Как считать комплексные числа на калькуляторе

Как считать комплексные числа на калькуляторе

В статье описаны способы выполнения арифметических действий над комплексными числами (сложение, вычитание, умножение, деление) и преобразований их форм записи (алгебраическая, показательная) с помощью инженерного калькулятора. Эти же действия можно выполнить на онлайн-калькуляторе. Автор использует модель CT-208T (рис. 1), действия на котором описаны в качестве примера.

Рисунок 1 — Калькулятор, используемый в примерах

Рисунок 2 — Изображение комплексного числа на комплексной плоскости

Комплексное число изображается на комплексной плоскости вектором (рис. 2). Основные формы записи комплексных чисел (используемые в электротехнике): — алгебраическая форма, где a — действительная часть, b — мнимая часть; — показательная форма, где ρ — модуль, φ — аргумент комплексного числа. Для преобразований «вручную» используются следующие формулы: — из показательной в алгебраическую; — из алгебраической в показательную. a — активная составляющая; мнимая bj — реактивная). В показательной форме модуль ρ соответствует амплитуде (или длине вектора) какой-либо величины, а аргумент φ — фазе (или углу поворота вектора).
—> При счете «вручную» в операциях сложения и вычитания удобно пользоваться алгебраической формой, а при делении и умножении — показательной:

На калькуляторе комплексное число представляется в соответствующих регистрах a и b . Запись действительной части в регистр a производится путем ввода цифрами некоторого числа и нажатия кнопки . Аналогичным образом производится запись мнимой части в регистр b , по нажатию кнопки . После ввода регистров первого комплексного числа нажимается кнопка, соответствующая действиям над числами (сложение, вычитание и т.д.), затем вводится второе, таким же образом, как и первое. После ввода второго числа нажимается кнопка , при этом над числами выполняется заданное действие, а результат сохраняется в регистрах a и b в алгебраической форме, просмотр их значений осуществляется нажатием кнопок и . Если же требуется получить результат в показательной форме, то над числом выполняется соответствующее преобразование > и в регистрах a и b сохраняется модуль и аргумент.
Если требуется выполнить действия над числами, представленными в показательной форме, то в регистр a заносится модуль, в регистр b заносится аргумент, затем сразу же производится преобразование в алгебраическую форму нажатием последовательности > (см. примеры далее).

Калькулятор должен быть переведен в режим работы с комплексными числами (на дисплее будет надпись CPLX).

Для простейших действий реализован калькулятор, в котором производятся арифметические операции для пары комплексных чисел. Числа можно вводить как в алгебраической, так и в показательной формах, преобразования и вычисления происходят при вводе данных. По-умолчанию на калькуляторе введен последний пример из предыдущей таблицы.

Как считать комплексные числа на калькуляторе

— стирание последних, не правильно набранных цифр.

— F-E — (1,587 04) – пробел между числом и порядком числа оставлен для знака «минус».

Р ешение:

Комплексными числами называются числа вида ,

где — действительные числа, а — мнимая единица (в электротехнике символ «i» заменили символом «j» т.к. «i» обозначает мгновенное значение силы тока).

-действительная часть комплексного числа;

— мнимая часть комплексного числа.

Числа и называются комплексно-сопряжёнными.

Любое комплексное число можно изобразить на координатной плоскости в виде точки , где по оси Ох отмечают действительную, а по оси Оу мнимую часть комплексного числа. Каждой точке плоскости с координатами соответствует один и только один вектор с началом в точке и концом в точке . Он называется радиус – вектором. Длина этого вектора называется модулем комплексного числа и вычисляется по формуле , а угол, образованный радиус-вектором с положительным направлением оси Ох , называется аргументом комплексного числа. Радиус вектор вычисляется по формуле: (учитывая четверть). Аргумент определяется неоднозначно. Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка называется главным значением аргумента.

к омплексного числа.

Вычисление комплексных чисел с помощью калькулятора

В разработке показано как можно выполнять действия над комплексными числами, находить модуль и аргумент комплексного числа с помощью калькулятора.

Просмотр содержимого документа
«Вычисление комплексных чисел с помощью калькулятора»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КРАСНОКАМСКИЙ ЦЕЛЛЮЛОЗНО-БУМАЖНЫЙ ТЕХНИКУМ»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ПО ТЕМЕ: «ВЫЧИСЛЕНИЯ НА КАЛЬКУЛЯТОРЕ»

По дисциплине «Математика»

Выполнила: Филиппова М.А.

