Общие свойства алгебраических уравнений Определение числа действительных корней алгебраического уравнения.
В общем виде алгебраическое уравнение может быть записано в виде:
где Pn(x) — многочлен n-ой степени, n — наивысшая степень при неизвестном, a0, a1, … , an — действительные коэффициенты.
Всякое число x, обращающее многочлен в ноль, т.е. Pn(x) = 0 называется корнем многочлена. Согласно основной теореме алгебры, многочлен Pn(x) степени n (n ³ 1) с любыми числовыми коэффициентами, имеет n корней, если каждый из корней считать столько раз, какова его кратность.
Число x является корнем многочлена Pn(x) тогда и только тогда, когда Pn(x) делится без остатка на х — x . Если при этом Pn(x) делится без остатка на (х-x) k (k ³1), но уже не делится на (х-x) k +1 , то x называется k-кратным корнем (или корнем кратности k) многочлена Pn(x). Корни кратности k=1 называются простыми корнями многочлена.
Прежде чем вычислять корни алгебраического уравнения, сначала необходимо:
а) определить число корней, которое имеет данное уравнение;
б) найти область существования корней (установить верхнюю и нижнюю границу расположения корней).
Определение числа действительных корней алгебраических уравнений.
Для этого используют правило Декарта:
Количество действительных положительных корней алгебраического уравнения Pn(x) = 0 с действительными коэффициентами либо равно числу перемен знака в последовательности коэффициентов уравнения Pn(x) = 0, либо на четное число меньше (равные нулю коэффициенты не учитываются).
Количество отрицательных корней уравнения равно числу перемен знака в последовательности коэффициентов Pn(-x) = 0 или на четное число меньше.
x 5 — 17x 4 + 12x 3 + 7x 2 — x + 1 = 0 .
Это уравнение имеет пять корней (из них хотя бы один является действительным).
Уравнение является полным, последовательность знаков коэффициентов уравнения такова: + , — , + , + , — , + . Знак изменяется четыре раза — значит, положительных корней будет либо четыре, либо два, либо ни одного.
Заменив х на -х, получим:
-x 5 — 17x 4 — 12x 3 + 7x 2 + x + 1 = 0
число постоянств знака равно одному, следовательно, уравнение имеет один отрицательный корень.
x 6 — 3x 4 + x 3 + x 2 — 1 = 0 .
Данное уравнение имеет шесть корней; последовательность знаков: + , — , + , + , — . Имеет место три перемены знака; следовательно, положительных корней либо 3 либо 1.
Pn(-x) = x 6 — 3x 4 — x 3 + x 2 — 1 = 0 .
последовательность знаков: + , — , — , + , — . Здесь также три перемены знака — поэтому число отрицательных корней либо 3, либо 1.
Нахождение области существования корней алгебраического уравнения
Правило кольца — пусть дано алгебраическое уравнение
a0, a1, … , an — действительные коэффициенты, и пусть
Тогда корни уравнения заключены в круговом кольце r < ½x½ < R , где
; 
.
При этом r — нижняя, а R — верхняя граница положительных корней алгебраического уравнения Pn(x) = 0, и —R, -r — соответственно нижняя и верхняя граница отрицательных корней.
Пример. Определить границы корней уравнения 5x 3 — 20x + 3 = 0 .
Здесь ½an½ = 5, A = 20 , ½a0½ = 3, B = 20, т.е.
.и
Тогда, если действительные корни уравнения 5x 3 — 20x + 3 + 0 существуют (а они обязательно существуют, так как уравнение нечетной степени), то они расположены в интервале (-5, 5); при этом отрицательные корни лежат в интервале (-5, -0.013), а положительные — в интервале (0.013, 5).
Метод Ньютона — если при х = с многочлен
и его производные Pn ‘ (x), Pn » (x), … принимают положительные значения, то с является верхней границей положительных корней уравнения Pn(х) = 0 .
Пример. Методом Ньютона определить верхнюю границу положительных корней уравнения 8x 4 — 32x 2 — 32х + 1 = 0 .
P(x) = 8x 4 — 32x 2 — 32х + 1 ; P'(x) = 32x 3 — 16x — 32 ;
P » (x) = 96x 2 — 16 ; P »’ (x) = 192x ; P IV (x) = 192 .
