1.5. След и определитель
Sp(A+B) = Sp(A)+ Sp(B).
Можно показать, что
Sp(A) = Sp(A t ), Sp(I) = N,
Sp(AB) = Sp(BA).
Другой важной характеристикой квадратной матрицы является ее определитель (обозначается det(A)). Определение определителя в общем случае довольно сложно, поэтому мы начнем с простейшего варианта — матрицы A размерностью (2×2). Тогда
Для матрицы (3×3) определитель будет равен
В случае матрицы (N×N) определитель вычисляется как сумма 1·2·3· . ·N = N! слагаемых, каждый из которых равен
Индексы k1, k2. kN определяются как всевозможные упорядоченные перестановки r чисел в наборе (1, 2, . , N). Вычисление определителя матрицы — это сложная процедура, которую на практике осуществляется с помощью специальных программ. Например,
Рис. 12 Определитель матрицы
Отметим только очевидные свойства:
det(I) = 1, det(A) = det(A t ),
det(AB) = det(A)det(B).
1.6. Векторы
Если матрица состоит только из одного столбца (J = 1), то такой объект называется вектором. Точнее говоря, вектором-столбцом. Например
Можно рассматривать и матрицы, состоящие из одной строки, например
Этот объект также является вектором, но вектором-строкой. При анализе данных важно понимать, с какими векторами мы имеем дело — со столбцами или строками. Так спектр, снятый для одного образца можно рассматривать как вектор-строку. Тогда набор спектральных интенсивностей на какой-то длине волны для всех образцов нужно трактовать как вектор-столбец.
Размерностью вектора называется число его элементов.
Ясно, что всякий вектор-столбец можно превратить в вектор-строку транспонированием, т.е.
В тех случаях, когда форма вектора специально не оговаривается, а просто говорится вектор, то имеют в виду вектор-столбец. Мы тоже будем придерживаться этого правила. Вектор обозначается строчной прямой полужирной буквой. Нулевым вектором называется вектор, все элементы которого раны нулю. Он обозначается 0.
1.7. Простейшие операции с векторами
Векторы можно складывать и умножать на числа так же, как это делается с матрицами. Например,
Рис. 13 Операции с векторами
Два вектора x и y называются колинеарными, если существует такое число α, что
αx = y.
1.8. Произведения векторов
Два вектора одинаковой размерности N можно перемножить. Пусть имеются два вектора x = (x1, x2. xN) t и y = (y1, y2. yN) t . Руководствуясь правилом перемножения «строка на столбец», мы можем составить из них два произведения: x t y и xy t . Первое произведение
называется скалярным или внутренним. Его результат — это число. Для него также используется обозначение (x,y) = x t y. Например,
Рис. 14 Внутреннее (скалярное) произведение
называется внешним. Его результат — это матрица размерности (N×N). Например,
Рис. 15 Внешнее произведение
Векторы, скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными.
След матрицы
Тогда формула следа матрицы $ tr (A) $ записывается следующим образом:
Как найти?
Чтобы найти след матрицы используем следующий алгоритм действий:
- Определяем квадратная ли матрица (число строк равно числу столбцов)
- Берем элементы на главной диагонали $ a_<11>,a_<22>,a_<33>,\text<. >, a_
$ - Выполняем их суммирование
Примеры решений
По формуле след равняется сумме элементов по главной диагонали матрицы:
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
След квадратной матрицы
Следом (от английского «trace», что в переводе значит «отпечаток, след») матрицы называют сумму её элементов, стоящих на главной диагонали.
Математически след для матричной таблички размерности $n$ в общей форме записывается так:
Определить след можно только для квадратных матриц.
Основные свойства следа:
$A = \begin
Рассмотрим также для примера матрицу размерностью четыре.
$B = \begin
Ну и напоследок табличка размером пять:
$C = \begin
След (линейная алгебра) — Trace (linear algebra)
В линейной алгебры , то след из квадратной матрицы A , обозначается тр ( ) , определяется как сумма элементов на главной диагонали (от верхнего левого к нижнему правому) из A .
