Что такое линейная оболочка

2

§ 3.5 Линейная оболочка

Определение 1. Линейной оболочкой заданной конечной совокупности элементов векторного пространства n над полем К называется множество всех линейных комбинаций этих элементов с коэффициентами из поля К. При этом сама совокупность называется порождающей системой данной линейной оболочки, а сама линейная оболочка обозначается символом .

Линейные оболочки обладают следующими свойствами:

. Линейная оболочка элементов векторного пространства n является подпространством М векторного пространства n .

Данный результат следует из определения линейной оболочки: сумма двух векторов из линейной оболочки будет принадлежать линейной оболочки (одна из линейных комбинаций), произведение вектора из линейной оболочки также будет принадлежать линейной оболочки.

. Линейная оболочка может совпадать со всем пространством R n (если образующая система является базисом в пространстве R n )

. Линейная оболочка является наименьшим подпространством, содержащим элементы . Все остальные подпространства могут только содержать вектора порождающей системы или их возможные комбинации.

. Если какой-нибудь элемент из порождающей системы элементов есть линейная комбинация остальных элементов этой системы, то его можно удалить из порождающей системы, не изменив при этом линейной оболочки.

. Если координатная матрица системы образующих имеет ранг р, где , то любая линейно независимая система , является базисом линейной оболочки , а сама линейная оболочка будет подпространством размерности р, .

Если a, b, с – геометрические векторы, лежащие на одной прямой. В этом случае линейная оболочка L(а,b,c)= L(a).Здесь линейная оболочка является одномерным пространством, которое состоит из всех вектор, лежащих на прямой, причем вектор а –является базисом.

Пусть a, b, с – геометрические векторы, причем a, b не коллинеарны, с = а + b. В этом случае линейная оболочка L(а,b,c)= L(a,b).Здесь линейная оболочка является двумерным пространством, состоящем из всех векторов, компланарных с векторами a и b. Вектора а,b составляют базис в L(a,b). Любой вектор из L представляется в виде линейной комбинации векторов а и b.

Вообще, в конечномерном пространстве R всякое подпространство L

является линейной оболочкой некоторой системы векторов.

Рассмотри следующую задачу. В евклидовом пространстве E n задана линейная оболочка , где k  n. Требуется:

1)Найти размерность и базис линейной оболочки ; 2)Выделить в линейной оболочке ортогональный базис и

достроить его до ортонормированного базиса евклидова

пространства E n .

Если схема решения первой задачи нам знакома, то решение второй задачи строится на следующем теоретическом результате.

Теорема (Грама – Шмидта)

Пусть — система линейно независимых векторов в евклидовом пространстве, где k  n, являющихся образующей системой линейной оболочки . Система векторов , описываемая формулами

, , , . . .

где коэффициенты , ,

образует ортогональный базис линейной оболочки .

Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно доказать следующее утверждение: вектор ортогонален вектору .

Действительно, умножая скалярно вектор на вектор , получим

==0

Следствие. Результат теоремы дает алгоритм последовательной ортогонализации системы линейно независимых элементов ( так называемый метод Грама — Шмидта).

В евклидовом пространстве E 4 линейная оболочка задана образующей системой векторов с координатами

.

а) найти размерность и базис линейной оболочки

б) указать в линейной оболочке ортонормированный базис

и достроить его до ортонормированного базиса евклидова

пространства E 4 .

Решение. Рассмотрим координатную матрицу . Так как

,

то , элементы линейно независимы в E 4 и образуют базис данной линейной оболочки, являющейся подпространством в E 4 .

Для построения ортонормированного базиса в E 4 применим метод ортогонализации Грама-Шмидта. Получим

, , .

Записывая векторы столбцами их координат, последовательно найдем

.

Легко проверить, что полученные элементы попарно ортогональны. Найдем ортогональный им вектор .

Пусть , то неизвестные координаты вектора Y₄ найдутся из условий

,,.

Так как , в последней системе неизвестные можно взять в качестве базисных неизвестных.

Если для свободной (небазисной) неизвестной , то .

Нормировав найденные векторы , построим ортонормированный базис в E 4 :

.

Задача решена.

В завершении параграфа введем важное определение.

Пусть — — базис в E n и векторы представлены в этом базисе своими разложениями

.

Тогда скалярное произведение этих векторов имеет вид или в матричной форме , где — столбцы координат векторов в базисе а симметричная матрица составлена из скалярных произведений базисных векторов:

.

В общем случае в качестве элементов матрицы А рассматривают скалярные произведения произвольной системы векторов а₁, а₂,…, а_n

Определение 3. Определитель матрицы А скалярных произведений заданной системы векторов называют определителем Грама.

Теорема Произвольная система векторов, заданных в ортонормированном базисе, будет линейно независимой, если ее определитель Грама отличен от нуля.

Векторное пространство

С понятием вектора тесно связано понятие векторного или линейного пространства (vector space, linear space).

По большому счету, векторное пространство — это множество векторов, которые мы можем складывать (vector addition) и умножать на число или скаляр (scalar multiplication).

В частности, сложение и умножение на число двумерных (состоящих из двух компонентов) векторов дает нам двумерный вектор, трехмерных — трехмерный и так далее.

При этом сложить, например, двумерный и трехмерный вектор нельзя

Также нельзя сформировать векторное пространство из двумерных векторов, лежащих только в первой четверти координатной плоскости. Хотя для таких векторов будет задана операция сложения, при умножении на отрицательный скаляр мы можем выйти за пределы первой четверти.

