Почему синус пи равен 0

7

Синус равен 0 на окружности уравнение

Эта ассоциация позволяет легко запомнить, где синус равен 0, и быстро решить уравнение sin x=0.

Как обычно, частные случаи синуса рассматриваем на единичной окружности.

Используем ассоциацию косинус-колобок. Оба начинаются с ко-, в названии cos x буква o тоже косвенно на колобка указывает. Колобок движется по горизонтали. На координатной плоскости движение по горизонтали происходит вдоль оси x.

Поэтому cos x — это x, соответственно, sin x — это y.

Таким образом, чтобы найти, где синус равен 0, нужно выяснить, в каких точках y=0.

Раз y=0, то движения вверх-вниз не происходит.

На единичной окружности условию sin x=0 удовлетворяют две точки: 0 и π.

Чтобы из одной точки попасть в другую, надо пройти половину окружности, то есть π.

Поскольку таких точек, в которых синус равен 0, бесконечное множество, прибавляем не π, а πn, где n — целое число (то есть n принадлежит Z): x=0+πn.

Следовательно, решение уравнения sin x=0, есть множество точек

Синус

Синус – одна из тригонометрических функций. Значение синуса определяется для угла или для числа (в этом случае используют числовую окружность).

Аргумент и значение

Синус острого угла

Синус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

1) Пусть дан угол и нужно определить синус этого угла.

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить \(sinA\).

Синус числа

Синус числа можно определить с помощью числовой окружности – синус числа равен ординате соответствующей точки на ней.

Числовая окружность позволяет определить синус любого числа, но обычно находят синус чисел как-то связанных с Пи : \(\frac \) , \(\frac \) , \(-2π\).

Например, для числа \(\frac \) — синус будет равен \(0,5\). А для числа \(-\) \(\frac \) он будет равен \(-\) \(\frac > \) (приблизительно \(-0,71\)).

Подробнее как вычисляется синус разных чисел можно прочитать в этой статье .

Значение синуса всегда лежит в пределах от \(-1\) до \(1\). При этом вычислен он может быть для абсолютно любого угла и числа.

Синус любого угла

Благодаря единичному кругу можно определять тригонометрические функции не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем \(360°\) (полный оборот). Как это делать — проще один раз увидеть, чем \(100\) раз услышать, поэтому смотрите картинку.

Теперь пояснение: пусть нужно определить \(sin∠КОА\) с градусной мерой в \(150°\). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью \(x\). После этого откладываем \(150°\) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам \(\sin⁡∠KOA\).

Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в \(-60°\) (угол КОВ), делаем также, но \(60°\) откладываем по часовой стрелке.

И, наконец, угол больше \(360°\) (угол КОС) — всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол \(405°\) отложен как \(360° + 45°\).

Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в \(960°\), надо сделать уже два оборота (\(360°+360°+240°\)), а для угла в \(2640°\) — целых семь.

Как вы могли заменить, и синус числа, и синус произвольного угла определяется практически одинаково. Изменяются только способ нахождения точки на окружности.

Связь с другими тригонометрическими функциями:

— косинусом того же угла (или числа): основным тригонометрическим тождеством \(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
— тангенсом и косинусом того же угла (или числа): формулой \(tg⁡x=\) \(\frac \)
— котангенсом того же угла (или числа): формулой \(1+сtg^2⁡x=\) \(\frac \)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь .

Функция \(y=\sin⁡x\)

Если отложить по оси \(x\) углы в радианах, а по оси \(y\) — соответствующие этим углам значения синуса, мы получим следующий график:

График данной функции называется синусоида и обладает следующими свойствами:

— область определения – любое значение икса: \(D(\sin⁡x )=R\)
— область значений – от \(-1\) до \(1\) включительно: \(E(\sin⁡x )=[-1;1]\)
— нечетная: \(\sin⁡(-x)=-\sin⁡x\)
— периодическая с периодом \(2π\): \(\sin⁡(x+2π)=\sin⁡x\)
— точки пересечения с осями координат:
ось абсцисс: \((πn;0)\), где \(n ϵ Z\)
ось ординат: \((0;0)\)
— промежутки знакопостоянства:
функция положительна на интервалах: \((2πn;π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
функция отрицательна на интервалах: \((π+2πn;2π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
— промежутки возрастания и убывания:
функция возрастает на интервалах: \((-\) \(\frac \) \(+2πn;\) \(\frac \) \(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
функция убывает на интервалах: \((\) \(\frac \) \(+2πn;\) \(\frac \) \(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
— максимумы и минимумы функции:
функция имеет максимальное значение \(y=1\) в точках \(x=\) \(\frac \) \(+2πn\), где \(n ϵ Z\)
функция имеет минимальное значение \(y=-1\) в точках \(x=-\) \(\frac \) \(+2πn\), где \(n ϵ Z\).