След матрицы — это сумма ее (комплексных) собственных значений ( с учетом кратностей), и он инвариантен относительно замены базиса . Эта характеризация может быть использована для определения следа линейного оператора в целом. След определяется только для квадратной матрицы ( n × n ).
СОДЕРЖАНИЕ
Определение
След из п × п квадратной матрицы A определяется как
где II обозначает запись на I — й строки и I — й столбец А .
Пример
Пусть A — матрица с
Характеристики
Основные свойства
для всех квадратных матриц A и B и всех скаляров c .
Матрица и ее транспонирование имеют одинаковый след:
Это сразу следует из того, что транспонирование квадратной матрицы не влияет на элементы по главной диагонали.
След продукта
След квадратной матрицы, являющейся произведением двух матриц, можно переписать как сумму произведений их элементов по элементам. Точнее, если A и B две матрицы m × n , то:
Это означает, что след произведения матриц равного размера функционирует аналогично скалярному произведению векторов (представьте, что A и B как длинные векторы со столбцами, наложенными друг на друга). По этой причине обобщения векторных операций на матрицы (например, в матричном исчислении и статистике ) часто включают след матричных произведений.
Для вещественных матриц A и B след продукта также можно записать в следующих формах:
| tr ( А Т B ) знак равно ∑ я , j ( А ∘ B ) я j <\ displaystyle \ operatorname |
| (с использованием произведения Адамара , также известного как начальное произведение). |
| tr ( А Т B ) знак равно vec ( B ) Т vec ( А ) знак равно vec ( А ) Т vec ( B ) <\ displaystyle \ operatorname |
| (с помощью оператора векторизации ). |
Матрицы в следе продукта можно переключать без изменения результата: если A — матрица m × n, а B — матрица n × m , то
Кроме того, для вещественных матриц столбцов и след внешнего продукта эквивалентен внутреннему продукту: а ∈ р п <\ displaystyle \ mathbf \ in \ mathbb
Циклическое свойство
В более общем смысле, след инвариантен относительно циклических перестановок , т. Е.
Это называется циклическим свойством .
Произвольные перестановки не допускаются: как правило,
Однако, если рассматриваются произведения трех симметричных матриц, допускается любая перестановка, поскольку:
где первое равенство связано с тем, что следы матрицы и ее транспонирования равны. Обратите внимание, что в целом это неверно для более чем трех факторов.
След матричного произведения
В отличие от определителя , след продукта не является произведением следов, то есть существуют такие матрицы A и B , что
След продукта Кронекера
След продукта Кронекера двух матриц является произведением их следов:
Полная характеристика следа
Следующие три свойства:
полностью охарактеризовать след в следующем смысле. Пусть f — линейный функционал на пространстве квадратных матриц, для которого f ( xy ) = f ( yx ) . Тогда f и tr пропорциональны.
Инвариантность подобия
След инвариантен к подобию , что означает, что для любой квадратной матрицы A и любой обратимой матрицы P одинаковой размерности матрицы A и P −1 AP имеют один и тот же след. Это потому что
След произведения симметричной и кососимметричной матрицы
Если является симметричным и B является кососимметричен , то
Отношение к собственным значениям
След единичной матрицы
След единичной матрицы n × n — это размерность пространства, а именно n .
След идемпотентной матрицы
След в идемпотентной матрицы A (матрица , для которой 2 = ) равно ранга из A .
След нильпотентной матрицы
Когда характеристика основного поля равна нулю, верно и обратное: если tr ( A k ) = 0 для всех k , то A нильпотентна.
Трассировка равна сумме собственных значений
В более общем смысле, если
то есть след квадратной матрицы равен сумме собственных значений, подсчитанных с кратностями.
