Как узнать размерность матрицы в python

8

Python вектора и матрицы

В этом уроке мы разберём действия с матрицами в модуле NumPy в Python Питон.
NumPy это модуль для Python, предназначенный для научных расчётов. NumPy позволяет использовать в Питоне математические функции, такие как работа с матрицами, векторами, все тригонометрические функции, возведение в экспоненту и действия с логарифмами. NumPy в Питон позволяет работать с матрицами гораздо быстрее, чем стандартные алгоритмы работы с матрицами.
Для более удобного использования NumPy импортируем этот модуль, используя постфикс as np .
import numpy as np
as np означает, что когда мы вызываем процедуры и функции из NumPy в Python, перед названиями этих процедур и функций вместо numpy мы будем писать np . Это позволит не только удобнее писать код, но и быстрее читать его. Например, вместо numpy.array([1, 2]) мы будем писать np.array([1, 2]) .

Матрицы в NumPy в Питоне задаются с помощью команды np.array([]) . В круглых скобках находится сам массив, в квадратных скобках находятся элементы массива.
Пример. Задание одномерного массива в python
import numpy as np
arr = np.array([1, 2])
Матрица в Python задаётся с помощью двумерного массива. Матрица это таблица состоящая из строк и столбцов. Двумерный массив задаётся с помощью той же команды, что и одномерный массив.
Пример. Задание матрицы двумерного массива и вывод различных его элементов на экран в python
import numpy as np
matrix = np.array([ [‘first’, ‘second’], [‘third’, ‘fourth’] ])
print(matrix[0, 0])
print(matrix[1, 1])
print(matrix[0, 0]) выведет первый элемент из первого массива внутри – first . print(matrix[1, 1]) выведет второй элемент внутреннего второго массива – fourth .
NumPy в Питоне может выполнять различные действия с матрицами, такие как сложение, умножение, возведение матрицы в степень и вычисление определителя матрицы.

Для сложения матриц в Питоне не используются никакие команды, матрицы в Python складываются так же, как и числа.
Пример. Сложение матриц.
import numpy as np
matrix1 = np.array([ [3, 5, 1], [8, 7, 2] ])
matrix2 = np.array([ [5, 3, 4], [1, 10, 9] ])
total = matrix1 + matrix2
print(total)
NumPy в Питоне позволяет складывать только матрицы одинаковых размеров.
Матрицы складываются с помощью сложения всех элементов массива с одинаковыми индексами. Матрица с суммами этих элементов является результатом сложения.

Умножение матрицы на вектор в Python выполняется с помощью команды A.dot(B) , где A и B это матрицы. Для выполнения умножения в Питоне нужно, чтобы количество столбцов матрицы A было равно количеству строк матрицы B .
Пример. Умножение матрицы на вектор в python
import numpy as np
a = np.array([ [2, 1], [2, 2], [4, 3] ])
b = np.array([ [1], [3] ])
total = a.dot(b)
print(total)
Умножение вектора на матрицу определено только тогда, когда число столбцов матрицы равно числу строк вектора. В этом примере была рассмотрена матрица размером 3×2 и вектор-строка размером 2×1 . Число столбцов матрицы ( 2 ) равно числу строк вектора ( 2 ). В результате умножения матрицы на вектор получается вектор, у кторого число строк равно числу строк матрицы

Определитель матрицы в Python вычисляется с помощью с помощью команды

np.linalg.det(A) , где A это квадратная матрица. У квадратной матрицы количество строк равно количеству столбцов.
Пример. Вычисление определителя матрицы в python
import numpy as np
a = np.array([ [2, 1], [4, 3] ])
print(np.linalg.det(a))
Определитель может быть вычислен только для матриц с одинаковым количеством строк и столбцов – квадратных матриц. В этом примере с матрицей размерами 2×2 определитель матрицы равен разнице произведений диагоналей ( 2 * 3 – 1 * 4 = 2.0 )

Умножение матриц в Python

Умножение матрицы на матрицу в Питоне выполняется с помощью команды A.dot(B) , где A и B это матрицы. Умножение определено, если количество столбцов A равно количеству строк B .
Пример. Умножение матрицы на матрицу в python
import numpy as np
a = np.array([ [2, 1, 3], [2, 2, 4] ])
b = np.array([ [1, 1], [3, 2], [2, 4] ])
total = a.dot(b)
print(total)
Чтобы умножение было определено, количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы. В этом примере умножаются матрицы размерами 2×3 и 3×2 , результатом умножения является матрица размером 2×2 .

