Неберущиеся интегралы как решать

math serfer .narod.ru

При вычислении производной, наличие формул для производной суммы, разности, произведения, частного и композиции — всех тех операций, при помощи которых элементарные функции образуются из минимального набора — приводит к тому, что производная любой элементарной функции снова является элементарной функцией. При нахождении неопределённых интегралов, однако, формул для первообразной произведения, частного и композиции нет. Это приводит к такому положению, что отнюдь не для любой элементарной подынтегральной функции можно «взять интеграл», то есть выразить некоторую первообразную для подынтегральной функции в виде некоторого выражения, использующего лишь элементарные функции. Дело не в том, что пока что не придумано способа это сделать, а в принципиальной невозможности: никакая из первообразных в случае «неберущегося» интеграла никаким образом не может быть выражена как комбинация элементарных функций, связанных знаками арифметических действий и знаками композиции. Не следует думать, что если такое представление невозможно, то и функции такой нет 1 : можно считать, что для её выражения просто не хватает запаса рассматриваемых операций или запаса рассматриваемых исходных функций, и их надо расширить, то есть выйти за рамки множества функций, называемых элементарными 2 . В науке и её приложениях в технике, экономике и других дисциплинах применяются многие неэлементарные функции; часто их называют специальными . К специальным функциям относятся и многие первообразные для элементарных функций, причём часто не столь уж «сложной» структуры. Интегралы, выражающиеся через такие первообразные, называются (по традиции, берущей начало в 18 веке) неберущимися . Итак, интеграл не берётся , если функция не является элементарной. Приведём примеры неберущихся интегралов и названия первообразных — специальных функций, связанных с этими интегралами.

Здесь одна из первообразных, которую мы обозначили , выделяется из всего набора первообразных условием . Функция называется функцией Лапласа . Она широко применяется в теории вероятностей, физике, математической и прикладной статистике и других разделах науки и её приложений. Для вычисления значений функции Лапласа составлены таблицы, имеющиеся во многих учебниках, задачниках и справочниках по теории вероятностей и статистике. Возможность вычисления предусмотрена также на многих моделях калькуляторов (не самых дешёвых) и уж, обязательно, на тех, что предназначены для статистической обработки числового материала. Так что, с практической точки зрения, пользоваться функцией Лапласа ничуть не сложнее, чем, скажем, синусом, арктангенсом или натуральным логарифмом, которые мы условно относим к элементарным функциям.

Доопределим подынтегральную функцию , полагая её равной 1 при . В соответствии с тем, что , доопределённая функция будет непрерывна на всей числовой оси. Среди её первообразных выделим ту, для которой . Эта неэлементарная функция называется интегральным синусом и обозначается . Именно её мы использовали в приведённой выше формуле.

Одна из первообразных — та, что мы использовали в правой части и обозначили — называется интегральным косинусом .

—

это тоже неберущийся интеграл. Одна из первообразных, которую мы обозначили , — специальная функция, называющаяся интегральной экспонентой .

(при

одна из первообразных, , называется интегральным логарифмом .

Используя специальные функции, заданные предыдущими примерами, мы с помощью изученных выше правил интегрирования можем выражать через эти функции и другие интегралы. Приведём такой пример.

Для этого сделаем замену переменного :

Заметим, что та первообразная для , для которой , обозначается . Функция называется в теории вероятностей и статистике функцией ошибок .

Упражнение 1 . 3 Выразите функцию ошибок через функцию Лапласа и наоборот, функцию Лапласа через функцию ошибок.

Для вычисления мы применили формулу интегрирования по частям.

Пример 1 . 15 Вычислим интеграл от интегральной экспоненты . Заметим, что по определению первообразной. Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

Кроме приведённых выше, в приложениях встречаются и многие другие неберущиеся интегралы, например:

Эти четыре интеграла называются интегралами Френеля .