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Синус числа ПИ — что это?

Следим мысленно за радиус- вектором, вращая его против часовой, начинаем от нуля до пи/2,потом- в конце второго квадранта в точке= равной пи градусов, нужный катет превращается в точку, то есть в нуль, его отношение к любой величине равно нулю, значит и синус 180 градусов= 0.

Число Пи не может быть выражено точно, это может быть 3,14. и 3,1415 и так далее до бесконечности. Правильно было написать «Синус угла Пи — это ?». Тогда правильный ответ 0.

На самом деле термин «синус» в европейских языках возник в результате ошибки переводчика. Он переводил (дело было в средневековье, в XII веке) математические труды с арабского языка на латинский. В те времена арабы преуспели в математике, и европейцы широко пользовались переводами математических трудов с арабского на латынь. Кстати, в арабский язык многие математические термины попали в результате переводов математических трудов древних греков. Так случилось и с понятием синуса. Термин был в трудах александрийских математиков, работавших в первых веках новой эры и разработавших начатки тригонометрии. В их трудах было слово «хорда», которая по-гречески означала струну, а также тетиву (колебания струны ведь связано с функцией синуса, но понятия функций тогда не было). Перевод с древнегреческого на арабский сделал персидский математик Аль-Хорезми (от этого имени произошел термин «алгоритм» — об этом недавно был вопрос на БВ). Хорезми перевел термин правильно — арабским термином «джейяб». А вот европейский переводчик неверно понял огласовку этого термина (которая указывает на произношение гласных звуков) и прочитал его как «джиба» (залив, бухта). В результате такого «перевода» и появился латинский термин sinus. По другой версии, термин попал в европейские языки окольным путем, через Индию и санскрит. Но искажение термина все равно случилось.

Я так понял, что задача сводится к тому, что нам неизвестен угол треугольника, и нам нужно его найти.

Для того чтобы найти синус угла, а затем и сам угол в произвольном треугольнике, необходимо знать длины двух сторон: стороны, противолежащей искомому углу, и какой-либо другой стороны — и ещё величину угла, противолежащего этой последней стороне.

А затем нужно применить теорему синусов.

Обозначим искомый (неизвестный) угол как A, противолежащую сторону — a, другую известную сторону — b, известный противолежащий этой стороне угол — B.

По теореме синусов: a/sin(A) = b/sin(B).

Отсюда: sin(A) = a * sin(B)/b;

A = arcsin[a * sin(B)/b].

Непосредственно многим людям тригонометрические функции не нужны,точнее как- будто бы не нужны.Но вся техника стоит на синусах и косинусах,электроэнергия ,переменный ток изменяется по синусоидальному закону,многие процессы в природе описываются с применением тригонометрии.Даже в повседневной жизни на постройке своего дома и то нужно применять синусы непосредственно.Опосредственно без них нельзя уже обойтись человечеству.

Вспомним, что синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, а косинус — прилежащего. Теперь будем уменьшать этот угол. Гипотенуза будет «ложиться» на прилежащий катет, всё больше сокращая противолежащий. Когда угол «схлопнется» полностью, станет равен нулю, противолежащий катет исчезнет совсем, а гипотенуза сольётся с прилежащим катетом. То есть, синус станет равен нулю, а косинус — единице.

sin0=0, cos0=1.

Будем считать что 120 и 150 это аргументы функций. Также предположим что по умолчанию между функциями и числом 12 опущен знак [*].

Синус

1) Пусть дан угол и нужно определить синус этого угла.

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить \(sinA\).

Синус числа

Синус числа можно определить с помощью числовой окружности – синус числа равен ординате соответствующей точки на ней.

Числовая окружность позволяет определить синус любого числа, но обычно находят синус чисел как-то связанных с Пи : \(\frac<π><2>\) , \(\frac<3π><4>\) , \(-2π\).