Поэтому говорят, что векторное пространство должно быть замкнуто относительно операций сложения и умножения на скаляр (closed under vector addition and scalar multiplication).

Двумерное пространтсво вещественных чисел принято обозначать $R^2$, трехмерное $R^3$, n-мерное — $R^n$.

Отметим, что вектор $\begin 1 \\ 2 \\ 0 \end$ — это вектор в $R^3$ с нулевым третьим компонентом.

Линейная комбинация векторов

Любой вектор внутри одного пространства (например, $R^2$) можно представить как линейную комбинацию конечного числа векторов (linear combination of a finite set of vectors).

Под линейной комбинацией, как вы видите, понимается опять же сложение векторов и их умножение на число.

Аксиомы векторных пространств

Операции в векторных пространствах должны отвечать следующим правилам:

1. $ \mathbf u + (\mathbf v + \mathbf w) = (\mathbf u + \mathbf v) + \mathbf w $
2. $ \mathbf v + \mathbf w = \mathbf w + \mathbf v $
3. Существует нулевой вектор $ \mathbf 0 \Rightarrow \mathbf 0 + \mathbf v = \mathbf v, \forall \mathbf v $
4. Для каждого $ \mathbf v $ существует $ -\mathbf v \Rightarrow \mathbf v + (-\mathbf v) $
5. $ a(b \mathbf v) = (ab) \mathbf v $
6. $ 1 \mathbf v = \mathbf v $
7. $ a(\mathbf v + \mathbf w) = a \mathbf v + a \mathbf w $
8. $ (a + b) \mathbf v = a \mathbf v + b \mathbf v $

Этим правилам могут отвечать не только векторы действительных чисел в пространстве $R^n$ (Евклидово пространство), но и, в частности, векторы функций. В этом случае речь идет о функциональных пространствах (function spaces).

Примечание. Некоторые понятия, упомянутые в видео выше, в частности, линейные преобразования (linear transformations), ядро матрицы (null space) и собственные векторы и значения (eigenvectors and eigenvalues) будут рассмотрены на более поздних занятиях.

Внутреннее произведение

Скалярное произведение (dot product) является частным случаем внутреннего произведения (inner product) для евклидового пространства.

Приведем простой пример того, почему скалярное произведение может не подойти для векторов, состоящих, например, из комплексных чисел $\mathbb C$. Ранее мы сказали, что скалярное произведение вектора самого на себя есть квадрат длины этого вектора, т.е. $\mathbf x^T \mathbf x = || \mathbf x ||^2 $, и нам бы хотелось, чтобы квадрат длины был положителен.

Для действительных векторов это условие выполняется всегда, так как мы возводим в квадрат каждый компонент (вещественное число) такого вектора. Теперь рассмотрим комплексный вектор

$$ \mathbf z = \begin 1 \\ i \end \in \mathbb C^2 $$

По правилам скалярного произведения квадрат его длины был бы равен

$$ \mathbf z^T \mathbf z = \begin 1 & i \end \begin 1 \\ i \end = 1 \cdot 1 + i \cdot i = 1-1 = 0 $$

Для того чтобы квадрат ненулевого вектора не был равен нулю в векторных пространствах комплексных чисел скалярное (а точнее внутреннее) произведение задано как $\overline<\mathbf z>^T \mathbf z$, где $\overline<\mathbf z>$ является комплексно сопряженным (complex conjugate) к $\mathbf z$ вектором. Тогда,

$$ \overline<\mathbf z>^T \mathbf z = \begin 1 & -i \end \begin 1 \\ i \end = 1 \cdot 1 + (-i) \cdot i = 1+1 = 2 $$

Векторное подпространство

Определение

Подпространством (subspace) векторного пространства $K$ называется множество $S$ его элементов, само являющееся векторным пространством относительно введенных в $K$ операций сложения и умножения на число.

Другими словами, чтобы $S$ было подпространством $K$ для каждого $\mathbf v, \mathbf w \in S, K$ и $a \in \mathbb$ должно выполняться $\ < \mathbf v + \mathbf w, a \mathbf v \>\in S, K$.

Например, выше мы сказали, что векторы $R^2$ первой четверти координатной плоскости не могут образовывать векторное пространство, потому что мы не можем задать для них операцию умножения на число, результатом которой был бы вектор только в этой четверти.

При этом, если мы возьмем на пространстве $R^2$ подпространство всех векторов, лежащих на прямой линии и проходящих через начало координат, то такое подпространство будет отвечать аксиомам векторных пространств.

Примечание. $R^1$ нельзя назвать подпространством $R^2$, потому что у векторов $R^1$ только один компонент, а у векторов $R^2$, даже тех, которые лежат на одной линии, их два.

Пересечение подпространств

Если $S$ и $T$ — подпространства, то $S \cap T$ тоже подпространство. Возьмем $\mathbf v, \mathbf w \in S, T$. Тогда $\mathbf v + \mathbf w \in S, T$ и $a \mathbf v \in S,T$, так как $S$ и $T$ отвечают свойствам подпространств.

Ортогональные подпространства

Подпространство $S$ будет ортогонально подпространству $T$, если каждый вектор в $S$ ортогонален каждому вектору в $T$.

$$ \forall \mathbf v \in S \perp \forall \mathbf w \in T $$

Линейная независимость векторов

Когда один вектор можно выразить через умножение другого вектора на число говорят, что эти векторы линейно зависимы (linearly dependent). С двумя линейно независимыми (linearly independent) векторами $ \mathbf v_1, \mathbf v_2 $ такого сделать не получится.

$$ \mathbf v_2 \neq k \mathbf v_1 $$

где k — некоторое число.