Проверке подлежат только значения x > 0.
При x=c=1 имеем P(1)< 0. Значит проводить далее проверку для х=1 не следует.
P(2) > 0 ; P ‘ (x) > 0 ; P » (x) > 0 ; P »’ (2) > 0 : P IV (x) > 0 .
Таким образом, верхней границей положительных корней является число R = 2. В качестве нижней границы можно взять число, обратное R, т.е. r = 1/2 = 0.5 .
Решение (корни) квадратного уравнения
Определение квадратного уравнения и общее понятие о его корнях
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c = 0 , где x — переменная, которая в уравнении присутствует в квадрате, a, b, c — некоторые числа, причём a ≠ 0 .
Например, квадратным является уравнение
В квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент a называют первым коэффициентом, b — вторым коэффициентом, c — свободным членом.
называются неполными квадратными уравнениями.
Найти корни квадратного уравнения значит решить квадратное уравнение.
Для вычисления корней квадратного уравния служит выражение b² — 4ac , которое называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.
Корни квадратного уравнения имеют следующие сферы применения:
— для разложении квадратного трёхлена на множители, что, в свою очередь, является приёмом упрощения выражений (например, сокращения дробей, вынесение за скобки общего знаменателя и т.д.) в частности, при нахождении пределов, производных и интегралов;
— для решения задач на соотношения параметров меняющегося объекта (корни квадратного уравнения, чаще всего один, являются обычно конечным решением).
Геометрический смысл решения квадратного уравнения
График квадратичного трёхлена ax² + bx + c — левой части квадратного уравнения — представляет собой параболу, ось симметрии которой параллельна оси 0y . Число точек пересечения параболы с осью 0x определяет число корней квадратного уравнения. Если точек пересечения две, то квадратное уравнение имеет два действительных корня, если точка пересечения одна, то квадратное уравнение имеет один действительный корень, если парабола не пересекает ось 0x , то квадратное уравнение не имеет действительных корней. На рисунке ниже изображены три упомянутых случая.
Как видно на рисунке, красная парабола пересекает ось 0x в двух точках, зелёная — в одной точке, а жёлтая парабола не имеет точек пересечения с осью 0x .
Три случая после нахождения дискриминанта квадратного уравнения
1. Если дискриминант больше нуля (), то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.
Они вычисляются по формулам:
Часто пишется так: .
2. Если дискриминант равен нулю (), то квадратное уравнение имеет только один действительный корень, или, что то же самое — два равных действительных корня, которые равны .
3. Если дискриминант меньше нуля (), то квадратное уравнение не имеет действительных корней, а имеет комплексные корни, но нахождение комплексных корней в этой статье рассматривать не будем. В общем случае правильным решением является констатация того, что квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Пример 1. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:
Решение. Найдём дискриминант:
Дискриминант больше нуля, следовательно, квадратное уравнение имеет два действительных корня.
Путём преобразования в квадратное уравнение следует решать и дробные уравнения, в которых хотя бы одно из слагаемых — дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное, например, . О том, как это делается — в материале Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение.
Пример 2. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:
Решение. Найдём дискриминант:
Дискриминант равен нулю, следовательно, квадратное уравнение имеет один действительный корень.
Пример 3. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:
Решение. Найдём дискриминант:
Дискриминант меньше нуля, следовательно, квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Решение полных квадратных уравнений
Находить корни квадратного уравнения требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов, интегралов, исследовании функций на возрастание и убывание и других.
Пример 4. Найти корни квадратного уравнения:
В примере 1 нашли дискриминант этого уравнения:
Решение квадратного уравнения найдём по формуле для корней:
Пример 5. Найти корни квадратного уравнения:
В примере 2 нашли дискриминант этого уравнения:
Применим формулу корней квадратного уравнения . Отсюда , . Найденные корни квадратного уравнения равны друг другу, а это значит, что уравнение имеет единственный корень:
Находить корни квадратного уравнения требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов, интегралов, исследовании функций на возрастание и убывание и других.
Корни приведённого квадратного уравнения
Пусть дано квадратное уравнение . Так как , то разделив обе части данного уравнения на a, получим уравнение . Полагая, что и , приходим к уравнению , в котором первый коэффициент равен 1. Такое уравнение называется приведённым.
