Как строить кусочно заданную функцию

5

Кусочно-линейная функция

Ситуация, когда движение или другое явление можно описать одной линейной функцией, определенной на интервале $-\infty \lt t \lt +\infty$, в действительности невозможна. Хотя бы потому, что возраст Вселенной велик, но не бесконечен.

На практике в течение некоторого времени тело может двигаться, потом – покоиться, потом – опять прийти в движение, но уже с другой скоростью и в другом направлении и т.п. Как задать подобную зависимость?

Допустим, турист идет из начальной точки по прямой тропинке в течение 2 ч со скоростью 5 км/ч, затем останавливается отдохнуть на 1ч и возвращается обратно по той же тропинке со скоростью 4 км/ч. Нам нужно найти формулу для расстояния s(t) от начальной точки на протяжении всего похода.

Изобразим зависимость s(t) графически:

Первый отрезок AB легко записать: $ s_1 (t) = 5t,0 \le t \lt 2$

С отрезком BC тоже всё ясно: $s_2 (t) = 10,2 \le t \lt 3$

Осталось найти формулу для отрезка CD. Для него известен угловой коэффициент, равный скорости k = -4; знак «минус» оттого, что турист возвращается обратно. Формула имеет вид $s_3 (t) = -4t+b$. Также, нам известны координаты C(3;10).

Подставляем: $10 = -4 \cdot 3+b \Rightarrow b =22$. Осталось рассчитать момент возвращения:

$$0 = -4t_+22 \Rightarrow t_ = 22:4 = 5,5$$ (ч)

Значит, формула движения на отрезке $CD:s_3 (t) = -4t+22,3 \le t \le 5,5.$

$$s(t) = <\left\< \begin 5t,0 \le t \lt 2 \\ 10,2 \le t \lt 3 \\ -4t+22,3 \le t \le 5,5 \end \right.> $$

Важным свойством заданной функции является выполнение условий согласования:

$$ s_1 (2) = s_2 (2) = 10,s_2 (3) = s_3 (3) = 10$$

Наша функция «сшита» на концах промежуточных интервалов.

$$x f(x) = <\left\< \begin k_1 x+b_1, x_1 \le x \lt x_2 \\ k_2 x+b_2,x_2 \le x \lt x_3 \\…\\ k_n x+b_n,x_n \le x \lt x_ \end \right.>$$

называется кусочно-линейной .

При этом для функции на краях интервалов выполняются условия согласования:

Графиком кусочно-линейной функции является ломаная линия

Знак модуля в линейных функциях

$$ |x| = \left[ \begin x, x\ge0 \\ -x, x \lt 0\end \right.$$

Если в формуле для линейной функции содержится знак модуля, то после его раскрытия получается кусочно-линейная функция.

Мы заменили квадратную скобку со значением «или» на фигурную скобку со значением «и», поскольку именно смысл объединения — «и того, и другого» — вкладывается в определение кусочно-линейной функции .

Примеры

Пример 1. Представьте функцию с модулем в виде кусочно-линейной и постройте её график:

б) $ y = 2|x|-1 = <\left\< \begin -2x-1, x \lt0 \\ 2x-1, x \ge 0 \end \right.>$

Пример 2*. Представьте функцию с модулем в виде кусочно-линейной и постройте её график:

Как видно из этого примера, аналитически выводить формулу для двух модулей очень нелегко.

Гораздо легче сразу построить график, если следовать следующим простым правилам преобразования.

Шаг 1. Строим y = 2x-1

Шаг 2. Строим y = 2|x|-1 по правилу: |x| отражает часть графика для положительных $x \ge 0$ влево, зеркально относительно оси Y

Шаг 3. Строим y = |(2|x|-1)| по правилу: общий модуль отражает участок графика с отрицательными $y \lt 0$ вверх, зеркально относительно оси X

Кусочные функции. Как построить график кусочной функции

Другими словами, на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам.

То есть, графики кусочных функций выглядят как «франкенштейны» — разные части берут у разных функций и «слепляют» вместе.

Как построить графики кусочных функций?

