Какое выражение является формулой

Числовые и буквенные выражения. Формулы

Так же, как и у нашего языка общения есть алфавит и знаки-помощники (точка, тире, запятая и т.д.), математический язык вычисления также имеет свой алфавит:

• цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);
• буквы латинского и греческого алфавитов (\(a, b, c, d, α, β, γ, δ\) и т.д.)
• знаки математических действий ( \(+, -, \times , \div\), и т.д.);
• скобки (), [], <>.

Буквы и цифры в математике служат для обозначения чисел.

Цифрами обозначается конкретное, какое-то определённое число.

Буквами – любое или неизвестное число, в зависимости от задачи.

• 258 – конкретное числодвести пятьдесят восемь;
• \(a + b\) – сумма любых двух чисел;
• \(x + 24 = 78\) – уравнение с неизвестным первым слагаемым икс.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ – это «слова» и «фразы» математики, записи, в которых содержатся:

• числа, обозначенные цифрами или буквами,
• знаки математических действий, которые связывают эти числа математическими действиями;
• вспомогательные знаки – скобки.

При этом знаки математических действий и вспомогательные знаки ОБЯЗАТЕЛЬНО связывают числа и обозначают последовательность действий над ними.

Каждой ваше пожертвование увеличивает количество полезной и интересной информации на сайте Easy-Math.ru!

Примеры математических выражений:

• x;
• 74;
• \(2\cdot3\)
• \(a\div (25+38)\)
• \(374+(48\cdot 2)\)
• \(ac + bc\)

ВНИМАНИЕ!

НЕ ЯВЛЯЕТСЯ математическим выражением:

• запись только знака;
• запись, не обозначающая математического действия над числами (когда знаки не связывают собой числа и не указывают на последовательность действий);
• запись, в которой присутствуют знаки сравнения (в этом случае запись является уравнением или неравенством, сравнивающем два и более выражений).

Например, это НЕ математические выражения:

• (
• +
• \((\div 8-59\)
• \(35\cdot 12(+74\)
• \(a+5=12\)
• \(38+87<25\cdot x\)
• \((1000+x)\div 2=784\)

Числовое значение выражения – это число, которое получается в результате выполнения всех действий в правильном порядке, указанных в данном выражении.

Найти числовое значение выражения – это означает совершить все арифметические действия, записанные в выражении, в правильном порядке, и получить число, являющееся значением данного выражения.

Например:
\((35+4)\cdot 2\) — это выражение, а 78 — это числовое значение этого выражения, полученное в результате выполнения всех арифметических действий этого выражения.

Виды математических выражений

Числовые – выражения, которые состоят только из чисел, выраженных цифрами, и знаков: \(5+3; 28\div 4; 32\cdot (25+15)\);

Буквенные – выражения, которые состоят из чисел, выраженных и цифрами, и буквами, или только буквами, и знаков: \(5\cdot a; a+b; 64\div (2+c)\).

Случаи опускания знака умножения в выражениях

В буквенных выражениях обычно знак умножения пишут только между числами, которые выражены цифрами.

В остальных случаях знак умножения опускают, например:

• между числовым и буквенным множителем: \(5\cdot x = 5x\)
• между буквенными множителями: \(a\cdot b = ab\)
• между числовым множителем и скобкой: \(3\cdot (d+c)=3(d+c)\)
• между буквенным множителем и скобкой: \(a\cdot (b+c)=a(b+c)\)

Как читать математические выражения

Простейшие математические выражения, состоящие из одного математического действия, называются по названию результата этого действия:

• \(2+3\) – суммачисел 2 и 3
• \(5\cdot 4\) – произведение чисел 5 и 4
• \(24\div 6\) – частноечисел 24 и 6
• \(35-5\) – разность чисел 35 и 5

Более сложные выражения, называют по последнему выполняемому действию:

• \((a+b)-c\) – разность суммы чисел a и b и числа c
• \((a+b)\cdot (a-b)\) – произведение суммы чисел a и b и разности чисел a и b
• \(a\div (c\cdot d)\) – частное числа a и произведения чисел c и d

Важно не только уметь читать готовые математические выражения, но и «переводить» слова на математический язык – язык чисел, знаков действия и других символов:

• Сумма первых пяти натуральных чисел – \(1+2+3+4+5\)
• Произведение всех однозначных чисел – \(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\)
• Сумма всех двузначных чётных чисел – \(10+12+14+…+94+96+98\)

Алгоритм чтения математических выражений

Чтобы прочитать математическое выражение, нужно:

1. Определить порядок действий в выражении
2. Прочитать, начиная с последнего действия

При чтении сложного выражения повторяем действия алгоритма столько раз, сколько необходимо.

