Как найти касательную плоскость к поверхности

Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Уравнение касательной плоскости к поверхности записывается следующем образом:

$$ F’_x \bigg |_M (x-x_0) + F’_y \bigg |_M (y-y_0) + F’_z \bigg |_M (z-z_0) = 0 $$

Уравнение нормали к поверхности составляется по формуле:

1. Находим частные производные $ F’_x, F’_y, F’_z $ в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $
2. Подставляем найденные значения производных в формулы для составления уравнений

Если в условии задачи задана точка $ M (x_0,y_0) $ с двумя координатами, то необходимо дополнительно вычислить координату $ z_0 $ из уравнения $ F(x_0,y_0,z_0) = 0 $, подставив в него известные координаты $ x_0 $ и $ y_0 $.

Примеры решений

Переносим $ z $ в правую часть и записываем поверхность в виде:

$$ F(x,y,z) = x^2 + y^2 — z $$

Находим частные производные первого порядка функции $ F(x,y,z) $:

$$ F’_x = 2x $$ $$ F’_y = 2y $$ $$ F’_z = -1 $$

Вычисляем значения полученных производных в точке $ M(1,-2,5) $:

$$ F’_x \Big |_M = F’_x(1,-2,5) = 2 \cdot 1 = 2 $$

$$ F’_y \Big |_M = F’_y (1,-2,5) = 2 \cdot (-2) = -4 $$

$$ F’_z \Big |_M = F’_z (1,-2,5) = -1 $$

Подставляем полученные данные в формулу касательной плоскости:

Раскрываем скобки и записываем окончательное уравнение плоскости:

$$ 2x — 4y — z — 5 = 0 $$

Теперь запишем уравнение нормали к поверхности с помощью второй формулы:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

$$ 2x — 4y — z — 5 = 0 $$

Записываем поверхность в виде: $$ F = e^ — z $$

Находим частные производные от функции $ F(x,y,z) $:

$$ F’_x = e^ \cdot (x\cos y)’_x = \cos y e^ $$

$$ F’_y = e^ \cdot (x\cos y)’_y = -x\sin y e^ $$

Вычисляем значения производных в точке $ M(1,\pi,\frac<1>) $:

$$ F’_x \Big |_M = F’_x (1,\pi,\frac<1>) = \cos \pi \cdot e^ <1 \cdot \cos \pi>= -1 \cdot e^ <(-1)>= -e^ <-1>$$

$$ F’_y \Big |_M = F’_y (1,\pi, \frac<1>) = -1 \cdot \sin \pi \cdot e^ <1 \cdot \cos \pi>= -1 \cdot 0 \cdot e^1 = 0 $$

Подставляем в первую формулу касательной плоскости полученные ранее неизвестные данные:

$$ -e^<-1>(x-1) + 0 \cdot (y-\pi) + (-1) \cdot (z-\frac<1>) = 0 $$

Домножаем обе части уравнения на $ -e $ и получаем окончательное уравнение плоскости:

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть M₀(x₀; y₀; z₀) – фиксированная точка на поверхности, заданной функцией z = f(x; y) или уравнением F(x; y; z) = 0.

Касательной плоскостью к поверхности в точке M₀ называется плоскость, в которой расположены касательные к всевозможным кривым, проведенным на поверхности через точку M₀.

Нормалью называется прямая, проходящая через точку M₀ перпендикулярно касательной плоскости.

Из определений следует, что нормальный вектор касательной плоскости и направляющий вектор нормали совпадают.

Если поверхность задана уравнением z = f(x; y), то уравнение касательной плоскости в точке M₀(x₀; y₀; z₀) к данной поверхности имеет вид

(1)

а канонические уравнения нормали, проведенной через точку M₀(x₀; y₀; z₀) поверхности, имеют вид

(2)

В случае, когда уравнение гладкой поверхности задано в неявном виде: F(x; y; z) = 0 и F(x₀; y₀; z₀) = 0, то уравнение касательной плоскости в точке M₀(x₀; y₀; z₀) имеет вид

(3)

а уравнение нормали

(4)

Пример 15.Найти уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхностив точкеM₀(1; 2; –1).

Вычисляем значения частных производных в точке M₀(1; 2; –1)

Подставляя их в уравнения (3) и (4), получаем соответственно уравнение касательной плоскости: канонические уравнения нормали:

Тест 11. Уравнение касательной плоскости к поверхности в точкеP₀(2; –3; 2) имеет следующий вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Производная по направлению. Градиент

Частные производные ипредставляют собой производные от функцииz = f(x; y) по двум частным направлениям осей Ox и Oy (рисунок 43).

Пусть функция z = f(x; y) определена в некоторой окрестности точки М(х; у), – некоторое направление, задаваемое единичным векторомгдеибо(или);cos , cos  – косинусы углов, образуемых вектором е с осями координат и называемые направляющими косинусами.

