Критерий Сильвестра для квадратичных функций
В этом уроке вы узнаете, что такое положительно определённые и отрицательно определённые квадратичные функции. Мы разберём критерий Сильвестра — универсальное правило, которое позволяет одно от другого.
Критерий Сильвестра тесно связан с формулой Якоби. Поэтому в уроке будут встречаться такие объекты как угловые миноры. Если вам непонятно, что это такое, см. урок «Формула Якоби».
1. Положительно определённая функция
- , если для любого вектора $x\ne 0$ имеем $q\left(x \right) \gt 0$.
- , если для любого вектора $x\ne 0$ имеем $q\left(x \right) \gt 0$.
- , если для любого вектора $x\ne 0$ имеем $q\left(x \right)\ge 0$.
- , если для любого вектора $x\ne 0$ имеем $q\left(x \right)\le 0$.
В случае когда квадратичная функция $q\left(x \right)$ принимает разные знаки, её называют .
Определение 2. Симметрическая билинейная функция $\beta :V\times V\to \mathbb
$ называется (или ), если ассоциированная с ней квадратичная функция $q:V\to \mathbb $ положительно определена (или, соответственно, отрицательно определена).
Прежде всего нас будут интересовать положительно определённые квадратичные функции. Очевидно, что в $n$-мерном пространстве нормальный вид таких функций будет следующим:
2. Примеры положительно определённой функции
Положительно определённой функцией является любая квадратичная форма, состоящая из точных квадратов:
Возможны и более сложные случаи, если они легко сводятся к точным квадратам:
В общем случае можно привести матрицу квадратичной функции $q\left( x \right)$ к диагональному виду. Если все числа на главной диагонали будут положительны, то квадратичная функция $q\left( x \right)$ положительно определена.
Но это долго и чревато большим количеством ошибок. Поэтому есть способ быстрее и проще — критерий Сильвестра.:)
3. Критерий Сильвестра
Критерий Сильвестра позволяет выяснить, является ли данная квадратичная функция положительно определённой, отрицательно определённой или общего вида. Для этого нам потребуется лишь посчитать угловые миноры $<<\Delta >_<1>>,\ldots ,<<\Delta >_
Теорема. (Критерий Сильвестра). Симметрическая билинейная функция $\beta :V\times V\to \mathbb
$ является положительно определённой тогда и только тогда, когда все угловые миноры $<<\Delta >_>$ её матрицы $A$ в произвольном базисе $\left\< < _<1>>,\ldots ,< _ > \right\>$ являются положительными: \[<<\Delta >_<1>>=<_<1,1>> \gt 0\quad \ldots \quad <<\Delta >_
>=\det A \gt 0\]
3.1. Доказательство критерия Сильвестра
Поскольку это критерий, т.е. в его формулировке присутствует конструкция «тогда и только тогда», доказательство разделяется на две части: необходимость и достаточность.
1. Докажем необходимость. Пусть симметрическая билинейная функция $\beta $ является положительно определённой. Докажем необходимость индукцией по $n=\dim V$.
При $n=1$ всё очевидно: матрица билинейной функции $\beta $ в любом базисе представляет собой одну клетку $A=\left[ <_<1,1>> \right]$, а в координатной записи получим
Предположим, что теорема верна для $n=k$: если симметрическая билинейная функция $\beta $ положительно определена, то её угловые миноры положительны:
Докажем теорему для $n=k+1$. Пусть $\left\< <
Поскольку функция $\beta $ положительно определена на всём пространстве $V$, её ограничение $\beta <<|>_>$ на подпространство $U$ тоже положительно определено. Матрица ограничения $\beta <<|>_>$ (назовём её $A<<|>_>$) получается из матрицы $A$ вычёркиванием последней строки и последнего столбца:
Видно, что угловые миноры $<<\Delta >_<1>>,\ldots ,<<\Delta >_
Осталось доказать, что минор $<<\Delta >_
По теореме о диагональной матрице обязательно найдётся базис $\left\< <
Поскольку функция $\beta $ положительно определена, на диагонали матрицы $B$ стоят только положительные элементы:
\[<_
Следовательно определитель диагональной матрицы $B$ тоже положительный:
С другой стороны, мы знаем, что матрицы $A$ и $B$ связаны с матрицей перехода $T=<
Следовательно, определители этих матриц тоже связаны:
Здесь мы воспользовались свойствами определителей:
- Определитель произведения равен произведению определителей.
- При транспонировании матрицы её определитель не меняется.
Выше мы доказали, что $\det B \gt 0$. Кроме того, $\det T\ne 0$, поскольку матрица перехода не вырождена. Следовательно, $<<\Delta >_
2. Докажем достаточность. Здесь всё просто: пусть все угловые миноры $<<\Delta >_<1>>,\ldots ,<<\Delta >_
Заметим, что коэффициенты $<<<\Delta >_>>/<<<\Delta >_
3.2. Случай отрицательно определённой функции
Существует критерий Сильвестра и для отрицательно определённой билинейной функции.