Очень просто. Нужно каждый кусочек функции построить на выделенном для него участке, не залезая на соседние. При этом неважно каким именно способом строятся эти кусочки – можно с помощью элементарных преобразований , можно по точкам .

Пример. Построить график кусочной функции \(y=\begin-\frac<5>, & x≤-1\\x^2-4x,& x>-1\end\)

Отметим их на координатной плоскости:

\(y=-\) \(\frac<5>\) — гипербола, с учетом этого соединим полученные точки. Главное не перечертить график за граничную точку \((-1;5)\).

2) Построим вторую функцию на области \(x∈(-1;∞)\).
Для начала проверим «состыкуются» ли графики, для этого найдем значение функции \(y=x^2-4x\) в точке \(-1\):
\(y(-1)=(-1)^2-4\cdot(-1)=1+4=5\) – значение такое же, как в первой функции, значит графики состыкуются.

\(y=x^2-4x\) – квадратичная функция , график этой функции — парабола с ветвями вверх. Чтобы её построить найдем координаты вершины парабола:

Отметим эту точку на графике и проведем через неё ось симметрии параболы.

Найдем значение в точке \(1\) и \(0\):
\(y(1)=1^2-4\cdot 1=1-4=-3\)
\(y(0)=0^2-4\cdot 0=0\)
Отметим точки \((1;-3)\), \((0;0)\) и симметричные им на координатной плоскости.

Соединим первый график и получившиеся точки в одну плавную линию.

Готово. График кусочной функции построен.

Как не должна выглядеть кусочная функция:

Здесь парабола заехала на территорию гиперболы, а гипербола заехала на территорию параболы, так быть не должно! У каждого кусочка – своя территория.

Кусочная функция с разрывом

В рассмотренном выше примере функция не имела разрыва в граничной точке (то есть, значения при \(x=-1\) были одинаковы и слева, и справа). Но так бывает не всегда.
Например, у функции \(y=\beginx+1,& при & x<0\\-x^2+2x+3, & при & x≥0\end\) есть разрыв в точке \(0\), потому что значение кусочков этой функции в граничной точке \(0\) не совпадает:
при \(x=0\) в первом кусочке, \(y(0)=0+1=1\);
при \(x=0\) во втором кусочке \(y(0)=-0^2+2\cdot 0+3=3\).
На графике это выглядит так:

Заметьте, что \(x=0\) включен во вторую часть функции (ведь ее область «икс больше или равен нулю), но не включен в первую (так как там «строго меньше нуля»). Поэтому граничную точку параболы мы закрашиваем, а линейной — выкалываем.

Как строить кусочно заданную функцию

Решение. Графиком первой функции является парабола. Построим ее часть (для ) путем сдвига графика (параболы) по оси ОУ на 1 единицу вниз. В таблице вычисляем значения функции только для .

Графиком второй функции тоже является парабола. Построим ее часть (для ) путем сдвига графика по оси ОХ на 1единицу вправо.

Решение. Если , то функция задана равенством и ее графиком является часть параболы, расположенная выше оси абсцисс, ветви направлены вниз, вершина в точке . Построим график функции на отрезке по точкам , , .

Для значений функция и ее графиком будет полупрямая от точки , т.е. на промежутке . Построим график по точкам , .

Для значений функция , ее график — прямая на промежутке . Построим график по точкам , .

§ 5. Непрерывность функций

Непрерывность и построение графиков кусочно-заданных функций – сложная тема. Учиться строить графики лучше непосредственно на практическом занятии. Здесь в основном показано исследование на непрерывность.

Известно, что элементарная функция (см. с. 16) непрерывна во всех точках, в которых определена. Поэтому нарушение непрерывности у элементарных функций возможно только в точках двух типов:

а) в точках, где функция «переопределяется»;

б) в точках, где функция не существует.

Соответственно только такие точки и проверяются при исследовании на непрерывность, что показано в примерах.

Для неэлементарных функций исследование сложнее. Например, функция (целая часть числа) определена на всей числовой оси, но терпит разрыв при каждом целомx. Подобные вопросы выходят за рамки пособия.