При перемещении в данном направлении точкиM(x; y) в точку M₁(x + x; y + y) функция z получит приращение z = f(x + x; y + + y) – f(x; y), называемое приращением функции в данном направлении

Если то, очевидно, чтоследовательно,

Производной по направлению функции двух переменных z = f(x; y) называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения при стремлении последней к нулю, т. е.

Производная характеризует скорость изменения функции в направлении

Формула для производной функции z = f(x; y) по направлению имеет вид

Пример 16. Дана функция z = x 2 + y 2 , в точке M(1; 1) направление составляет с осью Ox угол Найти производную функции по указанному направлению в этой точке.

Решение

Так как то уголПо формуле производной функции по направлению получим

В точке M(1; 1) получаем:

Градиентом grad z функции z = f(x; y) называется вектор с координатами

Рассмотрим скалярное произведение векторов и единичного вектора

Итак, производная по направлению есть скалярное произведение градиента grad z и единичного вектора, задающего направление

Градиент функции grad z в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке.

Пример 17. Найти градиент функции в точкеM(0; 1).

Касательная плоскость и нормаль к поверхности: вывод уравнений, примеры

Понятие касательной плоскости и нормали к поверхности

Определение. Касательной плоскостьью к поверхности z = f(x,y) в точке P 0 (x 0 ,y 0 ,f(x 0 ,y 0 )) называется плоскость, содержащие все касательные к поверхности, проведённые в точке P 0 .

Определение. Нормалью к поверхности в точке P называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной плоскости, проведённой через точку P .

Чтобы найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, нужно выполнить следующее:

• найти частные производные функции, которой задана поверхность;
• найти значения найденных частных производных в точке P 0 ;
• найденные значения частных производных и координаты точки P 0 подставить в уравнения касательной плоскости и нормали в общем виде.

Прежде чем решать примеры, выведем уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности: их вывод может быть включён в экзаменационные билеты.

Вывод уравнений касательной плоскости и нормали к поверхности

Чтобы получить уравнение касательной плоскости, достаточно составить уравнение плоскости, на которой находятся две касательные прямые, проведённые через точку P 0 (x 0 ,y 0 ,f(x 0 ,y 0 )) . Одна из касательных прямых пусть будет параллельна плоскости xOz , другая — параллельна плоскости yOz (поэтому x — константа). Уравнения этих прямых будут следующими:

В последнем уравнении A и B — произвольные константы. Эта плоскость перпендикулярна вектору нормали .

Принимая в уравнении плоскости y = y 0 , получим уравнение пучка прямых, проходящих через точку P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) и лежащих в плоскости y = y 0 :

Чтобы касательная прямая принадлежала этому пучку прямых, должно быть .

Принимая в уравнении плоскости x = x 0 , получим уравнение пучка прямых, проходящих через точку P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) и лежащих в плоскости x = x 0 :

Чтобы касательная прямая принадлежала этому пучку прямых, должно быть .

Подставляя полученные коэффициенты A и B в уравнение плоскости, получаем уравнение касательной плоскости:

Это и есть уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) .

Так как вектор перпендикулярен касательной плоскости к поверхности, то он параллелен нормали и может служить вектором её направления. Таким образом, уравнение нормали к поверхности z = f(x,y) в точке P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) :

Рассмотрим также случай, когда уравнение поверхности дано в неявной форме:

Это уравнение определяет неявную функцию z = f(x,y) , частные производные которой в точке P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 )

при условии, что , а . Подставляя эти производные в уравнение касательной плоскости, получаем

Перенеся все слагаемые в левую часть и умножив на , получаем уравнение касательной плоскости для случая, когда поверхность задана в неявном виде:

Соответствующие уравнения нормали к поверхности:

Примеры нахождения уравнений касательной плоскости и нормали к поверхности

Пример 1. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

Решение. Функция, которой задана поверхность:

Вычислим значения частных производных в точке :

Найденные значения частных производных и координаты точки подставим в уравнения касательнной плоскости и нормали к поверхности. Получаем уравнение касательной плоскости:

Пример 2. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

Решение. Эта задача уже посложнее, так как в ней не дано x 0 и эту координату требуется найти. Для этого подставим y 0 и z 0 в уравнение поверхности:

Найдём частные производные функции, которой задана поверхность:

Вычислим значения частных производных в точке P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) :

Найденные значения частных производных и координаты точки подставим в уравнения касательнной плосоксти и нормали к поверхности. Получаем уравнение касательной плоскости:

Пример 3. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

которая параллельна плоскости .