Теорема. (Критерий Сильвестра). Симметрическая билинейная функция $\beta :V\times V\to \mathbb
$ является отрицательно определённой тогда и только тогда, когда знаки угловых миноров $<<\Delta >_>$ её матрицы $A$ в произвольном базисе $\left\< < _<1>>,\ldots ,< _ > \right\>$ чередуются, начиная с отрицательного: \[<<\left( -1 \right)>^
>\cdot <<\Delta >_ > \gt 0,\quad 1\le k\le n\]
Доказательство — аналогично критерию Сильвестра для положительно определённых функций. С той лишь разницей, что в базисе $\left\< <
4. Примеры задач
Задача 1. Исследуйте квадратичную форму на знакоопределённость:
\[q\left( x \right)=x_<1>^<2>+12<
_<1>>< _<2>>+37x_<2>^<2>\] Решение. Матрица такой квадратичной формы:
\[A=\left[ \begin
1 & 6 \\ 6 & 37 \\ \end \right]\] Найдём угловые миноры:
\[\begin
<<\Delta >_<1>>&=1 \gt 0 \\ <<\Delta >_<2>>&=\det A=37-36=1 \gt 0 \\ \end \] Следовательно, по критерию Сильвестра это положительно определённая квадратичная форма.
Заметим, что в этом можно было убедиться и без всяких специальных критериев. Достаточно выделить в исходной квадратичной форме точный квадрат:
Получилась сумма двух квадратов. Очевидно, что такое выражение будет положительным для любого ненулевого вектора.
Задача 2. Исследуйте квадратичную форму на знакоопределённость:
\[q\left( x \right)=9x_<1>^<2>+6x_<2>^<2>+x_<3>^<2>+12<
_<1>>< _<2>>-10< _<1>>< _<3>>-2< _<2>>< _<3>>\] Решение. Матрица такой квадратичной формы выглядит так:
\[A=\left[ \begin
9 & 6 & -5 \\ 6 & 6 & -1 \\ -5 & -1 & 6 \\ \end \right]\] Считаем угловые миноры:
\[\begin
<<\Delta >_<1>>&=9 \gt 0 \\ <<\Delta >_<2>>&=\left| \begin 9 & 6 \\ 6 & 6 \\ \end \right|=9\cdot 6-6\cdot 6=18 \gt 0 \\ <<\Delta >_<3>>&=\det A=\ldots =9 \gt 0 \\ \end \] Итак, все угловые миноры положительны. Следовательно, квадратичная форма $q\left( x \right)$ положительно определена.
Задача 3. Исследуйте квадратичную форму на знакоопределённость:
\[q\left( x \right)=x_<1>^<2>-16x_<2>^<2>+2<
_<1>>< _<2>>-4< _<1>>< _<3>>+10< _<2>>< _<3>>\] Решение. Матрица этой квадратичной формы:
\[A=\left[ \begin
1 & 1 & -2 \\ 1 & -16 & 5 \\ -2 & 5 & 0 \\ \end \right]\] Считаем угловые миноры:
\[\begin
<<\Delta >_<1>>&=1 \gt 0 \\ <<\Delta >_<2>>&=\left| \begin 1 & 1 \\ 1 & -16 \\ \end \right|=-16-2=-18 \lt 0 \\ \end \] Считать третий угловой минор нет смысла, поскольку уже на первых двух минорах не выполнено ни одно из условий: квадратичная форма $q\left( x \right)$ не может быть ни положительно, ни отрицательно определённой.
Задача 4. Исследуйте квадратичную форму на знакоопределённость:
\[q\left( x \right)=-4<
_<1>>< _<2>>\] Матрица этой квадратичной формы (полагаем, что речь идёт о двумерном пространстве $<<\mathbb
>^<2>>$) равна \[A=\left[ \begin
0 & -2 \\ -2 & 0 \\ \end \right]\] Её угловой миноры $<<\Delta >_<1>>=0$, из-за чего дальше можно не считать, поскольку при таком угловом миноре нельзя установить знакоопределённость квадратичной формы по критерию Сильвестра.
о размерности подпространств 
§ 3. Положительно и отрицательно определенные формы. Критерий Сильвестра.
Как отмечалось в начале знакомства с квадратичными формами, результаты исследований свойств квадратичных форм могут эффективно использоваться в геометрии: теория кривых и поверхностей 2-го порядка. Не менее эффективно используют теорию квадратичных форм и в математическом анализе: исследование экстремумов функций нескольких переменных. Для применения в математическом анализе важны понятия, устанавливаемые в следующих определениях.
Квадратичная матрица с действительными коэффициентами называется положительно определенной, если 
=
и она приводится к нормальному виду, в котором присутствуют только положительные слагаемые:
=
+
+…+
. (1)
Нетрудно заметить, что положительно определённая квадратичная форма в записи (1) принимает положительное значение, если хотя бы одна из переменных величин: 
,
. 
не равна нулю.
Квадратичная матрица с действительными коэффициентами называется отрицательно определенной, если 
=
и она приводится к нормальному виду, в котором присутствуют только отрицательные слагаемые:
=–
–
–…–
. (2)
Нетрудно заметить, что отрицательно определённая квадратичная форма в записи (1) принимает только отрицательные значение, если хотя бы одна из переменных величин: 
,
. 
не равна нулю.
Квадратичная матрица с действительными коэффициентами называется полуопределенной, если 
<
и она приводится к нормальному виду, в котором присутствуют слагаемые одного знака.
Нетрудно заметить, что полуопределённая квадратичная форма может принимать нулевые значения, даже в случае, когда не все переменные величины: 
,
. 
равны нулю.