Перед изучением материала следует повторить по лекции или учебнику, какими (какого рода) бывают точки разрыва.

Исследование кусочно-заданных функций на непрерывность

Функция задана кусочно, если она на разных участках области определения задаётся разными формулами.

Основная идея при исследовании таких функций – выяснить, задана ли функция в тех точках, в которых переопределяется, и как. Затем проверяется, совпадают ли значения функции слева и справа от таких точек.

Пример 1. Покажем, что функция непрерывна.

Функция элементарна и потому непрерывна в тех точках, в которых определена. Но, очевидно, она определена во всех точках. Следовательно, во всех точках она и непрерывна, в том числе при, как требует условие.

То же справедливо для функции , и приона непрерывна.

В таких случаях непрерывность может нарушаться только там, где функция переопределяется. В нашем примере это точка . Проверим её, для чего найдём пределы слева и справа:

а) ;

б) .

Пределы слева и справа совпадают. Остаётся узнать:

а) определена ли функция в самой точке ;

б) если да, то совпадает ли со значениями пределов слева и справа.

По условию, если , то. Поэтому.

Видим, что (все равны числу 2). Это означает, что в точкефункция непрерывна. Итак, функция непрерывна на всей оси, включая точку .

Замечания к решению

а) При вычислениях не играло роли, подставляем мы в конкретную формулу число или. Обычно это важно, когда получается деление на бесконечно малую величину, поскольку влияет на знак бесконечности. Здесь жеиотвечают только завыбор функции;

б) как правило, обозначения иравноправны, то же касается обозначенийи(и справедливо для любой точки, а не только для). Дальше для краткости применяются обозначения вида;

в) когда пределы слева и справа равны, для проверки на непрерывность фактически остаётся посмотреть, будет ли одно из неравенств нестрогим. В примере таковым оказалось 2-е неравенство.

Пример 2. Исследуем на непрерывность функцию .

По тем же причинам, что в примере 1, непрерывность может нарушаться только в точке . Проверим:

а) ;

б) .

Пределы слева и справа равны, но в самой точке функция не определена (неравенства строгие). Это означает, что– точкаустранимого разрыва.

«Устранимый разрыв» означает, что достаточно или сделать любое из неравенств нестрогим, или придумать для отдельной точки функцию, значение которой приравно –5, или просто указать, что, чтобы вся функциястала непрерывной.

Ответ: точка – точка устранимого разрыва.

Замечание 1. В литературе устранимый разрыв обычно считается частным случаем разрыва 1-го рода, однако студентами чаще понимается как отдельный тип разрыва. Во избежание разночтений будем придерживаться 1-й точки зрения, а «неустранимый» разрыв 1-го рода оговаривать особо.

Пример 3. Проверим, непрерывна ли функция

В точке

а) ;

б) .

Пределы слева и справа различны: . Независимо от того, определена ли функция при(да) и если да, то чему равна (равна 2), точка–точка неустранимого разрыва 1-го рода.

В точке происходитконечный скачок (от 1 к 2).

Ответ: точка – точка неустранимого разрыва 1-го рода.

Замечание 2. Вместо иобычно пишутисоответственно.

Возможен вопрос: чем отличаются функции

и ,

а также их графики? Правильный ответ:

а) 2-я функция не определена в точке ;

б) на графике 1-й функции точка «закрашена», на графике 2-й – нет («выколотая точка»).

Точка , где обрывается график, не закрашена на обоих графиках.

Сложнее исследовать функции, по-разному определённые на трёх участках.

Пример 4. Непрерывна ли функция ?

Так же, как в примерах 1 – 3, каждая из функций ,инепрерывна на всей числовой оси, в том числе – на участке, на котором задана. Разрыв возможен только в точкеили (и) в точке, где функция переопределяется.

Задача распадается на 2 подзадачи: исследовать на непрерывность функции

и ,

причём точка не представляет интереса для функции, а точка– для функции.

1-й шаг. Проверяем точку и функцию(индекс не пишем):

а) ;

б) .

