Теория Вероятности: две простые и интересные задачи
Как утверждал Цицерон: «Вероятностные знания — вот предел человеческого разумения». Действительно, как показывает мой опыт именно с этим разделом математики связаны наибольшие затруднения у студентов, да и не только, даже у отцов основателей этой науки нередко возникали проблемы с пониманием некоторых моментов.
Рассмотрим две задачи, для начало попробуйте решить их самостоятельно, ниже я приведу решение и пояснения к ним.
Задача 1.
Какова вероятность того, что в семье из двух детей оба ребенка будут мальчиками?
Задача 2.
В семье из двух детей младший ребенок мальчик, какова вероятность того, что старший тоже мальчик?
Давай те рассмотрим решения данных задач, но для начала вспомним элементарное определение вероятности.
Вероятностью наступления события А называется отношение n — числа благоприятных исходов, к m — общему числу исходов.
Каково множество всех исходов для первой задачи?
1 – M M
2 – М Д
3 – Д М
4 – Д Д
m=4
Каково множество благоприятных исходов?
1 – М М
n=1
Нетрудно видеть, что ответ для первой задачи будет P(A)=n/m =1/4
Для второй задачи множество исходов будет составлять:
1 – Д М
2 – М М
m=2
Множество благоприятных событий всего одно М и М. Итого: ответ для второй задачи будет P(b)=n/m=1/2
Резюме.
Задачи, казалось бы, имеют очень схожий смысл, но необходимо внимательно относиться к условиям. Подобного типа задачи вызывают «ужас» у многих людей тем, что после оглашения результатов складывается ощущение, что в них был заложен подвох. Хочу закончить простыми советами:
1) Пытайтесь дробить задачу на простые части, в данном случае это определение множеств (благоприятных и всех).
2) Перепроверяйте себя, ответ который пришел в вашу голову за первые секунды скорее всего не верный.
3) Верьте в себя.
В семье двое детей какова вероятность что старший ребенок мальчик
Я не ТС, но попробую ответить. Задачи разные. Пусть — вероятность того, что ребенок — мальчик по имени Коля, 
— «в семье есть мальчик по имени Коля».
Тогда 
получаем вероятность, стремящуюся 
.
А вот вероятность того, что у них сын и дочка равна 
.
Парадокс?!
Нет, не парадокс, а формула сложения вероятностей!
Потому что с вероятностью 
— старший будет мальчик, а девочка — младшенькая, и с точно такой же вероятностью будет все точно так же, но наоборот!
А в сумме — в два раза больше.
То-есть братик есть у любого мальчика, пусть даже и у Коли, с вероятностью , а вот семей, где есть два сына — всего .
Теперь, вернемся к нашей задаче, и из этого множества семей откинем ту семей, где две дочки.
Останется 
семей, где есть хотя бы один мальчик. Это вероятность события, что в семье есть хотя бы один мальчик.
На что это повлияет, а на что не повлияет?
Вероятность того, что в семье два сына увеличится с до 
.
Вероятность того, что в семье есть и сын и дочка увеличится с до 
.
Это условные вероятности, вычисленные при дополнительном условии, что «в семье есть хотя бы один мальчик», по формуле условной вероятности.
Теперь, что там у нас с братиками-сестренками?
По-прежнему у любого мальчика, даже у Коли, с вероятностью будет братик, и с вероятностью будет сестричка, поскольку наше дополнительное условие никак не повлияло на это соотношение.
Но!
Условная вероятность того, что у любой девочки, даже у Маши, есть братик, вычисленная «при дополнительном условии,
что в семье есть мальчик», равняется единице! Потому что абсолютно все семьи, в которых у девочки есть сестричка, это
дополнительное условие исключает из вероятностного пространства.
Вот, собственно, весь расклад.
И даже не понадобилось вызывать дух преподобного Томаса Байеса, чтобы разобраться в этом вопросе.
С решением mihaild, не совсем согласен. Хотябы потому, что в предельном случае, если у нас только есть Коли (вероятность имени мальчика Коли равна 1) по вашей формуле получается вероятность двух мальчиков 0, а должно быть 1/3.
В предыдущем посте я посчитал вероятность через байеса и получается формула Вероятность второго мальчика, при условии, что в семье есть Коля (вероятность имени коля р) 
Парадокс со вторым ребёнком
Парадокс со вторым ребёнком — один из парадоксов теории вероятностей.
