Как разделить матрицу на число

Матричные (групповые) операции

Табличные формулы илиформулы массива – очень мощное вычислительное средство Excel, позволяющее работать с блоками рабочего листа как с отдельными ячейками. Табличные формулы в качестве результата возвращают массив значений. Поэтому перед вводом такой формулы необходимо:

выделить диапазон ячеек, куда будут помещены результаты;

по окончании ввода нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Формула вводится во все ячейки выделенного интервала. При активизации любой ячейки из интервала, содержащего формулу массива, в строке формул отображается введенная формула, заключенная в фигурные скобки. Именно фигурные скобки являются признаком табличной формулы. Для выделения всего блока, содержащего табличную формулу, необходимо выделить одну из его ячеек, после чего нажать комбинацию клавиш Ctrl+/. Невозможно редактировать содержимое только одной ячейки из интервала с табличной формулой. Изменить можно только весь блок целиком, для чего он и должен быть предварительно выделен.

Операции с матрицами

К простейшим операциям с матрицами принято относить следующие:

сложение и вычитание матриц,

умножение и деление матрицы на число,

вычисление обратной матрицы.

Умножение (деление) матрицы на число, сложение (вычитание) матриц в Excel реализуются достаточно просто: с помощью обычных формул (поэлементное сложение или вычитание, умножение или деление на число), либо с использованием табличных формул, как это было описано ниже. Для остальных матричных операций в Excel предусмотрены функции рабочего листа из категории «Арифметические и тригонометрические функции»:

вычисление определителя матрицы

вычисление обратной матрицы

Первая из этих функций в качестве результата возвращает число (определитель матрицы), поэтому вводится как обычная формула (Enter). Последние три возвращают блок ячеек, поэтому должны вводиться как табличные формулы (Ctrl+Shift+Enter).

Сложение матриц

Например,пусть необходимо сложить две матрицы размера 33.

Элементы первой матрицы (9 элементов) разместим в интервале A1:C3, второй – в диапазонеE1:G3. Под результат выделим интервалA5:C7. После чего, не снимая выделения, введем формулу=A1:C3+E1:G3, нажав комбинацию клавишCtrl+Shift+Enter. В ячейках интервалаA5:C7отобразится результат – сумма соответствующих элементов матриц, а в строке формул мы увидим<=A1:C3+E1:G3>.

Умножение матрицы на число

Пусть вместо сложения нам надо умножить первую матрицу на число 2. Для этого перемещаемся внутрь интервала A5:C7, выделяем его, нажав комбинациюCtrl+/, вносим в формулу исправления=A1:C3*2и нажимаемCtrl+Shift+Enter. В интервалеA5:C7увидим результат умножения, а в строке формул – табличную формулу<=A1:C3*2>.

Методы решения слау

Cистему линейных уравнений вида:

принято называть системой n линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) сn неизвестными. При этом произвольные числаa_ij (i = 1, 2,…,n;j = 1, 2,…,n) называютсякоэффициентами системы (коэффициентами при неизвестных), а числаb_i (i = 1, 2,…,n) –свободными членами. Такая форма записи алгебраической линейной системы называетсянормальной.Решением СЛАУ называется совокупность чиселx_i (i = 1, 2,…,n), при подстановке которых в систему каждое из ее уравнений обращается в тождество.

Систему можно записать в матричной форме AX=B, гдеA – матрица коэффициентов при неизвестных (матрица системы):

X – вектор-столбец неизвестных ,B – вектор-столбец свободных членов, целое числоn называетсяразмерностью системы. Система уравнений называетсясовместной, если она имеет хотя бы одно решение, инесовместной – в противном случае. Совместная система называетсяопределенной, если она имеет единственное решение, инеопределенной, если она имеет больше одного решения.

Как делить матрицы

Матрицы — это векторные математические объекты, содержащие 2 или более скалярных элемента. Матрицы используются для нахождения многих неизвестных в системах скалярных уравнений, и для операций с большими массивами чисел. Как и со скалярными величинами (например, числами 1, 2, 3, 4), с векторами можно производить математические вычисления, такие как сложение, вычитание и умножение. Однако матрицы нельзя непосредственно разделить одну на другую. Для деления матриц необходимо произвести действие, состоящее из двух этапов. Вначале определяется матрица, обратная делителю (знаменателю). Затем на эту матрицу умножается та, которую делят, или матрица-числитель. Такой метод позволяет получить искомый результат, не производя деление непосредственно. В этой статье рассказывается, как делить матрицы.

Метод 1 из 2: Деление матрицы на число

1 Поделите матрицу на скалярную величину. Хотя деление матрицы на другую матрицу не определено строго, матрицу всегда можно разделить на скалярную величину. Такое деление заключается в делении каждого элемента матрицы на данное число.

Метод 2 из 2: Деление матрицы на матрицу

1 Определите матрицу, обратную матрице-знаменателю. Методы нахождения обратных матриц и других действий с матрицами можно найти в учебниках и справочниках по математике.
- Вычислите детерминант матрицы-знаменателя. Процедура нахождения детерминанта матрицы описана в математических учебниках. Цель данного шага заключается в том, чтобы определить, отличен ли детерминант матрицы от нуля. Если детерминант матрицы-делителя равен нулю, это означает, что данная матрица необратима, то есть для нее не существует обратной матрицы.
- В этом случае прекратите дальнейшие действия. Если матрица, обратная матрице-делителю не существует, дальше можно не продолжать. Такая ситуация подобна делению на ноль, не допустимому для скалярных величин.
- Если детерминант не равен нулю, найдите матрицу, обратную матрице-знаменателю. Наиболее распространенные способы нахождения обратной матрицы — метод Гаусса-Жордана и процедура нахождения матрицы алгебраических дополнений.
- Проверьте, правильно ли вы нашли обратную матрицу. Умножьте обратную матрицу на пряму, в результате вы должны получить единичную матрицу. Единичная матрица — это такая, все элементы которой равны нулю, кроме диагональных, которые равны единице.
2 Умножьте матрицу-числитель на обратную знаменателю матрицу. Учтите, что, в отличие от умножения скалярных величин, в данном случае порядок множителей имеет значение. При умножении чисел 2, умноженное на 4 дает тот же результат, что и 4, умноженное на 2. В векторной математике умножение матрицы-числителя на обратную знаменателю матрицу дает результат, отличный от того, если бы обратная матрица была помножена на матрицу-числитель.
3 Заметьте, что результат умножения матриц соответствует искомому. Матрица, не определенная строго в матричной алгебре, вычисляется путем нахождения обратной матрицы и умножения на нее делимой матрицы.

Как разделить число на матрицу: Как делить матрицы

Матрица — это двухмерная структура данных, в которой числа расположены в виде строк и столбцов. Например:

Эта матрица является матрицей три на четыре, потому что она состоит из 3 строк и 4 столбцов.

Матрицы в Python
NumPy массивы в Python

Как создать массив NumPy?

Массив целых чисел, чисел с плавающей точкой и составных чисел
Массив нулей и единиц
Использование arange() и shape()

Сложение двух матриц или сумма элементов массива Python
Умножение двух матриц Python
Транспонирование матрицы питон

Доступ к элементам матрицы
Доступ к строкам матрицы
Доступ к столбцам матрицы

Python не имеет встроенного типа данных для матриц. Но можно рассматривать список как матрицу. Например:

Этот список является матрицей на 2 строки и 3 столбца.

Обязательно ознакомьтесь с документацией по спискам Python, прежде чем продолжить читать эту статью.

Давайте посмотрим, как работать с вложенным списком.

Как видите, класс массива NumPy называется ndarray.

Существует несколько способов создания массивов NumPy.

Когда вы запустите эту программу, результат будет следующий:

Здесь мы указали dtype — 32 бита (4 байта). Следовательно, этот массив может принимать значения от -2

Узнайте больше о других способах создания массива NumPy .

Выше мы привели пример сложение, умножение матриц и транспонирование матрицы. Мы использовали вложенные списки, прежде чем создавать эти программы. Рассмотрим, как выполнить ту же задачу, используя массив NumPy.

Мы используем оператор +, чтобы сложить соответствующие элементы двух матриц NumPy.

Чтобы умножить две матрицы, мы используем метод dot(). Узнайте больше о том, как работает numpy.dot .

Примечание: * используется для умножения массива (умножения соответствующих элементов двух массивов), а не умножения матрицы.

Мы используем numpy.transpose для вычисления транспонирования матрицы.

Как видите, NumPy значительно упростил нашу задачу.

Также можно получить доступ к элементам матрицы, используя индекс. Начнем с одномерного массива NumPy.

Теперь выясним, как получить доступ к элементам двухмерного массива (который в основном представляет собой матрицу).

Теперь посмотрим, как разделить матрицу.

Использование NumPy вместо вложенных списков значительно упрощает работу с матрицами. Мы рекомендуем детально изучить пакет NumPy, если вы планируете использовать Python для анализа данных.

Пожалуйста, оставьте свои мнения по текущей теме статьи. За комментарии, подписки, лайки, дизлайки, отклики огромное вам спасибо!