Квадратичная матрица с действительными коэффициентами называется неопределенной, если она приводится к нормальному виду, в котором присутствуют как положительные, так и отрицательные слагаемые.
Нетрудно заметить, что неопределённая квадратичная форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Когда квадратичная форма приведена к каноническому, или нормальному, виду, определить будет она положительно определённой или нет, несложно. Рассматривая примеры приведения квадратичной формы к каноническому и нормальному виду, мы могли убедиться в том, что процесс этот весьма трудоёмкий! Возникает вопрос, а нельзя ли, имея матрицу квадратичной формы, определить по ее коэффициентам будет она положительно определенной, или нет. На этот вопрос отвечает следующая теорема.
Квадратичная форма f от n неизвестных x=(
,
. 
) с действительными коэффициентами тогда и только тогда будет положительно определенной, если при всяких действительных значениях этих неизвестных, хотя бы одно из которых отлично от нуля, эта форма получает положительные значения.
►Пусть положительно определенная квадратичная форма невырожденным линейным преобразованием 
: y=(
,
. 
)=(
,
. 
)· 
приведена к нормальному виду:
f = 
+
+…+
. (1)
Если рассматривать значения формы f при различных значениях x=(
,
. 
), причем хотя бы одно из них не равно нулю, то необходимо сначала вычислить 
=
·
. Значения переменных y: (
,
. 
) не могут все сразу обратиться в нуль, так как в этом случае определитель системы линейных однородных уравнений: (
,
. 
)·
=0 должен быть равным нулю. Но это значит: |
|=0. Последнее невозможно: матрица 
невырожденная!
Итак, если квадратичная форма положительно определенная, она принимает положительное значение при любом наборе значений переменных x: (
,
. 
), хотя бы одно из которых не равно нулю.
Если квадратичная форма не является положительно определенной, то есть может быть приведена к виду:
f = 
+
+…+
–
–…–
,
то легко подобрать такие значения переменных x: (
,
. 
), причём хотя бы одно из них не равно нулю, что форма будет принимать любое (наперед заданное!) значение: как положительное, так и отрицательное. ◄
Доказанная теорема (на первый взгляд!) не продвинула нас к реализации идеи (желания): определить по ее коэффициентам будет она положительно определенной, или нет.
Рассмотрим последовательность миноров матрицы 
, определяющей квадратичную форму f:
∆1 =
, ∆2 =
. ∆k=
, … , ∆n =
. (2)
Последовательность миноров (2) определителя матрицы 
называется последовательностью главных миноров формы f.
Оказалось (!), при помощи главных миноров квадратичной формы, значит, при помощи коэффициентов формы, вопросы, связанные с положительно (и отрицательно) определенными формами, могут быть решены полностью. Это устанавливает следующая теорема.
Квадратичная форма f от n неизвестных x: (
,
. 
) с действительными коэффициентами тогда и только тогда будет положительно определенной, если все ее главные миноры строго положительны.
►1). Пусть квадратичная форма положительно определенная. Это значит, что матрица 
квадратичной формы, представленной в нормальном виде, имеет определитель: |
|=1. Докажем, что все главные миноры матрицы 
строго положительны. Воспользуемся методом индукции.
♦ При 
=1 форма: 
= a11
, ее матрица 
=(a11), единственный минор равен числу a11 . Форма положительно определенная → число a11>0, то есть главный минор строго положителен.
♦ Пусть утверждение верно для (
-1): форма положительно определенная → все главные миноры строго положительны.
♦ Пусть имеем форму: f =
=
(
,
. 
)+2
+
·
,
где 
– квадратичная форма от (
-1) неизвестных переменных x: (
,
. 
), без переменной 
. Главные миноры формы 
совпадают с главными минорами формы 
, кроме последнего. Так как форма f положительно определенная, то 
тоже положительно определенная: если она принимает значение ≤ 0, при 
=0 и форма 
приняла бы это же значение, что противоречит допущению.
Что касается последнего главного минора формы 
, то он строго положителен, так как определитель матрицы 
формы нормального вида: |
|>0. Согласно Теореме 11.2 определитель матрицы 
тоже > 0.
2). Пусть теперь все главные миноры матрицы 
строго положительны. Значит, строго положительны все главные миноры формы 
. Воспользуемся методом индукции.
♦ При 
=1 единственный минор (главный) равен числу a11> 0 → форма 
=a11 
положительно определенная.
♦ Пусть утверждение верно для (
-1): все главные миноры строго положительны → форма положительно определенная.
♦ Пусть имеем форму: f =
=
(
,
. 
)+2
+
·
,
где 
– квадратичная форма от (n-1) неизвестных переменных x: (
,
. 
), без переменной 
. Главные миноры формы 
совпадают с главными минорами формы 
, кроме последнего. Пусть все главные миноры строго положительны. По предположению индукции форма 
положительно определенная и может быть невырожденным линейным преобразованием приведена к виду суммы (
-1) положительных квадратов от новых неизвестных переменных y: (
,
. 
). Дополним это преобразование до линейного (невырожденного) преобразования неизвестных переменных x: (
,
. 