Рассмотрим пример трех векторов. Чтобы эти три вектора были линейно независимы, не должно быть возможности выразить третий вектор через линейные комбинации (сложение и умножение на скаляр) первых двух.

$$ \mathbf v_3 \neq k_1 \mathbf v_1 + k_2 \mathbf v_2 $$

Если так сделать нельзя, мы попадаем в трехмерное пространство, если можно — останемся на плоскости.

Линейная оболочка

Линейная оболочка (linear span) — это множество всех возможных линейных комбинаций с помощью данного набора векторов.

Если у нас два линейно независимых (двумерных) вектора, то оболочка — $R^2$ (плоскость), если три (трехмерных) вектора, но один из них линейно зависим, то по-прежнему $R^2$.

Оболочка — это ответ на вопрос, какие векторы можно построить с помощью сложения и умножения на скаляр $n$ n-мерных векторов. Линейно зависимый вектор находится внутри оболочки, создаваемой комбинациями других линейно независимых векторов.

Базис пространства

Имея два двумерных линейно независимых вектора (например, $\begin 1 \\ 2 \end$ и $\begin 3 \\ 1 \end$), мы можем представить любой другой вектор в пространстве $ R^2 $, сложив эти два вектора и умножив их на скаляр. Такие векторы называются базисом пространства (basis of a vector space) $ R^2 $, по сути его координатами.

В целом, базисом называется такое множество линейно независимых векторов внутри векторного пространства, с помощью которых можно выразить любой другой вектор этого пространства.

Базис можно представить как некоторую систему координат, которой пользуются все векторы данного пространства.

Линейная оболочка векторов для чайников

Линейная зависимость системы векторов. Коллинеарные векторы

В данной статье мы расскажем:

• что такое коллинеарные векторы;
• какие существуют условия коллинеарности векторов;
• какие существуют свойства коллинеарных векторов;
• что такое линейная зависимость коллинеарных векторов.

Коллинеарные векторы

Коллинеарные векторы — это векторы, которые являются параллелями одной прямой или лежат на одной прямой.

Условия коллинеарности векторов

Два векторы являются коллинеарными, если выполняется любое из следующих условий:

• условие 1. Векторы a и b коллинеарны при наличии такого числа λ , что a = λ b ;
• условие 2. Векторы a и b коллинеарны при равном отношении координат:

a = ( a 1 ; a 2 ) , b = ( b 1 ; b 2 ) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• условие 3. Векторы a и b коллинеарны при условии равенства векторного произведения и нулевого вектора:

Условие 2 неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.

Условие 3 применимо только к тем векторам, которые заданы в пространстве.

Примеры задач на исследование коллинеарности векторов

Исследуем векторы а = ( 1 ; 3 ) и b = ( 2 ; 1 ) на коллинеарность.

В данном случае необходимо воспользоваться 2-м условием коллинеарности. Для заданных векторов оно выглядит так:

Равенство неверное. Отсюда можно сделать вывод, что векторы a и b неколлинеарны.

Ответ: a | | b

Какое значение m вектора a = ( 1 ; 2 ) и b = ( — 1 ; m ) необходимо для коллинеарности векторов?

Используя второе условие коллинераности, векторы будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными:

Отсюда видно, что m = — 2 .

Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов

Система векторов векторного пространства линейно зависима только в том случае, когда один из векторов системы можно выразить через остальные векторы данной системы.

Пусть система e 1 , e 2 , . . . , e n является линейно зависимой. Запишем линейную комбинацию этой системы равную нулевому вектору:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

в которой хотя бы один из коэффициентов комбинации не равен нулю.

Пусть a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Делим обе части равенства на ненулевой коэффициент:

a k — 1 ( a k — 1 a 1 ) e 1 + ( a k — 1 a k ) e k + . . . + ( a k — 1 a n ) e n = 0

— a k — 1 a m , где m ∈ 1 , 2 , . . . , k — 1 , k + 1 , n

β 1 e 1 + . . . + β k — 1 e k — 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

или e k = ( — β 1 ) e 1 + . . . + ( — β k — 1 ) e k — 1 + ( — β k + 1 ) e k + 1 + . . . + ( — β n ) e n

Отсюда следует, что один из векторов системы выражается через все остальные векторы системы. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Пусть один из векторов можно линейно выразить через все остальные векторы системы:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k — 1 e k — 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Переносим вектор e k в правую часть этого равенства:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k — 1 e k — 1 — e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Поскольку коэффициент вектора e k равен — 1 ≠ 0 , у нас получается нетривиальное представление нуля системой векторов e 1 , e 2 , . . . , e n , а это, в свою очередь, означает, что данная система векторов линейно зависима. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

• Система векторов является линейно независимой, когда ни один из ее векторов нельзя выразить через все остальные векторы системы.
• Система векторов, которая содержит нулевой вектор или два равных вектора, линейно зависима.

Свойства линейно зависимых векторов

1. Для 2-х и 3-х мерных векторов выполняется условие: два линейно зависимых вектора — коллинеарны. Два коллинеарных вектора — линейно зависимы.
2. Для 3-х мерных векторов выполняется условие: три линейно зависимые вектора — компланарны. (3 компланарных вектора — линейно зависимы).
3. Для n-мерных векторов выполняется условие: n + 1 вектор всегда линейно зависимы.

Примеры решения задач на линейную зависимость или линейную независимость векторов

Проверим векторы a = 3 , 4 , 5 , b = — 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 на линейную независимость.

Решение. Векторы являются линейно зависимыми, поскольку размерность векторов меньше количества векторов.