Вадим Дворниковавтор-переводчик статьи «Python Matrices and NumPy Arrays»

Матрица Эйзенхауэра: что это, как пользоваться, примеры

Технологии и медиа

РБК КомпанииРБК Life

Чтобы не отвлекаться на бесполезные дела и не откладывать важные, нужно верно расставлять приоритеты. В этом помогает Матрица Эйзенхауэра — метод тайм-менеджмента самого продуктивного президента США

Что такое матрица Эйзенхауэра

Матрица Эйзенхауэра — это метод тайм-менеджмента, помогающий расставлять приоритеты: делать важное и не тратить время на ненужное. Он подойдет всем, кто хочет разобраться с личным и рабочим временем, научиться планировать расписание, которое не съезжает. Матрица состоит из четырех квадратов: срочно и важно, несрочно и важно, срочно и неважно, несрочно и неважно. Идея такой матрицы отдаленно пересекается со знаменитым «правилом Парето», согласно которому 20% усилий приводят к 80% результата и наоборот.

Идея распределять дела по такой методике появилась у 34-го президента США Дуайта Эйзенхауэра, руководившего страной с 1953-го по 1961 год. Эйзенхауэра считают одним из самых продуктивных президентов в истории Штатов.

Метод Эйзенхауэра оформил и популяризировал американский консультант Стивен Кови, описав его в книге «Семь навыков высокоэффективных людей».

Эффективность метода подтверждает исследование 2018 года [1]. Большинство людей выбирают срочные, а не важные дела. Ученые предложили участникам эксперимента выбрать, что делать в первую очередь. Срочные дела выбирали люди, которые описывали себя как «занятые». Зато когда их попросили обдумать последствия выбора той или иной задачи, они отдавали приоритет важным делам.

Читайте также: «Правила делегирования» — подборка РБК Pro

Как пользоваться матрицей Эйзенхауэра

Прежде чем заполнять матрицу, отследите в течение нескольких дней, какие задачи вы выполняете и сколько времени они отнимают. После наблюдения положите перед собой список дел и к каждому задайте три вопроса:

Была ли задача для меня срочной?
Была ли она для меня важной?
Я единственный, кто мог это сделать?

Когда распределите задачи по блокам, посмотрите, в каком квадрате их больше всего. Последовательно разбирайтесь с каждым квадратом. В будущем старайтесь оставлять в одном квадрате не больше восьми задач, причем личные и рабочие задачи считаются вместе. А перед тем как добавлять новое дело, завершите одно из списка.

Квадрат 1 — срочные и важные

Оперативно подхватить проект, пока коллега на больничном, закрыть задачу, прилетевшую за три часа до дедлайна, вылечить зуб с острой болью, — срочные и важные дела. Они требуют быстрого ответного действия. Обычно у таких задач есть осязаемые дедлайны и последствия, если не выполнить их вовремя. Сюда отнесем дела, возникшие из-за кризисов или форс-мажоров.

Если таких задач большинство. Возможно, у вас проблемы. Задачи в этом квадрате неизбежны, ведь ситуации и события, которыми нельзя управлять, будут происходить всегда. Но если фокусироваться только на срочных и важных делах, можно «заработать» хронический стресс, эмоциональное выгорание и ощущение потери контроля над жизнью. Это приведет к «внутренней миграции» — делам из четвертого квадрата.

Что делать. Старайтесь оставить здесь как можно меньше дел. Разработайте план по достижению актуальных целей. Поставьте дедлайны, составьте расписание. Проверьте в конце недели, что вы успели сделать, какие результаты получились и что будете делать на следующей неделе. Если срочные и важные задачи приходят извне, подумайте, как это предотвратить. Например, поговорите с начальством, коллегами или клиентом о перераспределении нагрузки или поменяйте рабочий план.

Квадрат 2 — несрочные и важные

Занятия в тренажерном зале, изучение языков, учеба на образовательных курсах — это задачи, связанные не с решением проблем, а с личным ростом. Эти дела помогают двигаться к долгосрочным целям с самыми ценными результатами. У них может не быть дедлайна или конечного срока, поэтому часто мы заменяем несрочные важные дела задачами из списка срочных.

Подкаст об образовании не поможет зарабатывать больше уже завтра, но поможет спланировать свою образовательную траекторию, чтобы зарабатывать больше в будущем. Это несрочно, но важно.

Если таких задач большинство. Вы расходуете свои ресурсы на то, что считаете важным. Уровень стресса снижается, вы почувствуете себя еще лучше, когда увидите первые результаты своих инвестиций.

Что делать. Это идеальная ситуация. Поддерживайте и сохраняйте ее как можно дольше.

Квадрат 3 — срочные и неважные

Сюда попадает проверка электронной почты и мессенджеров, рассылки документов, мытье посуды и другие бытовые дела. Это рутинные задачи, их результата ждут другие люди, но это почти не приближает вас к собственным целям. Автор книги «Сделай это завтра» Марк Форстер называет это занятостью. Занятость мешает делать «настоящую работу».

Если таких задач большинство. В этом квадрате можно увидеть эффект срочности: вы можете чувствовать драйв от поставленных галочек напротив списка дел. Как говорит знаменитый инвестор Уоррен Баффетт, каждым вечером следует задавать себе вопрос: «Стал ли я умнее сегодня, научился ли чему-то новому за день?» Другое дело, когда этот список состоит из мелких задач, которые почти ничего для вас не значат. Вместе с этим возникает ощущение, что вы занимаетесь не тем. Растет недовольство собой и своей жизнью.

Что делать. Стивен Кови советует делегировать такие задачи: службам доставки, личным ассистентам, клининговой службе, подрядчикам. Важно при этом грамотно делегировать задачи, чтобы не растерять уважение сотрудников, избегая при этом проявлений авторитаризма. Если делегирование невозможно — снизить их влияние на расписание. Например, выключать уведомления мессенджеров, ясно обозначать другим, сколько вам нужно времени на задачу, и говорить «нет», если таких дел становится слишком много. Еще один способ — заниматься задачами третьего квадрата, когда в первом и втором уже ничего нет.

Квадрат 4 — несрочные и неважные

Сюда попадают просмотры сериалов, пролистывание ленты в соцсетях и сортировка писем вместо ответа на них. Это «убийцы времени»: за этими занятиями мы проводим часы, но не получаем от них практической пользы в долгосрочной перспективе. Конечно, желание отвлечься, отдохнуть, полениться — это естественно. Самого Эйзенхауэра критиковали за игру в гольф в рабочее время. Но гольф и бридж создавали баланс между личным временем и стрессовой работой президента.

В долгосрочной перспективе «убийцы времени» мешают достигать важных целей. Исследование 2019 года, опубликованное в Journal of Applied Psychology, это доказывает [2]. Ученые нашли взаимосвязь между досугом сотрудников и их продуктивностью на следующий день. Исследователи выяснили, что работники, которые накануне долго смотрели передачи, пришли на работу с хорошим настроем. Но к концу недели их настроение ухудшалось, а мотивация падала. При этом работники, которые занимались спортом, йогой, медитацией, слушали музыку и помогали другим, чувствовали себя более спокойными и мотивированными.

Если таких задач большинство. Вы можете застрять в рутине. Из-за этого появится стресс и ощущение эскапизма, бегства от проблем.

Что делать. Фиксируйте время. Это поможет определить главных «убийц времени». Когда их найдете, подумайте, чем их заменить или ограничить.

Где собирать матрицу Эйзенхауэра

Блокнот или тетрадь. Не имеет значения, будут ли это разлинованные листы или нет — главное, чтобы вы осознавали границы между квадратами. Чтобы сделать распределение нагляднее, используйте разные цвета и шрифты для каждого блока.

Матрица Эйзенхауэра на бумаге

Todoist. В приложении можно маркировать задачи с помощью четырех уровней приоритетности, которые можно отфильтровать.

Матрица Эйзенхауэра в Todoist

Notion. Оформить матрицу в Notion можно несколькими способами. Например, создать базу с автоматическим присваиванием тега к задачам. Чтобы пользоваться такой матрицей, скопируйте шаблон у автора. Шаблон на английском языке.

Матрица Эйзенхауэра в Notion

Evernote. Это приложение для заметок. В нем есть шаблон матрицы, который можно настроить под себя: выбрать цвета, задачи. Можно заводить отдельную заметку с матрицей на каждый месяц, неделю или день.

Матрица Эйзенхауэра в Evernote

Урок 21. Векторы и матрицы в Mathcad

С этими понятиями Вы могли сталкиваться, работая в Excel – столбец чисел называется вектор-столбцом, строка – вектор-строкой. Блок объектов является матрицей. Вычисления в Excel, по сути, являются операциями с векторами и матрицами. В этом уроке мы познакомимся с аналогичными вычислениями в Mathcad, и мы поймем, почему в Mathcad их проводить проще.

Введение

В предыдущих уроках наши векторы начинались с элемента с номером «0». В этом уроке для простоты сделаем номер первого элемента равным «1». Это можно сделать с помощью вкладки Расчет –> Параметры документа –> ORIGIN:

Это значение можно вывести прямо в документ, чтобы не забыть его и не запутаться:

Теперь рассмотрим несколько матриц:

Как видно, они могут включать в себя числа, символы и даже функции. Они также могут содержать текстовые элементы (строки).

Элемент матрицы можно вывести, используя подстрочные индексы:

Матрицы выше являются квадратными 2х2, но у них может быть любой размер по строкам и столбцам:

Запомните: первое число – номер строки (или их количество), второе – столбца.