• \(35\cdot (28-12)\) – Произведение числа 35 и разности чисел 28 и 12
• \(35\cdot (28-12)+64\) – Сумма произведения числа 35 с разностью чисел 28 и 12, и числа 64.
• \(35\cdot (28-12)+64–32\div 16\) – Разность суммы произведения числа 35 и разности чисел 28 и 12 с числом 64, и частного чисел 32 и 16

Формулы

Используя математические выражения можно одну величину представить в виде другой, то есть, установить зависимость значения одной величины от значения другой величины.

Велосипедист едет со скоростью \(v_<1>\) км/ч. Найти скорость:

а) автомобиля, если известно, что он едет в 3 раза быстрее: \(v_=3\cdot v_<1>\);

б) пешехода, если известно, что он двигается на 15 км/ч медленнее: \(v_

= v_<1>-15\).

Иначе это называется выразить одну величину через другую.

Многие величины в математике имеют свои собственные обозначения. Например: S – площадь фигуры, P – периметр, t – время и т.д.

Запись такого равенства называется формулой.

ФОРМУЛА – это запись зависимости значения некоторой величины от значений одной или нескольких других величин. Или другими словами, это запись правила вычисления одной неизвестной величины при помощи известных других.

Математическая формула

Математическая формула (от лат.  formula  — уменьшительное от forma — образ, вид) — принятая в математике (а также физике и прикладных науках) символическая запись законченного логического суждения (определения величины, уравнения, неравенства или тождества).

В более широком смысле формула — всякая чисто символьная запись (см. ниже), противопоставляемая в математике различным выразительным способам, имеющим геометрическую коннотацию: чертежам, графикам, диаграммам, графам и т. п.

Содержание

Основные виды (численных) формул

Как правило, в формулу входят переменные (одна или более), причём сама формула представляет собой не просто выражение, а некое суждение. Такое суждение может утверждать что-то о переменных, а может — о применяемых операциях. Точный смысл формулы зачастую подразумевается из контекста и его невозможно понять непосредственно из её вида. Можно выделить три распространённых случая:

• Формула должна сообщить, как искать значения переменной (уравнения и т. п.);
• Формула (записываемая как «искомое = выражение») определяет величину через свои параметры (аналогично присваиванию в программировании и иногда записывается через диграф «:=» как в языке Pascal, но в принципе может считаться вырожденным частным случаем уравнения);
• Формула является собственно логическим утверждением: тождеством (например, аксиомой), утверждением теоремы и т. п.

Уравнения

Уравнение — формула, внешняя (верхняя) связка которого представляет собой бинарное отношение равенства. Однако, важная особенность уравнения заключается также в том, что входящие в него символы делятся на переменные и параметры (присутствие последних, впрочем, необязательно). Например, является уравнением, где x  — переменная. Значения переменной, при которых равенство истинно, называются корнями уравнения: в данном случае таковыми являются два числа 1 и −1. Как правило, если уравнение на одну переменную не является тождеством (см. ниже), то корни уравнения представляют собой дискретное, чаще всего конечное (возможно и пустое) множество.

Если в уравнение входят параметры, то его смысл — для заданных параметров найти корни (то есть значения переменной, при котором равенство верно). Иногда это можно сформулировать как нахождение неявной зависимости переменной от параметра (параметров). Например понимается как уравнение на x (это обычная буква для обозначения переменной, наряду с y , z и t ). Корнями уравнения является квадратный корень из a (считается, что их имеется два, разных знаков). Следует отметить, что подобная формула, сама по себе, задаёт лишь бинарное отношение между x и a и её можно понимать в обратную сторону, как уравнение на a относительно x . В данном элементарном случае, речь может идти скорее об определении a через x : .

Тождества

Тождество — суждение, верное при любых значениях переменных. Обычно, под тождеством подразумевают тождественно верное равенство, хотя снаружи тождества может стоять и неравенство или какое-либо другое отношение. Во многих случаях тождество можно понимать как некое свойство используемых в нём операций, например тождество утверждает коммутативность сложения.

