Дважды дифференцируемая функция что это

Производные высших порядков

Производная функции у = f (x) является также функцией: у’= f’ (x).

Эта функция также может иметь производную. Эта новая производная называется второй производной функции у = f (x) или производной функции f (x) второго порядка и обозначается или .
Производная второй производной, то есть функции называется третьей производной или производной третьего порядка и обозначается символом или . Так можно ввести производные четвертого, пятого и вообще n-го порядка, которые обозначают .

Пример 1. Найти производную четвертого порядка функции .

Решение. Имеем:

Пример 2. Найти производные n-го порядка от функций
а) y = e x , б) y = sin x, в) y = cos x.
Решение.
а)
б)

и по индукции
в) аналогично находим

Производные высших порядков с примерами

Пусть функция имеет производную во всех точках некоторой окрестности точки Если функция в свою очередь имеет в точке производную то она называется второй производной функции в точке и обозначается или Таким образом, опуская обозначения аргумента, имеем

Аналогично определяются и производные более высоких порядков

где для удобства считается, что

Примеры:

1. Если то вообще, В частности, если то

2. Если Заметив, что получим

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Теорема 1. Если функции имеют в точке производные порядка то любая их линейная комбинация и их произведение имеют в точке производные порядка причем

Все производные в формулах (11.5) и (11.6) берутся в точке биномиальные коэффициенты.

Символическая запись означает, что это выражение (см. среднюю часть формулы (11.6)) по своей структуре напоминает формулу бинома Ньютона

только вместо степеней берутся производные соответствующих порядков функций Формула (11.6) называется формулой Лейбница*).

Докажем формулы (11.5) и (11.6) методом математической индукции. В п. 10.5 формула (11.5) была доказана для

Пусть справедлива формула (11.5); покажем, что тогда будет справедлива и аналогичная формула для производной порядка

Формула (11.5) доказана; докажем формулу (11.6).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пусть справедлива формула (11.6) для производной порядка от произведения функций. Докажем, что тогда будет справедлива и аналогичная формула для производной порядка

Вспомнив, что (см. п. 2.4)

Производные высших порядков сложных функций, обратных функций и функций, заданных параметрически

С помощью формулы производной сложной функции (см. п. 10.7) можно вычислять и производные высших порядков сложной функции. Пусть функция дважды дифференцируема в точке функция дважды дифференцируема в точке и имеет смысл сложная функция Вычислим вторую производную сложной функции (для простоты записи аргумент писать не будем):

Аналогично вычисляются и производные более высоких порядков. С помощью формул производных обратной функции (см. п. 10.6) и сложной функции (см. п. 10.7) можно вычислять производные высших порядков обратных функций. Вычислим, например, вторую производную. Пусть функция дважды дифференцируема в точке в ее окрестности непрерывна и строго монотонна, причем Тогда для второй производной имеем в точке

Рассмотрим теперь параметрическое задание функций. Пусть на некотором множестве задана пара функций

причем одна из них, например, строго монотонна на этом множестве и, следовательно, существует обратная функция

для которой является множеством значений.

Тогда функция называется параметрически заданной функцией (уравнениями (11.9)). Она определена на множестве значений функции

Если функции и дифференцируемы в точке функция непрерывна и строго монотонна в окрестности этой точки и то функция дифференцируема в точке причем

ибо

Аналогично вычисляются и производные высших порядков. Например, если функции (11.9) дважды дифференцируемы в точке и то

Выведенные здесь формулы не предназначены для запоминания. Достаточно усвоить метод их получения.

§1.20. Частные производные высших порядков

Опр. Функция называется n раз дифференцируемой в некоторой точке , если все частные производные n-1 порядка являются дифференцируемыми в точке .

Достаточное условие дифференцируемости

Функция является n раз дифференцируемой в некоторой точке , если все частные производные функции U n-1 порядка являются непрерывными в точке .

Теорема (о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования)

Пусть функция дважды дифференцируема в некоторой точке , тогда справедливо следующее соотношение:

Рассмотрим вспомогательное выражение

Функция Ф(x) может быть рассмотрена, как приращение вида:

Функция является дифференцируемой функцией на

Сегменте , поэтому по формуле Лагранжа для функции одной переменной

Тогда на рассматриваемом сегменте есть такая точка, что

Добавим и вычтем в точке .

Поскольку функция дифференцируема, то ее приращение пропорционально приращению аргумента

Где -бесконечно малые при .

Второй раз применим формулу Лагранжа.

Аналогичным образом выражение Ф представимо, как приращение функции ψ.

Дважды дифференцируемая функция что это

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВАЖДЫ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ  [c.143]

В 5 определение дважды дифференцируемости было мотивировано, в частности, тем требованием, чтобы из него следовало разложение Тейлора второго порядка. Давайте теперь докажем это утверждение.  [c.150]

Математически формулируется достаточное условие выпуклости графика непрерывной функции y=f(x), определенной на интервале (а, Ъ) (которая в этом случае предполагается дважды дифференцируемой функцией) если она имеет отрицательную вторую производную, то ее график является выпуклым вверх, если положительную — выпуклым вниз. Точка графика непрерывной функции, при переходе через которую график меняет направление выпуклости (напр., был выпуклым вверх, стал — вниз), называется точкой перегиба.  [c.58]

Уравнение (3) называется разложением Тейлора второго порядка. Естественно возникает вопрос, можно ли определить дважды дифференцируемость как существование разложения Тейлора второго порядка. На этот вопрос следует ответить отрицательно. Чтобы понять, почему это так, рассмотрим функцию ф R2 —> R, определенную уравнением  [c.143]