Проверим векторы a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , — 1 , 1 на линейную независимость.

Решение. Находим значения коэффициентов, при которых линейная комбинация будет равняться нулевому вектору:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Записываем векторное уравнение в виде линейного:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 — x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Решаем эту систему при помощи метода Гаусса:

1 1 0 | 0 1 2 — 1 | 0 1 0 1 | 0

Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 3-ей — 1-ю:

1 1 0 | 0 1 — 1 2 — 1 — 1 — 0 | 0 — 0 1 — 1 0 — 1 1 — 0 | 0 — 0

1 1 0 | 0 0 1 — 1 | 0 0 — 1 1 | 0

Из 1-й строки вычитаем 2-ю, к 3-ей прибавляем 2-ю:

1 — 0 1 — 1 0 — ( — 1 ) | 0 — 0 0 1 — 1 | 0 0 + 0 — 1 + 1 1 + ( — 1 ) | 0 + 0

0 1 0 | 1 0 1 — 1 | 0 0 0 0 | 0

Из решения следует, что у системы множество решений. Это значит, что существует ненулевая комбинация значения таких чисел x 1 , x 2 , x 3 , при которых линейная комбинация a , b , c равняется нулевому вектору. Следовательно, векторы a , b , c являются линейно зависимыми. ​​​​​​​

Линейные и евклидовы пространства с примерами решения и образцами выполнения

Евклидово пространство — это вещественное линейное пространство, в котором зафиксирована симметричная положительно определенная билинейная форма. Значение билинейной формы на паре элементов называется скалярным произведением этих векторов.

Линейные и евклидовы пространства

Определение линейного пространства

Определение:

Множество V элементов х, у, z,… называется линейным пространством (действительным или комплексным), если по некоторому правилу

I. любым двум элементам х и у из V поставлен в соответствие элемент из V, обозначаемый х + у и называемый суммой элементов х и у;

II. любому элементу х из V и каждому числу а (вещественному или комплексному) поставлен в соответствие элемент из V, обозначаемый ах и называемый произведением элемента х на число а, и эти правила сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам:

1. (х + у) + z = х + (у + z) (ассоциативность);
2. х + у = у + х (коммутативность)-,
3. во множестве V существует элемент θ такой, что для любого элемента х из V выполняется равенство х + θ = х;
4. для любого элемента х из V во множестве V существует элемент (-х) такой, что х + (-х) = θ;
5. а(х + у) = ах + ау;
6. (а + β)х = ах + βх;
7. а( β х) = (а β )х;
8. 1х = х.

Элемент θ называется нулевым элементом, а элемент (-х) — противоположным элементу х.
Элементы х, у, z,… линейного пространства часто называют векторами. Поэтому линейное пространство называют также векторным пространством.

Примеры линейных пространств

1. Совокупность свободных геометрических векторов V3 в пространстве с введенными операциями сложения векторов и умножения вектора на число (рис. 1).

Этим же свойством обладают: совокупность V1 векторов на прямой и совокупность V2 векторов на плоскости.

2, Совокупность упорядоченных наборов () из n действительных чисел.

Операции — сложение и умножение на действительное число — вводятся так:

б) умножение на число —

Обозначение: Rn (n -мерное вещественное координатное пространство).

3. Совокупность всевозможных матриц Rmxn размера m х n с введенными правилами сложения матриц,

и умножения матрицы на число,

В частности, совокупность n-строк, R1xn и совокупность столбцов высоты m, Rmx1, являются линейными пространствами.

4. Множество С(-1, 1) вещественных функций, непрерывных на интервале (-1, I), с естественными операциями сложения функций и умножения функции на число.

Во всех приведенных примерах требования 1-8 проверяются непосредственно.

Простейшие свойства линейных пространств

1. Нулевой элемент θ определен однозначно.

Пусть θ1 и θ2 — нулевые элементы пространства V. Рассмотрим их сумму θ1 + θ2. Вследствие того, что θ2 — нулевой элемент, из аксиомы 3 получаем, что θ1+ θ2 = θ1, а так как элемент θ1 — также нулевой, то θ1 + θ2 = θ2 + θ1 = θ2 , т. е. θ1 = θ2 .

2. Для любого элемента х противоположный ему элемент (—х) определен однозначно.

Пусть x — и х_ — элементы, противоположные элементу х. Покажем, что они равны.

Рассмотрим сумму х_ + х + x — . Пользуясь аксиомой 1 и тем, что элемент x — противоположен элементу х, получаем:

Аналогично убеждаемся в том, что

Нетрудно убедится также в справедливости следующих свойств:

1. Для любого элемента х выполняется равенство 0х = θ.
2. Для любого элемента х выполняется равенство —х = (- 1)х.
3. Для любого числа а выполняется равенство аθ = θ.
4. Из того, что ах = θ, следует, что либо а = 0, либо х = θ.

Линейные подпространства

Непустое подмножество W линейного пространства V называется линейным подпространством пространства V, если для любых элементов х и у из W и любого числа а выполняются следующие условия:

Иногда говорят: «множество W замкнуто относительно указанных операций».

Примеры линейных подпространств

1.Множество векторов на плоскости V2 является линейным подпространством линейного пространства V3.

2. Совокупность решений однородной системы m линейных уравнений с n неизвестными

образует линейное подпространство линейного пространства Rnx1. В самом деле, сумма решений однородной системы () является решением этой же системы и произведение решения системы (*) на число также является ее решением.

