Как найти длину параболы

Как найти длину параболы

Метод дихотомии возможно применить не только для элементов окружности, но и для нахождения длины кривых линий различного порядка, причём без применения дифференциалов!

Например, найти длину параболы от центра координат до любой выбранной точки на кривой с любой точностью можно представить как совокупность прямолинейных отрезков a ₁, a ₂,…, a_n .

1. Для y = x 2 простые алгебраические преобразования позволяют получить относительно простую формулу:

где: . (1) (При n =1,2,4,8,…2 t )

Поясним на примере:

Понятно, что дихотомическое деление позволяет получить число отрезков , кратное 2 t ( t ∈ Q ), т.е. n =1,2,4,8,…2 t . Чем больше коэффициент деления t , тем больше число прямолинейных отрезков а _n , являющихся хордами параболы, будут представлять её образ, тем больше сумма её хорд будет стремится к истинной длине данного отрезка параболы от центра оси координат до выбранной точки (х; y =х 2 ).

Для примера найдём длину участка параболы y = x 2 от 0 до точки с координатой x =7. Выберем коэффициент дихотомии t =2. Тогда: n =2 t =4. ( см. рис.)

2. Для y = kx 2 формула (1) имеет общий вид:

Следовательно, выбрав коэффициент k кратным x , получаем общую формулу для параболических кривых типа y = mx f .

Например, функции y =3 x 3 соответствует y = kx 2 , где k =3 x и решение для x =7 и n =2 будет выглядеть следующим образом:

Длина участка параболы от 0 до координаты х=7 при однократном делении (как сумма двух прямолинейных отрезков а₁ и а₂) будет примерно равна:

Для n=2 → t=1 . Тогда:

a 1 = 7 2 2∙1 2 2∙1 + 7 2 3∙7 2 2∙1-1 2 =257,274…

a 1 = 7 2 2∙1 2 2∙1 + 7 2 3∙7 2 2∙2-1 2 =771,758…

Безусловно, это только показательное решение, не претендующее на высокую точность, которая достигается при большей степени дихотомического деления. Но однотипность алгоритма нахождения отрезков а _n предполагает принципиальную возможность альтернативы классическим методам при машинных решениях подобных задач.

3. Для нахождения длин произвольных отрезков парабол (не от центра координат) l_{x 1; x 2} достаточно вычесть длину меньшей параболы из большей: l_{x 1; x 2} = l _{0; x 1} — l _{0; x 1}

Как вычислить длину дуги кривой?

Помимо нахождения площади и объёма тела вращения, вездесущий определённый интеграл позволяет рассчитать и другие показатели, в частности длину дуги кривой.
И в данной статье мы узнаем, как вычислить данную величину, если линия задана функцией , либо параметрически , или же уравнением в полярной системе координат. Для каждого случая будут разобраны практические примеры с подробными комментариями о типичных особенностях решения этой задачи. Более того, по ходу изложения материала вас ждёт специальное предложение, которое должно понравиться 😉

Пусть некоторая функция непрерывна на отрезке , и её график на данном промежутке представляет собой кривую или, что то же самое, дугу кривой :

В предположении о непрерывности производной на , длина кривой выражается формулой:

Согласно геометрическому смыслу, длина не может быть отрицательной, и это заведомо гарантируется неотрицательностью подынтегральной функции (при разумеющемся условии ). Таким образом, в данной задаче не возникает дополнительных хлопот по поводу того, как и где «петляет» график (выше оси, ниже оси и т.д.).

Другой хорошей новостью является тот факт, что в практических примерах, как правило, не нужно строить чертежа. Это была единственная иллюстрация в статье, чтобы вы быстрее поняли, о чём вообще идёт речь. Впрочем, начнём с кривой, которую всем вбили в голову ещё в далёком детстве =)

Вычислить длину дуги параболы от точки до точки

Решение: принимая во внимание «иксовые» координаты точек, определяем пределы интегрирования и используем формулу:

А вот и первый камень преткновения. Интеграл данного вида детально разобран в Примере № 5 урока Сложные интегралы, он интегрируется по частям и сводится к себе. Сначала удобно найти первообразную:

Интегрируем по частям:

Открываем одиночной «звёздочкой» основное решение и используем формулу Ньютона-Лейбница:

Ответ:

Скрупулёзно не проверял, но если взглянуть на параболу, то очень и очень похоже на правду. Громоздких и страшных результатов бояться не нужно, рАвно, как и длинных решений!

Следующие разминочные задачи для самостоятельного решения

Вычислить длину дуги полукубической параболы от точки до точки

Интеграл здесь будет значительно проще, чем в предыдущем примере. Однако за кажущейся простотой нередко скрывается коварство. Так, вроде бы похожее условие «Вычислить длину дуги полукубической параболы на промежутке » далеко не эквивалентно и приводит к совершенно другому ответу.

