и возрастает на промежутке [0; + \(\infty\) ).
- Минимального значения квадратичная функция достигает в своей вершине: Ymin при x = 0. Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.
Функция вида у = х 3 называется кубической, графиком функции является кубическая парабола с вершиной в точке (0; 0), график симметричен относительно начала координат.
Построим график функции y = x 3 . Составим таблицу соответственных значений x и y, округляя значения y до сотых:
Математика
Функция вида 
называется прямой пропорциональностью, является частным случаем линейной зависимости.
Графиком линейной функции является прямая линия.
Для построения графика достаточно знать координаты двух точек.
Свойства линейной функции
2) Множеством значений функции является множество всех действительных чисел
3) Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
4) Функция не является ни четной, ни нечетной (кроме особых случаев).
5) Функция непериодическая.
6) График функции пересекает ось Ох в точке , а ось Оу — в точке (0; b).
8) Функция монотонно возрастает на области определения при k>0, монотонно убывает при k 0: функция принимает отрицательные значения на промежутке и положительные значения на промежутке
Для построения графика функции — прямой линии, очевидно, достаточно двух точек.
Особые случаи
1) Если b=0, получим уравнение y=kx. Функция такого вида называется прямой пропорциональностью. Графиком является прямая, проходящая через начало координат.
2) Если k=0, получим уравнение y=b. Графиком является прямая, параллельная оси Ох, проходящая через точку (0; b).