), полагая значение переменной: 
= 
→ получим:
f = 
+2
+
·
, (3)
причем точные выражения коэффициентов bin не требуются. Запишем тождество:
+2 
=
–
. (4)
Далее применим невырожденное линейное преобразование переменных квадратичной формы (3):
=
, 
=
,
=
. (5)
Легко видеть, что преобразование переменных: (4) приводит форму 
к каноническому виду: f = 
+c
. (6)
Матрица 
квадратичной формы (6) получена двумя невырожденными преобразованиями переменных формы. Значит матрица 
— невырожденная. Так как по условию главный минор заданной квадратичной формы: |
|>0, то, в соответствии с Теоремой 11.2, необходимо |
|>0. Из этого следует, что с – положительное число. Следовательно, форма положительно определенная. ◄
Следствие: для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно выполнения неравенств: ∆1 < 0, ∆2 > 0,…, (–1) n ∆n > 0.
►Приведем отрицательно определенную форму к положительно определенной форме умножением ее на число (–1). Это значит, что матрицей преобразованной квадратичной формы будет матрица: –
, то есть каждый элемент матрицы 
умножается на число (–1). В таком случае каждый главный минор порядка k матрицы – 
есть минор ∆k порядка k матрицы 
, умноженный на (–1) k (здесь используется свойство определителя: из каждой строки (столбца) выносим (–1) за знак определителя). Используем утверждение Теоремы 11.9 и убеждаемся в верности Следствия. ◄
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих принятые определения и доказанные теоремы о положительно и отрицательно определённых формах.
Пример 11–07:Задана квадратичная форма: 
=
. Не приводя формук каноническому виду, доказать, что форма – положительно определённая.
1). Составим матрицу заданной квадратичной формы: 
=
.
2). Вычислим главные миноры заданной квадратичной формы, учитывая матрицу 
:
=5 → 
=1 →
=1.
3). Так как все главные миноры квадратичной формы положительны, то заданная квадратичная форма – положительно определённая.
Пример 11–08:Задана квадратичная форма: 
=
. Не приводя формук каноническому виду, определить тип квадратичной формы.
1). Составим матрицу заданной квадратичной формы: 
=
.
2). Вычислим главные миноры заданной квадратичной формы, учитывая матрицу 
:
=3 → 
=–1 →
=–1.
3). Значения главных миноров квадратичной формы соответствуют неопределённой квадратичной форме.
Ответ: квадратичная форма — неопределённая.
Пример 11–09:Задана квадратичная форма: 
=
. Не приводя формук каноническому виду, определить тип квадратичной формы.
1). Составим матрицу заданной квадратичной формы: 
=
.
2). Вычислим главные миноры заданной квадратичной формы, учитывая матрицу 
:
=–11< 0 →
=30> 0→ 
=–81<0.
3). Значения главных миноров квадратичной формы соответствуют отрицательно определённой квадратичной форме.
Ответ: квадратичная форма – отрицательно определённая.
Пример 11–10:Задана квадратичная форма: 
=
. Не приводя формук каноническому виду, определить тип квадратичной формы.
0). Чтобы не избежать вычислений с дробями будем исследовать квадратичную форму, тип которой совпадает с типом заданной форм: 
=2
=
.
1). Составим матрицу заданной квадратичной формы 
:
=
.
2). Вычислим главные миноры заданной квадратичной формы, учитывая матрицу 
:
=4→
=–1< 0→ 
=–20< 0→ 
= 4 > 0.
3). Значения главных миноров квадратичной формы соответствуют неопределённой квадратичной форме.
Ответ: квадратичная форма – неопределённая.
Пример 11–11:Задана квадратичная форма: 
=
. Найти все значения 
, при которых квадратичная форма – положительно определённая.
1). Составим матрицу заданной квадратичной формы: 
=
.
2). Вычислим главные миноры заданной квадратичной формы, учитывая матрицу 
:
=5 → 
=1 →
=
–2.
3). Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определённой, необходимо, чтобы выполнялось условие: 
–2>0.
Ответ: квадратичная форма будет положительно определённая при условии: 
>2.
Пример 11–12:Задана квадратичная форма: 
=
. Найти все значения 
, при которых квадратичная форма – положительно определённая.
1). Составим матрицу заданной квадратичной формы: 
=
.
2). Вычислим главные миноры заданной квадратичной формы, учитывая матрицу 
:
=1 → 
=4–
→
=
=–(
–30
+105).
3). Решение системы неравенств: 4–
>0, (
–30
+105)<0 – пустое множество.Следует: нет таких значений 
, при которых квадратичная форма могла бы быть положительно определённой.
Ответ:нет таких значений 
, при которых квадратичная форма могла бы быть положительно определённой.
Набор поясняющих примеров иллюстрирует наиболее сложные теоретические вопросы и предлагает рациональные схемы вычислений участвующих величин.
Квадратичные формы.
Знакоопределённость форм. Критерий Сильвестра
Прилагательное «квадратичный» сразу наталкивает на мысль, что что-то здесь связано с квадратом (второй степенью), и очень скоро мы узнаем это «что-то» и что такое форма. Прямо скороговоркой получилась 🙂
Приветствую вас на своём новом уроке, и в качестве незамедлительной разминки мы рассмотрим форму в полосочку линейную. Линейной формой переменных называют однородный многочлен 1-й степени:
– какие-то конкретные числа* (предполагаем, что хотя бы одно из них отлично от нуля), а – переменные, которые могут принимать произвольные значения.
* В рамках данной темы будем рассматривать только действительные числа.