Возведение матрицы в степень в python

Возведение матрицы в степень в Питоне выполняется с помощью команды np.linalg.matrix_power(A, P) , где A – квадратная матрица, P – степень, в которую возводится матрица, допускаются только целочисленные степени. Возводить в степень можно только квадратные матрицы, так как количество строк должно быть равно количеству столбцов матрицы.
Пример. Возведение матрицы в степень в python
import numpy as np
a = np.array([[1, 3], [2, 1]])
result = np.linalg.matrix_power(a, 2)
print(result)

Решение системы линейных уравнений в Python

Для решения системы двух линейных уравнений нужно задать два массива. Один массив будет содержать коэффициенты для x и y в каждом уравнении, второй массив будет содержать правые части уравнений. Для решения линейных уравнений используется команда в Python np.linalg.solve(матрица левой части, вектор правой части)
Решение системы линейных уравнений в python
import numpy as np
a = np.array([[1, 2], [3, 2]])
b = np.array([5, 6])
result = np.linalg.solve(a, b)
print(result)
Эта программа на Python решает два линейных уравнения.
1x + 2y = 5
3x + 2y = 6

Вычисление экспоненты числа или матрицы в Python

Для вычисления экспоненты числа или массива в Питоне используется команда np.exp(A) , где A – число или массив. Если возводится в экспоненту массив, то все элементы массива будут возведены в экспоненту.
Пример. Возведение вектора в экспоненту.
import numpy as np
a = np.array([2, 1, 5])
print(np.exp(a))
В этом примере результатом будет вектор с элементами [e^2,e^1,e^5] , где e это основание натурального логарифма.

Вернуться к содержанию Следующая тема Графики функций и поверхностей в Python

Полезно почитать по теме матрицы и массивы в python:
Матрицы в python
Массивы в python

Нескучный туториал по NumPy

Меня зовут Вячеслав, я хронический математик и уже несколько лет не использую циклы при работе с массивами…

Ровно с тех пор, как открыл для себя векторные операции в NumPy. Я хочу познакомить вас с функциями NumPy, которые чаще всего использую для обработки массивов данных и изображений. В конце статьи я покажу, как можно использовать инструментарий NumPy, чтобы выполнить свертку изображений без итераций (= очень быстро).

Не забываем про

Что такое NumPy?

Это библиотека с открытым исходным кодом, некогда отделившаяся от проекта SciPy. NumPy является наследником Numeric и NumArray. Основан NumPy на библиотеке LAPAC, которая написана на Fortran. Не-python альтернативой для NumPy является Matlab.

В силу того, что NumPy базируется на Fortran это быстрая библиотека. А в силу того, что поддерживает векторные операции с многомерными массивами — крайне удобная.

Кроме базового варианта (многомерные массивы в базовом варианте) NumPy включает в себя набор пакетов для решения специализированных задач, например:

• numpy.linalg — реализует операции линейной алгебры (простое умножение векторов и матриц есть в базовом варианте);
• numpy.random — реализует функции для работы со случайными величинами;
• numpy.fft — реализует прямое и обратное преобразование Фурье.

Итак, я предлагаю рассмотреть подробно всего несколько возможностей NumPy и примеров их использования, которых будет достаточно, чтобы вы поняли, на сколько мощный этот инструмент!

Создание массива

Создать массив можно несколькими способами:

преобразовать список в массив:

скопировать массив (копия и глубокая копия обязательна. ):

создать нулевой или единичный массив заданного размера:

Либо взять размеры уже существующего массива:

при создании двумерного квадратного массива можете сделать его единичной диагональной матрицей:

построить массив чисел от From (включая) до To (не включая) с шагом Step:

По умолчанию from = 0, step = 1, поэтому возможен вариант с одним параметром, интерпретируемым как To:

Либо с двумя — как From и To:

Обратите внимание, что в методе №3 размеры массива передавались в качестве одного параметра (кортеж размеров). Вторым параметром в способах №3 и №4 можно указать желаемый тип элементов массива:

Используя метод astype, можно привести массив к другому типу. В качестве параметра указывается желаемый тип:

Все доступные типы можно найти в словаре sctypes:

Доступ к элементам, срезы

Доступ к элементам массива осуществляется по целочисленным индексами, начинается отсчет с 0:

Если представить многомерный массив как систему вложенных одномерных массивов (линейный массив, элементы которого могут быть линейными массивами), становится очевидной возможность получать доступ к подмассивам с использованием неполного набора индексов:

С учетом этой парадигмы, можем переписать пример доступа к одному элементу:

При использовании неполного набора индексов, недостающие индексы неявно заменяются списком всех возможных индексов вдоль соответствующей оси. Сделать это явным образом можно, поставив «:». Предыдущий пример с одним индексом можно переписать в следующем виде:

«Пропустить» индекс можно вдоль любой оси или осей, если за «пропущенной» осью последуют оси с индексацией, то «:» обязательно:

