7. Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения
В предыдущих статьях мы познакомились с показателями центральной тенденции и вариации, и сейчас рассмотрим ещё пару характеристик статистической совокупности. Для тех, кто зашёл с поисковика и хочет изучить тему с азов, сразу ссылка на организационный урок: Математическая статистика для «чайников», там же, в конце, список всех статей курса. И до статьи 7-й – как рукой подать, после чего будет небольшой и очень приятый экзамен.
Итак, что такое асимметрия и эксцесс? Говоря простым языком, это показатели, характеризующие геометрическую форму распределения. Асимметрия характеризует меру скошенности графика влево / вправо, а эксцесс – меру его высоты.
Данные показатели рассчитываются как для эмпирических, так и для теоретических распределений, которые мы изучили в курсе теории вероятностей, и за «эталон» симметрии принято нормальное распределение:
Очевидно, что любое нормальное распределение строго симметрично относительно своего центра, следовательно, его асимметрия равна нулю. Данный график кажется пологим, но стандартное отклонение в данном примере достаточно велико (см. на синие точки) и на самом деле такая высота «гармонична». Поэтому эксцесс нормального распределения (любого) принимают за «отправную» нулевую точку.
Почему именно нормальное распределение? Потому что философское – обязательно прочитайте эту интереснейшую статью по ссылке, если ещё не успели этого сделать!
В теории вероятностей существуют строгие формулы для вычисления коэффициентов асимметрии и эксцесса (будут ниже), но на практике мне такие задачи не встречались. И поэтому я сразу перехожу к статистике и распределениям эмпирическим, т.к. здесь таких задач как раз выше крыши. С положительным эксцессом, если выразиться тематически 🙂
Начнём с асимметрии. Асимметрия характеризует меру скошенности полигона или гистограммы влево / вправо относительно самого высокого участка, и во многих случаях для «прикидки» асимметрии достаточно взглянуть на соответствующие чертежи. Так, например, посмотрим на полигон частот из Примера 8: 
И, в принципе, тут всё видно – пациент скорее симметричен, чем асимметричен 🙂
Простейшим критерием симметрии является равенство средней, моды и медианы: но в жизни такого идеального совпадения, конечно, не бывает (даже тело человека немного асимметрично), и поэтому у «почти симметричных» распределений эти показатели должны располагаться очень близко друг к другу. И в самом деле, как мы вычислили в Примере 8: .
Обратите внимание, что рассматриваемые распределения имеют единственную модальную вершину, и далее речь пойдёт только о таких распределениях.
Правосторонняя асимметрия характеризуется удлинённым правым «хвостом», смотрим на гистограмму Примера 10:
Простейшим признаком правосторонней асимметрии является тот факт, что , и это неудивительно – ведь справа находится значительное количество вариант, и поэтому средняя смещена вправо. И поэтому английский статистик Карл Пирсон, который ещё не раз нас порадует своими методами, предложил следующую формулу для расчёта коэффициента асимметрии:
, где – среднее квадратическое отклонение статистической совокупности. Что тоже логично, ведь у разных распределений – разный «разброс» значений и разные представления о мере асимметрии.
Левостороння асимметрия, наоборот, характеризуются удлинённым левый «хвостом» и неравенством ,…. картинки быстро не нашлось, поэтому просто разверну чертёж в графическом редакторе: 
Из формулы следует, что в левостороннем случае коэффициент асимметрии отрицателен (т.к. ), а в правостороннем – положителен (), и чем больше по модулю – тем сильнее скос распределения.
Недостаток формулы Пирсона состоит в том, что она описывает лишь центральную часть распределения и практически не учитывает «периферию». И, чтобы вас не томить, сразу продвинутая формула, которая охватывает все варианты, для определённости запишу её для выборочной совокупности объёма :
, где – куб стандартного выборочного отклонения, а – так называемый центральный эмпирический момент третьего порядка. Для несгруппированной статической совокупности он рассчитывается так:
( – выборочная средняя),
а для сформированного вариационного ряда – так:
, где – варианты дискретного ряда или середины частичных интервалов интервального ряда, а – соответствующие частоты.
Смысл знаков тот же самый: если , то распределение скошено вправо, если – то влево. При этом принята следующая условная градация: если полученное значение по модулю меньше, чем 0,25, то асимметрия незначительна, если , то умеренная, и если , то существенная.