С термином «однородный» мы уже сталкивались на уроке об однородных системах линейных уравнений, и в данном случае он подразумевает, что у многочлена нет приплюсованной константы .
Например: – линейная форма двух переменных
Теперь форма квадратичная. Квадратичной формой переменных называют однородный многочлен 2-й степени, каждое слагаемое которого содержит либо квадрат переменной, либо парное произведение переменных. Так, например, квадратичная форма двух переменных имеет следующий вид:
Внимание! Это стандартная запись, и что-то менять в ней не нужно! Несмотря на «страшный» вид, тут всё просто – двойные подстрочные индексы констант сигнализируют о том, какие переменные входят в то или иное слагаемое:
– в этом слагаемом находится произведение и (квадрат);
– здесь произведение ;
– и здесь произведение .
Далее будем полагать, что хотя бы одна из констант не равна нулю, и вот, пожалуйста, «неполный» пример: , в котором:
– сразу упреждаю грубую ошибку, когда теряют «минус» у коэффициента, не понимая, что он относится к слагаемому:
Иногда встречается «школьный» вариант оформления в духе , но то лишь иногда. Кстати, заметьте, что константы нам тут вообще ни о чем не говорят, и поэтому запомнить «лёгкую запись» труднее. Особенно, когда переменных больше.
И квадратичная форма трёх переменных содержит уже шесть членов:
…почему в «смешанных» слагаемых ставятся множители-«двойки»? Это удобно, и скоро станет понятно, почему.
Далее ситуация начинает усугубляться:
и усугублять мы её дальше не будем, т.к. формы с бОльшим количеством переменных встречаются довольно редко.
Однако общую формулу запишем, её удобно оформить «простынёй»:
– внимательно изучаем каждую строчку – ничего страшного тут нет!
Квадратичная форма содержит слагаемых с квадратами переменных и слагаемых с их парными произведениями (см. комбинаторную формулу сочетаний). Больше ничего – никаких «одиноких иксов» и никакой приплюсованной константы (тогда уже получится не квадратичная форма, а неоднородный многочлен 2-й степени).
Матричная запись квадратичной формы
Как на счёт матриц? 🙂 Знаю, знаю, соскучились. В практических задачах широко распространенная матричная запись квадратичных форм. Объяснения опять начну с формы линейной, например, от трёх переменных: . Её можно записать, как произведение двух матриц:
И действительно, выполняя матричное умножение, получаем матрицу «один на один»: , единственный элемент которой можно эквивалентно записать вне матрицы: .
Легко понять, что линейная форма «эн» переменных записывается в виде:
Квадратичная форма представима в виде произведения уже трёх матриц:
– его транспонированная строка;
– матрица квадратичной формы.
Это так называемая симметрическая матрица, на главной диагонали которой расположены коэффициенты при квадратах неизвестных, а симметрично относительно неё – «смешанные» коэффициенты, причём, строго на «своих местах» (например, – в 1-й строке, 3-м столбце и 1-м столбце, 3-й строке).
Определитель называют дискриминантом квадратичной формы, а ранг матрицы – рангом квадратичной формы.
Если перемножить три матрицы , то получится в точности длинная «простыня» из предыдущего параграфа, но разворачивать её мы, конечно, не будем, а посмотрим, как это происходит в элементарном случае . Согласно общей формуле, матричная запись данной формы имеет следующий вид:
, в чём и требовалось убедиться.
Как вариант, сначала можно было перемножить правые матрицы, и затем первую матрицу умножить на полученный результат.
Вам понравилось так же, как и мне? Ну тогда пример для самостоятельного решения =)
Записать квадратичную форму в матричном виде и выполнить проверку. Определить дискриминант и ранг формы.
…что-то смущает? 😉 Краткое решение и ответ в конце урока! Статьи об определителе и ранге матрицы – в помощь.
После чего разберём аналогичную задачу с формой трёх переменных:
Записать матрицу квадратичной формы, найти её ранг и дискриминант
Решение: сбросим тяжёлую ношу лишних формул, и будем ориентироваться на сами члены:
– слагаемое дважды содержит 1-ю переменную, поэтому ;
– из аналогичных соображений определяем и сразу записываем результаты на главную диагональ симметрической матрицы: .
Так как в слагаемое входят 1-я и 2-я переменная, то (не забываем поделить на 2) и данный коэффициент занимает свои законные места: .
Поскольку в форме отсутствует член с произведением (а точнее, присутствует с нулевым множителем: ), то , и на холст отправляются два нуля: .
И, наконец, из слагаемого определяем , после чего картина завершена:
– матрица квадратичной формы. Вот так-то оно бывает – мы не только не испугались «страшных обозначений» , но и заставили их работать на себя!
По условию не требовалось записывать матричное уравнение, однако науки ради:
Желающие могут перемножить три матрицы, в результате чего должна получиться исходная квадратичная форма.
Теперь определим ранг формы. Он равен рангу матрицы . Так как в матрице есть хотя бы один ненулевой элемент, например, , то ранг не меньше единицы. Теперь вычислим минор , значит, ранг не меньше двух. И осталось проверить минор 3-го порядка, т.е. определитель всей матрицы. Здесь я ко второму столбцу прибавлю третий и раскрою определитель по 3-й строке:
, значит,
Если не очень понятно, что к чему, обязательно изучите статью о ранге матрицы – это довольно замысловатая задачка, и перед нами оказался лишь простой случай, когда угловые миноры не равны нулю.