Рассмотрена и утверждена на заседании комиссии физико-математических дисциплин.

Протокол №_____ от «_____»______________20 г.

2009-2010 учебный год

Пояснительная записка.

Изучение математики требует от студента большого объёма знаний. Технические средства обучения позволяют облегчить эту работу.

Данная методическая разработка предназначена для использования студентами дневной и заочной форм обучения на занятиях математики. В ней рассматривается теоретический материал по использованию калькуляторов разных типов, основные вопросы теории комплексных чисел. Кроме теоретических сведений изложены приёмы вычислений на калькуляторе различных алгебраических выражений и математических функций. Большой раздел занимает вычисление комплексных чисел с помощью калькулятора.

Данная работа так же может быть использована на занятиях специальных дисциплин, связанных с вычислительной работой, как студентами, так и преподавателями.

Во все времена люди стараются облегчить вычислительную работу. Многие из вас помнят «Четырёхзначные таблицы Брадиса», логарифмическую линейку. Но всё это ушло в прошлое. А на смену пришли компьютеры и их младшие собратья – микрокалькуляторы (МК). Поэтому очень важным на уроках математики является умение грамотно, рационально использовать МК. Для этого необходимо знать принципы работы, назначение кнопок и многое другое. Для достижения необходимого результата ,начиная с первого курса, на уроках математики мы изучаем как правильно пользоваться различными МК. Эти знания студенты используют на старших курсах при решении расчётных задач, при выполнении курсовых и дипломных работ.

Как правильно работать на МК ребята начинают знакомиться на первом курсе при изучении той или иной темы. Например, при изучении темы «Степени» преподаватель объясняет, как правильно возводить в степень с действительным показателем на разных типах инженерных калькуляторах. При изучении темы «Погрешности» и «Округление чисел» разбирает, как округлять до нужного разряда и записывать число в стандартном виде, и т.д..

Типы калькуляторов:

Калькулятор является «инженерным», если на нём можно вычислять значения различных элементарных и трансцендентных функций, задавать элементарные программы.

Разберём два основных типа инженерных МК:

МК, у которых не высвечивается последовательность набора цифр и действий;

МК, у которых вычисляемое выражение полностью высвечивается на дисплее.

Вычисления на калькуляторах 1 типа.

Общие действии:

— устанавливает режим измерения углов – DEG — в градусах;

RAD – в радианах;

GRAD – градиент (не используем).

— вторая функция – после нажатия, выполняется то, что написано над кнопкой.

— стирание последних, не правильно набранных цифр.

— запись числа в стандартном виде, например:

— F-E — (1,587 04) – пробел между числом и порядком числа оставлен для знака «минус».

Количество цифр после запятой

— — — округление числа до нужного разряда: 1 – до десятых; 2 – до сотых; 3 – до тысячных; и т.д.

0 – до единиц; точка – появляются все разряды.

— левая и правая скобки.

ввод информации в память.

вывод информации из памяти.

— смена знака числа.

Вычисление степеней:

Вычисление корней:

Вычисление логарифмов:

На МК имеются только десятичные и натуральные логарифмы. Для того, чтобы вычислять логарифмы с другими основаниями нужно воспользоваться формулой перехода от логарифма с одним основанием к логарифму с другим основанием:

Число под логарифмом

Вычисление тригонометрических функций:

Обычно при решении тригонометрических задач и при решении треугольников углы задаются в градусах, поэтому нужно установить режим МК – DEG.

Величина угла (град)

Аналогично вычисляются и другие тригонометрические функции.

Вычисление обратных тригонометрических функций:

Установить режим МК – DEG.

Значение тригонометрической функции

Аналогично вычисляются углы и с другими тригонометрическими функциями.

Вычисления на калькуляторах 2 типа.

Вычисления на МК 2 типа выполняются аналогично, но меняется последовательность набора.

Предлагаю вам несколько расчётных задач, которые решают студенты на занятиях.

Задача №1. Дисциплина «Процессы и аппараты»

В расчёте тепловых процессов при нагреве жидкостей, используют моделирование процессов через критериальные уравнения. Например: при определении коэффициента теплоотдачи от нагретой стенки к движущейся воде

Задача2:Дисциплина «Основы экономики»

Найти процентную ставку по вкладу, если через10 лет 50000 рублей обратились в 1000000 рублей.

Р ешение:

Вычисление комплексных чисел на МК.