Индексы могут принимать отрицательные целые значения. В этом случае отсчет ведется от конца массива:

Можно использовать не одиночные индексы, а списки индексов вдоль каждой оси:

Либо диапазоны индексов в виде «From:To:Step». Такая конструкция называется срезом. Выбираются все элементы по списку индексов начиная с индекса From включительно, до индекса To не включая с шагом Step:

Шаг индекса имеет значение по умолчанию 1 и может быть пропущен:

Значения From и To тоже имеют дефолтные значения: 0 и размер массива по оси индексации соответственно:

Если вы хотите использовать From и To по умолчанию (все индексы по данной оси) а шаг отличный от 1, то вам необходимо использовать две пары двоеточий, чтобы интерпретатор смог идентифицировать единственный параметр как Step. Следующий код «разворачивает» массив вдоль второй оси, а вдоль первой не меняет:

А теперь выполним

Как видите, через B мы изменили данные в A. Вот почему в реальных задачах важно использовать копии. Пример выше должен был бы выглядеть так:

В NumPy также реализована возможность доступа ко множеству элементов массива через булев индексный массив. Индексный массив должен совпадать по форме с индексируемым.

Как видите, такая конструкция возвращает плоский массив, состоящий из элементов индексируемого массива, соответствующих истинным индексам. Однако, если мы используем такой доступ к элементам массива для изменения их значений, то форма массива сохранится:

Над индексирующими булевыми массивами определены логические операции logical_and, logical_or и logical_not выполняющие логические операции И, ИЛИ и НЕ поэлементно:

logical_and и logical_or принимают 2 операнда, logical_not — один. Можно использовать операторы &, | и

для выполнения И, ИЛИ и НЕ соответственно с любым количеством операндов:

Что эквивалентно применению только I1.

Получить индексирующий логический массив, соответсвующий по форме массиву значений можно, записав логическое условие с именем массива в качестве операнда. Булево значение индекса будет рассчитано как истинность выражения для соответствующего элемента массива.

Найдем индексирующий массив I элементов, которые больше, чем 3, а элементы со значениями меньше чем 2 и больше 4 — обнулим:

Форма массива и ее изменение

Многомерный массив можно представить как одномерный массив максимальной длины, нарезанный на фрагменты по длине самой последней оси и уложенный слоями по осям, начиная с последних.

Для наглядности рассмотрим пример:

В этом примере мы из одномерного массива длиной 24 элемента сформировали 2 новых массива. Массив B, размером 4 на 6. Если посмотреть на порядок значений, то видно, что вдоль второго измерения идут цепочки последовательных значений.

В массиве C, размером 4 на 3 на 2, непрерывные значения идут вдоль последней оси. Вдоль второй оси идут последовательно блоки, объединение которых дало бы в результате строки вдоль второй оси массива B.

А учитывая, что мы не делали копии, становится понятно, что это разные формы преставления одного и того же массива данных. Поэтому можно легко и быстро менять форму массива, не изменяя самих данных.

Чтобы узнать размерность массива (количество осей), можно использовать поле ndim (число), а чтобы узнать размер вдоль каждой оси — shape (кортеж). Размерность можно также узнать и по длине shape. Чтобы узнать полное количество элементов в массиве можно воспользоваться значением size:

Обратите внимание, что ndim и shape — это атрибуты, а не методы!

Чтобы увидеть массив одномерным, можно воспользоваться функцией ravel:

Чтобы поменять размеры вдоль осей или размерность используется метод reshape:

Важно, чтобы количество элементов сохранилось. Иначе возникнет ошибка:

Учитывая, что количество элементов постоянно, размер вдоль одной любой оси при выполнении reshape может быть вычислен из значений длины вдоль других осей. Размер вдоль одной оси можно обозначить -1 и тогда он будет вычислен автоматически:

Можно reshape использовать вместо ravel:

Рассмотрим практическое применение некоторых возможностей для обработки изображений. В качестве объекта исследования будем использовать фотографию:

Попробуем ее загрузить и визуализировать средствами Python. Для этого нам понадобятся OpenCV и Matplotlib:

Результат будет такой:

Обратите внимание на строку загрузки:

OpenCV работает с изображениями в формате BGR, а нам привычен RGB. Мы меняем порядок байтов вдоль оси цвета без обращения к функциям OpenCV, используя конструкцию
«[:, :, ::-1]».