И чем МЕНЬШЕ по модулю , тем рассматриваемое эмпирическое распределение БЛИЖЕ к нормальному распределению с параметрами .
Справочно формулы теории вероятностей: асимметрия случайной величины рассчитывается по «родственной» формуле , где – среднее квадратическое отклонение, а – центральный теоретический момент 3-го порядка. Для дискретной случайной величины он рассчитывается так: , а для непрерывной – через интеграл: .
Теперь об эксцессе замолвим слово. Он характеризует высоту и очень коварный. В том смысле, что глаза будут часто обманывать. Так, например, вернёмся к Примеру 7 статьи Интервальный вариационный ряд, единственное, я рассмотрю равные интервалы, как это на самом деле было в оригинальной задаче:
Ну видно же – гистограмма серьёзно вытянута вверх. Но это только кажется. Дело в том, что стандартное отклонение данной выборки невелико, и для сего небольшого рассеяния такая высота ДАЖЕ МАЛА. МалА – по сравнению с «эталонным» нормальным распределением с параметрами .
Поэтому аналитика и ещё раз аналитика. Коэффициент эксцесса эмпирического распределения рассчитывается по формуле:
, где – центральный эмпирический момент четвёртого порядка:
– для несгруппированных данных, и
– для сформированного вариационного ряда.
Для случайных величин из тервера формула схожа: , где – для дискретной, и – для непрерывной случайной величины.
Если , то эмпирическое распределение является более высоким («островершинным») – относительно «эталонного» нормального распределения с параметрами . Если же – то более низким и пологим. И чем больше по модулю, тем «аномальнее» высота в ту или иную сторону.
В примере выше, как ни странно, , и сейчас мы убедимся в этом аналитически:
Итак, сто пачек чая из Примера 7 ( – середины равных интервалов): 
и нам требуется вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса
Решение: поскольку в формулах асимметрии и эксцесса фигурирует стандартное отклонение, то сначала нужно рассчитать выборочную среднюю и дисперсию.
Вычислим произведения , их сумму и грамм – средний вес пачки чая. Дисперсию здесь сподручнее найти не по формуле, а по определению: . Для этого рассчитаем произведения и сразу : 
Ловкость рук и никаких трудностей, вы удивитесь, как всё быстро:
Собственно, финальные расчёты:
здесь правильнее, конечно, отклонение поправить, но обычно этим пренебрегают.
Центральные моменты 3-го и 4-го порядков:
И, наконец, коэффициенты. Вычислим коэффициент асимметрии:
, то есть, распределение обладает существенной правосторонней асимметрией, что, кстати, хорошо было видно по чертежу.
Вычислим коэффициент эксцесса:
– вот оно как! Оказывается, распределение не то что выше, а заметно ниже, чем нормальное распределение с параметрами
Ответ:
Вот такой вот у нас получился эксекас 🙂
Помимо геометрических форм, эти коэффициенты позволяют «прикинуть», насколько близка к нормальному (или другому) распределению не только выборочная, но и вся генеральная совокупность. Это одна из важнейших задач статистики, которую мы разберём в разделе Статистические гипотезы.
Ну а сейчас я предлагаю вам небольшое экзаменационное задание по первым семи урокам. Оно типично для студенческой практики – дана статистическая совокупность, и требуется выполнить много-много чего. Внимательно проверьте, всё ли вы усвоили, всё ли умеете:
В результате эксперимента получены данные, записанные в виде статистического ряда: 
…это ещё ерунда 🙂
И сразу обратите внимание, что в условии речь идёт о результатах эксперимента, а значит, перед нами выборочная совокупность, т.к. теоретически опыты можно повторять бесконечное количество раз.
1) Составить интервальный вариационный ряд, состоящий из 9 равных интервалов. Видео в помощь.
3) Найти моду и медиану.
5) Вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса, сделать выводы.
Не тушуйтесь – я с вами! Краткое решение для сверки внизу страницы.
И на этом, как вы правильно догадались, дело не заканчивается, поэтому сохраните файл с решением! Типовая задача содержит больше пунктов, и после изучения гипотезы о законе распределения генеральной совокупности, выполняем следующие задания:
6) По найденным характеристикам сделать вывод о форме эмпирического ряда распределения.
7) Построить нормальную кривую по опытным данным на графике гистограммы.