Да, в рассматриваемом типе задач обычно не требуется выполнять чертёж, но всегда полезно, а иногда и очень важно знать, что это за линия и КАК выглядит её график 😉

Вычислить длину дуги кривой ,

Это более распространённый вариант формулировки – когда промежуток интегрирования указан в виде двойного неравенства.

А что тут смущает? Люди без комплексов давно интегрируют по любой переменной, и я ещё в статье Объем тела вращения предлагал вам расширить свои взгляды =)

Обратная функция и её производная непрерывны на отрезке , поэтому применима зеркальная формула , где и , естественно, уже «игрековые» пределы интегрирования.

Кстати, в первом примере можно рассмотреть правую ветвь параболы с пределами интегрирования , правда, хрен редьки не слаще. Хотя любители оценят, интеграл получается трудный, но вполне реалистичный.

В следующем параграфе рассмотрим критически важную вещь, касающуюся всех задач урока:

Как найти длину дуги кривой, если линия задана параметрически?

Если линия задана параметрическими уравнениями , то при выполнении некоторых условий, на которых я не буду останавливаться, длина дуги кривой , которая прочерчивается при изменении параметра в пределах , рассчитывается по формуле:

, где – значения, определяющие точки и .

В начале урока о площади и объёме при линиях, заданных параметрически, я обратил ваше внимание на тот факт, что параметрические уравнения могут «прорисовывать» кривую как слева направо, так и справа налево, из-за чего во втором случае «вылезает минус» и возникают небольшие технические затруднения. В рассматриваемой задаче мы от этого избавлены! Так как подынтегральная функция, как и в первом пункте, неотрицательна , то заранее можно утверждать, что результата со знаком «минус» получиться не должно (понятно, при условии ).

Однако вместо «вопроса прорисовки дуги» у нас появляется другая почётная обязанность – беречь неотрицательность подынтегральной функции, как зеницу ока:

Вычислить длину дуги кривой

Решение: аналитические условия задают левую верхнюю дугу астроиды. Причём параметрические уравнения «прорисовывают» эту кривую справа налево, но, как я только что отметил, сейчас нас это не волнует, и асфальтный каток едет дальше.

Сначала найдём производные:

и упростим сумму их квадратов:

Это оптимальная во многих случаях техника решения, позволяющая не «таскать за собой» значки корня и интеграла с пределами интегрирования. Тем самым минимизируется риск что-нибудь потерять в громоздкой записи.

Гораздо удобнее «зарядить» в формулу готовую сумму:

А вот теперь самый важный момент. Здесь нельзя «машинально» избавляться от корня и необходимо придерживаться следующего правила:

, если функция на промежутке ,
или , если на данном промежутке.

Эта «развилка» сохраняет неотрицательность подынтегральной функции, что соответствует геометрическому смыслу задачи.

На отрезке , следовательно, их произведение неположительное: и поэтому

Не понимаете, почему ? Посмотрите на их графики.

Продолжаем, а точнее, заканчиваем решение:

Ответ:

Приятно, когда знаешь график функции, но вдвойне приятнее, когда можно эффективно проверить или даже заранее узнать ответ. Длина астроиды равна . В нашей задаче и мы рассчитали длину «четвертинки»:

, что и требовалось проверить.

Вычислить длину дуги кривой с точностью до двух знаков после запятой

Примерный образец оформления задачи и в конце урока.

Продолжаем динамично закатывать асфальт:

Как найти длину дуги кривой, если линия задана в полярной системе координат?

Пусть кривая задана в полярных координатах уравнением , где , и при этом значение определяет точку , а значение – точку . Если на промежутке функция имеет непрерывную производную , то длина кривой выражается следующей формулой:

Условие логично и незыблемо. Это третья, похожая на предыдущую формула, которую мы незамедлительно оприходуем:

Вычислить длину дуги кривой, заданную в полярной системе координат
,

Порядок и принципы решения точно такие же.

Найдём производную по «фи»:

Составим и максимально упростим подкоренное выражение:

…мда, презабавно, всё время понижали-понижали степень, а теперь её надо повысить. Используем формулу двойного угла и основное тригонометрическое тождество , выцыганив тем самым заветный квадрат:

Теперь нужно разобраться с функцией на отрезке , чтобы правильно избавиться от корня. Я мысленно представляю график и вижу, что функция здесь положительна, но это очевидно далеко не всем, и в этой ситуации можно использовать нечто похожее на метод интервалов. Вычислим значение функции в какой-нибудь промежуточной точке, например, посерединке в точке :

, а значит, и в любой точке интервала . К слову, и на концах тоже.
Примечание: строго говоря, надо ещё добавить, что уравнение не имеет корней на данном интервале.