Уменьшим изображение в 2 раза по каждой оси. Наше изображение имеет четные размеры по осям, соответственно, может быть уменьшено без интерполяции:

Поменяв форму массива, мы получили 2 новые оси, по 2 значения в каждой, им соответствуют кадры, составленные из нечетных и четных строк и столбцов исходного изображения.
Низкое качество свзано с использованием Matplotlib, за то там видны размеры по осям. На самом деле, качество уменьшенного изображения такое:

Перестановка осей и траспонирование

В кроме изменения формы массива при неизменном порядке единиц данных, часто встречается необходимость изменить порядок следования осей, что естественным образом повлечет перестановки блоков данных.

Примером такого преобразования может быть транспонирование матрицы: взаимозамена строк и столбцов.

В этом примере для транспонирования матрицы A использовалась конструкция A.T. Оператор транспонирования инвертирует порядок осей. Рассмотрим еще один пример с тремя осями:

У этой короткой записи есть более длинный аналог: np.transpose(A). Это более универсальный инструмент для замены порядка осей. Вторым параметром можно задать кортеж номеров осей исходного массива, определяющий порядок их положения в результирующем массиве.

Для примера переставим первые две оси изображения. Картинка должна перевернуться, но цветовую ось оставим без изменения:

Для этого примера можно было применить другой инструмент swapaxes. Этот метод переставляет местами две оси, указанные в параметрах. Пример выше можно было реализовать так:

Объединение массивов

Объединяемые массивы должны иметь одинаковое количество осей. Объединять массивы можно с образованием новой оси, либо вдоль уже существующей.

Для объединения с образованием новой оси исходные массивы должны иметь одинаковые размеры вдоль всех осей:

Как видно из примера, массивы-операнды стали подмассивами нового объекта и выстроились вдоль новой оси, которая стоит самой первой по порядку.

Для объединения массивов вдоль существующей оси, они должны иметь одинаковый размер по всем осям, кроме выбранной для объединения, а по ней могут иметь произвольные размеры:

Для объединения по первой или второй оси можно использовать методы vstack и hstack соответсвенно. Покажем это на примере изображений. vstack объединяет изображения одинаковой ширины по высоте, а hsstack объединяет одинаковые по высоте картинки в одно широкое:

Обратите внимание на то, что во всех примерах этого раздела объединяемые массивы передаются одним параметром (кортежем). Количество операндов может быть любым, а не обязательно только 2.

Также обратите внимание на то, что происходит с памятью, при объединении массивов:

Так как создается новый объект, данные в него копируются из исходных массивов, поэтому изменения в новых данных не влияют на исходные.

Клонирование данных

Оператор np.repeat(A, n) вернет одномерный массив с элементами массива A, каждый из которых будет повторен n раз.

После этого преобразования, можно перестроить геометрию массива и собрать повторяющиеся данные в одну ось:

Этот вариант отличается от объединения массива с самим собой оператором stack только положением оси, вдоль которой стоят одинаковые данные. В примере выше это последняя ось, если использовать stack — первая:

Как бы ни было выполнено клонирование данных, следующим шагом можно переместить ось, вдоль которой стоят одинаковые значения, в любую позицию с системе осей:

Если же мы хотим «растянуть» какую либо ось, используя повторение элементов, то ось с одинаковыми значениями надо поставить после растягиваемой (используя transpose), а затем объединить эти две оси (используя reshape). Рассмотрим пример с растяжением изображения вдоль вертикальной оси за счет дублирования строк:

Математические операции над элементами массива

Если A и B массивы одинакового размера, то их можно складывать, умножать, вычитать, делить и возводить в степень. Эти операции выполняются поэлементно, результирующий массив будет совпадать по геометрии с исходными массивами, а каждый его элемент будет результатом выполнения соответствующей операции над парой элементов из исходных массивов:

Можно выполнить любую операцию из приведенных выше над массивом и числом. В этом случае операция также выполнится над каждым из элементов массива:

Учитывая, что многомерный массив можно рассматривать как плоский массив (первая ось), элементы которого — массивы (остальные оси), возможно выполнение рассматриваемых операций над массивами A и B в случае, когда геометрия B совпадает с геометрией подмассивов A при фиксированном значении по первой оси. Иными словами, при совпадающем количестве осей и размерах A[i] и B. Этом случае каждый из массивов A[i] и B будут операндами для операций, определенных над массивами.

В этом примере массив B подвергается операции с каждой строкой массива A. При необходимости умножения/деления/сложения/вычитания/возведения степень подмассивов вдоль другой оси, необходимо использовать транспонирование, чтобы поставить нужную ось на место первой, а затем вернуть ее на свое место. Рассмотри пример выше, но с умножением на вектор B столбцов массива A:

Для более сложных функций (например, для тригонометрических, экспоненты, логарифма, преобразования между градусами и радианами, модуля, корня квадратного и.д.) в NumPy есть реализация. Рассмотрим на примере экспоненты и логарифма:

С полным списком математических операций в NumPy можно ознакомиться тут.