3. Совокупность всех вещественнозначных функций, непрерывных на интервале (-1, 1) и обращающихся в нуль при t = 0, образует линейное подпространство линейного пространства С(— 1,1).

Сумма f(t) + g(t) функций f(t) и g(t), обращающихся в нуль при t = 0, t(0) = f(0) = 0, и произведение af(t) функции f(t), обращающейся в нуль при t = 0, f(0) = 0, на число а равны нулю при t = 0.

Свойства линейного подпространства

1. Если x1, …, хq — элементы линейного подпространства W, то любая их линейная комбинация также лежит в W.
2. Линейное подпространство W само является линейным пространством.

Достаточно убедиться лишь в том, что нулевой элемент 0 и элемент, противоположный произвольному элементу из W, лежат в W. Указанные векторы получаются умножением произвольного элемента х ∈ W на 0 и на -1: θ = 0х, -х = (- 1)х.

Сумма и пересечение линейных подпространств

Пусть V — линейное пространство, W1 w W2 — его линейные подпространства. Суммой W1 + W2 линейных подпространств W1 и W2 называется совокупность всевозможных элементов х пространства V, которые можно представить в следующем виде

где x1 лежит в W1, а х2 — в W2. Коротко это можно записать так:

Сумма линейных подпространств W1 и W2 нaзывается прямой, если для каждого элемента х этой суммы разложение (1) единственно (рис. 3).

Обозначение: W1⊕W2

Пересечением W1 ∩ W2 линейных подпространств W1 и W2 линейного пространства V называется совокупность элементов, которые принадлежат одновременно и линейному подпространству W1, и линейному подпространству W2.

Свойства пересечения и суммы линейных подпространств

1. Сумма W1 + W2 является линейным подпространством пространства V.

Возьмем в W1 + W2 два произвольных элемента х и у. По определению суммы подпространств найдутся элементы х1, у1, из W1 и х2, у2, из W2 такие, что

Это позволяет записать сумму х + у в следующем виде

Так как то сумма х + у лежит в W1 + W2.

Аналогично доказывается включение ах ∈ W1 + W2.

2. Пересечение W1 ∩ W2 является линейным подпространством пространства V.

3. Если нулевой элемент является единственным общим вектором подпространств W1 й W2 линейного пространства V, то их сумма является прямой — W1 ⊕ W2.

Линейная оболочка

Линейной оболочкой L(X) подмножества X линейного пространства V называется совокупность всевозможных линейных комбинаций элементов из X,

Последнее читается так: «линейная оболочка L(X) состоит из всевозможных элементов у, представимых в виде линейных комбинаций элементов множества X».

Основные свойства линейной оболочки

1. Линейная оболочка L(X) содержит само множество X.
2. L(X) — линейное подпространство пространства V.

Сумма линейных комбинаций элементов множества X и произведение линейной комбинации элементов на любое число снова являются линейными комбинациями элементов множества X.

3. L(X) — наименьшее линейное подпространство, содержащее множество X.

Это свойство следует понимать так: если линейное подпространство W содержит множество X , то W содержит и его линейную оболочку L(X).

Пусть W — линейное подпространство, содержащее заданное множество X. Тогда произвольная линейная комбинация элементов множества X — элемент линейной оболочки L(X) — содержится и в подпространстве W.

Пример:

Рассмотрим в линейном пространстве R3 две тройки ξ = (1,1,0) и η = (1,0, I) (рис.4). Множество решений уравнения

является линейной оболочкой L(ξ , η) троек ξ и η.
Действительно, тройки (I, 1, 0) и (1, 0, I) образуют фундаментальную систему решений однородного уравнения (2), и значит, любое решение этого уравнения является их линейной комбинацией.

Пример:

Рассмотрим в линейном пространстве С(- ∞, ∞) вещественнозначных функций, непрерывных на всей числовой оси, набор X одночленов 1, х,…, хn:

Линейная оболочка L(X) представляет собой совокупность многочленов с вещественными коэффициентами, степени которых не превосходят n.

Обозначение:

Линейная зависимость

Определение. Система элементов х1 . .. , хq линейного пространства V называется линейно зависимой, если найдутся числа a1,… , аq, не все равные нулю и такие, что
(1)

Если равенство (1) выполняется только при а1 = … = аq = 0, то система элементов x1,…, хq называется линейно независимой.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема:

Система элементов x1,…, хq (q ≥ 2) линейно зависима в том и только в том случае, если хотя бы один из ее элементов можно представить в виде линейной комбинации остальных.

Предположим сначала, что система элементов x1,…, xq линейно зависима. Будем Считать для определенности, что в равенстве (1) отличен от нуля коэффициент аq. Перенося все слагаемые, кроме последнего, в правую часть, после деления на аq ≠ 0 получим, что элемент хq является линейной комбинацией элементов х1 …, хq:

Обратно, если один из элементов равен линейной комбинации остальных,

то, перенося его в левую часть, получим линейную комбинацию

в которой есть отличные от нуля коэффициенты (-1 ≠ 0). Значит, система элементов x1,…., хq линейно зависима.

Теорема:

Пусть система элементов х1,…,хq линейно независима и y=. Тогда коэффициенты a1 ,… ,аq определяются по элементу у единственным образом.
Пусть

Из линейной независимости элементов x1…, xq вытекает, что a1 — β1 = … = аq — βq = 0 и, значит,

Теорема:

Система элементов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.
Пусть первые q элементов системы х1 … , хq, xq+1… , xm линейно зависимы. Тогда найдется линейная комбинация этих элементов такая, что

и не все коэффициенты а1 … ,аq равны нулю. Добавляя элементы xq+1… , xm с нулевыми множителями, получаем, что и в линейной комбинации

равны нулю не все коэффициенты.