След коммутатора
Когда оба и В являются п × п матрицы, след (кольцо теоретико-) коммутатора из А и В равна нулю: Tr ([ , B ]) = 0 , так как тр ( АВ ) = тр ( ВА ) и тр линейно. Это можно сформулировать так: «след — это отображение алгебр Ли gl n → k от операторов к скалярам», поскольку коммутатор скаляров тривиален (это абелева алгебра Ли). В частности, используя инвариантность подобия, следует, что единичная матрица никогда не похожа на коммутатор любой пары матриц.
Наоборот, любая квадратная матрица с нулевым следом представляет собой линейную комбинацию коммутаторов пар матриц. Более того, любая квадратная матрица с нулевым следом унитарно эквивалентна квадратной матрице с диагональю, состоящей из всех нулей.
След эрмитовой матрицы
След эрмитовой матрицы действительный, потому что элементы на диагонали действительны.
След матрицы перестановок
След матрицы перестановок — это количество неподвижных точек , потому что диагональный член a ii равен 1, если i- я точка фиксирована, и 0 в противном случае.
След матрицы проекции
След матрицы проекции — это размер целевого пространства.
Матрица P X идемпотентна, и, вообще говоря, след любой идемпотентной матрицы равен ее собственному рангу.
Экспоненциальный след
Выражения типа tr (exp ( A )) , где A — квадратная матрица, так часто встречаются в некоторых областях (например, в многомерной статистической теории), что сокращенное обозначение стало обычным явлением:
tre иногда называют экспоненциальной функцией трассировки ; он используется в неравенстве Голдена – Томпсона .
След линейного оператора
В целом, учитывая некоторое линейное отображение F : V → V (где V представляет собой конечно- мерное векторное пространство ), мы можем определить след этой карты, рассматривая след матрицы представления о е , то есть, выбирая основу для V и описывая f как матрицу относительно этого базиса, и беря след этой квадратной матрицы. Результат не будет зависеть от выбранного базиса, поскольку разные базисы приведут к похожим матрицам , что дает возможность независимого от базиса определения следа линейного отображения.
Такое определение может быть дано с помощью канонического изоморфизма между пространством End ( V ) линейных отображениями на V и V ⊗ V * , где V * является сопряженным пространством из V . Пусть v находится в V, а f — в V * . Тогда след неразложимого элемента v ⊗ f определяется как f ( v ) ; след общего элемента определяется линейностью. Используя явный базис для V и соответствующий дуальный базис для V * , можно показать, что это дает такое же определение следа, как дано выше.
Отношения собственных значений
Если линейный оператор представлен квадратной матрицы с вещественными или комплексными записями и если λ 1 , . λ п являются собственные из А (перечислены в соответствии с их алгебраических кратностей ), то
Это следует из того факта, что A всегда подобна своей жордановой форме , верхнетреугольной матрице, имеющей λ 1 ,…, λ n на главной диагонали. В противоположность этому , определитель из А является продуктом его собственных значений; то есть,
В более общем смысле,
Производные
След соответствует производной определителя: это аналог алгебры Ли ( группы Ли ) отображения определителя. Это уточнено в формуле Якоби для производной от определителя .
В конкретном случае, в идентичности , производная детерминанта фактически сводится к следу: TR = йе ‘ я . Из этого (или из связи между следом и собственными значениями) можно вывести связь между функцией следа, экспоненциальным отображением между алгеброй Ли и ее группой Ли (или, конкретно, матричной экспоненциальной функцией) и определителем :
Например, рассмотрим однопараметрическое семейство линейных преобразований, задаваемых поворотом на угол θ ,
Все эти преобразования имеют определитель 1, поэтому они сохраняют площадь. Производная этого семейства при θ = 0 , единичный поворот, является антисимметричной матрицей
который явно имеет нулевую трассу, что указывает на то, что эта матрица представляет собой бесконечно малое преобразование, сохраняющее площадь.
Связанная характеристика трассы применяется к линейным векторным полям . Для данной матрицы A определим векторное поле F на R n формулой F ( x ) = Ax . Компоненты этого векторного поля являются линейными функциями (заданными строками A ). Его дивергенция div F является постоянной функцией, значение которой равно tr ( A ) .