Матричное умножение

Описанная выше операция произведения массивов выполняется поэлементно. А при необходимости выполнения операций по правилам линейной алгебры над массивами как над тензорами можно воспользоваться методом dot(A, B). В зависимости от вида операндов, функция выполнит:

• если аргументы скаляры (числа), то выполнится умножение;
• если аргументы вектор (одномерный массив) и скаляр, то выполнится умножение массива на число;
• если аргументы вектора, то выполнится скалярное умножение (сумма поэлементных произведений);
• если аргументы тензор (многомерный массив) и скаляр, то выполнится умножение вектора на число;
• если аргументы тензора, то выполнится произведение тензоров по последней оси первого аргумента и предпоследней — второго;
• если аргументы матрицы, то выполнится произведение матриц (это частный случай произведения тензоров);
• если аргументы матрица и вектор, то выполнится произведение матрицы и вектора (это тоже частный случай произведения тензоров).

Для выполнения операций должны совпадать соответсвующие размеры: для векторов длины, для тензоров — длины вдоль осей, по которым будет происходить суммирование поэлементных произведений.

Рассмотрим примеры со скалярами и векторами:

С тензорами посмотрим только на то, как меняется размер геометрия результирующего массива:

Для выполнения произведения тензоров с использованием других осей, вместо определенных для dot можно воспользоваться tensordot с явным указанием осей:

Мы явно указали, используем третью ось первого массива и вторую — второго (размеры по этим осям должны совпадать).

Агрегаторы

Агрегаторы — это методы NumPy позволяющие заменять данные интегральными характеристиками вдоль некоторых осей. Например, можно посчитать среднее значение, максимальное, минимальное, вариацию или еще какую-то характеристику вдоль какой-либо оси или осей и сформировать из этих данных новый массив. Форма нового массива будет содержать все оси исходного массива, кроме тех, вдоль которых подсчитывался агрегатор.

Для примера, сформируем массив со случайными значениями. Затем найдем минимальное, максимальное и среднее значение в его столбцах:

При таком использовании mean и average выглядят синонимами. Но эти функции обладают разным набором дополнительных параметров. У нах разные возможности по маскированию и взвешиванию усредняемых данных.

Можно подсчитать интегральные характеристики и по нескольким осям:

В этом примере рассмотрена еще одна интегральная характеристика sum — сумма.

Список агрегаторов выглядит примерно так:

• сумма: sum и nansum — вариант корректно обходящийся с nan;
• произведение: prod и nanprod;
• среднее и матожидание: average и mean (nanmean), nanaverage нету;
• медиана: median и nanmedian;
• перцентиль: percentile и nanpercentile;
• вариация: var и nanvar;
• стандартное отклонение (квадратный корень из вариации): std и nanstd;
• минимальное значение: min и nanmin;
• максимальное значение: max и nanmax;
• индекс элемента, имеющего минимальное значение: argmin и nanargmin;
• индекс элемента, имеющего максимальное значение: argmax и nanargmax.

В случае использования argmin и argmax (соответственно, и nanargmin, и nanargmax) необходимо указывать одну ось, вдоль которой будет считаться характеристика.

Если не указать оси, то по умолчанию все рассматриваемые характеристики считаются по всему массиву. В этом случае argmin и argmax тоже корректно отработают и найдут индекс максимального или минимального элемента так, как буд-то все данные в массиве вытянуты вдоль одной оси командой ravel().

Еще следует отметить, агрегирующие методы определены не только как методы модуля NumPy, но и для самих массивов: запись np.aggregator(A, axes) эквивалентна записи A.aggregator(axes), где под aggregator подразумевается одна из рассмотренных выше функций, а под axes — индексы осей.

Вместо заключения — пример

Давайте построим алгоритм линейной низкочастотной фильтрации изображения.

Для начала загрузим зашумленное изображение.

Рассмотрим фрагмент изображения, чтобы увидеть шум:

Фильтровать изображение будем с использованием гауссова фильтра. Но вместо выполнения свертки непосредственно (с итерированием), применим взвешенное усреднение срезов изображения, сдвинутых относительно друг друга:

Применим эту функцию к нашему изображению единожды, дважды и трижды:

Получаем следующие результаты:

при однократном применении фильтра;

Видно, что с повышением количества проходов фильтра снижается уровень шума. Но при этом снижается и четкость изображения. Это известная проблема линейных фильтров. Но наш метод денойзинга изображения не претендует на оптимальность: это лишь демонстрация возможностей NumPy реализации свертки без итераций.

