Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве
При введении системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве появляется уникальная возможность описания геометрических фигур и их свойств при помощи уравнений и неравенств. Это имеет иное название – методы алгебры.
Данная статья поможет разобраться с заданием прямоугольной декартовой системой координат и с определением координат точек. Более наглядное и подробное изображение имеется на графических иллюстрациях.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Чтобы ввести систему координат на плоскости, необходимо провести на плоскости две перпендикулярные прямые. Выбираем положительное направление, обозначая стрелочкой. Необходимо выбрать масштаб. Точку пересечения прямых назовем буквой O . Она считается началом отсчета. Это и называется прямоугольной системой координат на плоскости.
Прямые с началом O , имеющие направление и масштаб, называют координатной прямой или координатной осью.
Прямоугольная система координат обозначается O x y . Координатными осями называют О х и О у , называемые соответственно ось абсцисс и ось ординат.
Изображение прямоугольной системы координат на плоскости.
Оси абсцисс и ординат имеют одинаковую единицу изменения и масштаб, что показано в виде штрихе в начале координатных осей. Стандартное направление О х слева направо, а O y – снизу вверх. Иногда используется альтернативный поворот под необходимым углом.
Прямоугольная система координат получила название декартовой в честь ее первооткрывателя Рене Декарта. Часто можно встретить название как прямоугольная декартовая система координат.
Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве
Трехмерное евклидовое пространство имеет аналогичную систему, только оно состоит не из двух, а из трех О х , О у , О z осей. Это три взаимно перпендикулярные прямые, где О z имеет название ось аппликат.
По направлению координатных осей делят на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.
Оси координат пересекаются в точке O , называемой началом. Каждая ось имеет положительное направление, которое указывается при помощи стрелок на осях. Если при повороте О х против часовой стрелки на 90 ° ее положительное направление совпадает с положительным О у , тогда это применимо для положительного направления О z . Такую систему считают правой. Иначе говоря, если сравнить направление Х с большим пальцем руки, то указательный отвечает за Y , а средний за Z .
Аналогично образуется левая система координат. Обе системы совместить невозможно, так как соответствующие оси не совпадут.
Координаты точки в декартовой системе координат на плоскости
Для начала отложим точку М на координатной оси О х . Любое действительное число x M равняется единственной точке М , расположенной на данной прямой. Если точка расположена на координатной прямой на расстоянии 2 от начала отсчета по положительному направлению, то она равна 2 , если — 3 , то соответственное расстояние 3 . Ноль – это начало отсчета координатных прямых.
Иначе говоря, каждая точка М , расположенная на O x , равна действительному числу x M . Этим действительным числом и является ноль, если точка M расположена в начале координат, то есть на пересечении O x и О у . Число длины отрезка всегда положительно, если точка удалена в положительном направлении и наоборот.
Имеющееся число x M называют координатой точки М на заданной координатной прямой.
Возьмем точку как проекцию точки M x на О х , а как проекцию точки M y на О у . Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям О x и О у прямые, где послучим соответственные точки пересечения M x и M y .
Тогда точка M x на оси О х имеет соответствующее число x M , а M y на О у — y M . На координатных осях это выглядит так:
Каждая точка M на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат имеет одну соответствующую пару чисел ( x M , y M ) , называемую ее координатами. Абсцисса M – это x M , ордината M – это y M .
Обратное утверждение также считается верным: каждая упорядоченная пара ( x M , y M ) имеет соответствующую заданную в плоскости точку.
Координаты точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве
Определение точки М в трехмерном пространстве. Пусть имеются M x , M y , M z , являющиеся проекциями точки М на соответствующие оси О х , О у , О z . Тогда значения этих точек на осях О х , О у , О z примут значения x M , y M , z M . Изобразим это на координатных прямых.
Чтобы получить проекции точки M , необходимо добавить перпендикулярные прямые О х , О у , О z продолжить и изобразит в виде плоскостей, которые проходят через M . Таким образом, плоскости пересекутся в M x , M y , M z
Каждая точка трехмерного пространства имеет свои данные ( x M , y M , z M ) , которые имеют название координаты точки M , , x M , y M , z M — это числа, называемые абсциссой, ординатой и аппликатой заданной точки M . Для данного суждения верно и обратное утверждение: каждая упорядоченная тройка действительных чисел ( x M , y M , z M ) в заданной прямоугольной системе координат имеет одну соответствующую точку M трехмерного пространства.
Как нанести точки в трехмерной системе координат
Нанесение точек в трехмерной системе координат очень похоже на нанесение точек в двумерной системе координат с одной лишь разницей – вместо двух осей, вы будете работать с тремя.
1 Оси в трехмерной системе координат обозначаются х, у, z. Система координат выглядит так, как показано на рисунке (ось х направлена к вам).