С помощью математической формулы довольно сложные предложения могут быть записаны в компактной и удобной форме. Формулы, становящиеся истинными при любом замещении переменных конкретными объектами из некоторой области, называются тождественно-истинными в данной области. Например: «для любых a и b имеет место равенство ». Данное тождество можно вывести из аксиом сложения и умножения в коммутативном кольце, которые сами по себе также имеют вид тождеств.

Тождество может и не включать в себя переменные и являться арифметическим (или каким-то ещё) равенством, как например .

Приближённые равенства

В 7-8 классе изучают решение уравнений графическим способом. В это время на решение даются простые уравнения(«с хорошим корнем») которые легко отыскиваются с помощью графиков, особенно на клетчатой бумаге. Но существуют примеры где с корнем немного иначе. Рассмотрим два уравнения:√х=2-х и √х=4-х. Первое уравнение имеет единственный корень х=1, поскольку графики функций у =√х и у =2-хпересекаются в одной точке А(1,1). Во втором случае графики функций у =√х-фс у =4-х также пересекаются в одной точке А(1,1), но с «плохими» координатами. С помощью чертежа, делаем вывод, что абсцисса точки В примерно равна 2,5. В таких случаях говорят не о точном, а о приближённом решении уравнения и записывают так: х≈2,5.

Неравенства

Формула-неравенство может пониматься в обоих описанных в начале раздела смыслах: как тождество (например, неравенство Коши — Буняковского) или же, подобно уравнению, как задача на отыскание множества (а точнее, подмножества области определения), которому может принадлежать переменная, или переменные.

Используемые операции

В данном разделе будут перечислены операции, используемые в алгебре, а также некоторые общеупотребительные функции из математического анализа.

Сложение и вычитание

Используются знаки «+» и «−» (последний на письме довольно слабо отличим от дефиса). Унарный минус чаще используется лишь при первом (левом) слагаемом, поскольку другие случаи, типа «a + (−b)» и «a − (−b)», ничем не отличаются по смыслу от более простых «a − b» и «a + b» соответственно.

По причине ассоциативности сложения, расстановка скобок для задания порядка выполнения сложения не имеет математического смысла. В алгебре слагаемыми называют аргументы как сложения, так и вычитания. Порядок выполнения вычитания, при отсутствии скобок, таков, что вычитаемым оказывается лишь член, выписанный непосредственно справа от знака вычитания, а не результат выполнения операций каких-либо сложения и вычитания, записанных правее. Таким образом со знаком минус входят в сумму лишь те «слагаемые», непосредственно слева от которых знак «−» имеется.

Умножение

Знак умножения чаще всего опускается. Это не вызывает двусмысленности, поскольку переменные обозначаются обычно одиночными буквами, а выписывать умножение записанных цифрами констант друг на друга бессмысленно. В редких случаях, когда двусмысленности не избежать, умножение обозначается центрированным по вертикали символом точки «·». Символ «×» применяется лишь в школьной арифметике, в технических текстах (в особом контексте), а также некоторые системы вставляют его на месте знака умножения при переносе формулы на другую строку (обычно однако, перенос по знаку умножения избегается).

Деление

Деление в формулах записывается при помощи дробной черты. В школьной арифметике применяется также «÷» (обелюс).

Возведение в степень

Элементарные функции

Абсолютная величина, знак и т. п.

Приоритет операций и скобки

Приоритет, ранг или старшинство операции или оператора — формальное свойство оператора/операции, влияющее на очередность его выполнения в выражении с несколькими различными операторами при отсутствии явного (с помощью скобок) указания на порядок их вычисления. Например, операцию умножения обычно наделяют бо́льшим приоритетом, чем операцию сложения, поэтому в выражении будет получено сначала произведение y и z, а потом уже сумма.