Элементы, выделенные с помощью подстрочных индексов:

Для вектор-столбца второй индекс можно опустить, но не для вектор-строки:

Во вкладке Математика –> Операторы и символы –> Операторы –> Векторы и матрицы Вы найдете команды для выделения столбцов и строк:

Многие операции для векторов и матриц аналогичны операциям для обычных чисел, переменных и функций: сложение, вычитание, некоторые виды умножения. Поиск обратной матрицы близко к операции деления. Вы можете записать эти операторы, используя имена векторов и матриц. В качестве примера рассмотрим векторное произведение матрицы и вектора:

Мы рассмотрим эту операцию подробнее позже. Однако стоит заметить, что она требует девять операций умножения и девять – сложения. Расписывать их утомительно и чревато ошибками – для больших матриц сделать это очень трудно.

Применение векторов очень широко. Вспомните пиксели на экране монитора – их могут быть миллионы. Они обрабатываются с помощью операций с матрицами.

В Mathcad

Для создания вектора или матрицы откройте вкладку Матрицы/таблицы. Когда курсор находится в пустой области щелкните по самой левой кнопке «Вставить матрицу». Появится сетка с маленькими квадратами:

Перемести указатель на сетку, выберите желаемый размер матрицы, затем щелкните левой кнопкой мыши. Появится пустая матрица:

Матрице можно присвоить имя, щелкнув на левую скобку, нажав [:] для оператора присваивания и введя имя:

Вставку и удаление строк и столбцов легко осуществлять с помощью команд из меню «Операторы с векторами/матрицами» на вкладке Матрицы и таблицы:

Операции с матрицами

Эффект от различных операций с матрицами и векторами будет проще понять, используя символы. Будем использовать две матрицы и два вектора:

Оператор транспонирования находится на вкладке Математика –> Операторы –> Векторы и матрицы:

Щелкните по правой границе матрицы и примените оператор. Он работает как для символьных, так и для числовых матриц:

Часто операции в векторами приходится совершать поэлементно. Для этого служит оператор векторизации. Операции в Excel зачастую являются поэлементными, они также важны и в Mathcad. Чтобы перемножить два вектора поэлементно, сначала введите простое умножение:

Затем выберите все выражение и примените векторизацию:

Вычислите, чтобы посмотреть результат: первый элемент умножается на первый, второй – на второй, и т.д.:

Другие поэлементные операции:

Поэлементные операции применимы только к массивам одного размера.

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание выполняется поэлементно:

Эта операция также применима лишь к массивам одного размера.

С помощью оператора суммирования можно найти сумму всех элементов вектора (не матрицы):

Умножение на константу работает так:

При скалярном умножении матриц происходит умножение строк на столбцы. При этом используется тот же символ, что и при обычном умножении. Эта операция допустима только для тех матриц, в которых число строк в первой матрице равно числе столбцов во второй. Для наших матриц 2х2:

Заметьте, что последовательность множителей играет роль:

Скалярное произведение не коммутативно, за исключением особых случаев:

Скалярное произведение двух векторов дает результат с комплексно-сопряженными числами (с чертой сверху). Для действительных чисел на это можно не обращать внимания:

Этот оператор применим только для двух вектор-столбцов, состоящих из трех элементов:

Векторное произведение имеет широкое применение в механике, гидродинамике, электромагнетизме и в других областях.

Обратная матрица определяется только для квадратных матриц:

Произведение матрицы и ее обратной матрицы является единичной матрицей:

Произведение матрицы и единичной матрицы дает изначальную матрицу:

Определитель можно найти только для квадратной матрицы. Его значение может быть равно нулю, даже если все элементы матрицы не равны нулю. Обратная матрица содержит дроби, в знаменателе которых находится определитель:

Если определитель равен нулю, обратной матрицы не существует, а матрица является сингулярной. Вспомните деление на ноль в обычной алгебре. Mathcad сообщит, если матрица является сингулярной:

Для скаляра определитель равен его модулю:

Для вектора команда Определитель вычисляет длину вектора:

Резюме

В этом уроке мы рассмотрели векторы и матрицы (массивы).

Элементы массива можно вывести с помощью подстрочного индекса – один индекс для вектор-столбца, два – для других массивов. Первое индекс – для строк, второй – для столбцов.
Есть специальные команды для извлечения отдельных строк и столбцов.
Векторы и матрицы создаются и редактируются с помощью команд со вкладки Матрицы/таблицы.

Операции над векторами и матрицами, которые мы рассмотрели:

Транспонирование.
Поэлементные операции.
Сложение и вычитание.
Скалярное произведение.
Векторное произведение.
Поиск обратной матрицы.
Поиск определителя.

About Павел Демидов

Выпускник МГТУ им. Н.Э. Баумана, технический специалист по продуктам PTC Mathcad и Solid Edge.

View all posts by Павел Демидов →

Пользовательские единицы измерения в Mathcad

Урок 22. Линейные уравнения в Mathcad

Массив разделения NumPy

Разделение массивов NumPy

Разделение — это операция, обратная объединению.

Объединение объединяет несколько массивов в один, а разделение разбивает один массив на несколько.

Мы используем array_split() для разделения массивов, мы передаем массив, который хотим разделить и количество разделений.

Пример

Разделить массив на 3 части:

импортировать numpy как np

arr = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])

новая ошибка = np.array_split(arr, 3)

Примечание: Возвращаемое значение представляет собой массив, содержащий три массива.

Если в массиве меньше элементов, чем требуется, он соответствующим образом подстроится с конца.

Пример

Разделить массив на 4 части:

импортировать numpy как np

arr = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])

newarr = np.array_split (пример, 4)

Примечание: У нас также есть метод split() , но он не будет корректировать элементы, когда элементов меньше исходный массив для разделения, как в примере выше, array_split() работал правильно, но split() завершится ошибкой.

Разбить на массивы

Возвращаемое значение метода array_split() представляет собой массив, содержащий каждое разбиение в виде массива.

Если вы разделите массив на 3 массива, вы можете получить к ним доступ только из результата как любой элемент массива:

Пример

Доступ к разделенным массивам:

импортировать numpy как np

arr = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])

newarr = np.array_split(arr, 3)

print(newarr[0])
print(newarr[1])
print(newarr[2])

Разделение двумерных массивов

Использование тот же синтаксис при разбиении двумерных массивов.

Использовать метод array_split() , передать массив ты хочешь разделить и количество сплитов, которые вы хотите сделать.

Пример

Разделить двумерный массив на три двумерных массива.

импортировать numpy как np

arr = np. />array([[1, 2], [3, 4], [5, 6], [7, 8], [9, 10], [11, 12]])

newarr = np.array_split(arr, 3)

В приведенном выше примере возвращаются три двумерных массива.

Давайте посмотрим на другой пример, на этот раз каждый элемент в двумерных массивах содержит 3 элемента.

Пример

Разделить двумерный массив на три двумерных массива.

импортировать numpy как np

arr = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9], [10, 11, 12], [13, 14, 15], [16, 17, 18]])

newarr = np.array_split(arr, 3)

Пример выше возвращает три двумерных массива.

Кроме того, вы можете указать, вокруг какой оси вы хотите выполнить разделение.

В приведенном ниже примере также возвращаются три двумерных массива, но они разделены вдоль строка (ось = 1).

Пример

Разделить двумерный массив на три двумерных массива по строкам.

импортировать numpy как np

arr = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9], [10, 11, 12], [13, 14, 15], [16, 17, 18]])

newarr = np.array_split(arr, 3, axis=1)

Альтернативное решение использует hsplit() напротив hstack()

Пример

Используйте метод hsplit() для разделения двумерного массива на три двумерных массива по строкам.

импортировать numpy как np

arr = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9], [10, 11, 12], [13, 14, 15], [16, 17, 18]])

newarr = np.hsplit(arr, 3)

Примечание: Аналогично альтернативам vstack() и dstack() доступны как vsplit() и dsplit() .

Мы только что запустили
Видео W3Schools

ВЫБОР ЦВЕТА

КОД ИГРЫ

Лучшие примеры

Примеры HTML
Примеры CSS
Примеры JavaScript
Примеры инструкций
Примеры SQL
Примеры Python
Примеры W3. CSS
Примеры Bootstrap
Примеры PHP
Примеры Java
Примеры XML
Примеры jQuery

W3Schools оптимизирован для обучения и обучения. Примеры могут быть упрощены для улучшения чтения и обучения. Учебники, ссылки и примеры постоянно пересматриваются, чтобы избежать ошибок, но мы не можем гарантировать полную правильность всего содержания. Используя W3Schools, вы соглашаетесь прочитать и принять наши условия использования, куки-файлы и политика конфиденциальности.

Как разделить каждый элемент в списке на Python делитель для элемента в заданном_списке]

Читайте дальше, чтобы узнать о многих других решениях.

Проблема: Как разделить каждый элемент в списке и получить результирующий список, содержащий частные?

Пример:

Ожидаемый результат:

Итак, без дальнейших проволочек, давайте углубимся в критический вопрос и узнать различные способы ее решения.

Как разделить каждый элемент в списке в Python

Посмотрите это видео на YouTube

Подход:

Создайте пустой список, в котором будут храниться частные.
Перебрать все элементы в данном списке, используя цикл for .
Разделить каждый элемент на заданное число/делитель и добавить результат в результирующий список.
Наконец, отобразите результирующий список после того, как все частные были вычислены и добавлены к нему.

Код:

Выход:

�� Прочитайте здесь: Python Loops

в наиболее Pythonic решение данной проблемы.