По теореме о расходимости это можно интерпретировать в терминах потоков: если F ( x ) представляет скорость жидкости в точке x, а U — область в R n , чистый поток жидкости из U определяется выражением tr ( ) · т ( U ) , где т ( U ) представляет собой объем из U .
След — линейный оператор, поэтому он коммутирует с производной:
Приложения
След комплексной матрицы 2 × 2 используется для классификации преобразований Мёбиуса . Сначала матрица нормализуется, чтобы сделать ее определитель равным единице. Тогда, если квадрат следа равен 4, соответствующее преобразование будет параболическим . Если квадрат находится в интервале [0,4) , он эллиптический . Наконец, если квадрат больше 4, преобразование является локсодромным . См. Классификацию преобразований Мёбиуса .
Трассировка используется для определения символов из представлений групп . Два представления , B : G → GL ( V ) группы G эквивалентны (до изменения базиса на V ) , если тр ( ( г )) = Tr ( В ( г )) для всех г ∈ G .
След также играет центральную роль в распределении квадратичных форм .
Алгебра Ли
Ядро этого отображения, матрица, след которой равен нулю , часто называют бесследный или проследить бесплатно , и эти матрицы образуютпростую алгебру Ли , которая является алгеброй Ли из специальной линейной группы матриц с определителем 1. Специальная линейная группа состоит из матрицкоторые не изменяют объем,то время как специальная линейная алгебра Ли является матрицы, не изменяющие объема бесконечно малых множеств. s л п <\ displaystyle <\ mathfrak
Фактически, существует внутреннее разложение операторов / матриц прямой суммой на бесследные операторы / матрицы и скалярные операторы / матрицы. Карта проекции на скалярные операторы может быть выражена в терминах следа, в частности, как: грамм л п знак равно s л п ⊕ K <\ displaystyle <\ mathfrak
Формально, можно составить след ( карту счетчиков ) с единичной картой «включения скаляров », чтобы получить отображение карты на скаляры и умножить на n . Деление на n делает это проекцией, что дает формулу выше. K → грамм л п <\ displaystyle K \ to <\ mathfrak
(где ) для групп Ли. Тем не менее, трасса расщепляется естественным образом (через скаляры умножения), поэтому расщепление определителя будет таким, как скаляры корня n- й степени, и это в общем случае не определяет функцию, поэтому определитель не разделяется, и общая линейная группа не разлагается: K * знак равно K ∖ < 0 > <\ Displaystyle К ^ <*>= К \ setminus \ <0 \>> 1 / п <\ displaystyle 1 / n>грамм л п знак равно s л п ⊕ K <\ displaystyle <\ mathfrak
Билинейные формы
Билинейная форма (где Х , Y квадратные матрицы)
называется формой Киллинга , которая используется для классификации алгебр Ли.
След определяет билинейную форму:
Форма является симметричной, невырожденной и ассоциативной в том смысле, что:
Для сложной простой алгебры Ли (такой как n ) каждая такая билинейная форма пропорциональна друг другу; в частности, к форме убийства. s л <\ displaystyle <\ mathfrak
Две матрицы X и Y называются ортогональными по следу, если
Внутренний продукт
Для матрицы A размера m × n с комплексными (или действительными) элементами и H, являющимся сопряженным транспонированием, имеем
дает скалярное произведение на пространстве всех комплексных (или вещественных) матриц размера m × n .
Норма , полученная из приведенного выше скалярного произведения называется норма Фробениуса , которая удовлетворяет полумультипликативное свойство как матричная норма. В самом деле, это просто евклидова норма , если матрица рассматривается как вектор длины м ⋅ н .
Отсюда следует, что если A и B — действительные положительные полуопределенные матрицы одного размера, то
Обобщения
Если K является следовым классом, то для любого ортонормированного базиса след определяется выражением ( φ п ) п <\ Displaystyle (\ varphi _ <п>) _ <п>>
и конечна и не зависит от ортонормированного базиса.