Формула корней приведённого уравнения имеет вид:
Теорема Виета
Существуют формулы, связывающие корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Они впервые были получены французским математиком Ф.Виетом.
Теорема Виета. Если квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна — b/a , а произведение равно с/a :
Следствие. Если приведённое квадратное уравнение x² + px + q = 0 имеет действительные корни и , то
Пояснение формул: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Следовательно, теорему Виета можно применять и для поиска корней приведённого квадратного уравнения.
Пример 6. Написать приведённое квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1 и -3.
Иначе говоря, надо найти числа p и q такие, чтобы квадратное уравнение
По формулам Виета , . Требуемое в условии задачи уравнение имеет вид
Решение неполных квадратных уравнений
Пример 7. Решить квадратное уравнение .
Решение. Чтобы решить данное неполное квадратное уравнение, разложим его левую часть на множители. Получим
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: или . Решая уравнение , находим .
Следовательно, произведение обращается в нулю при и при . Поэтому числа 0 и 1/2 являются корнями неполного квадратного уравнения .
Пример 8. Решить квадратное уравнение .
Решение. Чтобы решить данное неполное квадратное уравнение, перенесём в его правую часть свободный член с противоположным знаком и разделим обе части уравнения на 3. Получим уравнение
Так как , то уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, не имеет действительных корней и эквивалентное ему неполное квадратное уравнение .
Разложение квадратного трёхчлена на множители с применением корней квадратного уравнения
Если известны корни квадратного уравнения, то трёхчлен, представляющий собой левую часть уравнения, можно разложить на множители по следующей формуле:
Этот приём часто используется для упрощения выражений, особенно сокращения дробей.
Пример 9. Упростить выражение:
Решение. Числитель данной дроби можем рассматривать как квадратный трёхчлен в отношении x и разложить его на множители, предварительно найдя его корни. Найдём дискриминант квадратного уравнения:
Корни квадратного уравнения будут следующими:
Разложим квадратный многочлен на множители:
Упростили выражение, проще не бывает:
Пример 10. Упростить выражение:
Решение. И числитель, и знаменатель — квадратные трёхчлены. Значит, их можно разложить на множители, предварительно найдя корни соответствующих квадратных уравнений. Находим дискриминант первого квадратного уравнения:
Корни первого квадратного уравнения будут следующими:
Находим дискриминант второго квадратного уравнения:
Так как дискриминант равен нулю, второе квадратное уравнение имеет два совпадающих корня:
Подставим корни квадратных уравнений, разложим числитель и знаменатель на множители и получим:
Упрощать выражения путём решения квадратных уравнений требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов, интегралов, исследовании функций на возрастание и убывание и других.
Разумеется, квадратного трёхчлена может может и не быть в выражении в первоначальном виде, он может быть получен в процессе предварительных преобразований выражения.
Из истории решения квадратных уравнений
Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принажлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Среднеазиатский учёный аль-Хорезми (IX в.) получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации. Суть его рассуждений видна из рисунка ниже (он рассматривает уравнение x² + 10x = 39 ).
Площадь большого квадрата равна (x + 5)² . Она складывается из площади x² + 10x заштрихованной фигуры, равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырёх квадратов со стороной 5/2 , равной 25. Получается следующее уравнение и его решение:
Различные прикладные задачи на квадратные уравнения
Пример 11. Отрезок ткани стоит 180 у.ед. Если бы ткани в отрезке было на 2,5 м больше и цена отрезка оставалась бы прежней, то цена 1 м ткани была бы на 1 у.ед. меньше. Сколько ткани в отрезке?
Решение. Примем количество ткани в отрезке за x и получим уравнение:
Приведём обе части уравнения к общему знаменателю:
Произведём дальнейшие преобразования:
Получили квадратное уравнение, которое и решим:
Ясно, что количество ткани не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь один корень — положительный.
Ответ: в отрезке 20 м ткани.
Пример 12. Товар, количество которого 187,5 кг, взвешивают в одинаковых ящиках. Если в каждом ящике количество товара уменьшить на 2 кг, то следовало бы использовать на 2 ящика больше и при этом 2 кг товара остались бы невзвешенными. Сколько кг товара взвешивают в каждом ящике?