Таким образом, вынесение из-под корня проходит без всяких последствий. …Не хотел вам рассказывать об одном нехорошем методе решения, но таки поделюсь – всё равно догадаетесь, по себе знаю =) На черновике считаем интеграл и если получился отрицательный результат, то на чистовике ставим перед интегралом «минус». И никаких запарок с рассуждениями.

Ответ:

Я решил эту задачу много лет назад именно таким способом и недавно, подбирая примеры к уроку, нашёл более симпатичное решение, идея которого состоит в использовании формулы приведения и дальнейшего повышения степени по избитой формуле . Там получается ответ в другом виде, но численно результаты совпадают. Такое тоже бывает.

Затем я углубился в свой архив и нашёл ещё много чего знакомого. Такое впечатление, что сборник Кузнецова – очень популярный поставщик задач по приложениям определённого интеграла в контрольные работы. И в разделе IV-Интегралы вы можете найти порядка сотни прорешанных примеров по теме (Задачи 17-19), велика вероятность, что найдётся и ваш пример!

Успокоительная миниатюра для самостоятельного решения:

Вычислить длину дуги кривой, заданную в полярной системе координат
,

Хочется сказать ещё что-нибудь ласковое, но, к сожалению, я тороплюсь, сегодня пятница и мне тоже хочется погулять =)

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: пределы интегрирования: . Из условия следует, что требуется вычислить длину дуги верхней ветви .
Найдём производную: .
По формуле:

Ответ:

Пример 3: Решение: найдём производную:

Таким образом:

(1) Используем тригонометрическую формулу
(2) При вынесении из-под корня необходимо, чтобы подынтегральная функция осталась положительной:. Так как на отрезке интегрирования, то: .
(3) Данный интеграл разобран в Примере 18 статьи Сложные интегралы.
Ответ:

Пример 5: Решение: используем формулу .
Найдём производные:

Таким образом:

Примечание: при любом значении .
Ответ:

Пример 7: Решение: используем формулу:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!

Как найти длину параболы

Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Длина дуги кривой

Длина дуги кривой вычисляется по формуле или (10.18) Длина дуги кривой, заданной параметрически

Если кривая задана уравнением в полярных координатах

Длина дуги в прямоугольных координатах

Длина s дуги гладкой кривой содержащейся между двумя точками с

абсциссами равна

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры с решением

Пример 1.

Найти длину астроиды

Решение:

Дифференцируя уравнение астроиды, получим:

Поэтому для длины дуги одной четверти астроиды имеем:

Отсюда

Длина дуги кривой, заданной параметрически

Если кривая задана уравнениями в параметрической форме и непрерывно дифференцируемые функции), то длина дуги кривой равна

где —значения параметра, соответствующие концам дуги

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2.

Найти длину одной арки циклоиды (рис. 50)

Пределы интегрирования соответствуют крайним точкам арки циклоиды. Если гладкая кривая задана уравнением в полярных координатах то длина дуги s равна

где — значения полярного угла в крайних точках дуги.

Пример 3.

Найти длину всей кривой (рис. 51). Вся кривая описывается точкой при изменении

Решение:

Имеем поэтому длина всей дуги кривой

Пример 4.

Найти длину дуги астроиды Чему равна длина астроиды при Поскольку астроида симметрична относительно координатных осей (см. рис. 1.36), нам достаточно вычислить длину дуги АВ и полученный результат умножить на 4.

Дифференцируя функцию как неявную, получим

Найдем выражение для подынтегральной функции, входящей в формулу (10.18). Имеем

По формуле (10.18) находим

При получаем при

Пример 5.

Вычислить длину дуги полукубической параболы отсекаемой прямой

Указанная дуга состоит из двух частей, симметричных относительно оси (см. рис. 10.8).

Вычислим длину одной из них. Находя производную функции и подставляя ее в формулу (10.18), получим 4хт)!</х = //и-|хЛ =

Пример 6.

Найти длину дуги одной арки циклоиды

Движущаяся точка описывает одну арку циклоиды (рис. 1.35) когда меняется от Следовательно, в формуле (10.19)

выражение для подынтегральной функции в формуле (10.19). Дифференцируя уравнения циклоиды, получим:

Таким образом,

Подставляя это выражение в формулу (10.19), находим

Итак, Например, при

Пример 7.

Найти длину дуги эвольвенты (развертки) окружности: до произвольной точки

По формуле (10.19) получаем

Развертка окружности изображена на рис. 1.37.

Пример 8.

Найти длину дуги спирали Архимеда г — а<р от полюса О до любой точки М.

По формуле (10.20) получаем

Так как

то

Пример 9.

Вычислить длину кривой

Вся кривая описывается точкой при изменении (рис. 10.11).

Так как находим

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.