Лабораторная работа 9 Обратные операторы Примеры решения задач
Задача 1 Пусть Доказать, что существует непрерывный обратный оператор , и построить его.
Решение. Очевидно, что А – линейный оператор. Докажем, что А – биекция. Рассмотрим уравнение , которое равносильно системе уравнений
то . Мы получили, что уравнение имеет единственное решение х из . Значит, А – биекция. Более того, из (1) следует, что обратный оператор задается формулой
Ограниченность этого оператора следует из оценки (см (2))
Решение. Очевидно, что А – линейный оператор.
Запишем его в виде
и рассмотрим уравнение , т. е.
Тогда (3) примет вид , откуда . Мы получили общий вид решения уравнения (3) с неопределенным коэффициентом с. Подставив это в (4), без труда находим, что
Итак, уравнение (2) имеет единственное решение из . Значит, оператор А обратим, причем обратный оператор вычисляется по формуле (5). Непрерывность обратного оператора вытекает из теоремы об оценке интеграла. Действительно, по этой теореме
а потому выполняется неравенство ограниченности (другое доказательство непрерывности получается из (5) с помощью теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Римана).
Задача 2 Пусть
Что представляет собой область значений R(A) оператора А?
Существует ли на R(A) левый обратный оператор В?
Является ли оператор ограниченным, если он существует?
Существует ли обратный оператор ?
Решение. 1) Очевидно, что
–множество последовательностей из , первая координата которых равна нулю (проверьте). Заметим, что
2) Так как уравнение имеет только нулевое решение, то . А это, как известно, равносильно тому, что левый обратный оператор В существует. Легко проверить, что
Действительно, при всех х из имеем .
3) Оператор В ограничен, так как
4) Поскольку уравнение не при всех у имеет решение (например, при ), то А не является сюрьекцией. А это значит, что правого обратного оператора не существует. Следовательно, А необратим.
Решение. 1) По теореме о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом (теорема Барроу) функция дифференцируема, причем . Значит, . Кроме того, очевидно, что у(0)=0. Обратно, если и у(0)=0, то по формуле Ньютона-Лейбница . Поэтому
2) Рассмотрим оператор дифференцирования . Поскольку (снова по теореме Барроу) при всех , то В – левый обратный для оператора А.
3) Покажем, что В не является ограниченным оператором. Допустим противное, т.е.
Возьмём . Тогда последнее неравенство примет вид . Противоречие.
4) Поскольку , то А не является сюръекцией. Значит, правого обратного оператора не существует. Следовательно, не существует и .
Задача 3 Пусть , где — числовой параметр, Х — банахово пространство. Выяснить, при каких существует обратный оператор к оператору , построить его. При каких оператор непрерывно обратим?
Решение. Для нахождения обратного оператора рассмотрим в уравнение x=y, т. е. линейное дифференциальное уравнение
Нужно выяснить, при каких у этого уравнения для любого существует единственное решение . Другими словами, для любого краевая задача
для уравнения (6) должна иметь единственное непрерывно дифференцируемое решение. Воспользовавшись формулой для общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка, получим общее решение уравнения (1):
Требуется узнать, при каких для любого найдется такое С, при котором формула (8) дает решение задачи (7). Подставив (8) в (7), получим после упрощений
Возможны два случая.
а) . Тогда уравнение (9) имеет единственное решение
для любого . Следовательно, при этих существует обратный оператор, который мы найдем, подставив это С в равенство (8):
В силу теоремы Банаха об обратном операторе непрерывность этого оператора будет следовать из непрерывности оператора . Последний же факт легко доказать по Гейне. Действительно, если в пространстве , то это значит, что и равномерно на [0;1]. Но тогда и равномерно на [0;1].
б) . В этом случае уравнение (9) имеет вид
Так как правая часть этого уравнения при некоторых непрерывных у (например, при не будет равна 0, то при этих у уравнение (9) не имеет решения (относительно С), а потому оператор не сюръективен.
Итак, обратный оператор к оператору существует тогда и только тогда, когда . Причем при таких оператор непрерывно обратим.
Задания лабораторной работы
Задача 1 Пусть . Доказать, что существует непрерывный обратный оператор