Пример. Векторы из V2 линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (рис.5).

Базис. Размерность

Упорядоченная система элементов e1,…, еn линейного пространства V называется базисом этого линейного пространства, если элементы e1,…, еn линейно независимы и каждый элемент из V можно представить в виде их линейной комбинации. Упорядоченность означает здесь, что каждому элементу приписан определенный (порядковый) номер. Из одной системы п элементов можно построить n! упорядоченных систем.

Пример:

Пусть a, b, с — тройка некомпланарных векторов из Vз (рис.6). Тогда упорядоченные тройки а, b, с; b, с, а; с, а, b; b, а, с; а, с, b и с, b, а — различные базисы V3.

Пусть с = (e1 … еn) — базис пространства V.

Тогда для любого элемента х из V найдется набор чисел такой, что

В силу теоремы 2 числа — координаты элемента х в базисе с — определены однозначно.

Посмотрим, что происходит с координатами элементов при простейших действиях с ними.

и для любого числа а

Таким образом, при сложении элементов их соответствующие координаты складываются, а при умножении элемента на число все его координаты умножаются на это число.

Координаты элемента часто удобно записывать в виде столбца. Например,

— координатный столбец элемента в базисе e.

Разложим произвольную систему элементов x1,…, хq по базису e,

ли рассмотрим координатные столбцы элементов ч1,…, хq в этом базисе:

Теорема:

Система элементов х1,… ,хq линейно зависима тогда и только тогда, когда линейно зависима система их координатных столбцов в каком-нибудь базисе.

причем хотя бы один из коэффициентов λk отличен от нуля. Запишем это подробнее

Отсюда в силу единственности разложения элемента по базису вытекает, что

Таким образом, линейная комбинация координатных столбцов элементов x1,…, xq равна нулевому столбцу (с теми же коэффициентами λ1,…, λg). Это и означает, что система координатных столбцов линейно зависима.

Если же выполняется равенство (2), то, проводя рассуждения в обратном порядке, получаем формулу (1).

Тем самым, обращение в нуль некоторой нетривиальной (хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля) линейной комбинации элементов линейного пространства равносильно тому, что нетривиальная линейная комбинация их координатных столбцов (с теми же коэффициентами) равна нулевому столбцу.

Теорема:

Пусть базис с линейного пространства V состоит из п элементов. Тогда всякая система из то элементов, где т > п, линейно зависима.

4 В силу теоремы 3 достаточно рассмотреть случай m = п + 1.

Пусть x1. . ,хп+1 — произвольные элементы пространства V. Разложим каждый элемент по базису e = (е1 …, еп):

и запишем координаты элементов х1 …, xn+1 в виде матрицы, отводя j-й столбец координатам элемента xj, j = 1,…, п + 1. Получим матрицу из п строк и п + 1 столбцов —

Ввиду того, что ранг матрицы К не превосходит числа п ее строк, столбцы матрицы К (их п + 1) линейно зависимы. А так как это координатные столбцы элементов x1…..хп+1, то согласно теореме 4 система элементов x1…..хп+1 также линейно зависима.

Следствие:

Все базисы линейного пространства V состоят из одинакового числа элементов.
Пусть базис e состоит из п элементов, а базис e’ из п‘ элементов. В силу только что доказанной теоремы из линейной независимости системы е’1,…, е’n заключаем, что п’ ≤ п. Меняя базисы e и e’ местами, в силу этой же теоремы получаем, что п ≤ п’.

Тем самым, п = п’.
Размерностью линейного пространства V называется число элементов базиса этого пространства.

Пример:

Базис координатного пространства R» образуют элементы

Система элементов e1,e2, …,еп линейно независима: из равенства

и значит, a1 = … = an = 0.

Кроме того, любой элемент из R» можно записать в виде линейной комбинации элементов e1…..еп: ‘

Тем самым, размерность пространства R» равна п.

Пример:

Однородная линейная система

имеющая ненулевые решения, обладает фундаментальной системой решений (ФСР). ФСР является базисом линейного пространства решений однородной системы. Размерность этого линейного пространства равна числу элементов ФСР, т.е. п — r, где r — ранг матрицы коэффициентов однородной системы, an — число неизвестных.

Пример:

Размерность линейного пространства Мп многочленов степени не выше п равна п + I.

Так как всякий многочлен P(t) степени не выше п имеет вид

то достаточно показать линейную независимость элементов

где t произвольно. Полагая t = 0, получаем, что ао = 0.

Продифференцируем равенство (3) по t:

Вновь положив t = 0, получим, что a1 = 0.

Продолжая этот процесс, последовательно убеждаемся в том, что a0 = a1 = … = ап = 0. Это означает, что система элементов e1 = I,… ,en+1 = t» линейно независима. Следовательно, искомая размерность равна n + 1.

Линейное пространство, размерность которого равна п, называется п-мерным.

Обозначение: dim V = п.

Соглашение. Далее в этой главе всюду считается, если не оговорено противное, что размерность линейного пространства V равна п.

Ясно, что если W — подпространство n-мерного линейного пространства V, то dim W ≤ п.

Покажем, что в п-мерном линейном пространстве V есть линейные подпространства любой размерности k ≤ п.

Пусть e = (е1 … еn) — базис пространства V. Легко убедиться в том, что линейная оболочка

имеет размерность k.

По определению dim = 0.