Содержание
Суть парадокса [ ]
У мистера Смита два ребёнка, причём по крайней мере один из них — мальчик. Какова вероятность того, что второй — тоже мальчик? Первое, что приходит в голову — ½, является неправильным ответом.
Объяснение [ ]
Существует четыре равновероятных возможности .
- Старший ребёнок — мальчик, младший — девочка
- Старший ребёнок — девочка, младший — мальчик
- И старший, и младший ребёнок — мальчики
- И старший, и младший ребёнок — девочки.
Учитывая, что один из двух детей заведомо мальчик, нам подходят первые три варианта. Видим, что второй ребёнок является мальчиком лишь в одном случае из трёх, то есть вероятность равна ⅓.
На самом деле, раз сказано, что один из них — мальчик, то рассматривается только второй человек (вероятность того, что второй человек — мальчик), который может быть либо мальчиком, либо девочкой. Следовательно, вероятность все-таки 1/2.
Но этот ответ верен только в том случае, когда мы рассматриваем детей по отдельности и отвечает на вопрос «Какова вероятность, что второй ребёнок — мальчик». Однако задача не допускает такой трактовки, требуя одновременного выполнения двух событий — какова вероятность того, что один из детей — мальчик (условие А), при том что как минимум один из них — однозначно мальчик (условие Б). Это типовая задача на условную вероятность.
Более подробный вариант объяснения: [ ]
Для примера можно взять 4000 семей с двумя детьми: В первой группе из 2000 семей первым родился мальчик, во второй группе из 2000 семей первым ребенком родилась девочка. В первой группе в 1000 семьях в вторым ребенком родился мальчик и 1000 семей в которых родилась вторым ребенком девочка.Во второй группе будет 1000 семей в которых вторым ребенком родился мальчик и 1000 семей в которых родилась вторым ребенком девочка.В итоге: 1000 семей с двумя мальчиками, 1000 семей с двумя девочками, 2000 семей где ребенки разных полов(1000 М и Д + 1000 Д И М ). 1000 семей в которых обе девочки нас не интересуют по условию задачи( У Смита один из детей мальчик).И теперь смотрим: Из 3000 семей только в 1000 мальчики и в 2000 мальчик и девочка.Мы с вероятностью 2/3 можем предположить, что дети разных полов.
Парадокс второго ребенка
Ну, понятно. Старший — мальчик. У второго 2 равновероятных возможности. Девочка и мальчик. Получается, 1/2.
А теперь задача номер два.
Анастасия Игоревна — прекрасная мама прекрасного сына. Но тут на днях мы узнали, что у нее два ребенка. Какова вероятность того, что другой ребенок тоже мальчик?
Большинство людей дает на этот вопрос тот же ответ — 1/2.
На самом же деле, в случае двух детей вы имеете четыре равновероятных исхода: ММ, МД, ДМ и ДД. Если вы знаете, что один из детей мальчик — вариант ДД отпадает. Но осталось три равновероятных варианта ММ, МД, ДМ. Понятно, что второй ребенок мальчик с вероятностью 1/3.
Вспомним теперь, что в реальной жизни мальчики рождаются чуть чаще, чем девочки. Скажем, мальчики рождаются с вероятностью ½+ε, а девочки с вероятностью ½-ε (нам даже не важно, положительно ε или отрицательно).
У Анны Петровны двое детей. Что вероятнее: что они однополые или что они разнополые?
Давайте посчитаем вероятность того, что дети разнополые. Это варианты МД и ДМ. Каждый из которых случается с вероятностью (½+ε)(½-ε)=¼-ε 2 , что меньше ¼, а поэтому суммарная вероятность двух этих возможностей меньше ½.
В реальной жизни вероятность того, что дети Анны Петровны однополые чуть-чуть больше того, что они разнополые!
А теперь вернемся к самому началу.
Если вы знаете, что в какой-то семье два ребенка, можете делать ставку, что они однополые.
Но если ваш знакомый сказал, что в семье, где он воспитывался, их было двое — бейтесь об заклад, другой ребенок другого пола!
Редакция выражает глубокую признательность liveuser и ulya_borodulina за справедливую критику первоначального варианта статьи.