Как найти диагональ четырехугольника

Четырехугольники

В предыдущем уроке мы познакомились с треугольниками. Узнали, какие треугольники бывают, чем друг от друга отличаются и какие общие признаки соответствуют для всех треугольников. В этом уроке мы узнаем, что такое четырехугольник. Начнем наш урок с определения четырехугольника.

Четырехугольник включает себя такие простейшие фигуры

• Четыре точки (A, B, C, D);
• Четыре отрезка (AB, BC, CD, DA);
• Четыре угла (α, β, γ, θ);
• Замкнутая ломаная линия (ABCD).

Вершины четырехугольника

Вершины четырехугольника обозначают заглавными латинскими буквами. Четырехугольник обозначается последовательностью вершин. На рисунке у нас четырехугольник ABCD.

Стороны четырехугольника

Стороны четырехугольника (или еще их называют грани или ребра) обозначаются строчными латинскими буквами. На рисунке мы обозначили стороны четырехугольника буквами a, b, c, d. Также стороны треугольника можно обозначать в виде отрезков, например a = AB, b = BC, c = CD, d = DA. Стороны, которые относятся к одной вершине, называются смежными сторонами. На рисунке для вершины A мы имеем смежные стороны DA и AB

Углы четырехугольника

Углы, как мы знаем, обозначают строчными греческими буквами. На рисунке углы четырехугольника обозначены как α, β, γ, θ, где α = DAB, β = ABC, γ = BCD, θ = CDA. Каждый угол четырехугольника имеет противолежащий угол, например, на рисунке угол α имеет противолежащий угол γ, а для β противолежащий угол θ.

Диагонали четырехугольника

Всего у четырехугольника две диагонали. На рисунке отрезки AC и BD — это диагонали четырехугольника ABCD.

Если диагонали четырехугольника пересекаются под прямым углом, то такой четырехугольник называется ортодиагональным.

Биссектрисы четырехугольника

В лекции по треугольникам мы подробно описали, как можно найти биссектрису для вершины с помощью транспортира.

Средние линии четырехугольника

Чтобы нарисовать среднюю линию необходимо все стороны четырехугольника разбить на два равных отрезка и найти середины. Середины противоположных сторон необходимо соединить отрезками, которые и будут средними линиями четырехугольника.

Классификация треугольников

Выпуклые четырехугольники

Невыпуклые или вогнутые четырехугольники

Самопересекающиеся четырехугольники

Визуально самопересекающийся четырехугольник похож на два треугольника у которых стороны лежать на двух пересекающихся линиях, а точка пересечения это общая вершина для треугольников.

Виды треугольников и их свойства

Параллелограмм

Прямоугольник

Квадрат

Трапеция

Трапеция, у которой бедра равны, называют равнобедренной трапецией. У равнобедренной трапеции углы у оснований равны. На рисунке справа изображена равнобедренная трапеция.

Дельтоид

Антипараллелограмм

Если провести выпуклую геометрическую фигуры через вершины антипараллелограмма, то у нас получится равнобедренная трапеция.

Как вписать окружность в четырехугольник?

Окружность, касающаяся всех четырех сторон четырехугольника, называется вписанной окружностью четырехугольника. В четырехугольник можно вписать окружность только при одном условии, что суммы противоположных сторон равны. Если условие равенства противоположных сторон не выполняется, то в такой четырехугольник невозможно вписать окружность.

Центр вписанной окружности четырехугольника — это точка пересечения всех медиан четырехугольника. Если от этой точки до любого основания измерить расстояние по перпендикуляру, то мы получим радиус вписанной окружности.

Как описать четырехугольник окружностью?

Окружность, проходящая по всем вершинам четырехугольника, называется описанной окружностью. Если сумма противоположных углов равна 180°, то такой четырехугольник можно описать окружностью. В случае, если данное условие не выполняется, то такой четырехугольник невозможно описать окружностью.

Центр описанной окружности четырехугольника — это точка пересечения перпендикуляров, выходящих из середины сторон.

Мы уже рисовали описанную окружность для треугольника. Алгоритм для описания окружности для четырехугольника такой же. На рисунке хорошо видно, как из середины сторон мы провели перпендикуляры и нашли точку пересечения. С помощью штангенциркуля выставляем радиус от центра до любой вершины и круговым движением рисуем описанную окружность четырехугольника.

Найди ортодиагональные четырехугольники.

четырехугольники

Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°:

Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.

Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:

Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон:

a < b+c+d, b < a+c+c,

c < a+b+d, d < a+b+c.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины.

Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, а невыпуклого – нет.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника:

Если M, N, P, Q – середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, а R, S – середины его диагоналей, то четырёхугольники MNPQ, MRPS, NSQR являются параллелограммами и называются параллелограммами Вариньона.