Теорема:

О пополнении базиса. Пусть система элементов а1.. , аk линейного пространства V размерности п линейно независима и к

так как в нетривиальной линейной комбинации

коэффициент μ ≠ 0 вследствие линейной независимости системы а1…., аk.

Если бы разложение вида (4) можно было бы написать для любого элемента b пространства V, то исходная система a1…, аk была бы базисом согласно определению. Но в силу условия k

строками которой являются координаты векторов а1, а2, а3, а4, равен четырем. Это означает, что строки матрицы А, а, значит, и векторы а1, а2, а3, а4 линейно независимы.

Подобный подход используется и в общем случае: чтобы дополнить систему k линейно независимых элементов

до базиса пространства R» , матрица

элементарными преобразованиями строк приводится к трапециевидной форме, а затем дополняется п — k строками вида

(0 … 1 … 0)

так, чтобы ранг получаемой матрицы был равен п. Справедливо следующее утверждение.

Теорема:

Пусть W1 и W2 — линейные подпространства линейного пространства V. Тогда

Замена базиса

Пусть e = (e1 … еn) и e’ = (е’1, … е’n) — базисы линейного пространства V. Разложим элементы базиса e’ по базису с. Имеем

Эти соотношения удобно записать в матричной форме
(2)

называется матрицей перехода от базиса e к базису e’.

Свойства матрицы перехода

1. det S ≠ 0.

Доказательство этого свойства проводится от противного.

Из равенства detS = 0 вытекает линейная зависимость столбцов матрицы S. Эти столбцы являются координатными столбцами элементов е’1,…, е’n в базисе e. Поэтому (и вследствие теоремы 4) элементы е’1…..с’n должны быть линейно зависимыми.

Последнее противоречит тому, что e’ — базис. Значит, допущение, что det S = 0, неверно.

2. Если и — координаты элемента х в базисах e и e’ соответственно, то:
(3)

Заменяя в формуле

e’j их выражениями (1), получаем, что

Отсюда в силу единственности разложения элемента по базису имеем

Переходя к матричной записи найденных равенств, убеждаемся в справедливости свойства 2.

3. S -1 — матрица перехода от базиса e’ к базису e.

Свойство 3 доказывается умножением обеих частей матричного равенства (2) на матрицу S -1 справа.

Евклидовы пространства

Вещественное линейное пространство V называется (вещественным) евклидовым пространством, если любым двум элементам х и у из V ставится в соответствие число, обозначаемое через (х,у), такое, что для любых элементов х, y,z и произвольного вещественного числа а выполняются следующие условия:

4. (х, х) ≥ 0; причем равенство нулю возможно в том и только в том случае, если х = θ.

Число (х, у) называется скалярным произведением элементов х и у. Примеры евклидовых пространств.

1. В пространстве свободных векторов К] скалярное произведение векторов а и b определяется так:

2. Скалярное произведение произвольных элементов из координатного пространства R» можно определить формулой

3, Линейное подпространство евклидова пространства само является евклидовым пространством.

Пользуясь определением евклидова пространства, нетрудно доказать следующие свойства:

Теорема:

Неравенство Коши—Буняковского. Для любых двух элементов х и у евклидова пространства V справедливо неравенство

Если (х, х) = θ , то х = θ и неравенство выполняется вследствие того, что ( θ , у) = 0.

Обратимся к случаю (х, х) ≠ 0. Тогда (х, х) > 0. По определению скалярного произведения неравенство

справедливо для любых элементов х и у из пространства V и любого вещественного числа t. Запишем неравенство (1) подробнее:

Левую часть последнего неравенства можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно t. Из того, что знак этого квадратного трехчлена не изменяется при любых t, заключаем, что его дискриминант неположителен,

Перенося вычитаемое в правую часть, получаем требуемое неравенство.

Замечание:

Часто доказанное неравенство записывают в равносильной форме,

Следует подчеркнуть, что слева в этом неравенстве стоит абсолютная величина (модуль) скалярного произведения, а в правой части — нормы векторов х и у.

Определение:

Длиной (нормой) элемента х называется число |х|, вычисляемое по правилу

Ясно, что |х| ≥ 0 для любого х, причем равенство |х| = 0 возможно лишь в случае, если х = θ.

Рассмотрим цепочку равенств:

Заменяя второе слагаемое на 2|(х, у)| ≥ 2(х, у) и применяя неравенство Коши—Буняковского |(х,у)| ≤ |х| • |у|, получаем, что

После извлечения квадратного корня приходим к неравенству треугольника:
|х + у| ≤ |х| + |у|
(рис.7).

Углом между ненулевыми элементами х и у евклидова пространства называется число φ, подчиненное следующим двум условиям:

Определение угла корректно, так как согласно теореме 8 имеем

для любых ненулевых элементов х и у.

Элементы х и у называются ортогональными, если (х, у) = 0. Для ортогональных элементов из соотношения (2) вытекает равенство

являющееся обобщением известной теоремы Пифагора’, квадрат длины суммы ортогональных элементов равен сумме квадратов их длин (рис. 8).

Система элементов f1…..f k называется ортогональной, если (fi, fj) =0′ при i ≠ j, и ортонормированной, если

Определение:

называют символом Кронекера.

Теорема:

Ортонормированная система элементов линейно независима.

Умножая обе части равенства

скалярно на элемент fj, j = 1 ,… ,k, получаем, что

И так как (fj, fj) = 1,то aj = 0, j = 1,…, k.

Метод ортогонализации

Покажем, как, пользуясь заданной системой линейно независимых элементов f1,… ,fk евклидова пространства Е, построить в нем ортонормированную систему из к элементов.

