Как задать уравнение прямой по двум точкам

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки, можно получить, подставив координаты имеющихся точек в уравнения, приведённые ниже.

В случае, если прямая рассматривается относительно двух осей $OX$ и $OY$, уравнение прямой, проходящей через 2 точки, будет иметь вид:

$\frac= \frac\left(1\right)$, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ — координаты точек.

Рисунок 1. Прямая, проходящая через 2 точки. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

$y-y_1=k \cdot (x-x_1)$— уравнение прямой, проходящей через одну точку в заданном направлении, $k$ — неизвестный угловой коэффициент.

Подставим в него вторую точку и выразим $k$:

$y_2-y_1=k \cdot (x_2-x_1)$

Подставим $k$ в уравнение $(1)$ и получим зависимость прямой от значений двух лежащих на ней точек.

Для случая, когда прямая рассматривается относительно трёх осей $OX, OY$ и $OZ$, уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, выглядит так:

Составить уравнение прямой, проходящей через две точки $A$ и $B$ с положениями $(1;2)$ и $(3;4)$ соответственно.

Уравнение прямой по двум точкам

АЛГЕБРА

Получить уравнение прямой по двум точкам бывает необходимо, когда мы решаем задачи, связанные с анализом различных фигур на плоскости. В этом случае бывает полезно знать уравнение прямой, проходящей через две точки. Например, составляя такое уравнение мы уже знаем – как проходит прямая, с какие углом наклона к осям координат и можем рассчитать расположение прямой по отношению к другим прямым или к фигурам.

Составляем уравнение прямой по двум точкам

Итак, пусть нам даны две точки и . Наша прямая проходит через две эти точки, давайте получим уравнение этой прямой. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку с координатами имеет вид:

То есть если прямая проходит через две точки и она – одна из этого пучка прямых, проходящих через точку и эта прямая имеет определенный коэффициент . Значит, координаты точки должны удовлетворять уравнению (1), то есть

и подставим в уравнение (1):

Из подобия треугольников и находим:

Подставляя найденное значениеk в уравнение (10.6), получим уравнение прямой, проходящей через точки М₁ и М₂:

Предполагается, что в этом уравнении х₁ ≠ х₂, у₁ ≠ у₂

Если х₁ = х₂, то прямая, проходящая через точки М₁ (х₁ ,у_I) и М₂ (х₂,у₂) параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид х = х₁.

Если у₂ = у_I, то уравнение прямой может быть записано в виде у = у₁, прямая М₁ М₂ параллельна оси абсцисс.

Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая пересекает ось Ох в точке М₁(а;0), а ось Оу – в точке М₂(0;b). Уравнение примет вид: т.е.. Это уравнение называетсяуравнением прямой в отрезках, т.к. числа а и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку Мо (х_О; у_о) перпендикулярно данному ненулевому вектор n = (А; В).

Возьмем на прямой произвольную точку М(х; у) и рассмотрим вектор М₀М (х — х₀; у — у_о) (см. рис.1). Поскольку векторы n и М_оМ перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: то есть

А(х — хо) + В(у — уо) = 0. (10.8)

Уравнение (10.8) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Вектор n= (А; В), перпендикулярный прямой, называется нормальным нормальным вектором этой прямой.

Уравнение (10.8) можно переписать в виде Ах + Ву + С =0, (10.9)

где А и В координаты нормального вектора, С = —Ах_о — Ву_о — свободный член. Уравнение (10.9) есть общее уравнение прямой (см. рис.2).

Канонические уравнения прямой

,

Где — координаты точки, через которую проходит прямая, а— направляющий вектор.

Кривые второго порядка Окружность

Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки, которая называется центром.

Каноническое уравнение круга радиуса R с центром в точке :

В частности, если центр кола совпадает с началом координат, то уравнение будет иметь вид:

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек и, которые называются фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Ох, а начало координат посредине между фокусами имеет видгдеa длина большой полуоси; b– длина малой полуоси (рис. 2).

Зависимость между параметрами эллипса ивыражается соотношением:

(4)

Эксцентриситетом эллипса называется отношение межфокусного расстояния 2с к большой оси 2а:

Директрисами эллипса называются прямые, параллельные оси Оу, которые находятся от этой оси на расстоянии. Уравнения директрис:.

Если в уравнении эллипса , тогда фокусы эллипса находятся на оси Оу.

Итак,