Как найти большую полуось орбиты

Большая полуось орбиты

Орбиты небесных тел — траектории, по которым движутся небесные тела в космическом пространстве. Формы О. н. т. и скорости, с которыми по ним движутся небесные тела, определяются силой тяготения, а также силой светового давления, электромагнитными силами,… … Большая советская энциклопедия

Большая мартовская комета 1843 года — C/1843 D1 (Большая мартовская комета) Зарисовка Большой мартовской кометы 1843, сделанная в Тасмании. Открытие Дата открытия: 5 февраля 1843 Альтернативные обозначения: 1843 I 1843a Характеристики орбиты Афелий: 129 а. е … Википедия

Большая комета 1843 года — C/1843 D1 (Большая мартовская комета) Зарисовка Большой мартовской кометы 1843, сделанная в Тасмании. Открытие Дата открытия: 5 февраля 1843 Альтернативные обозначения: 1843 I 1843a Характеристики орбиты Афелий: 129 а. е … Википедия

Большая комета 1811 года — C/1811 F1 (Большая комета) Открытие Первооткрыватель: Оноре Флагерье Дата открытия: 25 марта 1811 Альтернативные обозначения: 1811 I 1811a Характеристики орбиты Афелий: 424 а. е. Перигелий: 1,035412 а. е. Большая полуось … Википедия

Большая комета 1965 года — C/1965 S1 (Икея Секи) Открытие Первооткрыватель: Каору Икея, Цуоми Секи Дата открытия: 18 сентября 1965 Альтернативные обозначения: 1965 VIII; 1965f Характеристики орбиты Эпоха: 7 октября 1965 … Википедия

Элементы орбиты — в астрономии, система величин (параметров), определяющих ориентацию орбиты небесного тела в пространстве, её размеры и форму, а также положение на орбите небесного тела в некоторый фиксированный момент. Невозмущённую орбиту, по которой… … Большая советская энциклопедия

Кеплеровы элементы орбиты — Кеплеровские элементы орбиты, включая аргумент перицентра (рис.1) … Википедия

Наклон орбиты — Кеплеровские элементы орбиты, включая аргумент перицентра (рис.1) Части эллипса (рис.2) Кеплеровы элементы шесть элементов орбиты, определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел: большая полуось ( ), эксцентриситет ( … Википедия

Наклонение орбиты — Кеплеровские элементы орбиты, включая аргумент перицентра (рис.1) Части эллипса (рис.2) Кеплеровы элементы шесть элементов орбиты, определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел: большая полуось ( ), эксцентриситет ( … Википедия

Расчет эксцентриситетов и больших полуосей орбит. Сидерический и синодический периоды.

$ art_name

Конфигурация — характерное взаимное положение Солнца, планет, других небесных тел Солнечной системы на небесной сфере.

Будем называть планеты нижними, если они расположены ближе к Солнцу, чем Земля. Остальные планеты будут верхними – они расположены дальше нашей планеты от Солнца.

Планета может расположиться так, что Земля, Солнце и указанная планета находятся на одной линии. При этом может оказаться, что Солнце расположилось между Землей и рассматриваемой планетой. Такое расположение будем называть верхним соединением. Если же планета оказалась между Землей и Солнцем – то это уже нижнее соединение. Также может быть, что Земля находится между верхней планетой и Солнцем – тогда речь пойдет о противостоянии, или оппозиции.

Элонгация — одна из конфигураций планет, такое положение планеты, при котором её угловое расстояние от Солнца максимально для земного наблюдателя. Различают восточную и западную элонгацию (планета находится, соответственно, к востоку и к западу от Солнца). Об элонгации имеет смысл говорить только для Венеры и Меркурия; наилучшие условия для наблюдения этих планет наступают именно вблизи элонгаций. Из-за того, что орбиты планет не вполне круговые, угловое расстояние от Солнца в момент элонгации может быть разным, для Меркурия — от до , для Венеры — около .

конфигурация

Квадратура — в астрономии такая конфигурация Луны или верхней планеты (то есть планеты, более удалённой от Солнца, чем Земля) относительно Земли и Солнца, когда угол планета-Земля-Солнце равен . Если светило при этом находится к востоку от Солнца, конфигурация называется восточной квадратурой, к западу — западной квадратурой.