8) Произвести оценку степени близости теоретического распределения эмпирическому ряду с помощью критерия согласия Пирсона на уровне значимости 0,05.
До скорых встреч!
Решения и ответы:
Пример 20. Решение:
1) По статистическим данным находим: , .
Вычислим размах вариации: ед.
По условию, выборку следует разделить на равных интервалов, таким образом, длина частичного интервала:
ед.
Разметим интервалы и подсчитаем частоты по каждому интервалу, после чего убедимся, что объём выборки . Вычислим относительные частоты и относительные накопленные частоты : 
2) Построим гистограмму относительных частот. Поскольку длина частичного интервала , то плотности относительных частот совпадают с соответствующими частотами :
Построим эмпирическую функцию распределения:
3) Моду вычислим по формуле , в данном случае:
– нижняя граница модального интервала;
– длина модального интервала;
– частота модального интервала;
– частота предыдущего интервала;
– частота следующего интервала.
Таким образом:
ед.
Медиану вычислим по формуле , в данном случае:
– объём выборочной совокупности;
половину вариант содержит интервал и – его нижняя граница;
– длина медианного интервала;
– частота медианного интервала;
– накопленная частота предыдущего интервала.
Таким образом:
ед.
4) Найдём середины интервалов, произведения и вычислим выборочную среднюю ед., после чего заполним оставшуюся часть таблицы и рассчитаем остальные показатели: 
Выборочная дисперсия:
,
выборочное среднее квадратическое отклонение:
ед.,
коэффициент вариации:
5) Вычислим центральные эмпирические моменты 3-го и 4-го порядков:
и коэффициент эксцесса:
Таким образом, выборочная совокупность практически симметрична, но несколько ниже, чем нормальное распределение с параметрами .
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Contented.ru – онлайн школа дизайна
SkillFactory – получи востребованную IT профессию!
Асимметрия
Асимметрия представляет собой числовое отображение степени отклонения графика распределения показателей от симметричного графика распределения.
Показатель асимметрии вычисляется по формуле:
Асимметрия симметричного распределения равно 0
Если асимметрия больше 0, то чаще в распределении встречаются значения меньше среднего. Такая асимметрия называется положительной или левосторонней.
Если асимметрия меньше 0, то в распределении чаще встречаются значения больше среднего. Такая асимметрия называется отрицательной или правосторонней.
9.1.2. Асимметрия
Асимметрия — это несимметрия, т.е. такое состояние, когда симметрия отсутствует. Но еще Кант говорил, что отрицание никогда не является простым исключением или отсутствием соответствующего положительного содержания. Например, движение — это отрицание своего предыдущего состояния, изменение объекта. Движение отрицает покой, но покой не есть отсутствие движения, так как очень мало информации и эта информация ошибочна. Отсутствия покоя, как и движения, не бывает, поскольку это две стороны одной и той же сущности. Покой — это другой аспект движения.
Полного отсутствия симметрии также не бывает. Фигура, не имеющая элемента симметрии, называется асимметричной. Но, строго говоря, это не так. В случае асимметричных фигур расстройство симметрии просто доведено до конца, но не до полного отсутствия симметрии, так как эти фигуры еще характеризуются бесконечным числом осей первого порядка, которые также являются элементами симметрии.
Асимметрия связана с отсутствием у объекта всех элементов симметрии. Такой элемент неделим на части. Примером является рука человека.
Асимметрия — это категория, противоположная симметрии, которая отражает существующие в объективном мире нарушения равновесия, связанные с изменением, развитием, перестройкой частей целого. Так же, как мы говорим о движении, имея в виду единство движения и покоя, так же симметрия и асимметрия — две полярные противоположности объективного мира. В реальной природе нет чистых симметрии и асимметрии. Они всегда находятся в единстве и непрерывной борьбе.
На разном уровне развития материи присутствует то симметрия (относительный порядок), то асимметрия (тенденция нарушения покоя, движение, развитие), но всегда эти две тенденции едины и их борьба абсолютна.
■■■■■■■■
Реальные, даже самые совершенные кристаллы далеки по своей структуре от кристаллов идеальной формы и идеальной симметрии, рассматриваемой в кристаллографии. В них имеются существенные отступления от идеальной симметрии. Они имеют и элементы асимметрии: дислокации, вакансии, оказывающие влияние на их физические свойства.