Примеры

 — функция одного действительного аргумента или однозначная функция ;

 — не дифференцируемая функция в точке (непрерывная ломаная линия не имеет касательной) ;

 — уравнение, то есть неявная функция (график кривой «декартов лист»);

 — целочисленная функция ;

 — чётная функция ;

 ;

 — параметрически заданная функция (график циклоиды) ;

 — прямая и обратная функции ;

Сложение, вычитание, умножение, деление — арифметические действия (или арифметические операции). Этим арифметическим действиям соответствуют знаки арифметических действий:

+ (читаем «плюс«) — знак операции сложения,

— (читаем «минус«) — знак операции вычитания,

∙ (читаем «умножить«) — знак операции умножения,

: (читаем «разделить«) — знак операции деления.

Запись, состоящая из чисел, связанных между собой знаками арифметических действий, называется числовым выражением. В числовом выражении могут присутствовать также скобки Например, запись 1290 : 2 – (3 + 20 ∙ 15) является числовым выражением.

Результат выполнения действий над числами в числовом выражении называется значением числового выражения. Выполнение этих действий называется вычислением значения числового выражения. Перед записью значения числового выражения ставят знак равенства «=». В таблице 1 приведены примеры числовых выражений и их значений.

Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий называется буквенным выражением. В этой записи могут присутствовать скобки. Например, запись a + b – 3 ∙ c является буквенным выражением. Вместо букв в буквенное выражение можно подставлять различные числа. При этом значение букв может изменяться, поэтому буквы в буквенном выражении называют еще переменными.

Подставив в буквенное выражение числа вместо букв и вычислив значение получившегося числового выражения, находят значение буквенного выражения при данных значениях букв (при данных значениях переменных). В таблице 2 приведены примеры буквенных выражений.

Буквенное выражение может не иметь значения, если при подстановке значений букв получается числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено. Такое числовое выражение называется некорректным для натуральных чисел. Говорят также, что значение такого выражения «не определено» для натуральных чисел, а само выражение «не имеет смысла». Например, буквенное выражение a – b не имеет значения при a = 10 и b = 17. Действительно, для натуральных чисел, уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого. Например, имея всего 10 яблок (a = 10), нельзя отдать из них 17 (b = 17)!

В таблице 2 (колонка 2) приведён пример буквенного выражения. По аналогии заполните таблицу полностью.

Для натуральных чисел выражение 10 -17 некорректно (не имеет смысла), т.е. разность 10 -17 не может быть выражена натуральным числом. Другой пример: на ноль делить нельзя, поэтому для любого натурального числа b, частное b : 0 не определено.

Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения часто записывают в буквенном виде (т.е. в виде буквенного выражения). В этих случаях буквенное выражение называют формулой. Например, если стороны семиугольника равны a, b, c, d, e, f, g, то формула (буквенное выражение) для вычисления его периметра p имеет вид:

p = a + b + c + d + e + f + g

При a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, периметр семиугольника p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

При a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, периметр другого семиугольника p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Блок 1. Словарь

Составьте словарь новых терминов и определений из параграфа. Для этого в пустые клетки впишите слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице (в конце блока) укажите номера терминов в соответствии с номерами рамок. Рекомендуется перед заполнением клеток словаря еще раз внимательно просмотреть параграф.

1. Операции: сложение, вычитание, умножение, деление.

3.Запись, состоящая из чисел, которые связанны между собой знаками арифметических действий и в которой могут присутствовать также скобки.

4.Результат выполнения действий над числами в числовом выражении.

5. Знак, стоящий перед значением числового выражения.

6. Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий (могут присутствовать также скобки).

7. Общее название букв в буквенном выражении.

8. Значение числового выражения, которое получается при подстановке переменных.в буквенное выражение.

9.Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено.

10. Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел может быть найдено.

11. Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения, записанные в буквенном виде.

12. Алфавит, малые буквы которого используются для записи буквенных выражений.

Блок 2. Установите соответствие

Установите соответствие между заданием в левой колонке и решением в правой. Ответ запишите в виде: 1а, 2г, 3б…

Блок 3. Фасетный тест. Числовые и буквенные выражения

Фасетные тесты заменяют сборники задач по математике, но выгодно отличаются от них тем, что их можно решать на компьютере, проверять решения и сразу узнавать результат работы. В этом тесте содержится 70 задач. Но решать задачи можно по выбору, для этого есть оценочная таблица, где указаны простые задачи и посложнее. Ниже приведён тест.