Например, для числа \(\frac<π><6>\) — синус будет равен \(0,5\). А для числа \(-\) \(\frac<3π><4>\) он будет равен \(-\) \(\frac<\sqrt<2>><2>\) (приблизительно \(-0,71\)).

Подробнее как вычисляется синус разных чисел можно прочитать в этой статье .

Значение синуса всегда лежит в пределах от \(-1\) до \(1\). При этом вычислен он может быть для абсолютно любого угла и числа.

Синус любого угла

Благодаря единичному кругу можно определять тригонометрические функции не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем \(360°\) (полный оборот). Как это делать — проще один раз увидеть, чем \(100\) раз услышать, поэтому смотрите картинку.

Теперь пояснение: пусть нужно определить \(sin∠КОА\) с градусной мерой в \(150°\). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью \(x\). После этого откладываем \(150°\) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам \(\sin⁡∠KOA\).

Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в \(-60°\) (угол КОВ), делаем также, но \(60°\) откладываем по часовой стрелке.

И, наконец, угол больше \(360°\) (угол КОС) — всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол \(405°\) отложен как \(360° + 45°\).

Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в \(960°\), надо сделать уже два оборота (\(360°+360°+240°\)), а для угла в \(2640°\) — целых семь.

Как вы могли заменить, и синус числа, и синус произвольного угла определяется практически одинаково. Изменяются только способ нахождения точки на окружности.

Связь с другими тригонометрическими функциями:

— косинусом того же угла (или числа): основным тригонометрическим тождеством \(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
— тангенсом и косинусом того же угла (или числа): формулой \(tg⁡x=\) \(\frac<\sin⁡x><\cos⁡x>\)
— котангенсом того же угла (или числа): формулой \(1+сtg^2⁡x=\) \(\frac<1><\sin^2⁡x>\)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь .

Функция \(y=\sin⁡x\)

Если отложить по оси \(x\) углы в радианах, а по оси \(y\) — соответствующие этим углам значения синуса, мы получим следующий график:

График данной функции называется синусоида и обладает следующими свойствами:

— область определения – любое значение икса: \(D(\sin⁡x )=R\)
— область значений – от \(-1\) до \(1\) включительно: \(E(\sin⁡x )=[-1;1]\)
— нечетная: \(\sin⁡(-x)=-\sin⁡x\)
— периодическая с периодом \(2π\): \(\sin⁡(x+2π)=\sin⁡x\)
— точки пересечения с осями координат:
ось абсцисс: \((πn;0)\), где \(n ϵ Z\)
ось ординат: \((0;0)\)
— промежутки знакопостоянства:
функция положительна на интервалах: \((2πn;π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
функция отрицательна на интервалах: \((π+2πn;2π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
— промежутки возрастания и убывания:
функция возрастает на интервалах: \((-\) \(\frac<π><2>\) \(+2πn;\) \(\frac<π><2>\) \(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
функция убывает на интервалах: \((\) \(\frac<π><2>\) \(+2πn;\) \(\frac<3π><2>\) \(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
— максимумы и минимумы функции:
функция имеет максимальное значение \(y=1\) в точках \(x=\) \(\frac<π><2>\) \(+2πn\), где \(n ϵ Z\)
функция имеет минимальное значение \(y=-1\) в точках \(x=-\) \(\frac<π><2>\) \(+2πn\), где \(n ϵ Z\).

Формулы приведения

Формулы приведения – одна из самых важных тем тригонометрии. Часто их можно встретить и в первой, и во второй частях ЕГЭ по профильной математике.

Существует несколько способов применять эти формулы: при помощи таблицы, при помощи формул синуса и косинуса суммы/разности, и самый легкий способ – правило лошади!

Обо всех трех методах мы тут и поговорим, что вам больше понравится, тем и пользуйтесь. Формулы приведения нужны для упрощения некоторых тригонометрических выражений.

Давайте для начала разберемся, что это за такие формулы приведения. Приведу несколько примеров: $$\sin(\frac<\pi><2>+\alpha)=\cos(\alpha);$$ $$\cos(\pi+\alpha)=-\cos(\alpha);$$ $$tg(\frac<3\pi><2>-\alpha)=ctg(\alpha);$$ $$ctg(3\pi+\alpha)=ctg(\alpha);$$ где \(\alpha\) — произвольный острый угол;

И так продолжать их писать можно до бесконечности. Формул приведения, на самом деле, очень и очень много.