Приведенные определения симметрии и асимметрии указывают на универсальный, общий характер симметрии и асимметрии как свойств материального мира. Анализ понятия симметрии в физике и математике (за редким исключением) имеет тенденцию к абсолютизации симметрии и трактовке асимметрии как отсутствия симметрии и порядка. Антипод симметрии выступает как понятие чисто негативное, но заслуживающее внимания и остается в тени. Значительный интерес к асимметрии возник в середине XIX в. в связи с опытами Л. Пастера по изучению и разделению стереоизомеров.
9.1.2.1. Асимметрия в живой природе
Молекулярная асимметрия была обнаружена и открыта Л. Пастером, которому удалось выделить левые и правые кристаллы винной кислоты. Асимметрия кристаллов кварца — в его оптической активности. В отличие от молекул неживой природы молекулы органических веществ имеют ярко выраженный асимметричный характер.
Если считать, что равновесие характеризуется состоянием покоя и симметрии, а асимметрия связана с движением и неравновесным состоянием, то понятие равновесия играет в биологии не менее важную роль, чем в физике. Всеобщий закон биологии — принцип устойчивого термодинамического равновесия живых систем, определяет специфику биологической формы движения материи. Действительно, устойчивое термодинамическое равновесие (асимметрия) является основным принципом, который не только охватывает все уровни познания живого, но и выступает в качестве ключевого принципа постановки и решения происхождения жизни на земле.
Понятие равновесия может быть рассмотрено не только в статическом аспекте, но и в динамическом. Симметричной считается среда, находящаяся в состоянии термодинамического равновесия, среда с высокой энт-
ропией и максимальным беспорядком частиц. Асимметричная среда характеризуется нарушением термодинамического равновесия, низкой энтропией и высокой упорядоченностью структуры.
При рассмотрении целостного объекта картина меняется. Симметричные системы, например, кристаллы, характеризуются состоянием равновесия и упорядоченности. Но асимметричные системы, которыми являются живые тела, также характеризуются равновесием и упорядоченностью с тем только различием, что в последнем случае имеем дело с динамической системой.
Таким образом, устойчивое термодинамическое равновесие (или асимметрия) статической системы есть другая форма выражения устойчивого динамического равновесия, высокой упорядоченности и структурности организма на всех его уровнях. Такие системы называются асимметричными динамическими системами. Здесь нужно только указать, что структурность носит динамический характер.
Понятие равновесия тоже не является только статическим, имеется и динамический аспект. Состояние симметрии и движения не есть нарушение равновесия вообще, а есть состояние динамического равновесия. Здесь можно говорить о мере симметрии вообще, подобно тому, как в физике оперируют понятием движения.
9.1.2.2. Асимметрия как разграничивающая линия между живой и неживой природой
Пастером было установлено, что все аминокислоты и белки, входящие в состав живых организмов, являются «левыми», т. е. отличаются оптическими свойствами. Объяснить происхождение «левизны» живой природы он пытался асимметрией, глобальной анизотропией пространства.
Вселенная есть асимметричное целое, и жизнь в таком виде, в каком она представляется, должна быть функцией асимметрии Вселенной и вытекающих отсюда следствий. В отличие от молекул неживой природы молекулы органических веществ имеют ярко выраженный асимметричный характер. Придавая большое значение асимметрии живого вещества, Пастер считал ее именно той единственной, четко разграничивающей линией, которую в настоящее время можно провести между жи-
130
вой и неживой природой, Т.е. тем, что отличает живое вещество от неживого. Современная наука доказала, что в живых организмах, как и в кристаллах, изменениям в строении отвечают изменения свойств.
Для неживой природы характерно преобладание симметрии, при переходе от неживой к живой природе на микроуровне преобладает асимметрия. Асимметрия на уровне элементарных частиц — это абсолютное преобладание в нашей части Вселенной частиц над античастицами.
Все это говорит о большом значении симметрии и асимметрии в живой и неживой природе, показывает их связь с основными свойствами материального мира, со структурой материальных объектов на микро-, макро- и мегауровнях, со свойствами пространства и времени как форм существования материи. Накопленные наукой факты показывают объективный характер симметрии и асимметрии как одних из важнейших характеристик движения и структуры материи, пространства и времени, наряду с такими характеристиками, как прерывное и непрерывное, конечное и бесконечное.