Пределы совпадают. По условию, (если пределы слева и справа равны, то фактически функция непрерывна, когда одно и из неравенств нестрогое). Итак, в точкефункция непрерывна.

2-й шаг. Проверяем точку и функцию:

а) ;

б) .

Поскольку , точка– точка разрыва 1-го рода, и значение(и то, есть ли оно вообще) уже не играет роли.

Ответ: функция непрерывна во всех точках, кроме точки , где имеет место неустранимый разрыв 1-го рода – скачок от 6 к 4.

Пример 5. Найти точки разрыва функции .

Действуем по той же схеме, что в примере 4.

1-й шаг. Проверяем точку :

а) , поскольку слева отфункция постоянна и равна 0;

б) (– чётная функция).

Пределы совпадают, но при функция по условию не определена, и получается, что– точка устранимого разрыва.

2-й шаг. Проверяем точку :

а) ;

б) – значение функции не зависит от переменной.

Пределы различны: , точка– точка неустранимого разрыва 1-го рода.

Ответ: – точка устранимого разрыва,– точка неустранимого разрыва 1-го рода, в остальных точках функция непрерывна.

Пример 6. Непрерывна ли функция ?

Функция определена при, поэтому условиепревращается в условие.

С другой стороны, функция определена при, т.е. при. Значит, условиепревращается в условие.

Получается, что должно выполняться условие , и область определения всей функции – отрезок.

Сами по себе функции иэлементарны и потому непрерывны во всех точках, в которых определены – в частности, и при.

Остаётся проверить, что происходит в точке :

а) ;

б) .

Поскольку , смотрим, определена ли функция в точке. Да, 1-е неравенство – нестрогое относительно, и этого достаточно.

Ответ: функция определена на отрезке и непрерывна на нём.

Более сложные случаи, когда одна из составляющих функций неэлементарна или не определена в какой-либо точке своего отрезка, выходят за рамки пособия.

НФ1. Постройте графики функций. Обратите внимание, определена ли функция в той точке, в которой переопределяется, и если да – каково значение функции (слово «если» в определении функции для краткости пропущено):

1) а) б)в)г)

2) а) б)в)г)

3) а) б)в)г)

4) а) б)в)г)

Пример 7. Пусть . Тогда на участкестроим горизонтальную прямую, а на участкестроим горизонтальную прямую. При этом точка с координатами«выколота», а точка«закрашена». В точкеполучается разрыв 1-го рода («скачок»), и.

НФ2. Исследуйте на непрерывность функции, по-разному определённые на 3-х интервалах. Постройте графики:

1) а) б)в)

г) д)е)

2) а) б)в)

г) д)е)

3) а) б)в)

г) д)е)

Пример 8. Пусть . На участкестроим прямую, для чего находими. Соединяем точкииотрезком. Сами точки не включаем, поскольку приифункция по условию не определена.

На участке иобводим осьOX (на ней ), однако точкии«выколоты». В точкеполучаем устранимый разрыв, а в точке– разрыв 1-го рода («скачок»).

НФ3. Постройте графики функций и убедитесь в их непрерывности:

1) а) б)в)

г) д)е)

2) а) б)в)

г) д)е)

НФ4. Убедитесь в непрерывности функций и постройте их графики:

1) а) б)в)

2 а) б)в)

3) а) б)в)

НФ5. Постройте графики функций. Обратите внимание на непрерывность:

1) а) б)в)

г) д)е)

2) а) б)в)

г) д)е)

3) а) б)в)

г) д)е)

4) а) б)в)

г) д)е)

5) а) б)в)

г) д)е)

НФ6. Постройте графики разрывных функций. Обратите внимание на значение функции в той точке, где функция переопределяется (и существует ли оно):

1) а) б)в)

г) д)е)

2) а) б)в)

г) д)е)

3) а) б)в)

г) д)е)

4) а) б)в)

г) д)е)

5) а) б)в)

г) д)е)

НФ7. То же задание, что и в НФ6:

1) а) б)в)

г) д)е)

2) а) б)в)

г) д)е)

3) а) б)в)

г) д)е)

4) а) б)в)

г) д)е)