Решение. Примем за x количество товара, взвешиваемого в одном ящике. Тогда получим уравнение:
Приведём обе части уравнения к общему знаменателю, произведём дальнейшие преобразования и получим квадратное уравнение. Процесс записывается так:
Найдём корни квадратного уравнения:
Количество товара не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь положительный корень.
Применение производной для решения нелинейных уравнений и неравенств
Кубическое уравнение $$ ax^3+bx^2+cx+d=0 $$ на множестве действительных чисел может иметь один, два или три корня.
С помощью производной можно быстро ответить на вопрос, сколько корней имеет данное уравнение. \begin
Если две точки экстремума найдены, но \(f(x_1)\cdot f(x_2)=0\), уравнение имеет два корня.
Во всех остальных случаях – у исходного уравнения 1 корень.
Пример 1. Сколько корней имеют уравнения:
| 1) \(x^3+3x^2-4=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0 (c=0) \) \(f(x)=x^3+3x^2-4 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=-4,\ f(x_2)=0 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)=0\Rightarrow\) два корня  |
2) \(x^3+3x^2-1=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0 \) \(f(x)=x^3+3x^2-1 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=-1,\ f(x_2)=3 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)\lt 0\Rightarrow\) три корня  |
| 3) \(x^3+3x^2+1=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0\) \(f(x)=x^3+3x^2+1 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=1,\ f(x_2)=5 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)\gt 0\Rightarrow\) один корень  |
4) \(x^3+x^2+x+3=0\) \(b^2-3ac=1-3\lt 0 \) Один корень  |
п.2. Количество корней произвольного уравнения
Задачи на подсчет количества корней решаются с помощью построения графиков при полном или частичном исследовании функций.
Пример 2. а) Найдите число корней уравнения \(\frac 1x+\frac<1>
б) Найдите число корней уравнения \(\frac 1x+\frac<1>
Построим график функции слева, а затем найдем для него количество точек пересечения с горизонталью \(y=1\). Это и будет ответом на вопрос задачи (а).
Исследуем функцию: $$ f(x)=\frac1x+\frac<1>
1) ОДЗ: \(x\ne\left\<0;1;3\right\>\)
Все три точки – точки разрыва 2-го рода. \begin
Функция непериодическая.
3) Асимптоты
1. Вертикальные \(x=0, x=1, x=3\) – точки разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные: \begin
На минус бесконечности функция стремится к 0 снизу, на плюс бесконечности – сверху.
3. Наклонные: \(k=0\), нет.
4) Первая производная $$ f'(x)=-\frac<1>
Функция убывает.
5) Вторую производную не исследуем, т.к. перегибы не влияют на количество точек пересечения с горизонталью.
6) Точки пересечения с OY – нет, т.к. \(x=0\) – асимптота
Точки пересечения с OX – две, \(0\lt x_1\lt 1,1\lt x_2\lt 3\)
7) График
Получаем ответ для задачи (а) 3 корня.
Решаем более общую задачу (б). Передвигаем горизонталь \(y=k\) снизу вверх и считаем количество точек пересечения с графиком функции. Последовательно, получаем:
При \(k\lt 0\) — три корня
При \(k=0\) — два корня
При \(k\gt 0\) — три корня
Ответ: а) 3 корня; б) при \(k=0\) два корня, при \(k\ne 0\) три корня.
Пример 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$ \sqrt
Исследуем функцию \(f(x)=\sqrt
ОДЗ: \( \begin
Функция определена на конечном интервале.
Поэтому используем сокращенный алгоритм для построения графика.
Значения функции на концах интервала: \(f(1)=0+\sqrt<8>=2\sqrt<2>,\ f(5)=\sqrt<4>+0=2\)
Первая производная: \begin
| \(x\) | 1 | (1; 7/3) | 7/3 | (7/3; 5) | 5 |
| \(f'(x)\) | ∅ | + | 0 | — | ∅ |
| \(f(x)\) | \(2\sqrt<2>\) | \(\nearrow \) | max \(2\sqrt<3>\) |
\(\searrow \) | 2 |
Можем строить график:
\(y=a\) — горизонтальная прямая.