Сидерический период — это время совершения полного оборота какого-либо тела (планеты, кометы, астероида или искусственного спутника) вокруг главного тела (Солнца или др. планеты для спутника планеты) относительно неподвижных звёзд. Сидерический период также называют годом. Например, Меркурианский год, Юпитерианский год, и т. п.

Синодический же период — это время наблюдения с Земли совершения полного оборота планеты вокруг Солнца или Луны (искусственного спутника) вокруг Земли относительно Солнца ; промежуток времени между двумя последовательными соединениями Луны или какой-нибудь планеты Солнечной системы с Солнцем при наблюдении за ними с Земли. При этом соединения планет с Солнцем должны происходить в фиксированном линейном порядке, что существенно для внутренних планет: например, это будут последовательные верхние соединения, когда планета проходит за Солнцем.

Будем помнить также и о том, что орбиты планет не круговые. Это эллипсы, причем Солнце находится в одном из главных фокусов орбиты планеты.

Перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты планеты или иного небесного тела Солнечной системы.

Антонимом перигелия является афелий (апогелий) — наиболее удалённая от Солнца точка орбиты. Воображаемую линию между афелием и перигелием называют линией апсид.

Названия апоцентров меняются: эти точки получают конкретные наименования но названию центрального тела, и некоторые из них приведены в нижеследующей таблице:

Задача 9.

Центральное тело	Греческое название	Наименование перицентра	Наименование апоцентра
Солнце	Гелиос	перигелий	афелий
Земля	Гея	перигей	апогей
Венера	Геспер	перигесперий	апогесперий
Марс	Арес	периарий	апоарий
Сатурн	Кронос	перикроний	апокроний
Луна	Селена	периселений	апоселений

Теперь обратимся к математике и разберемся, что же такое эксцентрисистет. Будем говорить об эксцентриситете эллипса, поскольку нас пока больше интересуют орбиты планет.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой , получаем:

Так как , то , т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы. Заметим, что , поэтому

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше , тем меньше, следовательно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности и .

Радиус перигелия рассчитывается по формуле:

Скорость в перигелии рассчитывается по формуле:

Афелийное расстояние рассчитывается по формуле

Следовательно, большая полуось орбиты планеты является средним ее расстоянием от Солнца

Cидерические периоды обращения и двух планет связаны с их средними расстояниями и от Солнца третьим законом Кеплера

Если дается в годах и — в астрономических единицах, то, принимая для Земли год и а. е., получим для любой планеты

Средняя орбитальная, или круговая, скорость планеты

всегда выражается в км/с. Так как обычно задается в астрономических единицах (1 а. е.= км) и T— в годах (1 год= с), то

Где скорость планеты теперь выражена в км/с.

Средняя продолжительность синодического периода обращения планеты связана с сидерическим периодом уравнением синодического движения: для верхних планет

для нижних планет

где — сидерический период обращения Земли, равный 1 звездному году.

Задача 1.

Найти перигельное и афелийное расстояния, сидерический и синодический периоды обращения, а также круговую скорость малой планеты Поэзии, если большая полуось и эксцентриситет ее орбиты равны 3,12 а. е. и 0,144.

Перигельное расстояние, а.е.

афелийное расстояние, а.е.

Сидерический период обращения

а так как а. е., то планета верхняя и поэтому ее синодический период обращения вычисляется по формуле

Круговая скорость, км/с:

Задача 2.

Вычислить перигельное и афелийное расстояния планет Сатурна и Нептуна, если их средние расстояния от Солнца равны 9,54 а. е. и 30,07 а. е., а эксцентриситеты орбит— 0,054 и 0,008.

Перигельное расстояние Сатурна, а.е.

афелийное расстояние Сатурна, а.е.

Перигельное расстояние Нептуна, а.е.

афелийное расстояние Нептуна, а.е.

Ответ: а.е., а.е., а.е., а.е.

Задача 3.

Какая из двух планет — Нептун (а = 30,07 а.е., ) или Плутон (а = 39,52 а. е., ) — подходит ближе к Солнцу? В скобках даны большая полуось и эксцентриситет орбиты планеты.

Нужно сравнить перигельные расстояния, причем для Нептуна мы его уже вычислили: а.е. Вычислим для Плутона:

Таким образом, Плутон ближе подходит к Солнцу.

Задача 4.