Подход: Создайте понимание списка таким образом, чтобы:

Выражение: a/num представляет деление каждого элемента в списке на заданный делитель. Здесь переменная контекста и представляет каждый элемент в данном списке, а num представляет делитель.
Контекст: Контекст содержит переменную контекста a , которая охватывает все элементы в списке таким образом, что на каждой итерации она представляет элемент с определенным индексом на этой итерации.

Код:

Вывод:

�� Краткий обзор списка понятий в Python:

3 компактный способ List 0

2 создание списков. Простая формула: [выражение + контекст] .
⦿ Выражение: Что делать с каждым элементом списка?
⦿ Контекст: Какие элементы выбрать? Контекст состоит из произвольного числа операторов вместо и if .
⦿ В примере [x вместо x в диапазоне (3)] создается список [0, 1, 2] .

�� Рекомендуем прочитать: Понимание списков в Python — полезное иллюстрированное руководство0031 Идея состоит в том, чтобы использовать анонимную лямбда-функцию для вычисления деления каждого элемента на заданный делитель. Вы можете передать каждый элемент списка функции lambda в качестве входных данных с помощью встроенной функции map .

Код:

Вывод:

�� Readers Digest:

Функция map() преобразует одну или несколько итераций в новую, применяя «функцию преобразования» к i-м элементам каждой итерации. Аргументами являются объект функции преобразователя и одна или несколько итераций . Если вы передаете n итераций в качестве аргументов, функция преобразования должна быть n -арной функцией , принимающей n входных аргументов. Возвращаемое значение представляет собой итерируемый объект карты преобразованных и, возможно, агрегированных элементов.

Освоение функции карты в Python [+Видео]

Посмотрите это видео на YouTube

�� Подробнее о map() читайте здесь: Python map() — наконец осваиваем функцию карты в Python [+Видео]

Лямбда-функция — это анонимная функция в Python. Он начинается с ключевого слова lambda , за которым следует список из нуля или более аргументов, разделенных запятыми, двоеточие и возвращаемое выражение. Например, lambda x, y, z: x+y+z вычислит сумму трех значений аргументов x+y+z .

Давайте поиграем в Finxter — лямбда-функция в Python

Посмотрите это видео на YouTube

�� Узнайте больше о map() здесь: Лямбда-функции в Python: простое введение

Другим простым решением данной проблемы является использование библиотеки Numpy . Здесь у вас есть два варианта или подхода, которые помогут вам сделать вывод.

Преобразуйте данный список в массив Numpy , используя метод np.array .

Разделить каждый элемент этого массива на заданный делитель с помощью оператора деления «/» .

Чтобы сгенерировать результирующий список из выходного массива, вы можете использовать метод ndarray.tolist() .

Код:

Вывод:

Код:

Вывод:

�� Краткий обзор numpy.divide()

3 900. 0023 ) возвращает поэлементное истинное разделение входных данных в заданном массиве.

Синтаксис:

x1 представляет собой массив дивидендов.

x2 представляет массив Divisor.

Другие параметры являются необязательными. Читайте о них здесь.

✨ Когда у вас происходит несколько процессов деления, вы можете значительно ускорить их с помощью деления NumPy. Он не только позволяет выполнять поэлементное деление, но также работает с многомерными массивами NumPy. Например:

Вывод:

�� Статья по теме: Полное руководство по NumPy, которое вы хотите стать NumPy

3 мастер? Ознакомьтесь с нашей интерактивной книгой-головоломкой Перерыв на кофе NumPy и улучшите свои навыки работы с данными! (ссылка на Amazon открывается в новой вкладке.)

Мы успешно изучили четыре разных способа деления элементов в данном списке с заданным номером. Я надеюсь, что это руководство помогло ответить на все ваши вопросы. Пожалуйста, подпишитесь на и следите за обновлениями для получения более интересных уроков. Приятного обучения! ��

Парсинг веб-страниц с помощью BeautifulSoup

Одним из самых востребованных навыков на Fiverr и Upwork является парсинг веб-страниц . Не заблуждайтесь: извлечение данных с веб-сайтов программными средствами – это жизненно важный навык в современном мире, который формируется благодаря Интернету и удаленной работе. Этот курс научит вас тонкостям библиотеки BeautifulSoup Python для парсинга веб-страниц.

Я профессиональный блоггер Python и создатель контента. Я опубликовал множество статей и создал курсы за определенный период времени. В настоящее время я работаю штатным фрилансером и имею опыт работы в таких областях, как Python, AWS, DevOps и Networking.

Вы можете связаться со мной по адресу:

Функция разделения VBA в Excel — объяснение с примерами

При работе с VBA в Excel может возникнуть необходимость разделить строку на разные части на основе разделителя.

Например, если у вас есть адрес, вы можете использовать функцию разделения VBA, чтобы получить разные части адреса, разделенные запятой (которая в данном случае будет разделителем).

SPLIT — это встроенная строковая функция в Excel VBA, которую можно использовать для разделения текстовой строки на основе разделителя.

Это руководство охватывает:

Выражение: Это строка, которую вы хотите разделить на основе разделителя. Например, в примере с адресом весь адрес будет «выражением». В случае, если это строка нулевой длины («»), функция SPLIT вернет пустой массив.
Разделитель: Это необязательный аргумент. Это разделитель, который используется для разделения аргумента «Выражение». В нашем примере с адресом запятая — это разделитель, который используется для разделения адреса на разные части. Если вы не укажете этот аргумент, символ пробела считается разделителем по умолчанию. Если вы укажете строку нулевой длины («»), функция вернет всю строку «Выражение».
Ограничение: Это необязательный аргумент. Здесь вы указываете общее количество подстрок, которые хотите вернуть. Например, если вы хотите вернуть только первые три подстроки из аргумента «Выражение», это будет 3. Если вы не укажете этот аргумент, по умолчанию будет -1, что возвращает все подстроки.

Сравните: Это необязательный аргумент. Здесь вы указываете тип сравнения, которое вы хотите, чтобы функция SPLIT выполняла при оценке подстрок. Доступны следующие варианты:

Когда сравнение равно 0 : Это двоичное сравнение. Это означает, что если ваш разделитель представляет собой текстовую строку (скажем, ABC), то регистр будет чувствительным. «ABC» не будет равно «abc».
Когда сравнение равно 1 : это сравнение текста. Это означает, что если ваш разделитель представляет собой текстовую строку (скажем, ABC), то даже если у вас есть «abc» в строке «Выражение», он будет рассматриваться как разделитель.

Теперь, когда мы рассмотрели основы функции SPLIT, давайте рассмотрим несколько практических примеров.

Пример 1. Разделение слов в предложении

Предположим, у меня есть текст — «Быстрая коричневая лиса перепрыгивает через ленивую собаку».

Я могу использовать функцию SPLIT, чтобы получить каждое слово этого предложения как отдельный элемент в массиве.

Приведенный ниже код будет следующим:

Хотя код не делает ничего полезного, он поможет вам понять, что делает функция Split в VBA.

Функция разделения разделяет текстовую строку и присваивает каждое слово массиву результатов.

Итак, в этом случае:

Результат(0) сохраняет значение «The»
Результат(1) сохраняет значение «Быстрый»
Результат(2) сохраняет значение «Коричневый» и так далее.

В этом примере мы указали только первый аргумент — текст, который необходимо разделить. Поскольку разделитель не указан, в качестве разделителя по умолчанию используется пробел.

Важное примечание.

Функция VBA SPLIT возвращает массив, который начинается с основания 0.
Когда результат функции SPLIT присваивается массиву, этот массив должен быть объявлен как тип данных String. Если вы объявите его как тип данных Variant, он покажет ошибку несоответствия типа). Обратите внимание, что в приведенном выше примере я объявил Result() как тип данных String.

Пример 2. Подсчет количества слов в предложении

Вы можете использовать функцию РАЗДЕЛИТЬ, чтобы получить общее количество слов в предложении. Хитрость здесь заключается в подсчете количества элементов в массиве, который вы получаете, когда разделяете текст.

Приведенный ниже код покажет окно сообщения с количеством слов:

В этом случае функция UBound сообщает нам верхнюю границу массива (т. е. максимальное количество элементов в массиве). Поскольку основание массива равно 0, для получения общего количества слов добавляется 1.

Вы можете использовать аналогичный код для создания пользовательской функции в VBA, которая будет принимать текст в качестве входных данных и возвращать количество слов.

Приведенный ниже код создаст эту функцию:

После создания вы можете использовать функцию WordCount, как и любую другую обычную функцию.

Эта функция также обрабатывает начальные, конечные и двойные пробелы между словами. Это стало возможным благодаря использованию функции TRIM в коде VBA.

Если вы хотите узнать больше о том, как эта формула работает для подсчета количества слов в предложении, или хотите узнать о способе подсчета слов с помощью формулы, отличной от VBA, ознакомьтесь с этим руководством. />

Пример 3. Использование разделителя, отличного от пробела

В предыдущих двух примерах мы использовали только один аргумент в функции SPLIT, а остальные были аргументами по умолчанию.

Если вы используете другой разделитель, вам нужно указать его в формуле SPLIT.

В приведенном ниже коде функция SPLIT возвращает массив, основанный на запятой в качестве разделителя, а затем показывает сообщение с каждым словом в отдельной строке.

В приведенном выше коде я использовал цикл For Next, чтобы просмотреть каждый элемент массива «Результат», назначив его переменной «DisplayText».