Для того, чтобы элемент

был ортогонален элементу g1, необходимо выполнение следующего равенства:

Тем самым, элемент

ортогонален элементу g1 (рис. 9 а).

Пользуясь построенными элементами g1, g2 и заданным элементом fз, построим элемент

ортогональный как элементу g1, так и элементу g2. Для этого коэффициенты β1 и β2 должны удовлетворять следующим условиям:

Таким образом, элемент
, (f3,g|) (f3,g2)

ортогонален элементам g1 и g2 (рис. 9 6).

Аналогичными рассуждениями можно показать, что элемент

ортогонален элементам

Делением каждого элемента gi (i = 1…..k) на его длину |g

Базис e = (e1 … еn) евклидова пространства называется ортонормированным, или ортобазисом, если

Суммируя вышеизложенное, получаем следующий результат.

Теорема:

В любом евклидовом пространстве существует о ртонормированный базис.
Пример:

Методом ортогонализации построить ортоиормированный базис евклидова пространства Е по его базису

Полагаем b1 = a1 и b2 = а2 — ab1. Для того, чтобы вектор

был ортогонален вектору b1, необходимо выполнение неравенства

Для того, чтобы вектор

был ортогонален векторам b1 и b2, необходимо выполнение равенств

Тем самым, вектор

Система векторов b1, b2, b3 ортогональна. Поделив каждый вектор на его длину, получим

— ортонормированный базис пространства Е.

При помощи ортонормированного базиса скалярное произведение элементов вычисляется особенно просто. Пусть e = (e1 … еn) — ортонормированный базис пространства Е. Вычислим скалярное произведение элементов х и у, предварительно разложив их по базису e

Ортогональное дополнение

Пусть W — линейное подпространство евклидова пространства V. Совокупность W⊥ элементов у пространства V, обладающих свойством

(y. х) = 0,

где х — произвольный элемент из W, называется ортогональным дополнением подпространства W. Другими словами, ортогональное дополнение W⊥ состоит из всех элементов у, ортогональных всем элементам подпространства W.

Свойства ортогонального дополнения

1. W⊥ — линейное подпространство пространства V. Пусть элементы y1, у2 лежат в W⊥ , т. е.

для любого элемента х из W. Складывая эти равенства и пользуясь свойствами скалярного произведения, получаем,что

для любого элемента х из W. Это означает, что

Из того, что (у, х) = 0 для любого элемента х из W, вытекает равенство (ау, х) = а(у, х) и, значит, включение ay ∈ W⊥ .

Свойство 2 означает, что любой элемент х пространства V можно представить, причем единственным образом, в виде суммы элементов из W и W⊥ :

x = y+z. ‘ (*)

Элемент у ∈ W называется ортогональной проекцией элемента х на линейное подпространство W, а элемент z ∈ W⊥ — его ортогональной составляющей (рис. 11).

Покажем, как по заданным элементу х и линейному подпространству W найти его ортогональную проекцию у и ортогональную составляющую г.

Можно считать, что в линейном подпространстве W задан ортонормированный базис e1…..еk. Запишем искомый элемент у в виде линейной комбинации

Подставляя это выражение в формулу (*):

и умножая обе части полученного равенства последовательно на элементы e1,…, еk, в предположении z ⊥ W приходим к соотношениям

обладают требуемыми свойствами. *

Пример:

Найти ортогональную проекцию вектора х = (4, 2, 3, 5) на линейное подпространство W ⊂ R4, заданное системой уравнений

Векторы a1 = (1,0,0,-1) и а2 = (0,1,-1,0) образуют фундаментальную систему решений и, следовательно, базис подпространства W. Кроме того, векторы a1 и а2 ортогональны. Для того, чтобы построить ортонормированный базис подпространства W, достаточно разделить эти векторы на иx длины. В результате получим

является ортогональной проекцией вектора х = (4,2, 3, 5), на подпространство W, а вектор

— его ортогональной составляющей.

Унитарные пространства

Унитарным пространством называется линейное комплексное пространство U, в котором каждой упорядоченной паре элементов х и у из U ставится в соответствие число — скалярное произведение (х, у) так, что для любых элементов х, у и z из U и любого комплексного числа а выполняются следующие соотношения:

1. (у, х) = (х, у) (черта в правой части указывает на операцию комплексного сопряжения);
2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z);
3. (ах, у) = а(х, у);
4. (х, х) ≥ 0, причем равенство (х, х) = 0 возможно лишь в случае, если х = θ.

Пример:

В координатном пространстве Сn, элементами которого являются всевозможные упорядоченные наборы п комплексных чисел, скалярное произведение можно ввести так

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Что такое линейная оболочка

, будем иметь
Используя прием доказательства «от противного», допустим, что записанное представление не единственное в этом базисе и существует другое

, — базисные векторы.

Определение: если — базис в , то для любого существуют числа : . Это разложение вектора по базису.

Доказательство(от противного): Пусть в базисе два набора чисел для вектора

Так как линейно независимы, то все

1)

2)

3)

.

4)

Рассмотрим систему векторов .

Определение: Линейной оболочкой системы векторов называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов. То есть: . Очевидно, что и является подпространством.

Пример: найти размерность и базис линейной оболочки , где

линейно независимы.

— линейные пространства.

А)

Б)

А) Что такое .

Определение: линейное пространство L является прямой суммой и , если: выполняется одно из условий:

1)

2)

Теорема 9: Для того, чтобы , достаточно, чтобы

1)

2)

Тогда чтобы доказать, что, необходимо доказать, что — базис в L.

Тогда .

Так как , то 0=0