Как найти расстояние между прямой и окружностью
Общее определение расстояния между двумя произвольными фигурами выходит за рамки школьной программы, и мы его не приводим. Ряд частных случаев, когда расстояние между двумя фигурами можно ввести на базе школьного материала, перечислен в следующей таблице.
| Фигуры | Рисунок | Определение расстояния |
| Две точки | Расстоянием между двумя точками называют длину отрезка AB. | |
| Точка, лежащая на прямой |  |
Расстояние равно 0. |
| Точка, не лежащая на прямой |  |
Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. |
| Две параллельные прямые |  |
Расстоянием между параллельными прямыми называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую прямую. |
| Две пересекающиеся прямые |  |
Расстояние равно 0. |
| Две скрещивающиеся прямые |  |
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют длину общего перпендикуляра к этим прямым. |
| Точка, лежащая на плоскости |  |
Расстояние равно 0. |
| Точка, не лежащая на плоскости |  |
Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. |
| Прямая, пересекающая плоскость |  |
Расстояние равно 0. |
| Прямая, лежащая на плоскости |  |
Расстояние равно 0. |
| Прямая, параллельная плоскости |  |
Расстоянием от прямой, параллельной плоскости, до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки данной прямой на плоскость. |
| Две пересекающиеся плоскости |  |
Расстояние равно 0. |
| Две параллельные плоскости |  |
Расстоянием между параллельными плоскостями называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки одной плоскости на другую плоскость (все такие перпендикуляры имеют одну и ту же длину). |
| Парабола y = a x 2 + b x + c , не пересекающая ось абсцисс, и ось абсцисс |
 |
Расстоянием от параболы, не пересекающей ось абсцисс, до оси абсцисс называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на параболе, а другой на оси абсцисс. Этим кратчайшим отрезком является перпендикуляр, опущенный из вершины параболы на ось абсцисс. |
| Окружность и не пересекающая ее прямая |  |
Расстоянием между окружностью и непереcекающей ее прямой называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на окружности, а другой конец – на прямой. Если перпендикуляр OB , опущенный из центра O окружности на прямую, пересекает окружность в точке A, то расстояние от окружности до прямой равно длине отрезка AB. |
| Две непересекающиеся окружности, каждая из которых лежит вне другой |  |
Расстоянием между непересекающимися окружностями называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на одной окружности , а другой конец – на другой окружности. Если линия центров O1O2 пересекает окружность с центром O1 в точке A1, а окружность с центром O2 – в точке A2, то расстояние между окружностями будет равно длине отрезка A1A2. |
| Гипербола где k – любое, отличное от нуля, число, и ось абсцисс. |  |
Расстояние между гиперболой и осью абсцисс считается равным 0, поскольку гипербола неограниченно приближается к оси абсцисс (длина отрезка, один из концов которого лежит на гиперболе, а другой конец – на оси абсцисс, может быть сколь угодно малой). |
| Две точки |
 |
Определение расстояния:
Расстоянием между двумя точками называют длину отрезка AB.
Расстояние равно 0.
Определение расстояния:
Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Определение расстояния:
Расстоянием между параллельными прямыми называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую прямую.
Расстояние равно 0.
Определение расстояния:
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют длину общего перпендикуляра к этим прямым.
Расстояние равно 0.
Определение расстояния:
Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Расстояние равно 0.
Расстояние равно 0.
Определение расстояния:
Расстоянием от прямой, параллельной плоскости, до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки данной прямой на плоскость.
Расстояние равно 0.
Определение расстояния:
Расстоянием между параллельными плоскостями называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки одной плоскости на другую плоскость (все такие перпендикуляры имеют одну и ту же длину).
Определение расстояния:
Расстоянием от параболы, не пересекающей ось абсцисс, до оси абсцисс называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на параболе, а другой на оси абсцисс.
Этим кратчайшим отрезком является перпендикуляр, опущенный из вершины параболы на ось абсцисс.
Определение расстояния:
Расстоянием между окружностью и непереcекающей ее прямой называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на окружности , а другой конец – на прямой.