Дискриминант квадратичной формы получен автоматом.
Ответ: , ранг равен трём, дискриминант
Следующее задание для самостоятельного решения:
Восстановить квадратичную форму по её матрице
При этом не нужно вспоминать никаких формул! Решение почти устное:
– сначала смотрим на главную диагональ и записываем слагаемые с квадратами переменных;
– затем анализируем симметричные элементы 1-й строки (или 1-го столбца), и записываем все слагаемые, в которые входит 1-я переменная (не забывая удвоить коэффициенты);
– далее смотрим на оставшиеся симметричные элементы 2-й строки (справа от диагонали) либо 2-го столбца (ниже диагонали) и записываем соответствующие парные произведения (с удвоенными коэффициентами!).
– и, наконец, анализируем правую нижнюю пару симметричных чисел.
Подробное решение и ответ в конце урока.
Знакоопределённость квадратичной формы. Критерий Сильвестра
До сих пор мы рассматривали «внешнее устройство» форм и пришло время изучить их функциональное назначение. Да, по существу, они работают, как функции. Вернёмся к простенькой линейной форме .
Как отмечалось в начале урока, переменные могут принимать произвольные действительные значения (мы ограничились ими), и каждой такой паре соответствует определённое значение , например:
Говоря языком науки, перед нами скалярная функция векторного аргумента, в которой каждому вектору ставится в соответствие определённое число . Обращаю ваше внимание, что сейчас идёт речь не о геометрическом векторе, а о векторе в его алгебраическом понимании.
В зависимости от значений рассматриваемая форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и то же самое касается любой линейной формы – если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля, то она может оказаться как положительной, так и отрицательной (в зависимости от значений ).
Такая форма называется знакопеременной. И если с линейной формой всё прозрачно, то с формой квадратичной дела обстоят куда более интересно:
Совершенно понятно, что данная форма может принимать значения любого знака, таким образом, квадратичная форма тоже может быть знакопеременной.
А может и не быть:
– всегда, если только одновременно не равны нулю.
– для любого вектора , кроме нулевого .
И вообще, если для любого ненулевого вектора , , то квадратичную форму называют положительно определённой; если же – то отрицательно определённой.
И всё бы было хорошо, но определённость квадратичной формы виднА лишь в простых примерах, и эта видимость теряется уже при небольшом усложнении:
– ?
Можно предположить, что форма определена положительно, но так ли это на самом деле? Вдруг существуют значения , при которых она меньше нуля?
На этот счёт существует теорема: если ВСЕ собственные числа матрицы квадратичной формы положительны*, то она определена положительно. Если все отрицательны – то отрицательно.
* В теории доказано, что все собственные числа действительной симметрической матрицы действительны
Запишем матрицу вышеприведённой формы:
и из уравнения найдём её собственные значения:
Решаем старое доброе квадратное уравнение:
, значит, форма определена положительно, т.е. при любых ненулевых значениях она больше нуля.
Рассмотренный метод вроде бы рабочий, но есть одно большое НО. Уже для матрицы «три на три» искать собственные числа – есть занятие долгое и неприятное; с высокой вероятностью получится многочлен 3-й степени с иррациональными корнями.
Как быть? Существует более простой путь!
Критерий Сильвестра
Нет, не Сильвестра Сталлоне 🙂 Сначала напомню, что такое угловые миноры матрицы. Это определители которые «разрастаются» из её левого верхнего угла: 
и последний из них в точности равен определителю матрицы.
Теперь, собственно, критерий:
1) Квадратичная форма определена положительно тогда и только тогда, когда ВСЕ её угловые миноры больше нуля: .
2) Квадратичная форма определена отрицательно тогда и только тогда, когда её угловые миноры знакочередуются, при этом 1-й минор меньше нуля: , , если – чётное или , если – нечётное.
Если в 1-й или 2-й последовательности есть нулевые миноры, то это два особых случая, которые я разберу чуть позже, после того, как мы перещёлкаем более распространённые примеры. При любой другой комбинации плюсов-минусов (и опционально нулей) форма знакопеременна.
Проанализируем угловые миноры матрицы :
, и это сразу говорит нам о том, что форма не определена отрицательно (отпал пункт 2).
Вывод: все угловые миноры больше нуля, значит, форма определена положительно.
Есть разница с методом собственных чисел? 😉
Запишем матрицу формы из Примера 1:
первый её угловой минор , а второй , откуда следует, что форма знакопеременна, т.е. в зависимости от значений , может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Впрочем, это и так очевидно.
Возьмём форму и её матрицу из Примера 2:
тут вообще без озарения не разобраться. Но с критерием Сильвестра нам всё нипочём:
, следовательно, форма точно не отрицательна.
, и точно не положительна (т.к. все угловые миноры должны быть положительными).
Вывод: форма знакопеременна.
Разминочные примеры для самостоятельного решения:
Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность
В этих примерах всё гладко (см. конец урока), но на самом деле для выполнения такого задания критерия Сильвестра может оказаться не достаточно.
Дело в том, что существуют «краевые» случаи, а именно: если для любого ненулевого вектора , то форма определена неотрицательно, если – то неположительно. У этих форм существуют ненулевые векторы , при которых .
