Докажите, что плоскость проведенная через середины ребер Д1С1, В1С1, и СС1 куба АВСДА1В1С1Д1 параллельна плоскости СВ1Д1.
Надо доказать, что плоскость (KMN) параллельна плоскости (CB₁D₁).
Признак параллельности плоскостей:
если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
Решение №2465 Найдите площадь сечения призмы АВСА1В1С1 плоскостью MNB1, если АВ = 6, АA1 = √3.
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 на рёбрах АС и ВС отмечены соответственно точки М и N так, что AM:МС = CN:BN = 2:1.
а) Докажите, что плоскость MNB1 проходит через середину ребра A1C1.
б) Найдите площадь сечения призмы АВСА1В1С1 плоскостью MNB1, если АВ = 6, АA1 = √3.
Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)
Решение:
а) Доказать: А1Р1 = Р1С1.
По условию, призма треугольная и правильная, значит в основании равносторонний треугольник, все стороны равны, и все углы равны по 60°. Так же по условию AM:МС = CN:BN = 2:1, обозначим:
AM = CN = 2х
МС = BN = х
AC = AB = BC = 2x + x = 3x
Построим проекцию BP плоскости MNB1P1 на основание АВС, тогда В1 → В, Р1 → Р, B1P1||BP, MN||BP.
В ΔАВС используем теорему Фалеса: параллельные прямые MN и BP на сторонах угла С отсекают подобные отрезки:
РС = МP + CM = \frac
AP = AC – PC = 3x – \frac<3x> <2>= \frac <3x>
АР = РС
Значит и А1Р1 = Р1С1.
Что и требовалось доказать.
б) Найти площадь MNB1Р1, если АВ = 6, АA1 = √3.
Найдём чему в наших обозначениях равен х:
АВ = 6
3х = 6
х = \frac<6> <3>= 2
MNB1Р1 – трапеция (Р1В1||MN, B1N∦Р1M).
В ΔMNC по теореме косинусов найдём MN:
MN 2 = MC 2 + CN 2 – 2·MC·CN·cos∠MCN
MN 2 = x 2 + (2x) 2 – 2·x·2x·cos60°
MN 2 = 2 2 + (2·2) 2 – 2·2·2·2· \frac<1> <2>
MN 2 = 4 + 16 – 8 = 12
MN = \sqrt<12>=\sqrt<4\cdot 3>=2\sqrt
В ΔР1С1B1 (он прямоугольный, т.к. В1Р1 медиана, высота и биссектриса) найдём Р1B1:
MP1 – наклонная к плоскости ВРР1В1, РМ её проекция, РМ⊥MN, значит MN⊥MP1 по теореме о трёх перпендикулярах, а т.к. MN||P1B1 ⇒ MP1⊥P1B1 , получаем, что МР1 высота трапеции MNB1Р1.
Найдём в прямоугольном ΔРР1М по теореме Пифагора сторону Р1М:
По формуле находим площадь трапеции MNB1Р1:
ЕГЭ Профиль №13. Площадь сечения
При нахождении угла между двумя плоскостями можно использовать теорему о площади ортогональной проекции многоугольника. При применении этого метода угол φ между плоскостями α и β можно вычислить, используя формулу \(\cos \phi = \frac<<\) , где S — площадь многоугольника, лежащего в плоскости α, \(
а) Докажите, что прямые B1P и QB перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 2.
2В. В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT : TD = 2 : 1. Через точку T параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
Задание №16 Т/Р №116 А. Ларина
В прямоугольном параллелепипеде , . Точка – середина ребра , точка – середина ребра . Найдите:
а) площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки и параллельно прямой ;
б) объем большей части параллелепипеда, отсекаемой от него этой плоскостью.
а) Плоскость сечения пересечет плоскость (в которой лежит ) по прямой (содержащей точку ), параллельной , так как по условию параллельна плоскости сечения. Пусть указанная прямая (параллельная , содержащая точку ) пересекается с в точке ( – середина ).
Пусть пересекается с в точке Соединяем и . Проводим в плоскости через точку прямую, параллельную (параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым). Пусть последняя прямая пересекается с в точке ( – середина ).
Параллелограмм – искомое сечение.
А точнее, – прямоугольник, так как (– середина по условию, – центр ), а , то есть .