Если перпендикуляр OB , опущенный из центра O окружности на прямую, пересекает окружность в точке A , то расстояние от окружности до прямой равно длине отрезка AB.
Определение расстояния:
Расстоянием между непересекающимися окружностями называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на одной окружности, а другой конец – на другой окружности.
Если линия центров O1O2 пересекает окружность с центром O1 в точке A1, а окружность с центром O2 – в точке A2, то расстояние между окружностями будет равно длине отрезка A1A2.
Взаимное расположение прямой и окружности
Выясним количество общих точек прямой и окружности в зависимости от их взаимного расположения. Если прямая l проходит через центр O окружности (Рис.1), то она пересекает окружность в двух точках, которые являются концами диаметра окружности.
Пусть прямая не проходит через центр окружности. Проведем перпендикуляр OH к прямой l (Рис.2, Рис.3, Рис.4). Обозначим расстояние от центра окружности до прямой l буквой d. Рассмотрим сколько общих точек будут иметь прямая и окружность в зависимости от соотношения d и r.
  |
Теорема 1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.
В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности: d Теорема 2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют одну общую точку.
 |
Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности: d=r (Рис.3). В этом случае OH=r, т.е. точка H лежит на окружности и является общей точкой прямой l и окружности. Возьмем на прямой l любую точку M отличной от H. Тогда расстояние от OM больше расстояния OH=r, поскольку наклонная OM больше перпендикуляра OH к прямой l. Следовательно точка M не лежит на окружности. Получили, что точка H единственная общая точка прямой l и окружности.
Теорема 3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общую точку.
 |
Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности:d>r (Рис.4). Тогда \( \small OH > r\). Возьмем на прямой l любую точку M отличной от H. Тогда \( \small OM > OH>r\). Следовательно точка M не лежит на окружности. Таким образом, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общую точку.
61. Стереометрия Читать 0 мин.
61.333. Расстояния
Расстояния
Задача на нахождения расстояния в стереометрической фигуре является главной и самой важной из всех. Прежде всего определимся с тем, что имеется ввиду под словом «расстояние», ведь их может быть бесконечно много.
Расстояние между объектами в геометрии – это кратчайшее из расстояний между ними.
В стереометрии найти расстояние можно между следующими комбинациями фигур:
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ
Расстояние между точками– это длина отрезка, соединяющего эти точки.
В задачах на стереометрию мы не можем просто воспользоваться линейкой, и длину этого отрезка должны найти аналитически. Поэтому длину отрезка AB между точками A и B находят как сторону треугольника, если отрезок AB удается включить в некоторый треугольник в качестве одной из его сторон.
То есть если в задаче предлагается найти расстояние между точками, нужно задать себе вопрос: «В каком треугольнике этот отрезок является стороной?», затем построить этот треугольник и найти в нем нужную сторону.
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКОЙ И ПРЯМОЙ
Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Этот отрезок перпендикуляра можно вычислить, включив его в треугольник (или трапецию) в качестве одной из высот. То есть нужно задать себе вопрос: «В каком треугольнике этот отрезок является высотой?», затем построить этот треугольник и найти в нем высоту.
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ
Существует несколько способов нахождения расстояния от точки до плоскости:
- Построение перпендикуляра из точки на плоскость.
- К этому способу обращаются, если расстояние из точки M на плоскость опускать неудобно, а удобно опустить равный ему перпендикуляр из другой точки, лежащей на одной линии с M .
- Построение перпендикуляра из точки прямой к плоскости.
- Построение перпендикуляра из точки плоскости на плоскость.
К этому способу, аналогично, обращаются, если расстояние из точки M на плоскость опускать неудобно, а удобно опустить равный ему перпендикуляр из другой точки, лежащей на одной плоскости с M.
- Через двойное выражение объема.
Расстояние от точки M до плоскости β – это перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, то есть по сути это высота в некоторой пирамиде с вершиной M и плоскостью основания, лежащей на β. Если легко вычислить объем этой пирамиды, используя другое основание и другую высоту, то через этот объем можно найти нужное расстояние.