Здесь можно привести такой «баян»:
Выделяя полный квадрат, сразу видим неотрицательность формы: , причём, она равна нулю и при любом векторе с равными координатами, например: .
«Зеркальный» пример неположительно определённой формы:
и ещё более тривиальный пример:
– здесь форма равна нулю при любом векторе , где – произвольное число.
Как выявить неотрицательность или неположительнось формы?
Для этого нам потребуется понятие главных миноров матрицы. Главный минор – это минор, составленный из элементов, которые стоят на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Так, у матрицы существуют два главных минора 1-го порядка:
(элемент находится на пересечении 1-й строки и 1-го столбца);
(элемент находится на пересечении 2-й строки и 2-го столбца),
и один главный минор 2-го порядка:
– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца.
У матрицы «три на три» главных миноров семь, и тут уже придётся помахать бицепсами:
– три минора 1-го порядка,
три минора 2-го порядка:
– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца;
– составлен из элементов 1-й, 3-й строки и 1-го, 3-го столбца;
– составлен из элементов 2-й, 3-й строки и 2-го, 3-го столбца,
и один минор 3-го порядка:
– составлен из элементов 1-й, 2-й, 3-й строки и 1-го, 2-го и 3-го столбца.
Задание на понимание: записать все главные миноры матрицы .
Сверяемся в конце урока и продолжаем.
Критерий Шварценеггера:
1) Ненулевая* квадратичная форма определена неотрицательно тогда и только тогда, когда ВСЕ её главные миноры неотрицательны (больше либо равны нулю).
* У нулевой (вырожденной) квадратичной формы все коэффициенты равны нулю.
2) Ненулевая квадратичная форма с матрицей определена неположительно тогда и только тогда, когда её:
– главные миноры 1-го порядка неположительны (меньше либо равны нулю);
– главные миноры 2-го порядка неотрицательны;
– главные миноры 3-го порядка неположительны (пошлО чередование);
…
– главный минор -го порядка неположителен, если – нечётное либо неотрицателен, если – чётное.
Если хотя бы один минор противоположного знака, то форма знакопеременна.
Посмотрим, как работает критерий в вышеприведённых примерах:
Составим матрицу формы, и в первую очередь вычислим угловые миноры – а вдруг она определена положительно или отрицательно?
Полученные значения не удовлетворяют критерию Сильвестра, однако второй минор не отрицателен, и это вызывает надобность проверить 2-й критерий (в случае 2-й критерий будет не выполнен автоматически, т.е. сразу делается вывод о знакопеременности формы).
Главные миноры 1-го порядка:
– положительны,
главный минор 2-го порядка:
– не отрицателен.
Таким образом, ВСЕ главные миноры не отрицательны, значит, форма неотрицательна.
Запишем матрицу формы , для которой, очевидно, не выполнен критерий Сильвестра. Но и противоположных знаков мы тоже не получили (т.к. оба угловых минора равны нулю). Поэтому проверяем выполнение критерия неотрицательности / неположительности. Главные миноры 1-го порядка:
– не положительны,
главный минор 2-го порядка:
– не отрицателен.
Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), форма определена неположительно.
Теперь во всеоружии разберём более занятную задачку:
Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
Данную форму украшает орден «альфа», который может равняться любому действительному числу. Но это ж только веселее будет, решаем.
Сначала запишем матрицу формы, наверное, многие уже приноровились это делать устно: на главную диагональ ставим коэффициенты при квадратах, а на симметричные места – споловиненные коэффициенты соответствующих «смешанных» произведений:
Вычислим угловые миноры:
третий определитель я раскрою по 3-й строке:
Кстати, в силу симметрии, по 3-му столбцу он раскрывается точно так же.
Дальнейшее решение удобно разбить на 2 пункта:
1) Выясним, существуют ли значения «альфа», при которых форма определена положительно или неотрицательно. Согласно критерию Сильвестра, условию положительности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
В соответствии с поставленной задачей, сначала разберёмся со 2-м неравенством:
умножим обе его части на , сменив у неравенства знак:
, что противоречит первому неравенству системы.
Таким образом, система несовместна, а значит, форма не может быть положительно определённой ни при каких «альфа», из чего логически и автоматически следует, что она не может быть и неотрицательной.
2) Проведём исследование на отрицательность / неположительнось. По Сильвестру, условию отрицательности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
Второе неравенство уже решено: , и оно не противоречит первому. И третье неравенство тоже «вписалось в рамки»: .
Таким образом, имеем совместную систему:
из которой следует, что форма определена отрицательно при . Например, если :
– то при любом ненулевом векторе данная форма будет строго отрицательна.
Осталось исследовать «пограничный» случай. Если , то:
Последнее значение не удовлетворяет 2-му пункту критерия Сильвестра, однако оно равно нулю, что позволяет предположить неположительнось формы. Запишем матрицу формы и проверим критерий Шварценеггера. Главные миноры первого порядка:
– отлично, все миноры неположительны, поэтому проверка продолжается.
Рассчитываем миноры 2-го порядка. Если хотя бы один из них окажется отрицательным, то форма будет знакопеременной:
Нет, все миноры неотрицательны, и минор 3-го порядка уже рассчитан:
Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), имеет место неположительнось формы, иными словами, , причём, нулю она равна и при некоторых ненулевых значениях .
Ответ: при форма определена отрицательно, при неположительно, в остальных случаях форма знакопеременна.