Решение. Сначала нужно найти точку поверхности, проведённая через которую касательная плоскость будет параллельна заданной плоскости. Если касательная плоскость и данная плоскость параллельны, то векторы нормалей будут коллинеарны.

Вектором нормали касательной плоскости будет , где . Вектором нормали данной плоскости является .

Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны, то есть

Чтобы найти координаты точки M, к последним равенствам нужно присоединить уравнение поверхности. В результате получим систему уравнений, которую и решаем:

Вот мы и нашли две точки и , проведённая через которые касательная плоскость параллельна данной плоскости.

Вычислим значения частных производных в точке :

Теперь уже можем составить уравнение касательной плоскости, проведённой через точку :

Как найти уравнения касательной плоскости и нормали
к поверхности в заданной точке?

Сегодня на уроке я расскажу вам об одном популярном приложении дифференциального исчисления функции двух переменных, а именно, о том, что вы видите в заголовке. По существу, это «пространственный аналог» задачи нахождения касательной и нормали к графику функции одной переменной, и поэтому никаких трудностей возникнуть не должно.

Начнём с базовых вопросов: ЧТО ТАКОЕ касательная плоскость и ЧТО ТАКОЕ нормаль? Многие осознают эти понятия на уровне интуиции. Самая простая модель, приходящая на ум – это шар, на котором лежит тонкая плоская картонка. Картонка расположена максимально близко к сфере и касается её в единственной точке. Кроме того, в точке касания она закреплена торчащей строго вверх иголкой.

В теории существует довольно остроумное определение касательной плоскости. Представьте произвольную поверхность и принадлежащую ей точку . Очевидно, что через точку проходит много пространственных линий, которые принадлежат данной поверхности. У кого какие ассоциации? =) …лично я представил осьминога. Предположим, что у каждой такой линии существует пространственная касательная в точке .

Определение 1: касательная плоскость к поверхности в точке – это плоскость, содержащая касательные ко всем кривым, которые принадлежат данной поверхности и проходят через точку .

Определение 2: нормаль к поверхности в точке – это прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной плоскости.

Просто и изящно. Кстати, чтобы вы не померли со скуки от простоты материала, чуть позже я поделюсь с вами одним изящным секретом, который позволяет РАЗ И НАВСЕГДА забыть о зубрёжке различных определений.

С рабочими формулами и алгоритмом решения познакомимся прямо на конкретном примере. В подавляющем большинстве задач требуется составить и уравнение касательной плоскости, и уравнения нормали:

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение: если поверхность задана уравнением (т.е. неявно), то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке можно найти по следующей формуле:

Особое внимание обращаю на необычные частные производные – их не следует путать с частными производными неявно заданной функции (хотя поверхность задана неявно). При нахождении этих производных нужно руководствоваться правилами дифференцирования функции трёх переменных, то есть, при дифференцировании по какой-либо переменной, две другие буквы считаются константами:

Не отходя от кассы, найдём частную производную в точке:

Это был самый неприятный момент решения, в котором ошибка если не допускается, то постоянно мерещится. Тем не менее, здесь существует эффективный приём проверки, о котором я рассказывал на уроке Производная по направлению и градиент.

Все «ингредиенты» найдены и теперь дело за аккуратной подстановкой с дальнейшими упрощениями:

– общее уравнение искомой касательной плоскости.

Настоятельно рекомендую проконтролировать и этот этап решения. Сначала нужно убедиться, что координаты точки касания действительно удовлетворяют найденному уравнению:

Теперь «снимаем» коэффициенты общего уравнения плоскости и проверяем их на предмет совпадения либо пропорциональности с соответствующими значениями . В данном случае пропорциональны. Как вы помните из курса аналитической геометрии, – это вектор нормали касательной плоскости, и он же – направляющий вектор нормальной прямой. Составим канонические уравнения нормали по точке и направляющему вектору :

В принципе, знаменатели можно сократить на «двойку», но особой надобности в этом нет

Ответ:

Уравнения не возбраняется обозначить какими-нибудь буквами, однако, опять же – зачем? Здесь и так предельно понятно, что к чему.

Следующие два примера для самостоятельного решения. Небольшая «математическая скороговорка»:

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

И задание, интересное с технической точки зрения:

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке

Тут есть все шансы не только запутаться, но и столкнуться с трудностями при записи канонических уравнений прямой. А уравнения нормали, как вы, наверное, поняли, принято записывать именно в таком виде. Хотя, по причине забывчивости либо незнания некоторых нюансов более чем приемлема и параметрическая форма.

Примерные образцы чистового оформления решений в конце урока.

В любой ли точке поверхности существует касательная плоскость? В общем случае, конечно же, нет. Классический пример – это коническая поверхность и точка – касательные в этой точке непосредственно образуют коническую поверхность, и, разумеется, не лежат в одной плоскости. В неладах легко убедиться и аналитически: .