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ
Существует несколько способов нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми:
1. Построение взаимного перпендикуляра.
2. Построение параллельной прямой.
К этому способу обращаются, если строить взаимный перпендикуляр неудобно и одна из скрещивающихся прямых уже заключена в удобную плоскость.
К этому способу обращаются, если строить взаимный перпендикуляр неудобно и скрещивающиеся прямые уже заключены в удобные плоскости.
Урок 25. Взаимное расположение прямой и окружности
Конспект
Рассмотрим окружность с центром в точке О и прямую a, её не пересекающую.
Расстояние от центра окружности до прямой равно длине перпендикуляра ОВ.
Это расстояние больше радиуса окружности.
Будем перемещать прямую, параллельно самой себе в сторону центра окружности. В определённый момент, прямая коснется окружности.
Расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности.
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку называется касательной к окружности.
Общая точка прямой и окружности называется точкой касания.
Будем передвигать прямую далее к центру. Прямая пересечет окружность в двух точках.
Расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса.
Продолжая движение дальше, мы получим еще одну касательную к окружности.
Продолжим движение прямой дальше, она опять не будет иметь с окружностью общих точек.
Расстояние от центра окружности опять больше её радиуса.
Рассмотрим случай, когда прямая имеет с окружностью одну общую точку.
Сформулируем свойство касательной.
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Дано: Окружность с центром О, a – касательная, B – точка касания.
Доказать: a ⊥ OB
Доказательство:
Пусть утверждение неверно, т.е. прямая a не перпендикулярна радиусу OB. Тогда OB – наклонная к прямой a. Перпендикуляр меньше наклонной, тогда расстояние от центра O до прямой a меньше радиуса. Следовательно, прямая a и окружность имеют 2 общие точки. Но это противоречит условию, т.к. прямая a – касательная. Значит наше предположение неверно и a ⊥ OB.
Верно и обратное утверждение:
Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Проведем к окружности две касательные из одной точки, не принадлежащей окружности.
Выполняется утверждение:
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Докажите его самостоятельно, используя равенство треугольников AOВ и AOС.
Дано: окружность с центром O, касательные AB и AC
Доказать: AB = AC, ∠OAB = ∠OAC
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.
Как найти ближайшую точку на окружности? [закрыт]
Хотите улучшить этот вопрос? Добавьте больше подробностей и уточните проблему, отредактировав это сообщение.
Закрыт 2 года назад .
Есть окружность представленная в виде точки O(X, Y) и радиуса R.
Также есть другая точка A как найти координаты точки B ближайшей от A расположенной на окружности O?
Все просто, если сначала перенести начало координат в центр окружности, решить простейшую систему уравнений, сводящуюся к извлечению корня:
а потом вернуться в старую систему координат.
Если вы еще не учились примерно в 9 классе, то вот вам полное решение:
Решений, как видите, два. Один из знаков соответствует точке с минимальным расстоянием, второе — с максимальным. Какой именно знак для минимума, а какой для максимума — зависит от взаимного расположения точки и окружности.
Как вычислять по этим формулам и сравнивать значения, надеюсь, рассказывать не нужно?
Прямая не пересекает окружность где на окружности находится точка расстояние
Такое расположение прямой и окружности зависит от соотношения между радиусом окружности и расстоянием от центра окружности до прямой.
Прямая является секущей по отношению окружности
Прямая и окружность имеют две общие точки, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности:
Секущая по отношению к окружности – это прямая, которая пересекает окружность.
Секущая совпадает с диаметром и проходит через центр окружности
Если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух точках – концах диаметра, лежащего на этой прямой.
Прямая будет проходить через центр окружности, если расстояние между центром этой окружности и прямой равно нулю:
Прямая является касательной к окружности
Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности (d = r), то прямая и окружность имеют только одну общую точку.
Прямая и окружность не имеют общих точек
Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности (d > r), то прямая и окружность не имеет общих точек.
d — расстояние от центра окружности до прямой (измеряется длиной перпендикуляра из точки до прямой);