Теперь давайте посмотрим, сверткам с какими ядрами эквивалентна наша фильтрация. Для этого подвергнем аналогичным преобразованиям одиночный единичный импульс и визуализируем. На самом деле импульс будет не единичным, а равным по амплитуде 255, так как само смешивание оптимизировано под целочисленные данные. Но это не мешает оценить общий вид ядер:

Мы рассмотрели далеко не полный набор возможностей NumPy, надеюсь, этого было достаточно для демонстрации всей мощи и красоты этого инструмента!

Библиотека Numpy. Полезные инструменты

В статье рассмотрены некоторые полезные инструменты из библиотеки Numpy, которые довольно часто приходится использовать при решении задач в рамках машинного обучения и анализа данных.

Создание векторов и матриц

Вектора и матрицы – это основные объекты, которыми приходится оперировать в машинном обучении. Numpy предоставляет довольно много удобных функций, которые строят эти объекты.

Перед тем как их использовать не забудьте импортировать Numpy в проект.

np.arange()

Функция arange() аналогична по своему назначению функции range() из стандартной библиотеки Python . Ее основное отличие заключается в том, что arange() позволяет строить вектор с указанием шага в виде десятичной дроби.

Синтаксис использования функции следующий:

arange(start, stop, step)

В первом варианте будет создан вектор из целых чисел от 0 до stop .

Второй вариант позволяет задавать интервал, в этом случае вектор также будет содержать целые числа.

Третий вариант позволяет определить интервал чисел и шаг, который может быть десятичным числом

np.matrix()

Matrix является удобным инструментом для задания матрицы. При этом можно использовать Matlab стиль, либо передать в качестве аргумента список Python (или массив Numpy ).

Вариант со списком Python .

Вариант с массивом Numpy .

Вариант в Matlab стиле.

np.zeros(), np.eye()

В арсенале Numpy есть функции для создания специальных матриц: нулевых и единичных. Нулевой называется матрица, состоящая полностью из нулей. Для ее создания удобно использовать функцию zeros() , в качестве аргумента в нее передается кортеж из двух элементов, первый из них – это количество строк, второй – столбцов.

Функция eye() создает единичную матрицу – квадратную матрицу, у которой элементы главной диагонали равны единицы, все остальные – нулю.

Работа с матрицами и векторами

Вектора и матрицы, построенные с помощью Numpy можно складывать, вычитать, умножать, транспонировать и умножать на число. Перечисленные операции используются в большинстве задач, более специфические функции, в рамках данной статьи, рассматриваться не будут.

Создадим две матрицы.

Сложение матриц

Вычитание матриц

Умножение матрицы на число

Умножение матриц

Транспонирование матриц

… И другие полезные функции

Далее будет представлен список функций, их описание и пример использования, которые могут быть полезны, если о них знать)

np.ravel()

Функция np.ravel() используется для того, чтобы преобразовать матрицу в одномерный вектор.

Создадим двумерную матрицу размера 3х3 .

Применим функцию ravel() к этой матрице.

У ravel() есть параметр order , который отвечает за порядок построения одномерного массива, по умолчанию он равен ‘C’ , что означает – массив будет собираться из строк исходной матрицы.

Если указать order = ‘F ‘, то в качестве элементов для сборки будут выступать столбцы матрицы.

np.where()

Данная функция возвращает один из двух заданных элементов в зависимости от условия. Ее можно использовать для обработки численных данных.

В задачах машинного обучения эта функция хорошо подходит для реализации обработки данных с помощью пороговой функции.

np.meshgrid()

Функция meshgrid() позволят получить матрицу координат из координатных векторов. Если, например, у нас есть два одномерных вектора координат, то передав их в качестве аргументов в meshgrid() мы получим две матрицы, в которой элементы будут составлять пары, заполняя все пространство, определяемое этими векторами. Проще посмотреть это на примере.

Создадим два вектора

Построим матрицу координат с помощью meshgrid .

Посмотрите внимательно на матрицы xg и yg . Каждому элементу xg[i,j] соответствует свой элемент yg[i,j] . Можно визуализировать эти данные.

Для начала импортируем matplotlib (он должен быть установлен).

Последняя строка нужна, если вы работаете в Jupyter Notebook , чтобы графики рисовались “по месту”.

Теперь построим график

np.random.permutation()

Функция permutation() либо генерирует список заданной длины из натуральных чисел от нуля до указанного числа, либо перемешивает переданный ей в качестве аргумента массив.

Основное практическое применение эта функция находит в задачах машинного обучения, где довольно часто требуется перемешать выборку данных перед тем, как передавать ее в алгоритм.

Например у нас есть вектор с данными

Перемешаем эту выборку

Построим массив индексов для вектора arr , в котором позиции находятся в случайном порядке

P.S.

Если вам интересна тема анализа данных, то мы рекомендуем ознакомиться с библиотекой Pandas. На нашем сайте вы можете найти вводные уроки по этой теме. Все уроки по библиотеке Pandas собраны в книге “Pandas. Работа с данными”.