Упражнение 1 . 4 Сделав соответствующую замену переменного, выразите последние два из интегралов Френеля через функции и , которые стоят в правых частях первых двух интегралов Френеля.

Не берутся также интегралы

и многие другие.

Тем не менее, для многих классов интегралов, наиболее часто встречающихся в приложениях, первообразную всё же удаётся выразить через элементарные функции. В следующей главе мы изучим такие классы интегралов.

(при (при

(на самом деле функции и определяются так, что обе постоянные равны 0).

29. Понятие о неберущихся интегралов.

не всякая подынтегральная функция имеет первообразную, которая может быть выражена в элементарных функциях.

К таким интегралам можно отнести: , и многие другие.

Так, например, та из первообразных которая обращается в нуль приx=0, называется функцией Гаусса и обозначается Ф(x). Таким образом,, если .

Эта функция хорошо изучена. Составлены подробные таблицы ее значений при различных значениях. Графически это можно представить

Здесь одна из первообразных, которую мы обозначили, выделяется из всего набора первообразных условием. Функцияназывается функцией Лапласа. Она широко применяется в теории вероятностей, физике, математической и прикладной статистике и других разделах науки и её приложений. Для вычисления значений функции Лапласа составлены таблицы, имеющиеся во многих учебниках, задачниках и справочниках по теории вероятностей и статистике. Возможность вычисления предусмотрена также на многих моделях калькуляторов (не самых дешёвых) и уж, обязательно, на тех, что предназначены для статистической обработки числового материала. Так что, с практической точки зрения, пользоваться функцией Лапласа ничуть не сложнее, чем, скажем, синусом, арктангенсом или натуральным логарифмом, которые мы условно относим к элементарным функциям.

Пример 1.9Не берётся также интеграл

Доопределим подынтегральную функцию , полагая её равной 1 при. В соответствии с тем, что, доопределённая функция будет непрерывна на всей числовой оси. Среди её первообразныхF(x) выделим ту, для которой. Эта неэлементарная функция называется интегральным синусом и обозначается. Именно её мы использовали в приведённой выше формуле.

Пример 1.10Ещё один неберущийся интеграл:

Одна из первообразных — та, что мы использовали в правой части и обозначили — называется интегральным косинусом.

Пример 1.11—

это тоже неберущийся интеграл. Одна из первообразных, которую мы обозначили , — специальная функция, называющаяся интегральной экспонентой.

Пример 1.12Не берётся интеграл(приодна из первообразных,, называется интегральным логарифмом.

30. Определенный интеграл. Понятия и определения.

Вычисление площади криволинейной трапеции.Пусть на отрезкезадана непрерывная функция, принимающая на этом отрезке неотрицательные значения :при. Требуется определить площадьтрапеции, ограниченной снизу отрезком, слева и справа — прямымии, сверху — функцией.

Для решения этой задачи разделим произвольным образом основание фигуры точкаминачастейсимволомбудем обозначать длину-го отрезка:. На каждом из отрезковвыберем произвольную точку, найдём, вычислим произведение(это произведение равно площади прямоугольникас основаниеми высотой) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначим:.

равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками,; на левом рисунке эта площадь заштрихована.не равна искомой площади, она только даёт некоторое приближение к. Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количествоотрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезковстремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при(слева) и при(справа)). Приразница междуибудет тоже стремиться к нулю, т.е..

Определение определённого интеграла. Пусть на отрезкезадана функция. Разобьём отрезокпроизвольным образом наnчастей точками; длину-го отрезка обозначим:; максимальную из длин отрезков обозначим. На каждом из отрезковвыберем произвольную точкуи составим сумму.

Сумма называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных суммпри, не зависящий ни от способа разбиения отрезкана части, ни от выбора точек, то функцияназывается интегрируемой по отрезку, а этот предел называется определённым интегралом от функциипо отрезкуи обозначается.

Функция , как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числаaиb- соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования. Кратко определение иногда записывают так:.