Развитие современного естествознания приводит к выводу, что одним из наиболее ярких проявлений закона единства и борьбы противоположностей является единство и борьба симметрии и асимметрии в структуре симметрии и в процессах, имеющих место в живой и неживой природе, что симметрия и асимметрия являются парными относительными категориями.
Таким образом, симметрия играет роль в сфере математического знания, асимметрия — в сфере биологического знания. Поэтому принцип симметрии — это единственный принцип, благодаря которому есть возможность отличать вещество биогенного происхождения от вещества неживого. Парадокс: мы не можем ответить на вопрос, что такое жизнь, но имеем способ отличать живое от неживого.
9.1.2.3. Опыты Пастера и Кюри
Еще в прошлом веке Л. Пастер и П. Кюри экспериментально открыли тот факт, что аминокислоты, из которых состоят живые организмы, способны к поляризации света, который через него проходит. Оптические
изомеры — два ряда молекул, обладающие правой и левой симметрией. Они неразличимы по своим физико-химическим свойствам. Фильтром, позволяющим их различить, является особенность их симметрии: живое вещество всегда построено из однотипных, как правило, левых оптических изомеров. Ответа — почему так? — пока нет. Но благодаря этому есть возможность отличать живое вещество от неживого.
В распоряжении ученых сейчас есть определенное количества вещества космического происхождения — метеориты, лунный грунт, доставленные американцами в 1968 г. Его изучение показывает, что в космосе происходят процессы, в результате которых могут возникать биологические макромолекулы. Это приводит к мысли, что усложнение организации материи и выход ее в пред-биологическую форму характерны не только для нашей планеты, но пока, к сожалению, нет ни одного фактора, доказывающего, что в ближайшем космосе существует вещество биогенного происхождения. Поэтому предположение, что земная жизнь имеет земное происхождение является наиболее естественной.
Таким образом, открытие Пастера имеет огромное значение для понимания особенностей мирового эволюционного процесса и возникновения жизни. Одним из возможных следствий этого открытия является возможность нового осмысления молекулярного аспекта проблемы происхождения жизни.
АСИММЕТРИЯ
АСИММЕТРИЯ — (греч. asymmetria, этим. см. предыд. сл.). 1) неравномерность, несоразмерность. 2) иррациональность. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. АСИММЕТРИЯ греч. asymmetria; этимологию см. пред. сл.… … Словарь иностранных слов русского языка
асимметрия — АСИММЕТРИЯ (от лат. asymmetria несоразмерность) характеристика системы, изменяющей свое исходное состояние (положение) в зависимости от пространственного переноса, поворота; а также систем, в которых проводится различение правого и левого … Энциклопедия эпистемологии и философии науки
асимметрия — отсутствие симметрии, дисгармония (частей), дисгармоничность, неуравновешенность; дисимметрия, асимметричность. Ant. симметрия Словарь русских синонимов. асимметрия сущ., кол во синонимов: 6 • асимметричность ( … Словарь синонимов
АСИММЕТРИЯ — и (редк.) АССИММЕТРИЯ, асимметрии, мн. нет, жен. (греч. asymmetria). Отсутствие симметрии. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
АСИММЕТРИЯ — и (редк.) АССИММЕТРИЯ, асимметрии, мн. нет, жен. (греч. asymmetria). Отсутствие симметрии. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
Асимметрия — асимметр ия, асимм етрия ж. Отсутствие или нарушение симметрии. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
АСИММЕТРИЯ — АСИММЕТРИЯ, и, жен. Отсутствие, нарушение симметрии. | прил. асимметрический, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
АСИММЕТРИЯ — [asymmetria несоразмерность] в геоморфологии обычно применяется к двум сопряженным склонам долин, водоразделов, гряд, хребтов и пр., имеющим разную крутизну. А. долин обусловливается рядом причин: отклоняющим влиянием вращения Земли (см. Закон… … Геологическая энциклопедия
асимметрия — и, ж. asymétrie f. Отсутствие или нарушение симметрии. Ассиметрия цветка. Ассиметрия склонов речной долины. БАС 2. Асиметрично, нареч. Только некий химический сигнал, его, по видимому, подают гормоны или медиаторы заставляют новые клетки… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
асимметрия — – одна из характеристик формы распределения. У скошенного вправо распределения значения группируются слева от среднего и образуют длинный хвост справа от него. Так называемый коэффициент асимметрии положителен для скошенных вправо распределений,… … Словарь социологической статистики