Библиотека Numpy. Использование boolean массива для доступа к ndarray >>>

Работа с Matrix в Python

Для работы с Matrix Python нам необходимо импортировать модуль numpy. Матрица используется для операций с матрицей, которая может использоваться для научных целей, обработки изображений и т.д.

Как создать матрицу?

Согласно Википедии, матрица – это прямоугольный массив чисел, символов или выражений, упорядоченный по строкам и столбцам. Итак, в следующем коде мы будем инициализировать различные типы матриц.

Обычно матрица создается с помощью функции numpy.matix(). Мы можем использовать numpy.shape, чтобы узнать размер матрицы. Смотрите следующий пример кода матрицы.

Вы получите результат, как на следующем изображении.

Добавление матрицы

Код для сложения матриц достаточно сложен для написания вручную. Благодаря модулю numpy мы можем просто использовать оператор + для добавления матрицы. Итак, в следующем примере кода мы увидим, как писать код сложения вручную, а также с помощью оператора +.

Умножение и транспонирование матриц, обратная матрица

В предыдущем разделе мы обсудили преимущество Python Matrix в том, что он просто упрощает для нас задачу. Таким образом, мы можем просто умножить две матрицы, получить инверсию и транспонирование матрицы.

Как мы видели ранее, оператор + добавляет две матрицы, здесь мы можем просто использовать оператор * для умножения матриц. При этом количество столбцов в первой матрице должно быть равно количеству строк во второй матрице.

Мы можем получить инверсию матрицы, используя функцию getI() и использовать getT() для транспонирования матрицы. Давайте посмотрим на пример:

Поскольку мы использовали случайные значения. Таким образом, элементы матрицы будут разными. Вывод вышеуказанного кода приведен ниже:

NumPy #

Первая сторонняя библиотека, с которой мы познакомимся — NumPy (Numerical Python).

Библиотека NumPy предоставляет доступ к многомерным массивам однородных данных (одного типа, обычно числа), подобным массивам C/C++ , и к методам их обработки. Под капотом эти самые массивы реализованы с помощью динамических массивов C , которые в отличие от списков хранят непосредственно данные, а не указатели на них.

Зачем нужен NumPy #

Необходимость в специальной библиотеке для работы с большими массивами чисел возникает из-за скорости работы python . За гибкость, выразительность, динамическую типизацию и многие другие достоинства python приходится платить скоростью: код написанный на python , практически всегда будет работать медленнее, чем аналогичный код, написанный на C/C++ . Проще всего продемонстрировать это на примере с громоздкими циклами.

Документацию по модулю time можно найти по этой ссылке, а по модулю random по этой ссылке.

Выше приведено содержимое двух файлов с исходным кодом, каждый из которых складывает два вектора чисел размерности \(10^8\) .

Первый файл на языке C++ использует для представления векторов в программе std::vector.

Второй файл на языке python использует для представления векторов в программе списки.

Эти файлы располагаются по ссылке и могут быть запущены следующими командами в командной строке.

В среднем я получил следующие результаты.

Вообще говоря, на эти цифры может повлиять огромное количество факторов, в том числе и случайных. Тем не менее разница настолько явная, что качественная картина ясна: циклы в C/C++ работают заметно быстрее, чем в python .

“Среднее” приложение на python не сталкивается с обработкой больших объемов данных и обычно разница в производительности компенсируется затраченным на реализацию алгоритма временем. Но научные вычисления очень часто представляют собой “программы по перемолке чисел” и такое замедление существенно.

Чтобы совместить скорость компилируемого языка и удобство python многие библиотеки поставляются вместе со скомпилированными модулями, написанными на C/C++ (или другом компилируемом языке), а в python “прокидывают” интерфейс для взаимодействия с ними. NumPy — яркий пример такой библиотеки.

Установка NumPy #

В anaconda NumPy установлен по умолчанию, а установить его с помощью PyPI можно следующей командой.

Установив NumPy , чтобы пользоваться им в программе, необходимо его импортировать.

Библиотека NumPy используется настолько часто и настолько многими, что сложилась традиция импортировать NumPy с псевдонимом np . Любой программист, увидев где-то в коде выражение вида np.some_method() догадается, что вызывается метод some_method из библиотеки NumPy и ему не потребуется искать глазами определение объекта np , чтобы понять, что скрывается за этим именем.

О массивах NumPy . Тип данных, размерность, оси и форма.#

В ячейке ниже создаётся массив NumPy из случайных чисел. Можете пока не вникать, как конкретно он создаётся. Важно лишь понять, что имя array связывается с каким-то массивом NumPy .