2 Координаты точки в трехмерной системе координат задаются в виде (х, у, z); например, координаты (3,2,4) означают, что нужно отложить 3 единицы вдоль оси х, 2 единицы вдоль оси у, 4 единицы вдоль оси z.
3 Отложите значение по оси х.
4 Отложите значение по оси y.
5 Через точки на осях х и у проведите пунктирные прямые, параллельные осям х и у. Отметьте точку пересечения этих пунктирных прямых.
6 Отложите значение по оси z.
7 Проведите пунктирные прямые, параллельные осям х,у,z так, как показано на рисунке (то есть отложите проекцию значения по оси х на плоскости хz, и отложите проекцию значения по оси у на плоскости уz).
8 Соедините точки на плоскостях xy, xz, yz пунктирными прямыми, параллельными осям. Точка пересечения пунктирных прямых есть данная точка в трехмерной системе координат.
1.3. Координаты в трехмерном пространстве
Многие рассмотренные нами команды допускают ввод трехмерных координат точек. Например, для команды LINE (ОТРЕЗОК) на запрос From point: (От точки:) можно ввести:
114,47,200 — это означает, что начальная точка строящегося отрезка имеет соответствующие координаты по осям: Х= 114, Y= 47 и Z= 200 (Напомним, что в системе AutoCAD запятая является разделителем между координатами, а точка отделяет целую часть числа от дробной).
Если же на следующий запрос команды LINE (ОТРЕЗОК) То point: (К точке:) вы ответите:
62.81,—39.4,—4.55, то будет построен отрезок, у которого конечной точкой является точка с координатами: Х= 62.81, Y= -39.4 и 2= -4.55.
Вариант относительного ввода точек в декартовых координатах тоже допускает использование трех координат, например: @28,0,44 — строящаяся точка смещена относительно предыдущей по оси X на 28 мм, по оси У— на О мм, а по оси Z — на 44 мм.
К записи относительного ввода точки в полярных координатах тоже может добавляться третья координата, например: @12.6<19.4,20.79. Эта запись означает, что проекция отрезка на плоскость XY, построенного из предыдущей точки в указанную нами вторую точку, образует в плоскости XY с положительным направлением оси X угол 19,4° и имеет в этой же плоскости длину 12,6 мм, а координата Z конечной точки отрезка смещена от начальной по оси Z на 20,79 мм. Этот вариант ввода координат можно назвать относительным вводом точек в цилиндрических координатах (ось цилиндра направлена по оси Z).
Удобно анализировать трехмерные построения в изометрических видах, которые вполне могут заменить известную нам аксонометрию. Главное, что в любом изометрическом виде хорошо заметны модификации примитивов по всем трем осям. Установим стандартный вид, называемый юго-западной изометрией. Воспользуйтесь для этого пунктом падающего меню View | 3D Views | SW Isometric (Вид | ЗМ виды ЮЗ изометрия).
Щелкните с помощью левой кнопки мыши по указанному пункту меню. После этого изменяется внешний вид графического экрана: пиктограмма осей МСК смещается в центр и разворачивается так, что в проекции угол между осями будет уже не прямым, а 120°. Кроме того, внутри пиктограммы появляется знак плюс, означающий, что в данном виде пиктограмма располагается в начале действующей системы координат, т. е. в начале МСК. Форма перекрестия устройства указания также изменяется аналогично знаку осей координат.
1.4. Уровень и высота
Рассмотрим работу в изометрии на примере построения окружности. Нарисуйте окружность (с помощью команды CIRCLE (КРУГ)) с центром в точке X = 0, Y = 0 и радиусом 100 мм. В результате получим вид, изображенный на рис. 9.4.
Рис. 1.4. Окружность, построенная в юго-западной изометрии
В изометрическом виде окружность изображается эллипсом. Ось Z при этом идет вертикально вверх от точки начала координат. Изменим уровень окружности (для этого нужно изменить координату Z центра окружности). Щелкните по окружности — у нее появятся ручки. С помощью кнопки 
панели Standard (Стандартная) вызовите окно PROPERTIES (СВОЙСТВА). В этом окне отражены все характеристики окружности, которые при желании могут быть изменены. Щелкните дважды левой кнопкой мыши в правой колонке, напротив характеристики Center Z (Центр Z). В ячейке появится вертикальный текстовый курсор и значок устройства указания (его можно использовать, если вы хотите указать новое значение Z для центра с помощью мыши). Исправьте с помощью клавиатуры старое значение 0 на 250 (рис. 1.5) и закройте окно PROPERTIES (СВОЙСТВА).
Рис. 1.5. Изменение уровня с помощью окна PROPERTIES
В результате этого изменения окружность переместилась вверх на 250 мм (рис. 1.6). Если бы было нужно опустить окружность на 250 мм вниз, то мы бы задали Z = —250.