Пример 4.

Разделение адреса на три части

С помощью функции РАЗДЕЛИТЬ вы можете указать количество разделений, которые вы хотите получить. Например, если я ничего не укажу, каждый экземпляр разделителя будет использоваться для разделения строки.

Но если я укажу ограничение 3, то строка будет разбита только на три части.

Например, если у меня есть следующий адрес:

, я могу использовать функцию Split в VBA, чтобы разделить этот адрес на три части.

Разбивает первые два на основе разделителя-запятой, а оставшаяся часть становится третьим элементом массива.

Приведенный ниже код покажет адрес в трех разных строках окна сообщения:

Одно из практических применений этого может быть, когда вы хотите разделить однострочный адрес в формат, показанный в окне сообщения. Затем вы можете создать пользовательскую функцию, которая возвращает адрес, разделенный на три части (каждая часть в новой строке).

Следующий код сделает это:

Если у вас есть этот код в модуле, вы можете использовать функцию (ThreePartAddress) в рабочей книге, как и любую другую функцию Excel.

Эта функция принимает один аргумент – ссылку на ячейку с адресом.

Обратите внимание, что для того, чтобы результирующий адрес отображался в трех разных строках, необходимо применить к ячейкам формат переноса текста (он находится на вкладке «Главная» в группе «Выравнивание»). Если формат «Перенос текста» не включен, вы увидите весь адрес в виде одной строки.

Пример 5. Получение названия города из адреса

С помощью функции разделения в VBA вы можете указать, какую часть результирующего массива вы хотите использовать.

Например, предположим, что я разбиваю следующий адрес на основе запятой в качестве разделителя:

Результирующий массив будет выглядеть примерно так, как показано ниже:

Поскольку это массив, я могу отображать или возвращать определенную часть этого массива.

Ниже приведен код пользовательской функции, в которой вы можете указать число, и она вернет этот элемент из массива. Например, если мне нужно имя состояния, я могу указать 3 (поскольку это третий элемент в массиве).

Вышеприведенная функция принимает два аргумента: ссылку на ячейку с адресом и номер элемента, который вы хотите вернуть. Функция Split разделяет элементы адреса и присваивает их переменной Result.

Затем он возвращает номер элемента, который вы указали в качестве второго аргумента. Обратите внимание, что поскольку основание равно 0, ElementNumber-1 используется для возврата правильной части адреса.

Эта пользовательская формула лучше всего подходит, когда у вас есть единый формат для всех адресов, т. е. город всегда упоминается после двух запятых. Если данные не согласуются, вы не получите желаемого результата.

Если вам нужно название города, вы можете использовать 2 в качестве второго аргумента. Если вы используете число, превышающее общее количество элементов, будет возвращено значение #VALUE! ошибка.

Вы можете еще больше упростить код, как показано ниже:

В приведенном выше коде вместо использования переменной Result возвращается только указанный номер элемента.

Решение задач по математике онлайн

‘.$_COOKIE[’email’].’ Выход’ ); /*

Калькулятор онлайн.
Операции над матрицами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень.
Вычисление определителя матрицы, обратной матрицы, ранга матрицы.

С помощью данной математической программы вы сможете выполнить основные операции над матрицами.

Программа не только даёт ответ, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ или вузов при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

в виде десятичных дробей,
в виде обыкновенных дробей,
в виде периодических десятичных дробей.

Ввод дробного числа в виде десятичной дроби.
При вводе десятичной дроби, целую часть от дробной части можно отделять точкой или запятой :
Ввод: -2.34
Результат: $ -2<,>34 $

Ввод: -1,15
Результат: $ -1<,>15 $

Ввод дробного числа в виде обыкновенной дроби.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: $$ -\frac<2> <3>$$

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 5&8/3
Результат: $$ 5\frac<8> <3>$$
Помните, что на ноль делить нельзя!

При вводе матричного выражения можно использовать стандартные алгебраические операции:
+ — сложение,
— — вычитание,
* — умножение,
/ — деление,
^ — возведение в степень.

Сложение и вычитание матриц
При сложении и вычитании матриц их размеры должны быть одинаковыми.
Это значит что при вычислении $ A \pm B $ кол-во строк и столбцов матриц $ A $ и $ B $ должно быть одинаковым.

Умножение матриц
При умножении матриц $ A \cdot B $ кол-во столбцов $A$ должно быть равно кол-ву строк $B$

$ B^ <-1>$ должна существовать,
возможно умножить $ A $ на $ B^ <-1>$

Для вычисления $ A^n $ показатель степени $n$ должен быть целым числом.

Если показатель степени = -1, то это интерпретируется как вычисление обратной матрицы.

Матричнные функции

Функция	Описание	Пример ввода	Результат ввода
det(A) \|A\|	Вычисление определителя матрицы. Матрица A должна быть квадратной.	deta \|A+B\|	$ \|A\| $ $ \|A+B\| $
inv(A) A -1	Вычисление обратной матрицы. Матрица A должна быть квадратной.	2.(3)a^-1 Ainv(B)	$ 2\frac<3> <9>\cdot A^ <-1>$ $ A \cdot B^ <-1>$
A T	Вычисление транспонированной матрицы.	A^T+2B	$ A^T + 2 \cdot B$
rang(A)	Вычисление ранга матрицы	ranga rang(inv(B))	$ \text(A) $ $ \text \left( B^ <-1>\right) $

Если в вычислениях используется только одна матрица, то вторую можно не вводить. RND CFracNum Fill RND int Fill
Сюда ввести строку с GET параметрами :

А ▲ А ▼

B ▲ B ▼

—> Вычислить

Немного теории.

Матрицы и операции над ними

Виды матриц

Как правило, их обозначают строчной буквой с двумя индексами, например $a_$, где $i$ — номер строки ( $i=\overline <1,m>$ ), $j$ — номер столбца ( $j=\overline <1,n>$ ), в которых расположен этот элемент.

Матрицу записывают так:
$$ \begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& \cdots & a_ <2n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \end $$

Если по тексту ясно, в каких пределах изменяются индексы $i$ и $j$, то сокращённо матрицу можно записать так: $ \left(a_ \right) $. Матрицу как единый объект обозначают прописной буквой: $A$, $B$ и т.д.

Элементами матриц могут быть не только действительные числа, но и комплексные, и даже другие математические объекты. Например, элементами матриц могут быть многочлены или матрицы.

Матрицу называют матрицей-строкой, если матрица имеет размер $1 \times n $, т.е. если у матрицы всего одна строка. Число элементов в матрице-строке называют её длиной.
$A=(a_1, \; . \; a_n) $

Матрицу называют матрицей-столбцом, если матрица имеет размер $m \times 1 $, т.е. если у матрицы один столбец. Число элементов в матрице-столбце называют её высотой.
$A = \begin a_ <1>\\ \vdots \\ a_ \\ \end $

Матрицу называют квадратной порядка $n$, если $ m=n$, т.е. когда матрица имеет столько же столбцов, сколько и строк :
$$ \begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& \cdots & a_ <2n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \end $$ а если $m \neq n $ — прямоугольной.

У квадратных матриц выделяют последовательности элементов $ a_<11>, \; a_<22>, \; . \; a_ $ — главную диагональ, и $ a_, \; a_, \; . \; a_ <1n>$ — побочную диагональ. Элементы главной диагонали называют диагональными. Понятия диагонального элемента и главной диагонали распространяют и на прямоугольные матрицы.

Если в квадратной матрице порядка $n$ все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, т.е. если матрица имеет вид
$$ \begin a_ <11>& 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_ <22>& \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_ \\ \end $$,
то её называют диагональной к обозначают $ \text (a_<11>, \; . \; a_ ) $.
Если в диагональной матрице порядка $n$ на диагонали стоят единицы, то её называют единичной и обозначают обычно $E$ :
$$ E = \begin 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end $$,

Матрицу размера $m \times n $, все элементы которой равны нулю, называют нулевой матрицей соответствующего размера и обозначают буквой $\Theta$ или цифрой 0.

Часто используют матрицы и других видов, например верхние треугольные матрицы
$$ \begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1n>\\ 0 & a_ <22>& \cdots & a_ <2n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_ \\ \end $$
у которых элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, и нижние треугольные матрицы, у которых, наоборот, элементы над главной диагональю равны нулю:
$$ \begin a_ <11>& 0 & \cdots & 0 \\ a_ <21>& a_ <22>& \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \end $$

Ступенчатой матрицей (матрицей ступенчатого вида) называют матрицу размера $m \times n $, если для любой её строки выполнено следующее условие: под первым слева ненулевым элементом строки и предшествующими ему нулевыми элементами строки все элементы матрицы равны нулю.
Следующие матрицы имеют ступенчатый вид:
$ \begin 0 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ \end $ $ \begin 3 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end $ $ \begin 1 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ \end $

Линейные операции над матрицами

Определение 2.
Две матрицы называют равными, если они имеют один и тот же размер и если у них совпадают соответствующие элементы.