Как отличить именно формулы приведения? Для этого существует общий вид тригонометрической функции: $$\sin(n*\frac<\pi> <2>\pm \alpha); $$ $$\cos(n*\frac<\pi> <2>\pm \alpha); $$ $$tg(n*\frac<\pi> <2>\pm \alpha); $$ $$ctg(n*\frac<\pi> <2>\pm \alpha); $$ где \(n\) — целое число;

То есть в аргументе тригонометрической функции к некоторому острому углу \(\alpha\) должно прибавляться или вычитаться выражение кратное \(\frac<\pi><2>\). Вот тогда перед вами формула приведения. Часто путают с другими формулами, будьте внимательны!

Во всех учебниках дают вот такую таблицу с формулами приведения:

Как пользоваться, думаю, понятно. В строках находятся тригонометрические функции, в столбцах –выражения, от которых функции берутся. Пересечение строки и столбца выдает вам ответ. Например: $$\cos(\frac<\pi><2>+\alpha)=-\sin(\alpha);$$ $$сtg(\frac<3\pi><2>-\alpha)=tg(\alpha);$$

Как видите, формул ОЧЕНЬ много. И никакой закономерности, чтобы легко выучить эту таблицу не прослеживается. А самое ужасное то, что даже в этой таблице далеко не все! Делаем вывод, что учить таблицу не самая лучшая идея. На ЕГЭ вам никто не даст в справочных материалах формулы приведения, откуда же их тогда брать?

Переходим сразу к третьему самому популярному и легкому способу — правилу лошади. К сожалению, в школах его часто не дают и заставляют пользоваться таблицей.

Правило лошади

Для того, чтобы пользоваться правилом лошади, необходимо хорошо ориентироваться в тригонометрической окружности. Нужно знать расположение углов на единичной окружности и уметь определять знаки тригонометрических функций в различных четвертях. Если у вас с этим не очень, стоит почитать статью про тригонометрическую окружность.

Первым делом, рисуем эту самую окружность (см. Рис).

Отметим на ней некоторый острый угол \(\alpha\). Проще всего изучать правило лошади на каком-нибудь примере: рассмотрим \(\sin(\frac<\pi><2>+\alpha)\) и постараемся вывести, чему это равно. Правило состоит из трех последовательных шагов:

1. Определяем в какой четверти на окружности лежит угол \(\frac<\pi><2>+\alpha\). Напоминаю, что \(\alpha\) это острый угол. Если к нему прибавить \(\frac<\pi><2>=90^o\), то мы окажемся во второй четверти в точке \(K\) (см. Рис. 2)
2. Определяем, какой знак (\(+/-)\) будет у исходной функции (в нашем случае это синус) во второй четверти. Синус во второй четверти положительный, значит знак плюс.
3. На последнем шаге нам надо ответить на вопрос: меняется ли наша тригонометрическая функция (синус) на противоположную? Противоположная функция для синуса – это косинус. Для этого понадобится выражение под синусом — \((\frac<\pi><2>+\alpha).\) Смотрим, что прибавляется к \(\alpha\) — это угол \(\frac<\pi><2>\). Угол \(\frac<\pi><2>\) лежит на вертикальной оси, в точке \(B\). Если угол, который прибавляется (или вычитается) к \(\alpha\) лежит на вертикальной оси, то исходная функция меняется на противоположную. А если на горизонтальной — то исходная функция остается неизменной. В нашем случае лежит на вертикальной оси, значит, синус должен поменяться на косинус.

Собираем теперь все три пункта воедино. Должен получиться положительный косинус от \(\alpha\): $$\sin(\frac<\pi><2>+\alpha)=\cos(\alpha);$$

Поздравляю, мы вывели формулу приведения. Натренируетесь и будете делать это за несколько секунд. Давайте еще прорешаем несколько примеров:

Пример 1 $$\cos(\pi+\alpha)=?$$ Давайте двигаться по шагам:

• Угол \(\pi+\alpha\) лежит в третьей четверти, точка \(F\);
• В третьей четверти косинус отрицательный. Значит будет знак минус;
• К \(\alpha\) прибавляется угол \(\pi\). А \(\pi\) находится на горизонтальной оси, значит исходный косинус не будет меняться на синус;