Количество точек пересечения \(f(x)\) и \(y\) равно количеству решений.
Получаем:
| $$ a\lt 2 $$ | нет решений |
| $$ 2\leq a\lt 2\sqrt <2>$$ | 1 решение |
| $$ 2\sqrt<2>\leq a\lt 2\sqrt <3>$$ | 2 решения |
| $$ a=2\sqrt <3>$$ | 1 решение |
| $$ a\gt 2\sqrt <3>$$ | нет решений |
По крайней мере одно решение будет в интервале \(2\leq a\leq 2\sqrt<3>\).
Ответ: \(a\in\left[2;2\sqrt<3>\right]\)
п.3. Решение неравенств с построением графиков
Пример 4. Решите неравенство \(\frac<2+\log_3 x>
Разобьем неравенство на совокупность двух систем.
Если \(x\gt 1\), то \(x-1\gt 0\), на него можно умножить слева и справа и не менять знак.
Если \(x\lt 1\), то \(x-1\lt 0\), умножить также можно, только знак нужно поменять.
Сразу учтем требование ОДЗ для логарифма: \(x\gt 0\)
Получаем совокупность: \begin
Точка разрыва: \(x=\frac12\) – вертикальная асимптота
Односторонние пределы: \begin
Первая производная: $$ f'(x)=\left(1-\frac<3><2x-1>\right)’=\frac<3><(2x-1)^2>\gt 0 $$ Производная положительная на всей ОДЗ, функция возрастает.
Вторая производная: $$ f»(x)=-\frac<6> <(2x-1)^3>$$ Одна критическая точка 2-го порядка \(x=\frac12\)
| \(x\) | \(\left(0;\frac12\right)\) | \(\frac12\) | \(\left(\frac12;+\infty\right)\) |
| \(f»(x)\) | >0 | ∅ | <0 |
| \(f(x)\) | \(\cup\) | ∅ | \(\cap\) |
Пересечения с осью OY: \(f(0)=1-\frac<3><0-1>=4\), точка (0;4)
Пересечение с осью OX: \(1-\frac<3><2x-1>=0\Rightarrow 2x-1=3 \Rightarrow x=2\), точка (2;0)
Строим графики \(f(x)=\frac<2x-4><2x-1>\) и \(g(x)=\log_3 x\)
Первая система из совокупности \( \begin
Логарифм при \(x\gt 1\) все время выше, чем правая ветка гиперболы, т.е. система справедлива для всех \(x\gt 1\).
Вторая система из совокупности \( \begin
Логарифм попадает под левую ветку гиперболы на интервале \(0\lt x\lt\frac12\), т.е. $$ \begin
Квадратные уравнения
Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.
Квадратное уравнение может иметь два действительных корня, один действительный корень или ни одного.
Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.
Дискриминант квадратного уравнения: .
Если > 0, квадратное уравнение имеет два корня: и .
Если = 0, квадратное уравнение имеет единственный корень .
Если < 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Чтобы решать квадратные уравнения, надо уметь:
- Правильно определять коэффициенты квадратного уравнения.
- Находить дискриминант и определять количество корней.
- Находить корни уравнения по формуле.
Определим коэффициенты в следующих квадратных уравнениях.
Коэффициентом является числа: .
В этом уравнении коэффициенты – это числа:
Обратите внимание на слагаемые и : x — это не коэффициент, а переменная.
А в этом уравнееии нужно быть внимательными, потому что коэффициенты — дробные числа:
Квадратные уравнения вида , в которых коэффициент , называются приведенными.
Запишем несколько квадратных уравнений и проверим, сколько корней они имеют.
Задача 1.
В этом уравнении , , .
Дискриминант уравнения равен > 0. Уравнение имеет два корня.
Задача 2.
В этом уравнении .
Дискриминант уравнения равен . Уравнение имеет единственный корень.
Заметим, что в левой части уравнения находится выражение, которое называют полным квадратом. В самом деле, . Мы применили формулу сокращенного умножения.
Уравнение имеет единственный корень .
Задача 3.
В этом уравнении .
Дискриминант уравнения равен < 0. Корней нет.
Задача 4. Решим уравнение:
Дискриминант уравнения равен > 0.
Уравнение имеет два корня.
Задача 5. Решим уравнение:
Дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два корня:
Рассмотрим другой пример.