Частичный след является другим обобщением следа , который операторнозначный. След линейного оператора Z, который живет в пространстве-продукте A ⊗ B , равен частичным следам над A и B :
Для получения дополнительных свойств и обобщения частичного следа см. Отслеживаемые моноидальные категории .
Если общая ассоциативная алгебра над полем к , то след на А часто определяется как любое отображение тр: ↦ к которой обращается в нуль на коммутаторах: тр ([ , Ь ]) для всех а , б ∈ A . Такой след не определен однозначно; его всегда можно, по крайней мере, изменить умножением на ненулевой скаляр.
Суперслед является обобщением следа на установку супералгебрах .
Операция тензорного сжатия обобщает след на произвольные тензоры.
Безкоординатное определение
К следу можно также подойти безкоординатным образом, т. Е. Без обращения к выбору базиса, следующим образом: пространство линейных операторов в конечномерном векторном пространстве V (определенном над полем F ) изоморфно пространству пространство V ⊗ V ∗ линейным отображением
Существует также каноническая билинейная функция t : V × V ∗ → F, которая состоит в применении элемента w ∗ из V ∗ к элементу v из V, чтобы получить элемент из F :
Это индуцирует линейную функцию на тензорном произведении (в силу своего универсального свойства ) t : V ⊗ V ∗ → F , которое, как оказывается, когда это тензорное произведение рассматривается как пространство операторов, равно следу.
В частности, для оператора A ранга один (то есть простого тензора ) квадрат является потому, что на его одномерном изображении A представляет собой просто скалярное умножение. В терминах тензорного выражения, это след (и только ненулевое собственное значение) оператора A ; это дает безкоординатную интерпретацию диагонального входа. Каждый оператор в n -мерном пространстве может быть выражен как сумма n операторов ранга один; это дает безкоординатную версию суммы диагональных элементов. v ⊗ ш * <\ displaystyle v \ otimes w ^ <*>> А 2 знак равно λ А , <\ displaystyle A ^ <2>= \ lambda A,> λ знак равно ш * ( v ) , <\ displaystyle \ lambda = w ^ <*>(v),>
Это также проясняет, почему tr ( AB ) = tr ( BA ) и почему tr ( AB ) ≠ tr ( A ) tr ( B ) , поскольку композиция операторов (умножение матриц) и след могут интерпретироваться как одно и то же спаривание. Viewing
можно интерпретировать композиционную карту
происходит от спаривания V ∗ × V → F на средних членах. Отслеживание следа продукта происходит в результате спаривания на внешних терминах, при взятии продукта в обратном порядке и последующем взятии следа просто выбирается, какое спаривание применяется первым. С другой стороны, взятие следа A и следа B соответствует применению спаривания к левым и правым членам (а не к внутреннему и внешнему) и, таким образом, отличается.
В координатах это соответствует индексам: умножение дается на
что то же самое, в то время как
Для конечномерного V с базисом < e i > и дуальным базисом < e i > , тогда e i ⊗ e j — это ij -элемент матрицы оператора относительно этого базиса. Следовательно, любой оператор A является суммой вида
Если t определено, как указано выше,
Последнее, однако, является просто дельтой Кронекера , равной 1, если i = j, и 0 в противном случае. Это показывает, что tr ( A ) — это просто сумма коэффициентов по диагонали. Однако этот метод делает координатную инвариантность непосредственным следствием определения.
Двойной
Далее, можно дуализировать эту карту, получив карту
Это отображение и есть включение скаляров , отправляющее 1 ∈ F в единичную матрицу: «след двойственен скалярам». На языке биалгебр скаляры — это единица , а след — это счетчик .
Затем можно составить их,
F → я Конец ( V ) → tr F , <\ displaystyle F
что дает умножение на n , поскольку след идентичности является размерностью векторного пространства.
Обобщения
Используя понятие дуализируемых объектов и категориальных следов , этот подход к следам может быть плодотворно аксиоматизирован и применен к другим областям математики.