Рис. 1.6. Результат изменения уровня объекта.
Таким образом, плоскостью построений сначала была основная плоскость XY с уровнем Z= 0, а затем объект был перенесен в новую плоскость (на 250 мм выше по оси Z). Теперь попробуем изменить еще одну характеристику нашего круга — высоту. Под высотой в системе AutoCAD понимается толщина объекта по оси Z. В нашем случае это будет означать, что окружность превратится в цилиндр с осью, направленной вдоль оси Z MCK. Откройте еще раз окно PROPERTIES (СВОЙСТВА) и измените значение параметра Thickness (Высота) с 0 на 100. При этом двумерный круг превратится в трехмерный цилиндр (рис. 1.7).
Рис. 1.7. Результат изменения высоты объекта.
На криволинейной части цилиндра AutoCAD для наглядности выводит некоторое количество образующих. Кроме того, в рабочем режиме все стенки цилиндра доступны для редактирования и прозрачны, чтобы видеть объект полностью.
Операция изменения высоты называется еще выдавливанием двумерного объекта (в данном случае выдавливание круга идет вдоль положительного направления оси Z). Образовавшийся объект уже является трехмерным полым объектом. Теперь воспользуйтесь пунктом Hide (Скрыть) падающего меню View (Вид) для того, чтобы скрыть невидимые части цилиндра и убедиться, что стенка цилиндра и оба дна (основания) является непрозрачными. Этому пункту соответствует команда HIDE (СКРЫТЬ). Результат скрытия невидимых линий приведен на рис. 1.8.
Рис. 1.8. Скрытие невидимых линий цилиндра командой HIDE
Замечание. В режиме трехмерного каркаса команда HIDE (СКРЫТЬ) считает оба дна (основания) цилиндра прозрачными.
Если выдавить другой двумерный объект — например, прямоугольник (т. е. замкнутую полилинию в форме прямоугольника), — то у него боковые стенки будут тоже непрозрачными.
Изображение, образовавшееся в графическом экране в результате скрытия невидимых линий, является нерабочим — для продолжения редактирования рекомендуется выполнить пункт Regen (Регенерировать) или Regen All (Регенерировать все) падающего меню View (Вид).
AutoCAD хранит текущее значение уровня, на котором выполняются построения, в системной переменной ELEVATION(УРОВЕНЬ) изменяет текущие установки для уровня и высоты объектов, которые будут строиться далее. Команда запрашивает (в скобках указывается текущее значение): Specify new default elevation <0.0000>: (Новый уровень по умолчанию <0.0000>:)
Введите 250, что соответствует уровню нижнего основания цилиндра. Таким образом, плоскость построений переносится на уровень 250 мм. Следующий запрос (в скобках — текущее значение):
Specify new default thickness <0.0000>: (Новая высота по умолчанию <0.0000>:)
Введите —100, чтобы строящиеся объекты выдавливались на 100 мм вдоль отрицательного направления оси Z.
Теперь постройте окружность с центром в точке с координатами 0,0 и радиусом 200 мм. Если у точки центра координата Z отсутствует, то значение Z берется равным текущему уровню (т. е. 250 мм). В результате, во-первых, построится не окружность, а еще один цилиндр, поскольку задана ненулевая высота, а во-вторых, одно основание цилиндра попадет в плоскость нижнего основания первого цилиндра, а второе основание будет лежать в плоскости с уровнем 150 мм (т. к. к текущему уровню 250 прибавляется высота выдавливания, т. е. —100). Можно немного упростить себе задачу построения цилиндра, если при задании центра окружности воспользоваться функцией объектной привязки Center (Центр) к центру нижнего основания существующего цилиндра. В этом случае точка центра вычислилась бы сразу как трехмерная.
Теперь скройте невидимые линии. Результат выполненных операций представлен на рис. 1.9.
Рис. 1.9. Скрытие невидимых линий двух цилиндров
Перемещение примитивов можно было бы выполнить не только изменяя уровень объекта (для окружности это координата Z ее центра), но и с помощью обычной команды MOVE (ПЕРЕНЕСТИ), используя для этого при ответе на запросы команды две трехмерные точки, расположенные друг от друга в пространстве с заданным сдвигом вдоль оси Z.
Построение ортогональных проекций точек
Положение точки в пространстве может быть задано двумя её ортогональными проекциями, например, горизонтальной и фронтальной, фронтальной и профильной. Сочетание любых двух ортогональных проекций позволяет узнать значение всех координат точки, построить третью проекцию, определить октант, в котором она находится. Рассмотрим несколько типичных задач из курса начертательной геометрии.