Задача 6.
Дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Находим их по формуле корней квадратного уравнения:
Что делать в том случае, если корень из дискриминанта не является целым числом? Тогда корни квадратного уравнения будут записаны выражением, в котором содержится квадратный корень. Такие выражения называются иррациональными.
Задача 7. Решим уравнение:
Обратите внимание, что слагаемые в правой части записаны не в том порядке, в котором они указаны в общем виде квадратного уравнения. Поэтому, прежде чем начать решать, перепишем уравнение в следующем виде:
Найдем дискриминант: Уравнение имеет один корень:
Задача 8. И еще одно уравнение:
Дискриминант отрицательный, поэтому квадратное уравнение не имеет корней.
Так и запишем в ответе: корней нет.
Теорема Виета
Полезная теорема для решения квадратных уравнений – теорема Виета.
Если и – корни уравнения , то , .
Теорему Виета удобно использовать, когда коэффициент при равен 1, то есть квадратное уравнение приведенное.
Коэффициенты этого уравнения . Значит, сумма корней и равна 5, а произведение корней равно 6. Эти два числа подобрать нетрудно, потому что
Теорема Виета помогает проверить, правильно ли мы решили квадратное уравнение.
Например, в нашем уравнении сумма корней равна , а произведение корней равно .
Квадратное уравнение можно решить несколькими способами. Можно вычислять дискриминант, или воспользоваться теоремой Виета, а иногда можно просто угадать один из корней. Или оба корня.
Неполные квадратные уравнения
Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или с (или они оба) равны нулю, называется неполным. В таких случаях искать дискриминант не обязательно. Можно решить проще.
Задача 9. Рассмотрим уравнение: .
В этом уравнении и . Очевидно, – единственный корень уравнения.
Задача 10. Рассмотрим квадратное уравнение: . Здесь , а другие коэффициенты нулю не равны.
Проще всего разложить левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов. Получим:
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
Вот похожее уравнение: .
Поскольку , уравнение можно записать в виде:
Пусть теперь не равно нулю и .
Задача 11. Рассмотрим квадратное уравнение: .
Левую часть уравнения можно разложить на множители, вынеся за скобки. Получим:
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
Задача 12. Решим уравнение: .
Разложить по формуле разности квадрата не получится, тогда попробуем перенести слагаемое 4 в правую часть уравнения.
Мы знаем, что нет такого действительного числа, квадрат которого был бы отрицательным числом. Значит, уравнение не имеет действительных корней.
Напомним, что решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Разложение квадратного трехчлена на множители
Здесь и – корни квадратного уравнения .
Запомните эту формулу. Она необходима для решения квадратичных и дробно-рациональных неравенств.
Полезные лайфхаки для решения квадратных уравнений.
1) Намного проще решать квадратное уравнение, если коэффициент , который умножается на , положителен. Кажется, что это мелочь, да? Но сколько ошибок на ЕГЭ возникает из-за того, что старшеклассник игнорирует эту «мелочь».
Намного проще умножить его на – 1, чтобы коэффициент стал положительным. Получим:
.
Дискриминант этого уравнения равен
.
2)Прежде чем решать квадратное уравнение, посмотрите на него внимательно. Может быть, можно сократить обе его части на какое-нибудь не равное нулю число?
Вот, например, уравнение .
Разделим все коэффициенты этого квадратного уравнения на 5. Получим .
Уравнение упростилось. Остается решить его.
Или такое уравнение.
Задача 13. .
Можно сразу посчитать дискриминант и корни. А можно заметить, что все коэффициенты и делятся на 17. Поделив обе части уравнения на 17, получим:
Здесь можно и не считать дискриминант, а сразу угадать первый корень: . А второй корень легко находится по теореме Виета.
3)Работать с дробными коэффициентами неудобно. Например, уравнение
.
Вы уже догадались, что надо сделать. Умножить обе части уравнения на 100! Получим:
Корни этого уравнения равны 1 и -6.
Задача 14. Решим уравнение:
Умножим обе части уравнения на 2. Получим:
Теперь решение этого квадратного уравнения можно осуществить с помощью любого уже известного нам способа. Корни этого уравнения -11 и -1.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Квадратные уравнения» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.