1. Дан треугольник со сторонами c,d,m, выраженными в см
2. Дан четырехугольник со сторонами b,c,d,m, выраженными в м
3. Скорость автомобиля в км/ч равна b, время движения в часах равно d
4. Расстояние, которое преодолел турист за m часов, составляет с км
5. Расстояние, которое преодолел турист, двигаясь со скоростью m км/ч, составляет b км
6. Сумма двух чисел больше второго числа на 15
7. Разность меньше уменьшаемого на 7
8. Пассажирский лайнер имеет две палубы с одинаковым количеством пассажирских мест. В каждом из рядов палубы m мест, рядов на палубе на n больше, чем мест в ряду
9. Пете m лет Маше n лет, а Кате на k лет меньше, чем Пете и Маше вместе
10. m = 8, n = 10, k = 5
11. m = 6, n = 8, k = 15
12. t = 121, x = 1458

ТО:

1. Значение данного выражения
2. Буквенное выражение для периметра имеет вид
3. Периметр, выраженный в сантиметрах
4. Формула пути s, пройденного автомобилем
5. Формула скорости v, движения туриста
6. Формула времени t, движения туриста
7. Путь, пройденный автомобилем в километрах
8. Скорость туриста в километрах в час
9. Время движения туриста в часах
10. Первое число равно…
11. Вычитаемое равно….
12. Выражение для наибольшего количества пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
13. Наибольшее количество пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
14. Буквенное выражение для возраста Кати
15. Возраст Кати
16. Координата точки В, если координата точки С равна t
17. Координата точки D, если координата точки С равна t
18. Координата точки А, если координата точки С равна t
19. Длина отрезка BD на числовом луче
20. Длина отрезка CА на числовом луче
21. Длина отрезка DА на числовом луче

Ответы (равно, имеет вид, не определено):

а)1; б) s=b ∙d; в) 9; г) 40; д) b + c + d + m; е) 7; ж) выражение не имеет смысла (некорректно) для натуральных чисел; з) 2 ∙ m (m + n) ∙ k; и) (m + n) – k; к) 6; л) 15; м) 3760; н) t – 3; о) фигура не может быть треугольником; п) 22; р) t – 3 ∙ 7; с) 0; т) 32; у) 59600; ф) 6019; х) 2880; ц) 10378; ч)1440; ш) на ноль делить нельзя; щ) 13; ы) 1800; э) 496; ю) 2; я) 12; аа) 14; бб) 5; вв) 35; дд) 79200; ее) 1900; жж) 118; зз) 18; ии) 12800; кк) 98; лл) 1458; мм) v = c : m; нн) 100; оо) 19900; пп) t = b : m; рр) 2520; сс) c + d + m; тт) x; уу) 1579; фф) t + 2; хх) 10206; цц) 135; чч) t + 2 ∙ 7; шш) 7 ∙ x; щщ) x – 2; ыы) 7 ∙ x – 2 ∙ 7; ээ) t + x ∙ 7; юю) 10192; яя) t + x; ааа) 123; ббб) 1456; ввв) 10327.

ПОКАЗАТЕЛИ ТЕСТА. Число задач 70, время выполнения 2 – 3 часа, сумма баллов: 1 ∙ 22 + 2 ∙ 24 + 3 ∙ 24 = 142. Для фасетного теста можно использовать следующую шкалу оценок.

Блок 4. Давайте поиграем

Блок 5. Обучающая игра «Уроки кота Леопольда»

Для учителя приводим ответы к блокам параграфа 6

Ответы к игре «Уроки Леопольда»

Западня 1 : 1/2, 1/3, 2/3, 7/8. Западня 2. 12, 2, 13 5. Западня 3. 6

Западня 4. 15. Западня 5. 396

Блок 2. Установите соответствие.

Вариант 1: 1и, 2з, 3е, 4б, 5м, 6л, 7а, 8ж, 9в, 10д, 11г, 12к, 13т, 14н, 15ф, 16о, 17у, 18с, 19р, 20п

Вариант 2: 1д, 2е, 3к, 4а, 5г, 6з, 7и, 8б, 9ж, 10в

Блок 3. Фасетный тест. Числовые и буквенные выражения (ответы под заданиями)

Ответы к игре «Сокровища»

Деревянный – 10250. Оловянный – 21640. Медный – 50400. Серебряный – 191000. Золотой – 289800.

Числовые и буквенные выражения. Формулы

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Числовые и буквенные выражения. Формулы»

Представим себе такую историю.