Определение 3.
Суммой матриц $ A=(a_) $ и $ B=(b_) $ размера $m \times n $ называют матрицу $ C=(c_) $ того же размера с элементами $ c_ = a_ + b_, \; i=\overline <1,m>, \; j=\overline <1,n>$

В подробной записи:
$ A+B = \begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& \cdots & a_ <2n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \end + $ $ \begin b_ <11>& b_ <12>& \cdots & b_ <1n>\\ b_ <21>& b_ <22>& \cdots & b_ <2n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_ & b_ & \cdots & b_ \\ \end = $ $ \begin a_<11>+b_ <11>& a_<12>+b_ <12>& \cdots & a_<1n>+b_ <1n>\\ a_<21>+b_ <21>& a_<22>+b_ <22>& \cdots & a_<2n>+b_ <2n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_+b_ & a_+b_ & \cdots & a_+b_ \\ \end = C $

Сумма определена только для матриц одного размера.

Определение 4.
Произведением матрицы $ A=(a_) $ размера $m \times n $ на число $ k \in \mathbb$ называют матрицу $ C=(c_) $ размера $m \times n $ с элементами $ c_ = k \cdot a_ $.
Подробно это произведение выглядит так:
$ k \cdot \begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& \cdots & a_ <2n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \end = $ $ \begin k \cdot a_ <11>& k \cdot a_ <12>& \cdots & k \cdot a_ <1n>\\ k \cdot a_ <21>& k \cdot a_ <22>& \cdots & k \cdot a_ <2n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k \cdot a_ & k \cdot a_ & \cdots & k \cdot a_ \\ \end $

Замечание. Операции сложения и умножения на число для матриц аналогичны одноименным операциям над векторами. Эти операции также называют линейными.

Свойства линейных операций над матрицами

1. Сложение матриц коммутативно: $ A+B = B+A $

2. Сложение матриц ассоциативно: $ (A+B)+C = A+(B+C) $

3. Умножение матрицы на число ассоциативно: $ (\lambda \mu ) A = \lambda (\mu A) $

4. Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно суммы действительных чисел: $ (\lambda + \mu)A = \lambda A + \mu A $

5. Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно суммы матриц: $ \lambda(A + B) = \lambda A + \lambda B $

Транспонирование матриц

Определение 5.
Для матрицы $ A=(a_) $ размера $m \times n $ её транспонированной матрицей называют матрицу $ A^T=(c_) $ размера $m \times n $ с элементами $ c_ = a_ $.

При транспонировании матрицы её строки становятся столбцами новой матрицы с сохранением их порядка. Точно так же столбцы исходной матрицы превращаются в строки транспонированной. Поэтому транспонирование можно рассматривать как преобразование симметрии матрицы относительно её главной диагонали.
Подробнее:
$ \begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& \cdots & a_ <2n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \end ^T = $ $ \begin a_ <11>& a_ <21>& \cdots & a_ \\ a_ <12>& a_ <22>& \cdots & a_ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ <1n>& a_ <2n>& \cdots & a_ \\ \end $

Свойства операции транспонирования

1. $ \left( A^T \right) ^T = A $

2. $ \left( A+B \right) ^T = A^T + B^T $

3. $ (k A)^T = k A^T \; , \; k \in \mathbb $

4. $ (A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T $

5. $ |A| = \left| A^T \right| $ При транспонировании определитель матрицы не меняется.

Умножение матриц

Определение 6.
Пусть даны матрица $ A=(a_) $ размера $m \times n $ и матрица $ B=(b_) $ размера $n \times p $. Произведением матриц $A$ и $B$ называют матрицу $ C=(c_) $ размера $m \times p $ с элементами
$$ c_ = \sum_^n a_ b_ $$
которую обозначают $ C = AB$.

Произведение определено лишь в том случае, когда количество столбцов первого сомножителя равно количеству строк второго. В формировании элемента $c_$ произведения $AB$ участвуют элементы $i$-й строки матрицы $A$ и $j$-го столбца матрицы $B$. Поэтому правило умножения матриц называют также правилом умножения «строка на столбец»:

Иллюстрации умножения матриц :
$Умножение матриц$ $Умножение матриц$

Умножение матрицы-строки $X$ размера $1 \times n $ на матрицу-столбец $Y$ размера $n \times 1 $ дает матрицу размера $1 \times 1 $, которую отождествляют с числом:
$$ XY = (x_1, \; . \; x_n) \begin y_1 \\ \vdots \\ y_n \\ \end = (x_1y_1 + . + x_ny_n ) = \sum_^n x_k y_k $$

Таким образом, произведение любой матрицы-строки и любой матрицы-столбца, имеющих одинаковое количество элементов, есть число, равное сумме произведений их элементов с одинаковыми индексами. Если матрица-строка и матрица-столбец имеют разное количество элементов, то их перемножить нельзя.

Чтобы матрицу $A$ размера $m \times n $ можно было умножить на матрицу $B$ и слева, и справа (т.е. чтобы были определены оба произведения $BA$ и $AB$ ), матрица $B$ должна иметь размер $n \times m $.

Свойства умножения матриц

1. Умножение матриц ассоциативно: $ (AB)C = A(BC) $

2. Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения матриц: $ (A+B)C = AC+BC $

3. Для любых матриц $A$ и $B$ размеров $m \times n $ и $n \times k $ выполнено равенство $ (AB)^T = B^T A^T $, т.е. транспонированное произведение двух матриц равно произведению в обратном порядке транспонированных матриц.

4. В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е. $ AB \neq BA $

Операция умножения матриц позволяет ввести операцию возведения квадратной матрицы в натуральную степень.
$A^0 = E $, где $E$ — единичная матрица того же порядка.
$ A^1 = A, \;\; A^ = AA^n, \;\; n=1,2. $
Отметим, что две степени $A^n$ и $A^m$ одной и той же матрицы являются матрицами одного порядка и перестановочны: $A^nA^m = A^mA^n = A^$.

Элементарные преобразования матриц

1. Умножение строки матрицы на число не равное нулю.

2. Перестановка двух строк матрицы.

3. Суммирование одной строки с другой строкой, умноженной на число.

Аналогичные операции над столбцами матрицы называют элементарными преобразованиями столбцов.

Каждое элементарное преобразование строк или столбцов матрицы имеет обратное элементарное преобразование, которое преобразованную матрицу превращает в исходную.

Теорема. С помощью элементарных преобразований строк любую матрицу можно привести к ступенчатому виду.

Определители

Определители n-го порядка

В теории определителей n-го порядка используются понятия перестановки, подстановки и их четности. Всякое расположение чисел $ 1,\; 2,\; 3,\; . \; n $ в определенном порядке называют перестановкой из $n$ чисел.
Из $n$ чисел можно образовать $n!$ различных перестановок.
В общем случае перестановку записывают в виде матрицы-строки $ \alpha = (\alpha_1,\; \alpha_2,\; . \; \alpha_n ) $
Перестановку $ (1,\; 2,\; 3,\; . \; n) $ называют нормальной.

Два числа $\alpha_i$ и $\alpha_j$ в перестановке $ \alpha = (\alpha_1,\; . \; \alpha_n ) $ образуют инверсию, если $\alpha_j > \alpha_i $ но при этом $\alpha_i$ стоит в перестановке правее $\alpha_j$ (т.е. $i>j$ ).
Общее количество инверсий в перестановке $\alpha $ обозначают $ |\alpha | $, и если это число четное, то перестановку называют четной, а если оно нечетное — нечетной.

Транспозицией перестановки называют такое её преобразование, при котором в ней меняются местами какие-либо два элемента, а другие остаются на своих местах.

Теорема. Любая транспозиция меняет четность перестановки.

Из двух перестановок $ ( \alpha_1,\; . \; \alpha_n ) $ и $ ( \beta_1,\; . \; \beta_n ) $ одних и тех же чисел можно составить новый объект
$$ \sigma = \begin \beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_n \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \end , \tag <1>$$
который называют подстановкой n-й степени.

Подстановку называют четной, если перестановки, из которых она состоит, имеют одинаковую четность, и нечетной в противоположном случае.
Четность подстановки $ (1) $ совпадает с четностью числа $ |\beta|+|\alpha| $ — общего количества инверсий в строках подстановки, которое обозначают $ |\sigma| $.

Транспозицией подстановки называют любую перестановку её столбцов. Поскольку транспозиция подстановки вызывает транспозиции и в образующих её перестановках, то, согласно предыдущей теореме, очевидно, что транспозиция подстановки не меняет её четность.

Каждая подстановка вида $ (1) $ задает взаимно однозначное отображение множества чисел $ 1,\; 2,\; 3,\; . \; n $ на себя, при котором $ \beta_1 $ отображается в $ \alpha_1 \; , \; \beta_2 $ — в $ \alpha_2$ и т.д.
В соответствии с интерпретацией подстановок как отображений две подстановки считают равными, если они отличаются только порядком записи своих столбцов.
Например, подстановки
$ \begin 1 & 3 & 4 & 2 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \\ \end \;\; и \;\; \begin 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ \end $
равны, так как вторая получается из первой перестановкой столбцов.

Соглашение о равенстве подстановок позволяет записать любую подстановку так, чтобы первая строка являлась нормальной перестановкой. Поэтому различных подстановок $n$-й степени имеется ровно $n!$

Определение. Определителем порядка $n$, соответствующим квадратной матрице
$ A = \begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& \cdots & a_ <2n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \end \tag <2>$ порядка $n$ (определителем квадратной матрицы порядка $n$ ), называют сумму $n!$ слагаемых
$$ \large |A| = \sum_ <\sigma>(-1)^ <|\sigma|>a_ <1\alpha_1>a_ <2\alpha_2>. a_ \tag <3>$$ которая берется по всевозможным подстановкам вида
$ \sigma = \begin 1 & 2 & \cdots & n \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \end $

Определитель матрицы $A$ часто называют просто определителем, или детерминантом, и обозначают
$ \begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& \cdots & a_ <2n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \end $
или $ \det A$, называя $A$ матрицей этого определителя.