Тема «Комплексные числа» является очень важной для специалистов «Электриков». Данная тема используется в дисциплине ТОЭ при расчёте цепей однофазного и трёхфазного переменного тока. А также в дисциплине «Электрические машины», где строятся векторные диаграммы на комплексной плоскости. Поэтому необходимо обучить студентов данной специальности грамотно и быстро выполнять расчёты, содержащие комплексные числа. А для этого очень важно научить студентов выполнять расчёты на инженерном калькуляторе.

Теория комплексных чисел.

Определение комплексного числа,

действия над комплексными числами в алгебраической форме

Комплексными числами называются числа вида ,

где — действительные числа, а — мнимая единица (в электротехнике символ «i» заменили символом «j» т.к. «i» обозначает мгновенное значение силы тока).

-действительная часть комплексного числа;

— мнимая часть комплексного числа.

Числа и называются комплексно-сопряжёнными.

На множестве комплексных чисел выполняются все известные математические действия, в том числе и извлечение корня чётной степени из отрицательного числа.

При выполнении деления комплексных чисел нужно числитель и знаменатель умножать на число, сопряжённое знаменателю.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Модуль и аргумент комплексного числа.

Любое комплексное число можно изобразить на координатной плоскости в виде точки , где по оси Ох отмечают действительную, а по оси Оу мнимую часть комплексного числа. Каждой точке плоскости с координатами соответствует один и только один вектор с началом в точке и концом в точке . Он называется радиус – вектором. Длина этого вектора называется модулем комплексного числа и вычисляется по формуле , а угол, образованный радиус-вектором с положительным направлением оси Ох , называется аргументом комплексного числа. Радиус вектор вычисляется по формуле: (учитывая четверть). Аргумент определяется неоднозначно. Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка называется главным значением аргумента.

Пример: Найти модуль и аргумент комплексного числа .

Тригонометрическая и показательная формы

к омплексного числа.

Кроме алгебраической формы существует ещё две формы: тригонометрическая и показательная.

В алгебраической форме удобно выполнять действия сложения и вычитания, а в показательной и тригонометрической формах удобно выполнять умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня.

Выполнение арифметических действий над комплексными числами.

Нахождение модуля и аргумента комплексного числа.

Найдите модуль и аргумент комплексного числа .

Проверка заданий:

Объяснение нового материала.

Как видите, вычисления комплексных чисел вызывают определённые затруднения. Особенно действия умножения, деления, нахождение модуля и аргумента комплексного числа. А если учесть, что задания с комплексными числами являются частью других задач по электротехнике или по электрическим машинам, то естественно хочется найти способ, позволяющий ускорить и облегчить эту работу. Таким помощником для нас является калькулятор. В начале первого курса мы просим всех студентов приобрести инженерные калькуляторы. Для специальности «Электрик» калькуляторы должны содержать кнопочки:

r /> />e ху cpl x

а) Выполнение арифметических действий над комплексными числами.

Войти в режим комплексных чисел – 2ndF- cpl x

Ввести необходимое комплексное число:

«действительная часть числа — кнопка — мнимая часть числа — кнопка »;

Указать нужное действие;

Ввести следующее комплексное число (аналогично);

Нажать знак «=», после чего появится действительная часть результата;

Нажать кнопку «b»,после чего появится мнимая часть результата.

В режиме комплексных чисел выполнить действия:

12 –«a» — 9 – «b» — «:» — 4 – «+/-» — «a» — 2 – «+/-» — «b»-

— «=» (получим действительную часть результата «-3.3») — «b»(получим мнимую часть результата «-0.6»)

Можно проверить с помощью калькулятора предыдущие примеры.

б) Нахождение модуля и аргумента комплексного числа.

Установить с помощью кнопки «DRG» режим калькулятора «DEG» (т.е. величина угла будет показана в градусах; если нужно величину угла в радианах, то с помощью этой же кнопки установить режим «RAD»);

Набрать комплексное число на калькуляторе:

«действительная часть числа — кнопка — мнимая часть числа — кнопка »;

Нажать «2ndF –a (появится модуль комплексного числа) – b(появится аргумент комплексного числа).

Перевести число z= 5+10j в показательную и тригонометрическую формы.

Найдём модуль и аргумент данного комплексного числа:

5-«a» — 10 – «b» — «2ndF» — «a» (получим модуль данного числа 11,18 ) – «b» — —(получим аргумент данного числа 63,43 0 ).

Z=11,18(cos 63,43 0 +jsin63,43 0 ) – тригонометрическая форма);

Z=11,18 e j 63,46 — показательная форма.