– Паша, я вчера смотрел чемпионат мира «Формулы-1»! – рассказывал Саша. – Это такое зрелище! Ты только представь себе: болиды «Формулы-1» могут развить скорость аж до четырёхсот километров в час. Вот бы мне так погонять!

– Саша, ты что? – перебил Паша. – Это очень опасная скорость. И чтобы научиться так ездить, нужно многие годы тренироваться. А ты знаешь, что в математике тоже есть формулы?

– Формулы? – удивился Саша. – Ты хочешь сказать, что цифры устраивают гонки?

– Нет, Саша! Ты такой смешной! – засмеялся Паша. – Математические формулы совсем другие. Но лучше всех нам о них расскажет только Электроша.

– Ребята, прежде чем я вам расскажу о формулах, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Электроша.

– Давайте сверимся! Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь поговорим о формулах, – предложил Электроша, – но прежде вам нужно разобраться в понятиях «числовое выражение» и «буквенное выражение».

Чтобы в них разобраться, ответьте мне на вопрос: как найти периметр прямоугольника, стороны которого равны, например, 4 и 8 см?

– Ну это же все знают, – начал Саша. – Периметр прямоугольника – это сумма длин всех его сторон. Тогда периметр нашего прямоугольника равен 4 + 8 + 4 + 8.

– Саша, – перебил Паша, – но в прямоугольнике же две пары равных сторон. Значит, вычислить периметр нашего прямоугольника можно было следующим образом: 2 умножить на 4 плюс 3 умножить на 8.

– Не спорьте, ребята, – сказал Электроша. – Вы оба правы! Периметр прямоугольника можно вычислить и первым, и вторым способом. Записи, которые вы составили, называют числовыми выражениями.

Запомните! Числовое выражение – это выражение, составленное из чисел, знаков арифметических действий и скобок.

– Электроша, а вот такая запись тоже будет числовым выражением? – решил спросить Саша.

– Нет, Саша, – ответил Электроша. – Важно понимать, что не всякая запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок, будет являться числовым выражением. Запись, которую показал нам Саша, представляет собой бессмысленный набор символов.

В записи выражений никогда не применяются знаки равенств и неравенств.

– А теперь, может, вы мне скажете, чему же равен периметр нашего прямоугольника? – спросил Электроша.

– Периметр прямоугольника равен 24 см, – ответили мальчишки.

– Правильно! – подтвердил Электроша. – Число, которое получают в результате выполнения всех действий в числовом выражении, называют значением этого выражения.

Выражение не имеет значения, если какое-либо из действий в нём нельзя выполнить.

– А теперь скажите, чему равен периметр прямоугольника, стороны которого равны, например, 4 см и а см?

– Периметр этого прямоугольника будет равен 2 умножить на 4 плюс 5 умножить на а, – ответил Паша.

– Молодец! – похвалил Пашу Электроша. – Запись «2 умножить на 4 плюс 2 умножить на а» называют буквенным выражением.

Запомните! Буквенное выражение – это выражение, которое составлено из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок.

Вместо букв в буквенное выражение можно подставлять различные числа. При этом значение букв может изменяться, поэтому буквы в буквенном выражении называют ещё переменными. Если в буквенное выражение вместо буквы подставить число и выполнить все действия, то получим значение буквенного выражения.

Давайте вместо а в нашем буквенном выражении подставим число 10. Получим числовое выражение 2 умножить на 4 плюс 2 умножить на 10 равно 28. В этом случае число 28 является значением нашего буквенного выражения при а = 10.

– А буквенные выражения всегда имеют значения? – спросили мальчишки.

– Хороший вопрос! – ответил Электроша. – Буквенное выражение может не иметь значения в случае, если при подстановке значений букв в буквенное выражение получается числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено. Такое числовое выражение называют некорректным для натуральных чисел. Говорят также, что значение такого выражения не определено для натуральных чисел, а само выражение не имеет смысла.

Например, найдём значение буквенного выражения а – b при а = 20, b = 25.

– Электроша, но 20 меньше 25, – заметили ребята, – а в вычитании натуральных чисел уменьшаемое всегда должно быть больше вычитаемого.

– Правильно вы заметили, – сказал Электроша. – В таком случае говорят, что выражение не имеет смысла при указанных а и b.