Свойства определителей

Поскольку определители соответствуют квадратным матрицам, в их теорию легко переносится матричная терминология (порядок, элементы, строки, столбцы, диагональ, диагональные элементы, виды матриц и определителей, транспонирование, элементарные преобразования строк и столбцов, линейные комбинации строк и столбцов и др.).
При изучении определителей используют эту возможность, подразумевая однако, что терминология относится к матрице определителя.

Свойство 1. Определитель не меняется при транспонировании, т.е. $ |A| = \left| A^T \right| $

Свойство 2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак на противоположный.

Свойство 3. Если все элементы $j$-го столбца определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все столбцы, кроме $j$-го, такие же, как и в данном определителе, а $j$-й столбец первого определителя состоит из первых слагаемых $j$-го столбца данного определителя, а второго — из вторых слагаемых :
$ \begin a_ <11>& \cdots & \alpha_ <1j>+ \beta_ <1j>& \cdots & a_ <1n>\\ a_ <21>& \cdots & \alpha_ <2j>+ \beta_ <2j>& \cdots & a_ <2n>\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_ & \cdots & \alpha_ + \beta_ & \cdots & a_ \end = $ $ \begin a_ <11>& \cdots & \alpha_ <1j>& \cdots & a_ <1n>\\ a_ <21>& \cdots & \alpha_ <2j>& \cdots & a_ <2n>\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_ & \cdots & \alpha_ & \cdots & a_ \end + $ $ \begin a_ <11>& \cdots & \beta_ <1j>& \cdots & a_ <1n>\\ a_ <21>& \cdots & \beta_ <2j>& \cdots & a_ <2n>\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_ & \cdots & \beta_ & \cdots & a_ \end $ Аналогично для строки.

Свойство 4. Общий множитель элементов строки или столбца может быть вынесен за знак определителя.
Для умножения определителя на число достаточно умножить на это число элементы любой строки или любого столбца.

Свойство 5. Определитель равен нулю, если он имеет :
1) нулевую строку (столбец)
2) хотя бы две одинаковые строки (столбца)
3) хотя бы две строки (столбца), элементы которых пропорциональны
4) хотя бы одну строку (столбец), являющуюся линейной комбинацией других строк (столбцов).

Свойство 6. Определитель не изменится, если к любой его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбцец), умноженную на число.

В матрице $A$ вычеркнем $i$-ю строку и $j$-й столбец, в которых стоит элемент $a_$. Из оставшихся элементов можно составить новую квадратную матрицу (n-1)-го порядка, сдвинув строки и столбцы после вычеркивания.
Определитель построенной матрицы обозначают через $ M_ $ и называют минором (матрицы $A$ и её определителя $\Delta$ ), соответствующим элементу $a_$.
Число $ A_= (-1)^ M_ $ называют алгебраическим дополнением, соответствующим этому же элементу $a_$.

Миноры и алгебраические дополнения позволяют, в частности, вычислять определитель n-го порядка путем сведения его к вычислению n определителей (n-1)-го порядка.

Свойство 7. Определитель $ \Delta $ квадратной матрицы $ A = ( a_ ) $ порядка n можно представить в виде
$$ \large \Delta = \sum_^n a_ A_ = \sum_^n (-1)^ a_ M_ \tag <4>$$ ( разложение по $i$-й строке )
или $$ \large \Delta = \sum_^n a_ A_ = \sum_^n (-1)^ a_ M_ \tag <5>$$ ( разложение по $j$-му столбцу )

Разложения по строке (4) и столбцу (5) дают правила, в соответствии с которыми определитель n-го порядка сводится к n определителям (n-1)-го порядка, раскладывая которые получим n(n-1) определителей (n-2)-го порядка и т.д.
Эти вычисления получаются громоздкими, однако процесс упрощается, если среди элементов определителя имеется много нулей. Целесообразно раскладывать определитель по тому ряду (строке, столбцу), в котором больше нулей.
Если же в этом смысле некоторые ряды одинаковы, то удобнее выбирать тот из них, в котором элементы имеют большие значения по абсолютной величине, поскольку это упрощает выполнение арифметических вычислений.

Свойство 8. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению элементов её главной диагонали, т.е.
$$ \begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1n>\\ 0 & a_ <22>& \cdots & a_ <2n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_ \\ \end = $$ $$ \begin a_ <11>& 0 & \cdots & 0 \\ a_ <21>& a_ <22>& \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \end = $$ $$ a_<11>a_<22>. a_ = \large \prod_^n a_ $$

С помощью элементарных преобразований строк любая матрица приводится к ступенчатому виду. Квадратная матрица ступенчатого вида является частным случаем верхней треугольной матрицы, у которой диагональные элементы, начиная с некоторого, могут быть равны нулю. Определитель такой матрицы легко найти по свойству 8. В алгоритме приведения к ступенчатому виду используется перестановка строк, при которой определитель матрицы меняет знак. Изменение знака можно учесть, например, дополнительным умножением определителя или одной из строк на —1. Следовательно, квадратную матрицу всегда можно привести элементарными преобразованиями строк к верхнему треугольному виду с сохранением значения её определителя.

Свойство 9. Определитель произведения двух квадратных матриц A, B равен произведению их определителей, т.е. $ |АВ| = |A||B| $.

Свойство 10. Определитель обратной матрицы: $ \left| А^ <-1>\right| = \frac<1> <|A|>$

Свойство 11. Если матрица $A$ порядка $n$, то $ |kA|=k^n|A| $

Вычисление определителя для частных случаев матриц

Определитель единичной матрицы равен 1 : $ |E| = 1 $

Определитель матрицы 1-го порядка равен единственному элементу этой матрицы : $ |a_<11>| = a_ <11>$

Вычисление определителя для матрицы 2-го порядка.
$ \Delta = \begin a & c \\ b & d \end = ad-bc $

Вычисление определителя для матрицы 3-го порядка.
Можно воспользоваться формулой (4) разложения по первой строке:
$$ \Delta = \begin a_ <11>& a_ <12>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <22>& a_ <23>\\ a_ <31>& a_ <32>& a_ <33>\end = $$ $$ (-1)^ <1+1>a_ <11>M_ <11>+ (-1)^ <1+2>a_ <12>M_ <12>+ (-1)^ <1+3>a_ <13>M_ <13>= $$ $$ a_ <11>\begin a_ <22>& a_ <23>\\ a_ <32>& a_ <33>\end — a_ <12>\begin a_ <21>& a_ <23>\\ a_ <31>& a_ <33>\end + a_ <13>\begin a_ <21>& a_ <22>\\ a_ <31>& a_ <32>\end = $$ $$ a_<11>a_<22>a_ <33>— a_<11>a_<23>a_ <32>— a_<12>a_<21>a_ <33>+ a_<12>a_<23>a_ <31>+ a_<13>a_<21>a_ <32>— a_<13>a_<22>a_ <31>$$

Чтобы запомнить, какие произведения элементов берутся со знаком $ «+» $, а какие со знаком $ «-» $ можно использовать следующее правило треугольников.
Произведения элементов, стоящих на зелёных точках складываются , а на синих — вычитаются :
$Умножение матриц. Правило треугольников$ $Умножение матриц. Правило треугольников$

Также для вычисления определителя 3-го порядка существует правило Саррюса.
Первый и второй столбцы матрицы записываются справа от основной матрицы.
Произведения элементов, стоящих на зелёных линиях складываются , а на синих — вычитаются :
$Умножение матриц. Правило Саррюса$

Обратная матрица и её свойства

Определение. Пусть $A$ — квадратная матрица порядка $n$. Квадратную матрицу $B$ того же порядка называют обратной к $A$, если $ AB= BA =E $, где $E$ — единичная матрица порядка $n$.

Обратную матрицу обозначают $A^<-1>$. Она позволяет определить целую отрицательную степень матрицы $A$.
А именно, для $n>0$ полагают $A^ <-n>= \left( A^ <-1>\right)^n $.

Свойство. Если квадратная матрица $A$ имеет обратную матрицу, то обратная матрица единственная.

Квадратная матрица не всегда имеет обратную. Установить, имеет ли данная матрица обратную, позволяет следующая теорема.

Свойство. Для того чтобы квадратная матрица $A$ порядка $n$ имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы $|A| \neq 0 $.

Следствие. Если квадратная матрица $A$ имеет обратную, то $ \left| А^ <-1>\right| = \frac<1> <|A|>$

Квадратную матрицу с ненулевым определителем называют невырожденной или неособой. В противном случае, когда определитель матрицы равен нулю, её называют вырожденной. Итак, для существования обратной матрицы $A^<-1>$ необходимо и достаточно, чтобы сама матрица $A$ была невырожденной.