Закрепление нового материала.

В качестве закрепления нового материала можно решить задачи из сборника по ТОЭ.

Решение комплексных уравнений на калькуляторе

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:

Решение комплексных уравнений на калькуляторе

Квадратный корень из комплексного числа

Корни четвертой и пятой степени

Возведение в степень

Мнимая и действительная часть

Можно использовать следующие функции от z (например, от z = 1 + 2.5j):

Правила ввода выражений и функций

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Калькулятор комплексных чисел. Вычисление выражений с комплексными числами

Калькулятор комплексных чисел позволяет вычислять арифметические выражения, содержащие комплексные числа, знаки арифметических действий (+, -, *, /, ^), а также некоторые математические функции.

Калькулятор комплексных чисел

Как пользоваться калькулятором

1. Введите в поле ввода выражение с комплексными числами
2. Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С решением»
3. Нажмите на кнопку «Построить»

Ввод комплексных чисел

комплексные числа можно вводить в следующих трёх форматах:

• Только действительная часть: 2, 2.5, -6.7, 12.25
• Только мнимая часть: i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i
• Действительная и мнимая части: 2+i, -5+15i, -7+2.5i, -6+i
• Математические константы: π, e

Поддерживаемые операции и математические функции

• Арифметические операции: +, -, *, /, ^
• Получение абсолютного значения числа: abs
• Базовые математические функции: exp, ln, sqrt
• Получение действительной и мнимой частей: re, im
• Тригонометрические функции: sin, cos, tg, ctg
• Гиперболические функции: sh, ch, th, cth
• Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg
• Обратные гиперболические функции: arsh, arch, arth, arcth

Примеры корректных выражений

• (2+3i)*(5-7i)
• sh(i)
• (4+i) / (3 — 4i)
• sqrt(2i)
• (-3+4i)*2i / exp(2i + (15 — 8i)/4 — 3.75)

Комплексные числа

Комплексные числа — это числа вида x+iy , где x , y — вещественные числа, а i — мнимая единица (специальное число, квадрат которого равен -1, то есть i 2 = -1 ).
Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, разности, умножения и деления, однако комплексные числа нельзя сравнивать.

Примеры комплексных чисел

• 4+3i — действительная часть = 4, мнимая = 3
• -2+i — действительная часть = -2, мнимая = 1
• i — действительная часть = 0, мнимая = 1
• -i — действительная часть = 0, мнимая = -1
• 10 — действительная часть = 10, мнимая = 0

Основные действия с комплексными числами

Основными операциями, определёнными для комплексных чисел, являются сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:

• сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i
• умножение: (a + bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi 2 = (ac — bd) + (bc + ad)i
• деление:

Примеры

Найти сумму чисел 5+7i и 5.5-2i :
Найдём отдельно суммы действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5.5 = 10.5, im = 7 — 2 = 5.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 10.5 + 5i
Полученное число и будет ответом: 5+7i + 5.5-2i = 10.5 + 5i

Найти разность чисел 12-i и -2i :
Найдём отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом: 12-i — (-2i) = 12 + i

Найти произведение чисел 2+3i и 5-7i :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = 2·5 — 3·(-7) = 31, im = 3·5 + 2·(-7) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 31 + 1i
Полученное число и будет ответом: 2+3i * (5-7i) = 31 + i

Найти отношение чисел 75-50i и 3+4i :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = (75·3 — 50·4) / 25 = 1, im = (-50·3 — 75·4) / 25 = -18.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 1 — 18i
Полученное число и будет ответом: 75-50i / (3+4i) = 1 — 18i

Другие действия над комплексными числами

Помимо базовых операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:

• Получение действительной части числа: Re(z) = a
• Получение мнимой части числа: Im(z) = b
• Модуль числа: |z| = √(a 2 + b 2 )
• Аргумент числа: arg z = arctg(b / a)
• Экспонента: e z = e a ·cos(b) + i·e a ·sin(b)
• Логарифм: Ln(z) = ln |z| + i·arg(z)
• Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
• Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
• Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z
• Обратные гиперболические функции: arsh z, arch z, arth z, arcth z

Примеры

Найти действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 — 3i
Re(z) = Re(4 — 3i) = 4
Im(z) = Im(4 — 3i) = -3
|z| = √(4 2 + (-3) 2 ) = √25 = 5

Формы представления комплексных чисел

Комплексные числа принято представлять в одной из трёх следующих форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.