Как правило, в буквенных выражениях числовой множитель (коэффициент) пишут перед буквой, а знак умножения ставят только между числами. Например, вместо 2 умножить на а пишут просто 2а. Или вместо выражения 2 умножить на сумму чисел а и b пишут 2(a + b).

– А теперь скажите, чему равен периметр прямоугольника, стороны которого равны а см и b см?

– Периметр такого прямоугольника можно вычислить выражением 2а + 2b, – сказал Паша.

– Молодец! – похвалил Электроша. – Если мы подставим в это выражение вместо букв а и b соответственно числа 4 и 8, то получим числовое выражение 2 умножить на 4 плюс 2 умножить на 8. Это числовое выражение мы уже записывали для нахождения периметра первого прямоугольника. Если вместо букв а и b мы подставим, например, числа 4 и 10, то получим числовое выражение 1 умножить на 4 плюс 2 умножить на 10. Такое числовое выражение мы тоже уже записывали для вычисления периметра второго прямоугольника.

– Так что, Электроша, вместо чисел а и b можно подставлять разные числа? – спросили ребята.

– Да! – ответил Электроша. – Из одного буквенного выражения можно получить бесконечно много различных числовых выражений.

Если периметр прямоугольника обозначить буквой P, то получим равенство P = 2а + 2b. Такое равенство можно использовать для нахождения периметра любого прямоугольника. Такие равенства называют формулами.

– А! – воскликнул Саша. – Теперь понятно, про какие формулы говорил Паша.

Запомните! Правило, записанное в виде равенства двух буквенных выражений, называется формулой.

– Вы уже знакомы с некоторыми формулами, – продолжил Электроша. – Может, назовёте их?

– Если сторона квадрата равна а, то его периметр можно вычислить по формуле P = 4а, – начал Саша.

– А я ещё знаю формулу пути: S = vt, – продолжил Паша. – Здесь S – это пройденный путь, v – скорость движения, а t – время, за которое пройден путь S.

– Какие вы молодцы! – похвалил ребят Электроша. – А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько заданий.

Задание первое: в каждый из овалов впишите значения буквенного выражения два эм плюс десять при значении буквы эм, указанном в соответствующем уголке фигуры.

Решение: начнём с первого уголка фигуры. Здесь m = 5. Подставим число 5 вместо m в буквенное выражение 2m + 10. Посчитаем. Получим 20. В следующем уголке записано число 0. Подставим его вместо буквы m в выражение. Получим 2 умножить на 0 плюс 10. Посчитаем и получим 10. Следующее число 10. Подставим его в выражение вместо буквы m. Получим 30. В следующем уголке записано число 105. Подставим его в выражение. Посчитаем и получим 220. И последнее число 15. Подставим его в выражение и посчитаем. Получим 40.

Следующее задание: заполните таблицу.

Решение: в первой строчке нам известно, что пешеход прошёл 8 минут со скоростью 70 м/мин. Воспользуемся формулой пути. Подставим в неё известные нам скорость и время. Посчитаем и получим, что пешеход прошёл 560 метров. В следующей строчке нам известно, что велосипедист за 2 часа проехал 24 км. Нужно узнать, с какой скоростью он ехал. Из формулы пути выразим скорость. Подставим наши данные в формулу. Посчитаем и получим, что скорость велосипедиста 12 км/ч. И в последней строчке нам известно, что автомобиль ехал со скоростью шестьдесят километров в час и проехал 240 км. Нужно узнать, сколько времени ехал автомобиль. Выразим из формулы пути время. Подставим в формулу известные значения. Посчитаем и получим, что автомобиль ехал 4 часа.

– Ребята, вы отлично справляетесь с заданиями! – с радостью сказал Электроша. – А значит, вы обязательно справитесь с моей непростой задачей.

Итак, Наташа купила в подарок своей маме шоколадное сердечко. Сколько весит эта шоколадка, если каждый квадратик весит 10 г?

Решение: сердечко состоит из 32 целых квадратиков и из 16 половинок квадратиков. Так как целый квадратик весит 10 г, то половинка квадратика весит 5 г. А тогда вес всего шоколадного сердечка можно найти так: 32 умножить на 10 + 16 умножить на 5. Посчитаем и получим, что сердечко весит 400 г.