По заданному комплексному чертежу точек A и B необходимо:
Определение координат точек по их проекциям
Определим сначала координаты т. A, которые можно записать в виде A (x, y, z). Горизонтальная проекция т. A – точка A’, имеющая координаты x, y. Проведем из т. A’ перпендикуляры к осям x, y и найдем соответственно Aх, Aу. Координата х для т. A равна длине отрезка AхO со знаком плюс, так как Aх лежит в области положительных значений оси х. С учетом масштаба чертежа находим х = 10. Координата у равна длине отрезка AуO со знаком минус, так как т. Aу лежит в области отрицательных значений оси у. С учетом масштаба чертежа у = –30. Фронтальная проекция т. A – т. A» имеет координаты х и z. Опустим перпендикуляр из A» на ось z и найдем Az. Координата z точки A равна длине отрезка AzO со знаком минус, так как Az лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа z = –10. Таким образом, координаты т. A (10, –30, –10).
Координаты т. B можно записать в виде B (x, y, z). Рассмотрим горизонтальную проекцию точки B – т. В’. Так как она лежит на оси х, то Bx = B’ и координата Bу = 0. Абсцисса x точки B равна длине отрезка BхO со знаком плюс. С учетом масштаба чертежа x = 30. Фронтальная проекция точки B – т. B˝ имеет координаты х, z. Проведем перпендикуляр из B» к оси z, таким образом найдем Bz. Аппликата z точки B равна длине отрезка BzO со знаком минус, так как Bz лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа определим значение z = –20. Таким образом, координаты B (30, 0, -20). Все необходимые построения представлены на рисунке ниже.
Построение проекций точек
Точки A и B в плоскости П3 имеют следующие координаты: A»’ (y, z); B»’ (y, z). При этом A» и A»’ лежат одном перпендикуляре к оси z, так как координата z у них общая. Точно также на общем перпендикуляре к оси z лежат B» и B»’. Чтобы найти профильную проекцию т. A, отложим по оси у значение соответствующей координаты, найденное ранее. На рисунке это сделано с помощью дуги окружности радиуса AуO. После этого проведем перпендикуляр из Aу до пересечения с перпендикуляром, восстановленным из точки A» к оси z. Точка пересечения этих двух перпендикуляров определяет положение A»’.
Точка B»’ лежит на оси z, так как ордината y этой точки равна нулю. Для нахождения профильной проекции т. B в данной задаче необходимо лишь провести перпендикуляр из B» к оси z. Точка пересечении этого перпендикуляра с осью z есть B»’.
Определение положения точек в пространстве
Наглядно представляя себе пространственный макет, составленный из плоскостей проекций П1, П2 и П3, расположение октантов, а также порядок трансформации макета в эпюр, можно непосредственно определить, что т. A расположена в III октанте, а т. B лежит в плоскости П2.
Другим вариантом решения данной задачи является метод исключений. Например, координаты точки A (10, -30, -10). Положительная абсцисса x позволяет судить о том, что точка расположена в первых четырех октантах. Отрицательная ордината y говорит о том, что точка находится во втором или третьем октантах. Наконец, отрицательная аппликата z указывает на то, что т. A расположена в третьем октанте. Приведенные рассуждения наглядно иллюстрирует следующая таблица.
| Октанты | Знаки координат | ||
| x | y | z | |
| 1 | + | + | + |
| 2 | + | – | + |
| 3 | + | – | – |
| 4 | + | + | – |
| 5 | – | + | + |
| 6 | – | – | + |
| 7 | – | – | – |
| 8 | – | + | – |
Координаты точки B (30, 0, -20). Поскольку ордината т. B равна нулю, эта точка расположена в плоскости проекций П2. Положительная абсцисса и отрицательная аппликата т. B указывают на то, что она расположена на границе третьего и четвертого октантов.
Построение наглядного изображения точек в системе плоскостей П1, П2, П3
Используя фронтальную изометрическую проекцию, мы построили пространственный макет III октанта. Он представляет собой прямоугольный трехгранник, у которого гранями являются плоскости П1, П2, П3, а угол (-y0x) равен 45 º. В этой системе отрезки по осям x, y, z будут откладываться в натуральную величину без искажений.
Построение наглядного изображения т. A (10, -30, -10) начнем с её горизонтальной проекции A’. Отложив по оси абсцисс и ординат соответствующие координаты, найдем точки Aх и Aу. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из Aх и Aу соответственно к осям x и y определяет положение т. A’. Отложив от A’ параллельно оси z в сторону её отрицательных значений отрезок AA’, длина которого равна 10, находим положение точки A.
Наглядное изображение т. B (30, 0, -20) строится аналогично – в плоскости П2 по осям x и z нужно отложить соответствующие координаты. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из Bх и Bz, определит положение точки B.