Форма и размеры параллелограммов Вариньона связаны с формой и размерами данного четырёхугольника ABCD. Так MNPQ – прямоугольник, если диагонали четырёхугольника ABCDперпендикулярны; MNPQ – ромб, если диагонали четырёхугольника ABCD равны; MNPQ – квадрат, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны и равны;

Отрезки MP, NQ и RS называются первой, второй и третьей средними линиями выпуклого четырёхугольника.

В параллелограмме, и только в нём, середины диагоналей совпадают, и потому третья средняя линия вырождается в точку. Для других четырёхугольников средние линии – отрезки.

Все средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам:

Сумма квадратов средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:

MP 2 + NQ 2 + RS 2 = ¼(AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 +AC 2 +BD 2 ).

Если β – угол между первой и второй средними линиями четырёхугольника, то его площадь:

Равными плитками, которые имеют форму произвольного, не обязательно выпуклого, четырёхугольника можно замостить плоскость так, чтобы не было наложений плиток друг на друга и не осталось непокрытых участков плоскости.

Описанные четырёхугольники

Четырёхугольник называется описанным около окружности (описанным), если существует такая окружность, которая касается всех его сторон, тогда сама окружность называется вписанной.

Четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны:

Для сторон описанного четырёхугольника и радиуса вписанной в него окружности верно:

a+c ≥ 4r, b+d ≥ 4r.

Площадь описанного четырёхугольника:

S = pr,

где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр четырёхугольника.

Площадь описанного четырёхугольника:

Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Точки касания вписанной окружности отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника:

AK=AN, BK=BL, CL=CM, DM=DN.

Если O – центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, то

Для описанного четырёхугольника ABCD со сторонами AB=a, BC=b,CD=c и AD=d верны соотношения:

Вписанные четырёхугольники

Четырёхугольник называется вписанным в окружность (вписанным), если существует окружность, проходящая через все его вершины, тогда сама окружность называется описанной около четырёхугольника.

Выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°:

Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.

Первая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

Площадь вписанного четырёхугольника:

Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают каждый его угол на два угла. Углы, опирающиеся на одну сторону, называются связанными углами.

Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы одна пара равных связанных углов.

У вписанного четырёхугольника любые два связанных угла равны.

Если четырёхугольник одновременно является описанным и вписанным, то его площадь:

Для радиусов описанной и вписанной окружностей данного четырёхугольника и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны:

У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

e 2 +f 2 = a 2 +b 2 +a 2 +b 2 = 2(a 2 +b 2 ).

Если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам – параллелограмм.

Если у четырёхугольника противолежащие углы попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к неприлежащей стороне:

h_a = b·sin γ; h_b = a·sin γ.

Площадь параллелограмма можно определить:

через его сторону и высоту, проведённую к ней:

S = ah_a = bh_b;

через две его стороны и угол между ними:

S = ab·sin γ.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:

В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить:

через высоту ромба:

через диагонали ромба и сторону:

через отрезки, на которые делит сторону ромба точка касания:

Площадь ромба можно определить:

через сторону и угол ромба:

через сторону и высоту:

через сторону и радиус вписанной окружности:

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые:

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка:

Площадь прямоугольника можно определить:

через его стороны:

S = ab;

через диагонали и угол между ними:

S = ½d²·sin γ.

Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали:

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны:

Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.

Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями:

У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.

Радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности:

Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны:

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.

Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.

Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции:

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме:

При продолжении до пересечения боковых сторон трапеции образуются два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

ΔAED∼ΔBEC, k=AD/BC.

Треугольники, образованные основами и отрезками диагоналей подобны с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

ΔAОD∼ΔCОВ, k=AD/BC.

Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:

Отрезок, соединяющий середины оснований (вторая средняя линия) трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей, а его продолжение – через точку пересечения продолжений боковых сторон:

Отрезок, соединяющий середины диагоналей (третья средняя линия) трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности:

В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон:

Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.

В трапецию АВСD с основаниями AD и BC можно вписать окружность тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств:

Боковые стороны трапеции видны из центра окружности, вписанной в данную трапецию, под прямым углом:

Радиус вписанной в трапецию окружности можно определить:

через отрезки, на которые делится боковая сторона точкой касания:

Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны:

У равнобокой трапеции:

углы при основании равны:

сумма противолежащих углов равна 180?:

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:

d² = ab+c².

Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Площадь трапеции можно определить:

через полусумму оснований (первую среднюю линию) и высоту:

через диагонали и угол между ними:

Дельтоид называется четырёхугольник, который имеет две пары равных соседних сторон.

Дельтоид может быть выпуклым или невыпуклым.

Прямые, содержащие диагонали любого дельтоида пересекаются под прямым углом.

В любом дельтоиде углы между соседними неравными сторонами равны.

Площадь любого дельтоида можно определить:

через его диагонали:

через две соседние неравные стороны и угол между ними:

S = ab·sin α .

/>

В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.

Если выпуклый дельтоид не является ромбом, то существует окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон данного дельтоида.

Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух сторон большей длины и продолжений двух меньших сторон, а также окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух сторон большей длины.

Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по 90°.

Радиус окружности, описанной около дельтоида можно определить через две его неравные стороны:

Ортодиагональные четырёхугольники

Четырёхугольник называется ортодиагональным, если его диагонали пересекаются под прямым углом.

Четырёхугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

для сторон четырёхугольника верно: a²+c² = b²+d²;

для площади четырёхугольника верно: S = ½ef;

параллелограмм Вариньона с вершинами в серединах сторон четырёхугольника является прямоугольником.

Сумма квадратов противолежащих сторон вписанного в окружность ортодиагонального четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности:

a²+c² = b²+d² = 4R².

Ортодиагональный четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда произведения его противолежащих сторон равны:

ac = bd.

Если ABCD – ортодиагональный четырёхугольник, описанный около окружности с центром в точке О, то верны соотношения:

Определение выпуклого четырехугольника

Статья поможет разобраться в свойствах и видах выпуклых четырехугольников. Научит отличать их от невыпуклых фигур. Вы узнаете, как определить, равны фигуры друг другу или нет, найдете ссылки на подробные доказательства всех пунктов равенства.

Что такое выпуклый четырехугольник

Это почти любой знакомый нам четырехугольник. Потому что в обычной общеобразовательной школе изучают только выпуклые фигуры.

Основные свойства

Для начала проверьте наличие четырех вершин, из которых три не лежат на одной прямой. Также должно быть четыре отрезка, которые эти вершины последовательно соединяют. Если все это есть, значит перед нами четырехугольник.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Дальше нужно отличить выпуклый от невыпуклого. Сделать это очень легко — достаточно просто посмотреть на данную вам фигуру: вся она должна быть расположена с одной стороны от любой из своих сторон. На рисунке ниже видно, что для невыпуклой фигуры это условие невыполнимо.

Виды выпуклых прямоугольников

Существуют две большие группы.

1 вид — параллелограммы:

• квадрат,
• прямоугольник,
• ромб,
• параллелограмм.

2 вид — трапеции:

• произвольная,
• прямоугольная,
• равнобедренная.

Свойства диагоналей, признаки выпуклости

Можно сказать, что это, за небольшим исключением, одно и то же, поэтому объединим их в один блок.

1 свойство

Пересечение всех диагоналей.

Точка пересечения должна быть общая. Если хотя бы одна диагональ не пересекается с остальными в одной точке, то этот четыреугольник невыпуклый.

В основе этого свойства лежит соответствующая теорема, но здесь мы ее подробно не рассматриваем.

2 свойство

Любая из диагоналей разделит четырехугольник на 2 треугольника. Можно воспользоваться рисунками, данными в первом блоке статьи, и мысленно провести одну диагональ в каждой из фигур. Результат будет подтверждением написанного в этом пункте.

Еще один признак выпуклости

Если сложить градусные меры всех углов фигуры, получится величина, равная 360º.

Признаки равенства

Выпуклые четырехугольники равны, если у них соответственно равны:

• четыре стороны и один угол;
• три стороны и два угла между ними;
• три стороны и два угла, которые не лежат между этими сторонами;
• три стороны и два противолежащих угла;
• три угла и две стороны между ними;
• три угла и две смежные сороны, которые не лежат между этими углами;
• три угла и две смежные стороны, причем одна из них лежит между этими углами;
• фигуры равны, если площадь одной равна площади другой.

Подробные доказательства по каждому пункту с иллюстрациями можно найти здесь: https://yadi.sk/i/V0X_9c1DY1Wehg

Сумма квадратов диагоналей

Если сумма квадратов диагоналей и сумма квадратов всех сторон фигуры равны, то это параллелограмм. Это свойство относится ко всем видам параллелограмма (ромб, квадрат, прямоугольник, собственно параллелограмм).

Диагонали четырехугольника

Есть ли способ узнать диагонали четырехугольника, если я знаю только четыре стороны — без углов?

Насколько я понимаю, я могу вычислить это по закону косинусов:

Но я не знаю углов! Так что я как бы застрял здесь.

5 ответов

Я не верю, что это возможно, по крайней мере, в общем случае. Я считаю, что, по крайней мере, для параллелограммов вы можете иметь несколько конфигураций углов, используя стороны одинаковой длины, и разные углы в конечном итоге дадут вам разную длину для диагоналей.

Даже для непараллелограммов можно иметь несколько конфигураций одинаковой длины, и это даст вам разную длину диагонали.

Вам действительно нужно знать угол, чтобы рассчитать диагональ.

В общем, четырехугольник не определяется длинами его сторон однозначно. Например, если все стороны равны, это может быть квадрат или любая из семейства ромбовидных фигур с равными противоположными углами. Все эти формы будут иметь разные диагонали, поэтому нет, это невозможно.