В этом определении предполагается, что b>a. Для других случаев примем, тоже по определению: Еслиb=a, то; еслиb<a, то.

Теорема существования определённого интеграла. Если функциянепрерывна на отрезке, то она интегрируема по этому отрезку.

Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т.е. такого числа , что для любогонайдётся такое число, что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству, то, независимо от выбора точек,. Требование непрерывностидостаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва напри условии их ограниченности. Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: еслинеограничена на, то она неограничена на каком-либо, т.е. на этом отрезке можно найти такую точку, что слагаемое, а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа).

«Берущиеся» и «Неберущиеся» интегралы

«Берущиеся» и «Неберущиеся» интегралы

Как уже отмечалось выше, операция интегрирования функций значительно сложнее операции дифференцирования функций. Не всегда выбранный путь интегрирования является наилучшим, более коротким, простым. Интегрирование часто может быть выполнено не единственным способом. Многое зависит от знания рекомендуемых многих искусственных приемов интегрирования, от сообразительности, от тренированности. Например, можно найти, не используя рекомендуемую подстановку , а применив искусственный прием:

Вряд ли стоит вычислять интеграл

разлагая подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Заметив, что числитель является производной знаменателя , легко получить:

На практике при вычислении неопределенных интегралов используют различные справочники, содержащие таблицы особенно часто встречающихся интегралов. В частности, «Таблицы неопределенных интегралов» М. Л. Смолянского.

Изученные методы интегрирования позволяют во многих случаях вычислить неопределенный интеграл, т. е. найти первообразную функцию для подынтегральной функции.

Как известно, всякая непрерывная функция имеет первообразную. В том случае, когда первообразная некоторой элементарной функции является также элементарной функцией, говорят, что «берется», т. е. интеграл выражается через элементарные функции (или интеграл вычисляется). Если же интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят, что интеграл «не берется» (или «его найти нельзя»).

Так, например, нельзя взять интеграл , так как не
существует элементарной функции, производная от которой была бы равна . Приведем еще примеры «неберущихся» интегралов, которые имеют большое: значение в приложениях:

— интеграл Пуассона (теория вероятностей),

— интегральный логарифм (теория чисел),

— интегралы Френеля (физика),

— интегральные синус и косинус,

— интегральная показательная функция.

Первообразные от функции и других хорошо изучены, для них составлены подробные таблицы значений для различных значений аргумента .

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

H Неберущийся интеграл. Берущийся? в черновиках Из песочницы

Обычно на лекциях преподаватели показывают различные примеры, рассказывают какие интегралы берутся, а какие нет. Но в нашем Ленинградском электротехническом университете, видимо, это не так. Преподаватели бывают балуются, а не преподают. На одном из занятий по практике, молодой аспирант сказал: «Вам лектор все объяснил, все рассказал. Я вам все показал, кто не слушал, хм, я не виноват». В одной из задач на дом был довольно интересный интеграл:

Я по своей неосведомленности не знал, что данный интеграл не берется и в ответе так и пишется, однако я пытался его решить и решил, но на зачете получил — два!

Некоторые неберущиеся интегралы

Основные интегралы, которые могут спросить на экзамене из ряда неберущихся, были обнаружены Леонардом Эйлером:
,
,
,
,
,
,
,
,

Решение нтеграла

Дано:

а) Для решения интегралов прибегают к методу занесения подынтегральной функции под диффренциал. То есть необходимо найти функцию для замены в интеграле

Известно, что:

На основании этого сделаем некоторые преобразования:

При этом данное выражение постараемся доказать:

б) Введем переменную в интеграле и положим в эту переменную действующую

в) Необходимо взять константное число, которое может само себя сократить, для примера возьмем — 2

г) Положем двойку знаменателя в переменную, которая является интегрируемой и перейдем к методу занесения под дифференицал

д) Завершим начатое

е) Так как двойка особо не причем тут, то сделаем иные преобразования