• Угол \((\frac<3*\pi><2>+\alpha)\) лежит в четвертой четверти, в точке \(N\). ( \(\frac<3*\pi><2>\) — это угол в \(270^o\), то есть три раза по \(90^o\));
• В четвертой четверти косинус положительный. Будет плюс;
• К \(\alpha\) прибавляется угол \(\frac<3*\pi><2>\). А \(\frac<3*\pi><2>\) находится на вертикальной оси, значит исходный косинус будет меняться на синус;

А что, если в аргументе будет не плюс, а минус? На самом деле, логика рассуждений остается прежней. Только если перед углом стоит знак минус, то этот угол нужно отсчитывать по часовой стрелке. Посмотрим на примере:

• Угол \((\frac<\pi><2>-\alpha)\) лежит в первой четверти. Обратите внимание, чтобы отметить угол \((\frac<\pi><2>-\alpha)\), мы сначала отметили \(\frac<\pi><2>\), а потом из него по часовой стрелке вычли угол \(\alpha\) и попали в точку (M\);
• В первой четверти косинус положительный. Будет плюс;
• Кроме \(\alpha\) в аргументе стоит угол \(\frac<\pi><2>\). А \(\frac<\pi><2>\) находится на вертикальной оси, значит исходный косинус будет меняться на синус;

• Угол \((\alpha-\frac<5*\pi><2>)\) лежит в четвертой четверти. Чтобы отметить угол \((\alpha-\frac<5*\pi><2>)\), мы сначала отметили угол \(\alpha\), а потом из него по часовой стрелке вычли угол \(\frac<5*\pi><2>\). Угол \(\frac<5*\pi><2>\) представляет из себя 5 поворотов по \(90^o\). Или один полный оборот — попадаем в исходную точку, и плюс один поворот на \(90^o\), в итоге придем в точку \(P\);
• В четвертой четверти синус отрицательный. Будет минус;
• Кроме \(\alpha\) в аргументе стоит угол \(\frac<5*\pi><2>\). А \(\frac<5*\pi><2>\) находится на вертикальной оси в точке \(B\), значит исходный синус будет меняться на косинус;

С синусами и косинусами разобрались, теперь обсудим тангенс и котангенс. Вся последовательность из трех шагов для тангенса и котангенса сохраняется. Угол \(\alpha\) по-прежнему произвольный острый угол. Рассмотрим пример:

Пример 5 $$ tg(\frac<\pi><2>+\alpha)=?;$$

• На тригонометрической окружности угол \((\frac<\pi><2>+\alpha)\) лежит во второй четверти в точке \(L\);
• Во второй четверти тангенс отрицательный. Будет знак минус;
• \(\frac<\pi><2>\) лежит на вертикальной оси. Значит тангенс должен поменяться на противоположную ему функцию – котангенс;

Пример 6 $$ctg(\pi-\alpha)=?;$$

• Для того, чтобы найти на единичной окружности угол \((\pi-\alpha)\), сначала отметим угол \(\pi\) (лежит в точке \(C\)), потом по часовой стрелке отсчитаем угол \(\alpha)\). Получаем вторую четверть;
• Во второй четверти котангенс отрицательный. Знак минус;
• \(\pi\) лежит на горизонтальной оси. Котангенс не меняется;

Давайте вместо угла \(\alpha\) возьмем какой-нибудь реальный угол. Суть от этого не изменится. Чтобы усложнить задачу, я не буду рисовать рисунок. Нарисуйте окружность сами и по пунктам сделайте пример.

• Угол \((3\pi+\frac<\pi><6>)\) лежит в третьей четверти. Действительно, \(3\pi=2\pi+\pi\) можно представить как полный круг плюс еще половина;
• В третьей четверти косинус отрицательный. Знак минус;
• \(3\pi\) лежит на горизонтальной оси в точке \(C\). Значит косинус не меняется на синус;

До этого мы рассматривали примеры, когда угол \(\alpha\) был острым. А что, если он больше \(90^o\)?

В этом случае нам придется сделать из него острый угол. Рассмотрим пример:

Пример 8 $$tg(\frac<\pi><2>-\frac<5\pi><6>)=?;$$ Угол \(\frac<5\pi><6>\) — тупой угол. Для того, чтобы воспользоваться формулой приведения, можно представить: $$\frac<5\pi><6>=\pi-\frac<\pi><6>;$$ Подставим в исходный пример $$tg(\frac<\pi><2>-\frac<5\pi><6>)=tg(\frac<\pi><2>-\pi+\frac<\pi><6>)=tg(\frac<\pi><6>-\frac<\pi><2>);$$ Угол \(\frac<\pi><6>\) острый и теперь можно воспользоваться правилом лошади.