Пусть ф S — > R есть вещественная функция, определенная на множестве S из Rn, дважды дифференцируемая во внутренней точке с из S. Пусть и есть n x 1 вектор. Тогда  [c.149]

Пусть ф S — > И есть вещественная функция, определенная и дважды дифференцируемая на открытом множестве S из Rn. Пусть с есть точка из S, а и — точка в Rn, такая что с + tu S для всех t [О, 1]. Тогда  [c.156]

Пусть ф S —> И — вещественная функция, определенная на множестве S С Rn. Если ф дважды дифференцируема во внутренней точке с 5,  [c.168]

Таким образом, для проверки, является ли дифференцируемая функция (строго) выпуклой, у нас есть четыре критерия определение из 4.9, теоремы 5, 6 и, если функция дважды дифференцируемая, теорема 7.  [c.176]

Замечание. Для доказательства (строгой) выпуклости (вогнутости) функции Лагранжа ф можно воспользоваться определением из 4.9, теоремами 5 или 6, а также (если ф дважды дифференцируема) теоремой 7. Заметим, кроме того, что  [c.190]

Если производная f (x) дифференцируема (т. е. выпуклая функция f(x) дважды дифференцируема), то f»(x) > 0. Для дважды дифференцируемых функций это неравенство оказывается равносильным приведенному выше определению выпуклой функции в курсах математического анализа выпуклость обычно определяют по знаку второй производной. Но в экономических приложениях, где часто приходится иметь дело с функциями, графики которых имеют изломы, такое определение оказывается мало полезным.  [c.575]

Здесь (и до конца этого параграфа) V — область в и-мерном пространстве / , d»x = dxl. . . dx», малые латинские индексы пробегают значения 1, 2,. . . , п. Через u»t обозначены частные производные Эм /Э.г. Множество допустимых функций Jf состоит из функций ик, определенных и непрерывных вместе со своими первыми производными в замкнутой области V. Функция предполагается дважды дифференцируемой функцией своих аргументов. Область V считаем ограниченной ), для того чтобы не обсуждать вопроса о сходимости интеграла, а ее границу — кусочно-гладкой.  [c.14]

Рассмотрим теперь задачу (1)-(2) при дополнительных условиях [1.] Функция f (t,x,u) дважды дифференцируема по л и найдутся такие вещественные К,М, что при достаточно больших по норме х, функцию /°(/,.г,ы) можно ограничить квадратичной функцией, а именно f»(t,x,u) К х при х а М. [2.] Функция f(t,x,u) удовлетворяет следующему условию найдутся такие вещественные К,М, что при достаточно больших по норме х, функцию /(/,, м) можно ограничить линейной функцией, а именно при всех / и и из области определения, /(/,х,ы)йЛГ х при х гМ. При всех (г,лг,и)е[0 Г]хЛ» xt/ матрица  [c.298]

В том случае, когда функция f (x) дважды непрерывно дифференцируема, условие вогнутости / (х) эквивалентно требованию неположительной определенности при всех положительных значениях ресурсов матрицы Н вторых  [c.93]

Введем дважды непрерывно дифференцируемую функцию u(x) Q f-мерного вектора аргумента х и функции v(x) к wn(x), определенные равенствами  [c.356]

Пусть / S —> Rm есть функция, определенная на множестве S из Rn, а с есть внутренняя точка S. Если / дифференцируема в некотором п-мерном шаре В(с) и каждая из частных производных Djfi дифференцируема в с, то будем говорить, что / дважды дифференцируема в с. Если / дважды дифференцируема в каждой точке открытого подмножества Е из S, мы говорим, что / дважды дифференцируема на Е.  [c.144]

Пусть / S — > Rm есть функция, определенная на множестве S из Rn. Если / дважды дифференцируема во внутренней точке с из 5, то тп х п матрица Гессе Н/ является симметричной по столбцам в с, т.е.  [c.149]

Пусть F S — > RmXp есть матричная функция, определенная на множестве S из Rnxg и дважды дифференцируемая во внутренней точке С в S. Равенство  [c.159]

Пусть F дважды дифференцируемая т х р матричная функция от п х q матрицы X. Матрицей Гессе 1 функции F в точке X назовем матрицу размера mnpq x ng, определенную по следующей формуле  [c.245]

Если функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема, условие вогнутости эквивалентно требованию неположительной определенности матрицы вторых производных функции f(x] при всех положительных значениях вектора ресурсов х, т. е. эквива-лентио требованию  [c.74]

Напомним, что функция и(.) — вогнута, если и(ах+(1-а)у) аи(х) +(1- а) и(у) V (Ка

Непрерывно дифференцируемая функция

Непрерывно дифференцируемая функция есть дифференцируемая функция, у которой первая производная непрерывна. Такие функции часто называют гладкими функциями.

Рассматривают также дважды непрерывно дифференцируемые функции — функции имеющие непрерывную вторую производную.

Аналогично можно ввести понятие $n$ — раз непрерывно дифференцируемых функций.

Если класс непрерывных функций обозначают через $C$, то класс непрерывно дифференцируемых функций обычно обозначают через $$, класс $n$ раз непрерывно дифференцируемых функций обозначают через $$.

Таблица производных, производные основных элементарных функций

Правила вычисления производных

1. Функция дифференцируемая в точке $$, непрерывна в этой точке.
2. Пусть функции $f$ и $g$ имеют производные в точке $$. Тогда функция $\alpha f + \beta g,<\text< >>\alpha ,\beta \in \mathbb$, дифференцируемая в точке $$ и справедливо правило