Найти эксцентриситет орбиты и перигельное расстояние планеты Марса и астероида Адониса, если у Марса большая полуось орбиты равна 1,52 а. е. и наибольшее расстояние от Солнца 1,66 а. е., а у Адониса соответственно 1,97 а. е. и 3,50 а. е. Указать, какая из этих двух планет подходит ближе к Солнцу.

Опять определим перигельные расстояния. Наибольшие расстояния от Солнца нам известны – афелийные. Тогда для Марса

Следовательно, перигельное расстояние Марса равно

Следовательно, перигельное расстояние Адониса равно

Таким образом, Адонис подходит ближе к Солнцу.

Задача 5.

На каком среднем и наибольшем гелиоцентрическом расстоянии движутся малые планеты Икар и Симеиза, если у Икара перигельное расстояние и эксцентриситет орбиты равны 0,187 а. е. и 0,827, а у Симеизы — 3,219 а. е. и 0,181? У какой из этих планет радиус-вектор изменяется в больших пределах, абсолютно и относительно?

Так как афелийное расстояние у Симеизы больше, то радиус-вектор ее длиннее (абсолютно). Но, так как , то относительно радиус-вектор Икара больше изменяется.

Задача 6.

Вычислить периоды обращения вокруг Солнца планеты Венеры и астероида Европы, у которых средние гелиоцентрические расстояния соответственно равны 0,723 а. е. и 3,10 а. е.

Сидерический период Венеры равен:

Сидерический период астероида Европы равен:

Ответ: сидерический период Венеры равен 0,615 года или 224,5 суток, а у Европы 5,458 года.

Задача 7.

Определить периоды обращения вокруг Солнца малой планеты Аполлона и кометы Икейи, если обе они проходят вблизи Солнца почти на одинаковых расстояниях, равных у Аполлона 0,645 а. е., а у кометы 0,633 а. е., но их орбиты имеют эксцентриситеты 0,566 и 0,9933 соответственно.

Определим большие полуоси орбит Аполлона и кометы Икейи:

Тогда сидерический период Аполлона

Тогда сидерический период Икейи

Задача 8.

Первый спутник планеты Юпитера — Ио обращается вокруг нее за 42ч28м на среднем расстоянии в 421 800 км. С какими периодами обращаются вокруг Юпитера его спутники Европа и Ганимед, большие полуоси орбит которых равны 671,1 тыс. км и 1070 тыс. км?

Для спутников справедлив закон Кеплера. Применим его для Европы:

Период 42ч28м= ч.

А теперь то же самое для Ганимеда:

Ответ: Период Европы 85,23 ч, или 3 д 55, период Ганимеда 171,59 ч, или 7 д 15

Задача 9.

Найти средние расстояние от Сатурна его спутников Мимаса и Реи, обращающихся вокруг планеты с периодами в 22ч37м и 4 д ,518. Самый крупный спутник планеты — Титан, обращается за 15 д ,945 по орбите с большой полуосью в 1221 тыс. км.

Переведем периоды в часы: период Мимаса 22,62 ч, период Реи 108,43 ч, период Титана 382, 68 ч.

Большая полуось

Большая полуось — это один из основных геометрических параметров объектов, образованных посредством конического сечения.

Содержание

Эллипс

Основные параметры эллипса

Большой осью эллипса называется его наибольший диаметр, прямая проходящая через центр и два фокуса. А большая полуось составляет половину этого расстояния, и таким образом, идёт от центра, через фокус, и на край эллипса. А под углом в 90° к большой полуоси располагается малая полуось — это минимальное расстояние от центра эллипса до его края. Для частного случая круга, большая и малая полуоси равны и являются радиусами. Таким образом можно думать о большой и малой полуосях как о своего рода радиусах эллипса.

Длина большой полуоси alt=»<\displaystyle a\,\!>» width=»» height=»» /> связана с длиной через эксцентриситет alt=»<\displaystyle e\,\!>» width=»» height=»» /> и , следующим образом:

$<\displaystyle b=a<\sqrt <1-e^<2>>>,\,>» width=»» height=»» /> <img decoding=$

График построения параболы простейшей функции y = x 2

постоянным. Таким образом $<\displaystyle a\,\!>» width=»» height=»» /> и <img decoding=$ обычно переходят к другим параметрам, по которым можно вычислять координаты и скорости спутника на любой момент времени в инерциальной системе отсчёта. Их называют элементами орбиты. По своему назначению элементы орбиты делятся на три группы. К первой группе относят элементы, характеризующие размеры и форму орбиты. Это большая полуосьи эксцентриситет обиты е:

К этой же группе элементов относятся: фокальный параметр , малая полуось, радиусы орбиты в перигееи апогее:

а так же период обращения и среднее движение:

Периодом обращения спутника вокруг центрального тела называется промежуток времени между моментами двух последовательных прохождений через произвольную точку орбиты. Среднее движениеинтерпретируется как средняя угловая скорость движения спутника.