• \((\frac<\pi><6>-\frac<\pi><2>)\) лежит в четвертой четверти. Отмечаем \(\frac<\pi><6>\) и по часовой стрелке вычитаем из него \(\frac<\pi><2>\);
• В четвертой четверти тангенс отрицательный;
• \(\frac<\pi><2>\) лежит на вертикальной оси, тангенс меняется на котангенс;

У любопытного читателя может возникнуть вопрос: а почему данный алгоритм называется правилом лошади? При чем тут, казалось бы, лошадь?

Лошадь, действительно, не при чем. Но дело в том, что когда вы определяете в третьем пункте, меняется ли наша тригонометрическая функция на противоположную или нет, то в случае, если дополнительный угол к \(\alpha\) лежит на вертикальной оси, мы как бы смотрим вверх-вниз, киваем головой, как лошадь, говоря себе: «Да, меняем». Или если угол лежит на горизонтальной оси, то мы киваем влево вправо вдоль горизонтальной оси, как бы говоря: «Нет, не меняем». Такое вот странное название у правила.

Формулы суммы и разности для формул приведения

И я обещал еще рассказать третий способ, как пользоваться формулами приведения. Он не очень удобный, потому что придется гораздо больше считать и выучить 4 тригонометрические формулы синуса/косинуса суммы/разности: $$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)\pm\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$ $$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)\mp\sin(\alpha)*\sin(\beta);$$ Приведем пример использования одной из таких формул:

Пример 9 Вычислите: $$\sin(\frac<\pi><3>+\frac<\pi><6>)=?;$$ Перед нам формула синуса суммы, где \(\alpha=\frac<\pi><3>\), а \(\beta=\frac<\pi><6>\). Просто подставим значения в формулу: $$\sin(\frac<\pi><3>+\frac<\pi><6>)=\sin(\frac<\pi><3>)*\cos(\frac<\pi><6>)+\sin(\frac<\pi><6>)*\cos(\frac<\pi><3>);$$ Значения всех тригонометрических функций в формуле мы можем посчитать, ведь это табличные значения: $$\sin(\frac<\pi><3>+\frac<\pi><6>)=\sin(\frac<\pi><3>)*\cos(\frac<\pi><6>)+\sin(\frac<\pi><6>)*\cos(\frac<\pi><3>)=\frac<\sqrt<3>><2>*\frac<\sqrt<3>><2>+\frac<1><2>*\frac<1><2>=\frac<3><4>+\frac<1><4>=1;$$ Эти формулы, на самом деле, надо знать в любом случае, они даже встречаются на ЕГЭ. А здесь они нам помогут выводить формулы приведения.

Опять будем учиться на примерах:

Пример 10 $$\sin(\alpha+\frac<3\pi><2>)=?;$$ Посмотрите внимательно, он абсолютно ничем не отличается от примера под номером 9. Мы здесь тоже можем применить формулу синуса суммы, где \(\beta=\frac<3\pi><2>\). $$\sin(\alpha+\frac<3\pi><2>)=\sin(\alpha)*\cos(\frac<3\pi><2>)+\sin(\frac<3\pi><2>)*\cos(\alpha);$$ Косинус и синус от \(\frac<3\pi><2>\) можно легко посчитать: $$\sin(\frac<3\pi><2>)=-1;$$ $$\cos(\frac<3\pi><2>)=0;$$ И подставим в нашу формулу: $$\sin(\alpha+\frac<3\pi><2>)=\sin(\alpha)*\cos(\frac<3\pi><2>)+\sin(\frac<3\pi><2>)*\cos(\alpha)=\sin(\alpha)*0+(-1)*\cos(\alpha)=-\cos(\alpha);$$ Мы получили, что: $$\sin(\alpha+\frac<3\pi><2>)=-\cos(\alpha);$$ Вывели формулу приведения, используя синус суммы. Этот способ, на мой взгляд, гораздо менее удобный, чем правило лошади, но им тоже можно пользоваться. Главное, не ошибиться в вычислениях.