Свойство. Если квадратные матрицы $A$ и $B$ порядка $n$ имеют обратные матрицы, то и их произведение имеет обратную матрицу, причем $ \left( AB \right)^ <-1>= B^<-1>A^ <-1>$

Свойство. Если матрица $A$ порядка $n$ имеет обратную, то и транспонированная матрица $A^T$ имеет обратную, причем $ \left( A^T \right)^ <-1>= \left( A^ <-1>\right)^T $

Вычисление обратной матрицы

С помощью матрицы алгебраических дополнений

Пусть дана квадратная матрица $A$ порядка $n$.
Матрицу $M^T$, транспонированную к матрице $A$ алгебраических дополнений, называют присоединенной.
Если $A$ — невырожденная матрица, то обратная к ней вычисляется по формуле :
$$ A^<-1>= \frac<1> <|A|>\cdot M^T $$

Таким образом, чтобы для квадратной матрицы порядка n найти обратную матрицу, надо вычислить один определитель порядка n и составить транспонированную матрицу алгебраических дополнений к матрице $A$, т.е. вычислить $n^2$ определителей порядка n-1.
Метод присоединенной матрицы эффективен при $n=2$ или $n=3$, но при росте n становится слишком трудоемким.

Отметим, что для квадратной матрицы $A$ 2-го порядка присоединенная матрица $M^T$ получается перестановкой в $A$ диагональных элементов и изменением знака двух других.

С помощью метода Жордана-Гаусса

Этот метод состоит в преобразовании исходной матрицы к более простому виду с помощью элементарных преобразований строк.
Чтобы найти матрицу $A^<-1>$, обратную к $A$, фактически надо решить матричное уравнение $AX=E$.
Отметим, что если над матрицей $A$ выполняется какое-либо элементарное преобразование строк, то это же преобразование осуществляется и над матрицей $AX$, поскольку любое элементарное преобразование строк матрицы эквивалентно умножению её слева на соответствующую матрицу специального вида. Таким образом, если в уравнении $AX=E$ над матрицами $A$ и $E$ одновременно выполнить какое-либо элементарное преобразование строк, т.е. домножить это равенство слева на некоторую матрицу специального вида, то в результате получится новое матричное уравнение $A_1X=B_1$. Оба эти матричные уравнения имеют одно и то же решение, так как любое элементарное преобразование строк имеет обратное элементарное преобразование строк.
Последовательность элементарных преобразований строк надо подобрать так, чтобы на s-м шаге матрица $A$ превратилась в единичную матрицу.
В результате этих s шагов получается уравнение $A_sX=B_s$, где $A_s=E$, т.е. $X=B_s$. Итак, поскольку $A^<-1>$ является решением уравнения $AX=E$, которое эквивалентно $X=B_s$, то $A^<-1>=B_s$.

Чтобы синхронно выполнять преобразования над матрицами в левой и правой частях матричного уравнения $AX=E$, записывают блочную матрицу $ (A|E)$ и выполняют такие элементарные преобразования строк этой матрицы, чтобы вместо $A$ получить единичную матрицу $E$, тогда на месте $E$ получится нужная матрица $A^<-1>$.

Ранг матрицы

Для ранга матрицы $A$ используют обозначение $\textA$.

Если квадратная матрица порядка n невырождена, то её ранг равен её порядку n : ненулевым является единственный минор максимального порядка n, совпадающий с определителем матрицы.
В частности, ранг единичной матрицы $E$ порядка n равен n.

Если квадратная матрица вырождена, то её ранг меньше её порядка : единственный минор максимального порядка, равного порядку матрицы, является нулевым, и в этом случае ненулевые миноры имеют меньший порядок.
Ранг нулевой матрицы полагают равным нулю.

Ранг диагональной матрицы равен количеству её ненулевых диагональных элементов.

Непосредственно из определения ранга матрицы следует, что ранг имеет следующее свойство, полностью его характеризующее.

Свойство. Если ранг матрицы равен $r$, то матрица имеет хотя бы один минор порядка $r$, не равный нулю, а все её миноры больших порядков равны нулю.

Теорема. При транспонировании матрицы её ранг не меняется, т.е. $ \text A^T = \text A $

Теорема. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях её строк и столбцов.

Теорема о базисном миноре

Среди миноров матрицы могут быть как равные нулю, так и отличные от нуля.

Определение.
Минор $M$ матрицы $M$ называют базисным, если выполнены два условия:
1) он не равен нулю
2) его порядок равен рангу матрицы А

Матрица $A$ может иметь несколько базисных миноров. Строки и столбцы матрицы $A$, в которых расположен выбранный базисный минор, называют базисными.

Теорема о базисном миноре. Базисные строки (столбцы) матрицы $A$, соответствующие любому её базисному минору $M$, линейно независимы. Любые строки (столбцы) матрицы $A$, не входящие в $M$, являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов).

Следствие. Для того чтобы квадратная матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы её строки (столбцы) были линейно независимы.

Теорема. Линейно независимые строки (столбцы) матрицы, количество которых равно рангу матрицы, являются базисными строками (столбцами).

Теорема. Для любой матрицы её ранг равен максимальному количеству её линейно независимых строк (столбцов).

Следствие. Для любой матрицы максимальное число линейно независимых строк равно максимальному числу линейно независимых столбцов.

Вычисление ранга матрицы

Метод окаймляющих миноров

Минор $M’$ матрицы $A$ называют окаймляющим для минора $M$, если он получается из последнего добавлением одной новой строки и одного нового столбца матрицы $A$.
Ясно, что порядок окаймляющего минора $M’$ на единицу больше, чем порядок минора $M$.

Метод окаймляющих миноров позволяет найти один из базисных миноров матрицы и состоит в следующем.
Выбирается ненулевой минор первого порядка (ненулевой элемент матрицы). К очередному ненулевому минору последовательно добавляются такие строка и столбец, чтобы новый окаймляющий минор оказался ненулевым. Если этого сделать нельзя, то последний ненулевой минор является базисным (что утверждает следующая ниже теорема). Этот процесс рано или поздно закончится из-за ограниченных размеров матрицы.

Теорема. Если для некоторого минора матрицы все окаймляющие его миноры равны нулю, то он является базисным.

Метод элементарных преобразований

При элементарных преобразованиях строк (столбцов) матрицы её ранг не меняется. С помощью этих преобразований можно так упростить матрицу, чтобы ранг новой матрицы легко вычислялся.

Например с помощью элементарных преобразований строк любую матрицу можно привести к ступенчатому виду. Ранг же ступенчатой матрицы равен количеству ненулевых строк. Базисным в ней является минор, расположенный на пересечении ненулевых строк со столбцами, соответствующими первым слева ненулевым элементам в каждой из строк. Действительно, этот минор ненулевой, так как соответствующая матрица является верхней треугольной, а любое его окаймление содержит нулевую строку. Поэтому приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк позволяет вычислить ранг матрицы.

Приведенные два метода существенно отличаются друг от друга.
При нахождении ранга конкретной матрицы методом окаймляющих миноров может потребоваться большое количество вычислений. Это связано с тем, что метод требует вычисления определителей, порядок которых может возрасти до минимального из размеров матрицы. Однако в результате будет найден не только ранг матрицы, но и один из её базисных миноров.

При нахождении ранга матрицы методом элементарных преобразований требуется гораздо меньше вычислений. Причем разница в объемах вычислений возрастает с ростом размеров матрицы и усложнением её вида. Но этот метод позволяет найти базисный минор лишь для матрицы ступенчатого вида, полученной в результате элементарных преобразований. Чтобы найти базисный минор исходной матрицы, нужны дополнительные вычисления с учетом уже известного ранга матрицы.

Читать:

Как определить длину параллели по градусной сети

Как разделить матрицу на число

Матричные (групповые) операции

Операции с матрицами

Сложение матриц

Умножение матрицы на число

Методы решения слау

Как делить матрицы

Метод 1 из 2: Деление матрицы на число

Метод 2 из 2: Деление матрицы на матрицу

Как разделить число на матрицу: Как делить матрицы

Матрица Эйзенхауэра: что это, как пользоваться, примеры

Что такое матрица Эйзенхауэра

Как пользоваться матрицей Эйзенхауэра

Квадрат 1 — срочные и важные

Квадрат 2 — несрочные и важные

Квадрат 3 — срочные и неважные

Квадрат 4 — несрочные и неважные

Где собирать матрицу Эйзенхауэра

Урок 21. Векторы и матрицы в Mathcad

About Павел Демидов

Массив разделения NumPy

Разделение массивов NumPy

Пример

Пример

Разбить на массивы

Пример

Разделение двумерных массивов

Пример

Пример

Пример

Пример

ВЫБОР ЦВЕТА

КОД ИГРЫ

Top Tutorials

Лучшие примеры

Как разделить каждый элемент в списке на Python делитель для элемента в заданном_списке]

3 компактный способ List 0

Функция разделения VBA в Excel — объяснение с примерами

Пример 1. Разделение слов в предложении

Пример 2. Подсчет количества слов в предложении

Пример 3. Использование разделителя, отличного от пробела

Пример 4.

Пример 5. Получение названия города из адреса

Решение задач по математике онлайн

Немного теории.

Матрицы и операции над ними

Виды матриц

Линейные операции над матрицами

Свойства линейных операций над матрицами

Транспонирование матриц

Свойства операции транспонирования

Умножение матриц

Свойства умножения матриц

Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители n-го порядка

Свойства определителей

Вычисление определителя для частных случаев матриц

Обратная матрица и её свойства

Вычисление обратной матрицы

С помощью матрицы алгебраических дополнений

С помощью метода Жордана-Гаусса

Ранг матрицы

Теорема о базисном миноре

Вычисление ранга матрицы

Метод окаймляющих миноров

Метод элементарных преобразований

Как разделить массив на символы

Как разделить меньшее число на большее без остатка

Похожие статьи