Другим источником проблем является факт несуществования какой-либо частной производной в точке. Однако это ещё не значит, что в данной точке нет единой касательной плоскости.

Но то была, скорее, научно-популярная, нежели практически значимая информация, и мы возвращаемся к делам насущным:

Как составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке,
если поверхность задана явной функцией ?

Перепишем её в неявном виде :

и по тем же принципам найдём частные производные:

Таким образом, формула касательной плоскости трансформируется в следующее уравнение:

, и соответственно, канонические уравнения нормали:

Как нетрудно догадаться, – это уже «настоящие» частные производные функции двух переменных в точке , которые мы привыкли обозначать буквой «зет» и находили 100500 раз.

Заметьте, что в данной статье достаточно запомнить самую первую формулу, из которой в случае необходимости легко вывести всё остальное (понятно, обладая базовым уровнем подготовки). Именно такой подход следует использовать в ходе изучения точных наук, т.е. из минимума информации надо стремиться «вытаскивать» максимум выводов и следствий. «Соображаловка» и уже имеющиеся знания в помощь! Этот принцип полезен ещё и тем, что с большой вероятностью спасёт в критической ситуации, когда вы знаете очень мало.

Отработаем «модифицированные» формулы парой примеров:

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Небольшая тут накладка получилась с обозначениями – теперь буква обозначает точку плоскости , но что поделать – такая уж популярная буква….

Решение: уравнение искомой касательной плоскости составим по формуле:

Вычислим значение функции в точке :

Вычислим частные производные 1-го порядка в данной точке:

аккуратно, не спешим:

Запишем канонические уравнения нормали в точке :

Ответ:

И заключительный пример для самостоятельного решения:

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Заключительный – потому, что фактически все технические моменты я разъяснил и добавить особо нечего. Даже сами функции, предлагаемые в данном задании, унылы и однообразны – почти гарантированно на практике вам попадётся «многочлен», и в этом смысле Пример №2 с экспонентой смотрится «белой вороной». Кстати, гораздо вероятнее встретить поверхность, заданную уравнением и это ещё одна причина, по которой функция вошла в статью «вторым номером».

И напоследок обещанный секрет: так как же избежать зубрёжки определений? (я, конечно, не имею в виду ситуацию, когда студент что-то лихорадочно зубрит перед экзаменом)

Определение любого понятия/явления/объекта, прежде всего, даёт ответ на следующий вопрос: ЧТО ЭТО ТАКОЕ? (кто/такая/ такой/такие). Осознанно отвечая на данный вопрос, вы должны постараться отразить существенные признаки, однозначно идентифицирующие то или иное понятие/явление/объект. Да, поначалу это получается несколько косноязычно, неточно и избыточно (препод поправит =)), но со временем развивается вполне достойная научная речь.

Потренируйтесь на самых отвлечённых объектах, например, ответьте на вопрос: кто такой Чебурашка? Не так-то всё просто 😉 Это «сказочный персонаж с большими ушами, глазами и коричневой шерстью»? Далеко и очень далеко от определения – мало ли существует персонажей с такими характеристиками…. А вот это уже гораздо ближе к определению: «Чебурашка – это персонаж, придуманный писателем Эдуардом Успенским в 1966 г, который …(перечисление основных отличительных признаков)». Обратите внимание, как грамотно начата статья о Чебурашке в Википедии – с понятия, кто это такой.

Кроме того, в прикладных областях особую важность приобретает второй вопрос: ЗАЧЕМ ЭТО НУЖНО? Например, та или иная команда языка программирования. В подобных определениях должен обязательно содержаться ответ на этот вопрос.

Однако ответ желательно найти в любом случае. Ну, с нашими примерами всё понятно, Чебурашка нужен, чтобы развлекать детей, а касательные плоскости и нормали – чтобы радовать взрослых =)

Эту статью я написал за один-единственный день (величайшая редкость), и надеюсь, она вам понравилась!

Традиционные решения и ответы:

Пример 2: Решение: уравнение касательной плоскости к поверхности в точке составим по формуле:

Вычислим частные производные в точке :

Таким образом:

(умножили обе части на –5)

– уравнение искомой касательной плоскости.
Запишем уравнения нормали к поверхности в точке :

– канонические уравнения искомой нормали.
Ответ:

Пример 3: Решение: преобразуем уравнение:

Вычислим частные производные в точке :

Запишем уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке :

Запишем канонические уравнения нормали в точке :

Ответ: – уравнение искомой касательной плоскости;
– уравнения искомой нормали.

Пример 5: Решение: используем формулу:

Вычислим частные производные в точке :

Таким образом, уравнение касательной плоскости к поверхности в точке :

Уравнения нормали:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!