докажите, что n^5 — n делится на 30
n^5 — n = n * (n^4 — 1) = n * (n^2 — 1) * (n^2 +1) = (n-1) * n * (n +1) * (n^2 +1).
Заметим, что в разложении на множители есть 3 последовательных числа:
Это означает, что хотя бы одно из них делится на 2 и хотя бы одно из них делится на 3.
Следовательно, выражение делится на 2 * 3 = 6.
Предположим, что n = 5 * k + L, где L — остаток от деления на 5. Рассмотрим все случаи:
1. Если L = 0, то n делится на 5. Значит выражение делится на 5.
2. Если L = 1, то n — 1 = 5 * k. Значит выражение делится на 5.
(n^2 +1) = (5 * L + 2) ^2 +1 = 25 * L + 20 * L + 4 + 1 = 5 * (5 *L + 4 * L + 1).
Значит выражение делится на 5.
(n^2 +1) = (5 * L + 3) ^2 +1 = 25 * L + 30 * L + 9 + 1 = 5 * (5 *L + 6 * L + 2).
алгебра — Метод математической индукции
Здесь можно по отдельности проверить делимость на 2, 3 и на 5.
Если проводить доказательство по индукции, то база очевидна, а шаг приводит к утверждению, что n^4+2n^2+2n^2+n=n(n+1)(n^2+n+1) делится на 6. Это можно таким же способом доказать по индукции, а потом получится третье утверждение. Этот путь возможен, но он слишком длинный. Проще записать исходное выражение как n(n-1)(n+1)(n^2+1), и проверить делимость на 2, 3 и 5 по остаткам от деления.
2 ответа
$$ (n+1)^5-(n+1)=(n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1)-(n+1) = \\ =(n^5-n)+(5n^4+10n^3+10n^2+5n)=(n^5-n)+5n(n+1)(n^2+n+1) $$ А дальше небольшой перебор для второго слагаемого . рассматриваете число $%n=6k+m$% при $%m=0;1;\ldots ;5$%. фактически надо просто подставить остатки вместо $%n$% и посмотреть на результат.
Доказать что n 5 n делится на 30
Нажимая на кнопку «Задать вопрос», я даю согласие на обработку персональных данных
30 October 2013 Алгебра- Автор: Eliiii
докажите, что n^5 — n делится на 30
- 30 October 2013
- Ответ оставил: Tatarenko
- НЕ НАШЛИ ОТВЕТ?
Нажимая на кнопку «Ответить на вопрос», я даю согласие на обработку персональных данных
Последние опубликованные вопросы
Алгебра
Английский язык
Беларуская мова- Беларуская мова
Биология
География
Геометрия
Другие предметы
Другое
Информатика
История
Қазақ тiлi
Литература
Математика
Обществознание
Право
Русский язык
Українська література
Українська мова
Физика
Химия
Экономика
Последний раз редактировалось krytoupapa 09 июн 2016, 13:57, всего редактировалось 1 раз.
n=5k+r, где r остаток.
если r=0, то `n=5k` делится на 5
если r=1, то `n-1=(5k+1)-1=5k` делится на 5
если r=4, то `n+1=(5k+4)+1=5k+5` делится на 5
если r=2, то `n^2+1`=`(5K+2)^2+1=25k^2+20k+5` делится на 5
если r=3, то аналогично.
Последний раз редактировалось сергей королев 09 июн 2016, 14:06, всего редактировалось 1 раз.
n=5k+r, где r остаток.
если r=0, то `n` делится на 5
если r=1, то `n-1` делится на 5
если r=4, то `n+1` делится на 5
если r=2, то `n^2+1`=`(5K+2)^2+1` делится на 5
если r=3, то аналогично.