И творческое задание для самостоятельного решения:
Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
И в заключение статьи хочу выразить благодарность Сергею Хохлову, некогда ст. преподавателю МПГУ – за важные замечания и интересные дополнительные примеры, а также Арнольду Шварценеггеру, который сыграл в непривычном для себя амплуа и помог мне ярче объяснить материал 🙂
Как сказал актёр, I’ll be back, и я жду вас на следующем уроке – о каноническом виде квадратичной формы.
Решения и ответы:
Пример 1. Решение: сначала приведём подобные слагаемые:
Квадратичная форма двух переменных имеет вид , в данном случае: . Запишем форму в матричном виде:
Проверка:
что и требовалось проверить.
Вычислим дискриминант формы:
Поскольку , то ранг формы равен двум.
Ответ: , , ранг формы равен двум.
Пример 3. Решение: симметрическая матрица 4*4 определяет квадратичную форму 4 переменных. Коэффициенты главной диагонали , следовательно:
Симметричные коэффициенты 1-й строки: , таким образом:
Оставшиеся симметричные элементы 2-й строки: , и:
Пример 4. Решение:
а) запишем матрицу формы:
и вычислим её угловые миноры:
Таким образом, по критерию Сильвестра, форма определена отрицательно.
б) запишем матрицу формы:
и вычислим её угловые миноры:
Вывод: форма знакопеременна.
Задание на понимание: у данной матрицы четыре главных минора 1-го порядка:
,
шесть главных миноров 2-го порядка:
четыре главных минора 3-го порядка:
и один главный минор 4-го порядка, равный определителю матрицы.
Пример 5*. Решение: запишем матрицу формы и вычислим её угловые миноры:
Таким образом, форма не удовлетворяет критерию Сильвестра, однако, может оказаться неотрицательной (т.к. и остальные миноры нулевые). Для этого все главные миноры должны быть неотрицательны. Главные миноры 1-го порядка:
.
Вычислим главные миноры 2-го порядка:
– среди главных миноров встретился отрицательный, следовательно, форма не удовлетворяет критерию неотрицательности.
Ответ: форма знакопеременна.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Contented.ru – онлайн школа дизайна
SkillFactory – получи востребованную IT профессию!
Положительно определенные квадратичные формы.
При построении функции Ляпунова широко используются квадратичные формы 
или, в матричной форме,
Это уравнение при г v ; 1 2
верхности (кривые) уровня V(х) = с являются замкнутыми только при г 1 — уравнение гиперболы
Любую квадратичную форму в матричной записи можно представить так, чтобы в ней матрица была симметрической. Поэтому всегда предполагается, что матрица, используемая при записи квадратичной формы, по определению является симметрической матрицей. Так как симметрические матрицы в методе функций Ляпунова играют важную роль, то кратко остановимся на их свойствах.
Симметрическая матрица Q называется положительно (отрицательно)I определенной матрицей, если квадратичная форма К(х) = = x T Qx является положительно (отрицательно) определенной функцией, и положительно (отрицательно) полуопределенной матрицей, если квадратичная форма У(х) = x T Qx является положительно (отрицательно) полуопределенной функцией.
Симметрическая матрица Q обладает следующими свойствами [21]:
- 1) все ее собственные значения (характеристические числа), т. е. корни А* (г = 1,2. п) ее характеристического уравнения det(Q — IX) = 0 являются вещественными числами;
- 2) если она положительно (отрицательно) определена, то все ее собственные значения являются положительными (отрицательными): Aj > О (Ai T Qx удовлетворяет неравенству
Доказательство. Для доказательства рассмотрим задачу о минимальном и максимальном значениях квадратичной формы V(x) = x T Qx на сфере |х| 2 = г 2 . Согласно известным правилам определения условного экстремума составим функцию Лагранжа:
Здесь Л — неопределенный множитель Лагранжа. Представим |х| 2 в виде скалярного произведения векторов:
Необходимое условие экстремума принимает вид
Последнее уравнение представляет собой систему однородных скалярных уравнений, и оно имеет ненулевое решение, если определитель этой системы равен нулю:
Таким образом, квадратичная форма V(x) = x T Qx принимает экстремальные значения на сфере |х| 2 = г 2 , если х удовлетворяет уравнению 
когда Л принимает собственные значения матрицы Q. Так как матрица является симметрической, то ее собственные значения являются вещественными.
Умножив последнее равенство слева на х т , получим
Отсюда, если Ат — минимальное собственное значение и Хм — максимальное собственное значение матрицы Q, то
что и требовалось доказать.
Если квадратичная форма V(х) = x T Qx положительно определена, то, как следует из неравенства (4.1) и свойства положительно определенной матрицы, она неограниченно возрастает при стремлении точки х к бесконечности:
Выясним, когда квадратичная форма является положительно определенной функцией, или симметрическая матрица является положительно определенной.
Критерий Сильвестра [21 . Для того чтобы квадратичная форма V(х) = x T Qx была положительно определенной функцией, необходимо и достаточно, чтобы все определители
были положительны.
Пример 4.1. Дана квадратичная форма
Исследовать, является ли эта форма положительно определенной функцией.
Решение. Если записать данную квадратичную форму в матричной форме, то элементами соответствующей матрицы Q будут 
все положительны. Следовательно, по критерию Сильвестра данная квадратичная форма является положительно определенной функцией.