Элементы второй группы задают ориентировку орбиты в пространстве. Они связаны с векторными интегралами площадей и Лапласа. К этим элементам относятся: наклонение , долготаи аргумент перигея.

Наклонениемназывают угол между плоскостью экватора и плоскостью орбиты. Его можно вычислить по формуле:

Очевидно, что . Орбиты с наклонением, равным 0º или 180º называют экваториальными, а с наклонением 90º– полярными. Орбиты сназывают с прямым движением спутника, а с– орбиты с обратным движением спутника ( по отношению к направлению вращения Земли).

Долготой орбитыназывается угол, отсчитываемый в плоскости экватора от направления на точку весеннего равноденствия (нуль-пункта небесной системы координат) до направления на восходящий узел орбиты . Долготу определяют по формуле:

Аргументом перигеяназывается уголмежду направлениями на восходящий узел и на перигей, отсчитываемый по направлению движения спутника:

Для долготы и аргумента перигея справедливо: ,.

Элементы третьей группы задают положение спутника на орбите. Оно устанавливается с помощью момента прохождения перигея или любой из аномалий (обычно истинной или средней) с указанием эпохи.Истинной аномалиейназывается угол между направлениями на перигей и на спутник, отсчитываемый в сторону движения спутника:

Средняя аномалияпредставляет собой угол от направления на перигей до направления на некоторое фиктивное положение спутника, движущегося равномерно по орбите:

Уравнение для средней аномалии иногда называют динамическим интегралом, в котором содержится шестая независимая постоянная интегрирования – момент проходжения перигея .

Для связи истинной и средней аномалии вводится эксцентрическая аномалия. Чтобы её показать, вокруг орбитального эллипса описывается окружность с центром в точке С – геометрическом центре эллипса, с радиусом, равным его большей полуоси. Через положение спутника – точку– проводится перпендикуляр к большей полуосидо пересечения с окружностью в точке. Соединяются точки С и. Угол, отсчитываемый при центре эллипса от направления на перигей до направления на точку, называетсяэксцентрической аномалией. Истинная и эксцентрическая аномалии связаны соотношением:

а средняя и эксцентрическая аномалии связаны уравнением Кеплера:

Часто используется угол от направления на восходящий узел до направления на спутник, называемый аргументом широты:

Существует множество других систем элементов. Приведенные здесь параметры называют Кеплеровыми элементами орбиты.

Законы движения спутника вокруг центрального тела были открыты И.Кеплером в начале XVIIв. Выведенные вначале для вращающихся вокруг Солнца планет, они оказались пригодными для всех других тел, поскольку в их основе лежит закон всемирного тяготения.

1-й закон Кеплера. Движение спутника вокруг притягивающего тела всегда происходит по коническому сечению (окружности, эллипсу, параболе, гиперболе, прямой), в одном из фокусов которого находится притягивающий центр. Закон выражается с помощью уравнения орбиты, имеющей вид:

В зависимости от величины эксцентриситета различают отбиты в виде окружности (е=0), эллипса (0 < е < 1), параболы (е = 1), гиперболы (е > 1) и прямой (е = ∞). В дальнейшем мы будем рассматривать только эллиптические орбиты.

Для описания 2-го закона Кеплера потребуется ввести понятие секториальной скорости . Это площадь, описываемая радиусом-вектором спутника за единицу времени. Она связана со скалярной константой площадей С:

Площадь, описываемую радиусом-вектором спутника за промежуток времени , можно получить в виде определённого интеграла:

что является математической записью 2-го закона Кеплера: за равные промежутки времени радиус-вектор спутника описывает равные площади. Вследствии этого, линейная скорость движения спутника по орбите в перигеебольше, чем скорость в апогее.

3-й закон Кеплераформулируется следующим образом: квадраты периодов обращения спутников пропорциональны кубам больших полуосей. Математическое выражение для него получается из формулыЕсли у центрального тела (Земли) имеется два спутника, соответственно, с периодамиР₁ иР₂и с большими полуосями