Массивы в библиотеке представляются типом numpy.ndarray (n dimensional array, n-мерный массив).

Тип ndarray является типизированным контейнером данных, т.е. он предназначен для хранения данных одного и того же типа данных. Тип данных массива хранится в атрибуте dtype (data type). Этих типов может быть много, но большинство из них — стандартные числовые типы C/C++ : np.bool8 , np.int8 , np.int16 , np.int32 , np.int64 , np.unit8 , np.unit16 , np.unit32 , np.uint64 , np.float16 , np.float32 , np.float64 , np.complex64 , np.complex128 (подробнее про типы данных).

Целые числа в массивах NumPy введут себя совсем не как тип int из python : они всегда занимают определенное количество байт и могут переполняться, т.е. совпадают с целочисленными типами из C/C++ .

Вообще говоря, в массивах NumPy можно хранить и объекты произвольного типа, но тогда вместо самих объектов, в массиве будут храниться ссылки на них. Чаще всего массивы NumPy используются все же для хранения чисел.

Исходя из значения атрибута dtype массива array можно понять, что он хранит в себе 64-битные числа с плавающей запятой.

Ещё NumPy массивы хранят количество своих измерений в атрибуте ndim (number of dimensions). Массивы NumPy могут быть любой размерности: одномерные массивы часто используются для представления векторов, двумерные — для представления матриц и таблиц, массивы более высоких размерностей — для представления тензоров, массивы любых размерностей часто используются для представления значений некоторой функции векторного аргумента на сетке в многомерном пространстве.

Исходя из значения атрибута ndim массива array видим, что он является двухмерным.

Ещё обязательный атрибут массивов NumPy — форма ( shape ) — размеры массива вдоль каждого измерения. Эти измерения называются осями ( axis в ед. числе и axes в мн. числе).

Атрибут shape массива array говорит нам, что у него есть 2 элемента вдоль первого измерения и 3 вдоль второго. Иными словами можно сказать, что это таблица из двух строк и трех столбцов.

Общее количество элементов в массиве (произведение количеств элементов вдоль каждой из осей) хранится в атрибуте size .

Все массивы должны быть выравненными, т.е. не может быть матрицы со строками разных длин, трехмерного массива из матриц разных размеров и т.п.

Картинка ниже наглядно иллюстрирует смысл всех только что введенных понятий.

Создание массивов#

Создавать массивы NumPy — ndarray — можно огромным количеством образом, но для их создания редко используется конструктор самого типа. Вместо этого гораздо чаще используются другие методы. Например, метод numpy.array конструирует ndarray из других объектов.

Чаще всего он используется для создания массивов NumPy из python списков чисел. Тип данных выводится как самый общий тип данных, если он не указан явно именованным параметром dtype .

Ниже создаётся одномерный массив из списка четырёх чисел. При этом тип данных явно не указывается и в итоге получается массив чисел с плавающей точкой ( float64 ), т.к. в исходном списке были числа типа int и float .

В ячейке ниже демонстрируется, как создаются двухмерные массивы. Для этого ей на вход передаются списки списков, где каждый вложенный список — строка будущей таблицы. Т.к. внутри всех этих списков находятся только целые числа, то итоговый тип массива тоже целочисленный.

Трехмерные массивы создаются по аналогии. В ячейке ниже приводится пример. Обратите внимание, что все числа в передаваемом списке списков списков целочисленного типа, но результирующий массив получается типа float32 , т.к. этот тип явно указан при создании массива.

Так же есть ряд встроенных функций, создающих массивы. Каждая из них принимает в качестве опционального аргумента dtype .

start , stop , end

Аналог np.array(range) , но можно использовать float в качестве аргументов

start , stop , num , endpoint=True

Разбиение отрезка [ start , stop ] на num отрезков, если передать в качестве endpoint=False , то последняя точка не включается

Массив заданной формы из нулей

Массив заданной формы из единиц

Не метод, а подмодуль, содержащий методы создания массивов случайных значений

Если m не указан, то квадратная единичная матрица размера nxn , иначе нулевая матрица размера nxm с единицами на диагонали

Как я могу найти размеры матрицы в Python?

Как я могу найти размеры матрицы в Python. Len (A) возвращает только одну переменную.

(Я предполагаю) генерирует матрицу целых чисел (менее вероятные строки). Мне нужно найти размер этой матрицы, чтобы я мог выполнить некоторые тесты без необходимости перебирать все элементы. Что касается типа данных, я предполагаю, что это массив (или список списков).

5 ответов

количество строк списка списков будет: len(A) , а количество столбцов len(A[0]) учитывая, что все строки имеют одинаковое количество столбцов, т. е. все списки в каждом индексе имеют одинаковый размер.